大学物理第九章课后习题答案

dE y = − dE sinθ = −
∴ E y = ∫ dE y = ∫ −
0
ηR sin θdθ 4πε 0 R 2
π
ηR sin θdθ 4πε 0 R 2
=−
η ηπR q =− 2 =− 2 2 2πε0 R 2π ε 0 R 2π ε 0 R 2
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� � 矢量式： E = E y j = − 9.
� � � � � E = E x i + E y j = (1.08 × 10 6 i + 1.25 × 10 6 j ) ( N / C ) ∴ 场强 E 的大小： E = E x 2 + E y 2 =1.65×106 N/C 场强与 x 轴的夹角： α = arctan( 7. 解：(1) 设圆环的带电线密度为η
10. 半径为 R 的圆平面均匀带电.电荷面密度为σ，求轴线上离圆心 x 处的场强. 11. (1) 一点电荷 q 位于一立方体中心，立方体边长为 a.试问通过立方体一面的
电通量是多少? (2) 如果这电荷移到立方体的一个顶点上，这时通过立方体每一面上的电通量是 多少? 12. 一厚度为 d 的无限大平板，体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求板内，外 场强分布. 13. 半径为 R 的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求体内、外场强 分布，并画出 E-r 分布曲线.
Ey ) = 49 0 . Ex
q 2πR 如图所示，圆环上一小段 dl 到轴上一点 P 的距
则 η= 离为 r,即有 dq = ηdl cos α =
x ,该小段在 p 点产生的场强大小为 r dq ηdl dE = k 2 = k 2 r r
根据对称性，p 点场强仅有 x 分量， d E 在 X 轴上的分量大小为
2. 答：试探电荷满足的两个条件是几何线度足够小，电荷量充分小。 3.答：电场线上每一点的切线方向和该点场强方向一致，电场线的疏密程度反映 场强的大小。静电场的电场线起始于正电荷，终止于负电荷，是不闭合的曲线， 在没有电荷的空间里，电场线既不会相交，也不会中断。 4. 答：高斯定理的内容：在电场中，通过一个任意闭合曲面 S 的电通量，等于 该曲面所包围的电荷的代数和 q内 除以 ε 0 ，与闭合面外的电荷无关。 表达式是： Φ e =
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(2)电子与质子间的万有引力：
FG = G
∴
m1 m2 = 3.63 × 10 − 47 ( N ) 2 r
Fe = 2.3 × 10 39 FG
(3)电子绕核做圆周运动，库仑力提供向心力 ∴ Fe = me
v2 r
则 v = 2.18 × 10 6 ( m / s ) 则 f = 6.57 × 1015 (Hz）
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第九章 静电场的基本规律
一、 填空 1. 电荷分为 和 ，一般把用 摩擦过的玻璃棒上所带的电 荷称为 ， 把用毛皮摩擦过的 上所带的电荷称为 。 2. 物体所带电荷的多寡程度的物理量称为 。 3. 物体所带的电荷量不是以连续值出现，而是以不连续的量值出现的，这称 为 。 4. 试探电荷满足的两个条件是 ， 。 5. 穿过电场中某曲面的电场线条数称为电场对该曲面的 。 6. 静电场的电场线起始于， ，终止于 ， 是 （填 “闭合” 或 “不闭合” ） 的曲线， 在没有电荷的空间里， 电场线既不会 ， 也不会 。 7. 高斯定理的表达式是 。 8. 电场中电势相等的点所构成的曲面称为 。 点电荷的等势面是以点电 荷为球心的一系列 。 9. 沿等势面移动电荷，电场力做功为 ，等势面和电场线处处 。 10. 沿电场线方向，电势 （填“升高”或“降低” ） 。 二、 简答 1. 2. 3. 4. 5. 简述真空中点电荷满足的库仑定律的内容及矢量表达式。 简述研究电场性质时，试探电荷需满足的两个条件。 简述电场线怎样描述电场的性质，以及静电场的电场线的特点。 简述高斯定理。 简述等势面具有的性质。
(2)求
dE 2 并令其值为零，可得当 x = R 时，E 取极值， dx 2
< 0 ,根据对称性，位于轴上 x = +
R
而
dE dx
x=
2 2
2 R 点的场强取得极大值， 2
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其值为
� E=± 8.
