2017-2018学年浙江省丽水市八年级(下)期末数学试卷

2017-2018学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）化简的结果是（）A．2B．﹣2C．±2D．42．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）用反证法证明“a＞0”，应假设（）A．a＜0B．a=0C．a≠0D．a≤04．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．75．（3分）下列各点中，不在反比例函数y=图象上的点是（）A．P（3，﹣4）B．P（3，4）C．P（2，6）D．P（﹣2，﹣6）6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有实数根，则a应满足（）A．a＜1B．a≤1C．a＞1D．a≥17．（3分）从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他2=100，们五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S甲S乙2=110，S丙2=120，S丁2=90．根据统计结果，最适合参加竞赛的两位同学是（）A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丁D．乙、丙8．（3分）下列条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AB=CD B．AB=CD，BC=AD C．∠A=∠C，AD∥BC D．AB∥CD，∠A=∠B9．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED的度数为（）A．120°B．125°C．135°D．150°10．（3分）如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC=90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD相交于点O，则下列结论不正确的是（）A．AO=OD B．EF=AD C．S△AEO=S△AOF D．S△ABC=2S△AEF二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD 成为正方形，应添加的一个条件是．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+3a=0的一个根是2，则a=．14．（3分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=．15．（3分）如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上有四个点A，B，它们的横坐标依次为a，2a，3a，4a，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和为．16．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x．（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，x=；（2）如图2，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是三、解答题（本题有8小题，共52分）17．（6分）计算：（1）﹣（2）（1﹣）（+1）．18．（6分）解方程（1）x2﹣9=0；（2）x（2x﹣3）=5x．19．（6分）为了解某校八年级150名女生的身高情况，从中随机抽取10名女生，测得身高并绘制如下条形统计图．（1）求出这10名女生的身高的中位数和众数；（2）依据样本估计该校八年级全体女生的平均身高；（3）请你依据这个样本，在该校八年级中，设计一个挑选50名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）．20．（6分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，5）和点B（n，1）．（1）求m，n的值；（2）根据图象判断，当不等式kx+b≤成立时，x的取值范围是什么？21．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AO，DO的中点，连结BE，CF．（1）求证：BE=CF；（2）连结EF，若EF=3，∠EOF=120°，求矩形ABCD的周长．22．（6分）某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为320元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该商品进价为280元/件，两次降价共售此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于8000元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件？23．（8分）在一次数学实践活动中，观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录，当观察到第t分钟时，水温为y℃，记录的相关数据如下表所示：（饮水机功能说明：水温加热到100℃时饮水机停止加热，水温开始下降，当降到40℃时饮水机又自动开始加热）请根据上述信息解决下列问题：（1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点；（2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程y关于t的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（3）已知沏茶的最佳水温是80℃≤y≤90℃，若18：00开启饮水机（初始水温20℃）到当晚20：10，沏茶的最佳水温时间共有多少分钟？24．（8分）如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，已知菱形的边长为12，∠ABC=60°．（1）求BD的长；（2）如图2，点E是菱形边上的动点，连结EO并延长交对边于点G，将射线OE绕点O顺时针旋转30°交菱形于点H，延长HO交对边于点F．①求证：四边形EFGH是平行四边形；②若动点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→A→D的方向在BA和AD上运动，设点E运动的时间为t，当t为何值时，四边形EFGH为矩形．2017-2018学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）化简的结果是（）A．2B．﹣2C．±2D．4【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：=2．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）用反证法证明“a＞0”，应假设（）A．a＜0B．a=0C．a≠0D．a≤0【分析】根据命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，可得假设内容．【解答】解：由于命题：“a＞0”的反面是：“a≤0”，故用反证法证明：“a＞0”，应假设“a≤0”，故选：D．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．4．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．【解答】解：边数n=360°÷72°=5．故选：B．【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°，是基础题，比较简单．5．（3分）下列各点中，不在反比例函数y=图象上的点是（）A．P（3，﹣4）B．P（3，4）C．P（2，6）D．P（﹣2，﹣6）【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案．【解答】解：∵y=，∴xy=12A．（3，﹣4），此时xy=3×（﹣4）=﹣12，符合题意；B、（3，4），此时xy=3×4=12，不合题意；C、（2，6），此时xy=2×6=12，不合题意；D、（﹣2，﹣6），此时xy=﹣2×（﹣6）=12，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有实数根，则a应满足（）A．a＜1B．a≤1C．a＞1D．a≥1【分析】由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于A的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1；故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．7．（3分）从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他2=100，们五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S甲S乙2=110，S丙2=120，S丁2=90．根据统计结果，最适合参加竞赛的两位同学是（）A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丁D．乙、丙【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小．选派方差较小的两位．【解答】解：从四个方差看，甲，丁的方差在四个同学中是较小的，方差小成绩发挥稳定，所以应选他们两人去参加比赛．故选：C．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8．（3分）下列条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AB=CD B．AB=CD，BC=AD C．∠A=∠C，AD ∥BC D．AB∥CD，∠A=∠B【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；【解答】解：A、由AB∥CD，AB=CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；B、由AB=CD，BC=AD可以判断四边形ABCD是平行四边形；C、由∠A=∠C，AD∥BC，可以推出∠B=∠D，可以判断四边形ABCD是平行四边形；D、由AB∥CD，∠A=∠B不可以判断四边形ABCD是平行四边形；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．9．（3分）如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED的度数为（）A．120°B．125°C．135°D．150°【分析】在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，可求出∠AEB、∠DAE的大小以及推断出AD=AE，从而可求出∠AED，再根据角的和差关系求出∠BED的度数．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC．∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB=∠BAE=60°，AE=AB，∴∠DAE=90°﹣60°=30°，AE=AD，∴∠AED=∠ADE=（180°﹣30°）=75°，∴∠BED=∠AEB+∠AED=60°+75°=135°．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知AD=AE是解题的关键．10．（3分）如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC=90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD相交于点O，则下列结论不正确的是（）A．AO=OD B．EF=AD C．S△AEO=S△AOF D．S△ABC=2S△AEF【分析】根据三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逐项分析即可．【解答】解：∵EF是Rt△ABC的中位线，∴EF BC，∵AD是斜边BC边上的中线，∴AD=BC，∴EF=AD，故选项B正确；∵AE=BE，EO∥BD，∴AO=OD，故选项A正确；∵E，O，F，分别是AB，AD，AC中点，∴EO=BD，OF=DC，∵BD=CD，∴OE=OF，又∵EF∥BC，∴S△AEO=S△AOF，故选项C正确；∵EF∥BC，∴△ABC∽△AEF，∵EF是Rt△ABC的中位线，∴S△ABC ：S△AEF=4：1，即S△ABC=4S△AEF≠2S△AEF，故选D错误，故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质以及全等三角形的判断和性质，证明EO，OF是三角形的中位线是解题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD 成为正方形，应添加的一个条件是AB=BC（答案不唯一）．【分析】根据正方形的判定添加条件即可．【解答】解：添加的条件可以是AB=BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB=BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC ⊥BD．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+3a=0的一个根是2，则a=4．