� qx i. 4πε0 ( R 2 + x 2 ) 3 / 2
� q j 2π 2 ε 0 R 2
联立①②， 可得 Q = 3 q 3
① ②
∴在三角形的中心应放置一电量为 − 的合力为零. 5.
3 q 的电荷，才能使作用在每一点电荷上 3
解：对该点电荷 Q 进行受力分析，并建立如图的坐标系，Q 所受合力的方向与 y 轴平行，其大小为
qQ qQr sin θ = 2k a a r 2 + ( )2 (r 2 + ( ) 2 ) 3 / 2 2 2 求上式的极值，取 F 对 r 的一阶导数，并令其为 0，可得： F = 2 F1 sin θ = 2 ⋅ k a − 3r 2 + r 2 + ( ) 2 = 0 2
∴ r= 2 a 4
求二阶导数并代入 r =
2 a ,得， 4 a = -12a 2 kQqr[( ) 2 + r 2 ] -7/2 < 0 a 2
d 2F dr 2
r=
2 4
说明此时 F 取极大值。 ∴ 点电荷在中垂面上的受力的极大值的轨迹是一个半径为 r =
6.
2 a 的圆. 4
解：如图所示，
E1 = k
∫∫ E ⋅ d S = ε
s
q内
0
，
5.答：沿等势面移动电荷，电场力做功为零；等势面和电场线处处正交。 三、 计算 1. 解：(1) 电子所受库仑力：
Fe =
q1 q 2 = 8.23 × 10 −8 ( N ) 2 4πε0 r
方向：在质子与电子的连线方向上并由电子指向质子
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q1 = 1.8 × 10 6 ( N / C ) 2 r
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E2 = k
q2 = 3.6 × 10 5 ( N / C ) 2 r
E x = E1 x + E2 x = E1 cos 60 0 + E2 cos 60 0 = 1.08 × 10 6 ( N / C ) E y = E1 y + E 2 y = E1 sin 60 0 − E 2 sin 60 0 = 1.25 ×10 6 ( N / C )
三、 计算 1. 氢原子由一个质子和一个电子组成.根据经典模型，在正常状态下，电子绕核 做圆周运动，轨道半径为 5.29×10-11m. 已知质子质量 1.67×10-27 kg，电子的质 量 9.11×10-31 kg，电荷分别为 +e=1.60×10-19 C 和 –e= -1.60×10-19 C，万有引力 常数为 G=6.67 ×10-11N·m 2·kg-2. (1) 求电子所受的库仑力; (2)库仑力是万有引力的多少倍? (3)求电子绕核运动的速率和频率. (4)由 (1)(2) 的结果讨论微观粒子运动时为什么可以忽略万有引力和粒子本身的 重力. 2. 为了得到 1C 电荷量大小的概念，试计算两个电荷都是 1C 的点电荷在真空中 相距 1m 时的相互作用力和相距 1000 米时的相互作用力.