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2ax+3a=0有一个根为2，将x=2代入方程即可求得a的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+3a=0有一个根为2，∴22﹣2a×2+3a=0，解得，a=4，故答案为4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可解决问题．14．（3分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=12或8．【分析】先根据中位数和平均数的概念得到平均数等于，由题意得到=10或9，解出x即可．【解答】解：∵这组数据的中位数和平均数相等，∴=10或9，解得：x=12或8，故答案为：12或8．【点评】本题考查了中位数的概念：一组数据按从小到大排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）就是这组数据的中位数．15．（3分）如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上有四个点A，B，它们的横坐标依次为a，2a，3a，4a，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和为2．【分析】由题意，图中阴影部分的面积之和=×矩形AEOF的面积，根据比例系数k的几何意义即可解决问题；【解答】解：如图，∵反比例函数的解析式为y=，∴矩形AEOF的面积为4．由题意，图中阴影部分的面积之和=×矩形AEOF的面积=2，故答案为2．【点评】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x．（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，x=2；（2）如图2，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是2≤x≤2﹣2【分析】（1）点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，由此即可解决问题；（2）作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再证明DA=DE=6，求出EB′即可解决问题；【解答】解：（1）点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，∴EC=BC﹣BE=6﹣4=2．（2）作AH⊥DE于H．在Rt△AHB′中，∵∠AB′H=60°，AB′=4，∴HB′=AB′=2，AH=HB′=2，在Rt△ADH中，DH==2，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠AEB=∠AED，∴DA=DE=6，∴EB′=BE=6﹣（2﹣2）=8﹣2，∴EC=BC﹣BE=6﹣（8﹣2）=2﹣2．∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是2≤x﹣2．故答案为：2，2﹣2．【点评】本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题有8小题，共52分）17．（6分）计算：（1）﹣（2）（1﹣）（+1）．【分析】（1）先把化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=2﹣=；（2）原式=1﹣5=﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（6分）解方程（1）x2﹣9=0；（2）x（2x﹣3）=5x．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）整理为一般式后，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3；（2）方程整理可得2x2﹣8x=0，因式分解得2x（x﹣4）=0，解得：x=0或x=4．【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．19．（6分）为了解某校八年级150名女生的身高情况，从中随机抽取10名女生，测得身高并绘制如下条形统计图．（1）求出这10名女生的身高的中位数和众数；（2）依据样本估计该校八年级全体女生的平均身高；（3）请你依据这个样本，在该校八年级中，设计一个挑选50名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）．【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数和众数；（2）根据加权平均数的求法可以解答本题；（3）根据题意可以设计出合理的方案，注意本题答案不唯一．【解答】解：（1）这10名女生的身高为：154、158、158、161、161、162、162、162、165、167，∴这10名女生的身高的中位数是：=161.5cm，众数是162cm，即这10名女生的身高的中位数和众数分别是161.5cm、162cm；（2）平均身高是：=161cm，即该校八年级全体女生的平均身高是161cm；（3）可以先将八年级身高是162cm的所有女生挑选出来，若不够，再挑选身高与162cm最接近的，直到挑选到50人为止．【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．（6分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，5）和点B（n，1）．（1）求m，n的值；（2）根据图象判断，当不等式kx+b≤成立时，x的取值范围是什么？【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象写出反比例函数图象在一次函数的图象上方的x的取值范围即可．【解答】解：（1）把A（1，5）代入y=中，得到m=5，∴反比例函数的解析式为y=，把B（n，1）代入y=中，得到n=5．（2）∵A（1，5），B（5，1），观察图象可知：不等式kx+b≤成立时，x的取值范围是0＜x≤1或x≥5．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象法解决取值范围问题，属于中考常考题型．21．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别是AO，DO的中点，连结BE，CF．（1）求证：BE=CF；（2）连结EF，若EF=3，∠EOF=120°，求矩形ABCD的周长．【分析】（1）欲证明BE=CF，只要证明△BOE≌△COF即可；（2）利用三角形中位线定理求出AD，解直角三角形求出AB即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=OC=OA，∵点E，F分别是AO，DO的中点，∴OE=OA，OF=OD，∴OE=OF，∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF．（2）∵点E，F分别是AO，DO的中点，∴AD=2EF=6，∵∠AOD=120°，AO=OD，∴∠ODA=30°，在Rt△ADB中，AB=AD•tan30°=2，∴矩形的周长为2（6+2）=12+4．