解： 取三角形任一顶点处的点电荷 q 为研究对象， 受力分析如 图所示.设在三角形的中心，放置一电量为 Q 的点电荷，才能
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使作用在每一点电荷上的合力为零，则
F3 = F1 y + F2 y = F1 sin 60 0 + F2 sin 60 0 F1 cos 60 0 = F2 cos 60 0
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14. 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为 R 1 和 R2 ，筒面上都均匀带电，沿轴 线单位长度的电荷密度分别为λ1 和λ2，求： (1) 各区域内的场强分布； (2) 若λ1= -λ2，情况又如何? 15. 两同心均匀带电球面，带电荷分别为 q1 和 q 2 ，半径分别为 R 1 和 R 2， (1) 各区域内场强分布； (2) 若 q1 = −q 2 ，情况又如何? 16. 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电 q 的原子核，外面是带负电的电子 云.在正常状态下，电子云的电荷密度分布是球对称的：
s
q内
0
。
8. 等势面，同心球面。 9. 零，正交。 10. 降低。 二、 简答 1. 答：内容：真空中两个点电荷之间的相互作用力沿其连线方向，同号相斥， 异号相吸；作用力的大小与两电荷的电荷量的乘积成正比，与两电荷之间的距离 的平方成反比。 矢量表达式： F =
q1 q 2 r0 。 4πε 0 r 2
2r
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第九章 静电场的基本规律 参考答案
一、 填空 1. 2. 3. 4. 5. 6. 正电荷，负电荷，丝绸，正电荷，胶木棒，负电荷。 电荷量。 电荷的量子化。 几何线度足够小，电荷量充分小。 电通量。 正电荷，负电荷，不闭合，相交，中断。
7. Φ e =
∫∫ E ⋅ d S = ε
q − a0 ρ ( r) = − e . 3 π a0
式中 a 0 是一常数，求原子内电场的分布. 17. 求半径为 R ，带电荷为 q 的均匀带电圆平面轴线上的电势分布.再利用电势 梯度求轴线上一点的场强. 18. 求 15 题中各区域的电势分布并讨论当 q1= -q2 时的电势分布，并画出 U-r 曲线. 19. 求 14 题中当 λ1 = −λ2 = λ 时各区域的电势分布及两筒间的电势差.
dE x = dE cos α = k
ηxdl ( R + x 2 )3 / 2
2
E = ∫ dE x = k
� P 点场强为 E =
ηx qx 2πR = 2 3/2 (R + x ) 4πε 0 ( R 2 + x 2 ) 3 / 2
2
� qx i 4πε 0 ( R 2 + x 2 ) 3 / 2
Fe = me 4π 2 f 2 r
(4)因为万有引力和重力远远小于库仑力. 2. 解：根据库仑定律，可得， 当两点电荷相距 1m 时的相互作用力，
F1 =
q1 q 2
4πε 0 r1
2
= 9 × 10 9 ( N )
当两点电荷相距 1000m 时的相互作用力，
F2 =
3.
q1 q 2
4πε0 r2
解：设半圆环的带电线密度为
η=
q πR
如图所示，圆环上任一小段 dl ,都有
dq = ηdl = ηRd θ
该小段在 O 点产生的场强为： � ηRd θ � dE = er 4πε0 R 2 其中 er 为 dq 指向圆心 O 的单位矢量 根据对称性，圆心 O 处的场强仅有 y 分量， d E 在 y 轴上的分量为
2
= 9 ×10 3 ( N )
解：经过分析得知，第三个点电荷应放在 q，2q 之间，才能使受的合力为零. 设第三个点电荷电量为 Q，距 q 为 x， ∴ k 2 qQ qQ =k⋅ 2 2 (L − x) x 则 x = ( 2 − 1}L
此处由 2q 和 q 产生的合场强：
E合 =
4.
F合 Q
=0
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3. 两个点电荷的电荷量分别为 2q 和 q，相距 L. 将第三个点电荷放在何处时，它 所受的合力为零?此处由 2q 和 q 产生的合场强是多少? 4. 三个电荷量均为 q 的点电荷放在等边三角形的各顶点上.在三角形中心放置怎 样的点电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零? 5. 两等量同号点电荷相距为 a，在其连线的中垂面上放一点电荷.根据对称性可 知，该点电荷在中垂面上受力的极大值的轨迹是一个圆.求该圆的半径. 6. 两个点电荷， q1 = 8.0µC ， q 2 = −1.60 µC ，相距 20cm. 求离它们都是 20cm 处 的电场强度. 7. 如图所示，半径为 R 的均匀带电圆环，带电荷为 q. (1) 求轴线上离环心 O 为 x 处的场强 E . (2) 画出 E-x 曲线. (3) 轴线上何处的场强最大?其值是多少? 8. 求均匀带电半圆环的圆心 O 处的场强 E.已知圆环的半径为 R ，带电荷为 q. 9. 计算线电荷密度为η的无限长均匀带电 线弯成如图所示形状时，半圆圆心 O 处的 场强 E.半径为 R ，直线 Aa 和 Bb 平行.