【点评】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（6分）某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为320元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该商品进价为280元/件，两次降价共售此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于8000元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该种商品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据总利润=单件利润×销售数量结合两次降价销售的总利润不少于8000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意得：500（1﹣x）2=320，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为20%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据题意得：[500×（1﹣20%）﹣280]m+（320﹣280）（100﹣m）≥8000，解得：m≥50．答：第一次降价后至少要售出该种商品50件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量间的关系，找出关于m的一元一次不等式．23．（8分）在一次数学实践活动中，观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录，当观察到第t分钟时，水温为y℃，记录的相关数据如下表所示：（饮水机功能说明：水温加热到100℃时饮水机停止加热，水温开始下降，当降到40℃时饮水机又自动开始加热）请根据上述信息解决下列问题：（1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点；（2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程y关于t的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（3）已知沏茶的最佳水温是80℃≤y≤90℃，若18：00开启饮水机（初始水温20℃）到当晚20：10，沏茶的最佳水温时间共有多少分钟？【分析】（1）利用描点法画出图形即可；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）首先判断出而18：00至20：10共130分钟，饮水机加热一次，降温一次，再加热了一次的过程，分别求出加热过程中，降温过程中的最佳水温时间即可解决问题；【解答】解：（1）如图所示．（2）观察图象可知第一次加热过程的函数关系是一次函数，设解析式为y=kt+b，则有，解得，∴第一次加热过程的函数关系是y=2x+20．（0≤t≤40）由图象可知第一次降温过程的函数关系是反比例函数，设y=，把（50，80）代入得到m=4000，∴第一次降温过程的函数关系是y=．（40≤t≤100）．（3）由题意可知，第二次加热观察时间为30分钟，结束加热是第130分钟，而18：00至20：10共130分钟，∴饮水机加热一次，降温一次，再加热了一次的过程，把y=80代入y=2t+20，得到t=30，把y=90代入y=2x+20，得到t=35，∴一次加热过程出现的最佳水温时间为：35﹣30=5分钟，把y=80代入y=，得到t=50，把y=90代入y=得到t=，∴一次降温出现的最佳水温时间为：50﹣=（分钟），∴18：00开启饮水机（初始水温20℃）到当晚20：10，沏茶的最佳水温时间共+5×2=（分钟）．【点评】本题考查的是反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（8分）如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，已知菱形的边长为12，∠ABC=60°．（1）求BD的长；（2）如图2，点E是菱形边上的动点，连结EO并延长交对边于点G，将射线OE绕点O顺时针旋转30°交菱形于点H，延长HO交对边于点F．①求证：四边形EFGH是平行四边形；②若动点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→A→D的方向在BA和AD上运动，设点E运动的时间为t，当t为何值时，四边形EFGH为矩形．【分析】（1）解直角三角形求出OB即可解决问题；（2）①想办法证明OE=OG，OH=OF即可解决问题；②分四种情形画出图形，a、当点E、H都在AB上时，四边形EFGH是矩形；b、当点E在AB上，点H在AD上，四边形EFGH是矩形；c、当点E、H都在AD 上时，四边形EFGH是矩形；d、当点E在AD上，点H在DC上，四边形EFGH 是矩形．分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∥ABO=∠OBC=30°，∴AO=AB=6，∴OB=AB•cos30°=6，∴BD=2BO=12．（2）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，BO=OD，∴∠EBO=∠GDO∵∠BOE=∠DOG，∴△EOB≌△GOD，∴EO=GO，同理可得HO=FO，∴四边形EFGH是平行四边形．②a、当点E、H都在AB上时，四边形EFGH是矩形，作∠EOH的平分线OM，∵OE=OH，∴OM⊥EH．∴∠MOB=90°﹣∠ABO=60°，∵∠MOE=∠EOH=15°，∴∠EOB=∠MOB﹣∠MOE=45°，作EN⊥OB于N．设ON=EN=x，则NB=x，∵OB=6，∴x+x=6，∴x=9﹣3，∴BE=2EN=18﹣6，∴t=18﹣6时，四边形EFGH是矩形．b、当点E在AB上，点H在AD上，四边形EFGH是矩形．由菱形和矩形都是轴对称图形可知，∠AOE=∠AOH=15°，∴∠EOB=90°﹣15°=75°，∵∠ABO=30°，∴∠BEO=180°﹣∠EOB﹣∠ABO=75°，∴∠BEO=∠BOE，∴BE=BO=6，∴t=6时，四边形EFGH是矩形．c、当点E、H都在AD上时，四边形EFGH是矩形．由b同理可证：DE=DO=6，∴AB+AE=AB+AD﹣DE=24﹣6∴t=24﹣6时，四边形EFGH是矩形．d、当点E在AD上，点H在DC上，四边形EFGH是矩形．由菱形、矩形都是轴对称图形可知，∠DOE=∠HOE=15°，∴∠EOA=90°﹣15°=75°，∵∠OAD=60°，过点O作OK⊥AD，∴∠AOK=90°﹣∠OAD=30°，∴∠KOE=75°﹣30°=45°，∴KE=OK，∴AE=AK+KE=3+3，∴BA+AE=15+3，∴t=15+3，∴t=15+3时，四边形EFGH是矩形．综上所述，t为18﹣6，6，24﹣6，15+3时，四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。