研究生课程《数值分析》第四章数值积分与数值微分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
清华第五版数值分析第4章课件
3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值分析数值计算方法课程课件PPT之第四章数值积分与数值微分
( x a )( x b ) d x a
b
[ a , b ].
(2) f ( x) C [a, b], 则 辛 普 森 公 式 的 截 断 差 误 为：
f ()b a b 2 R ( x a )( x ) ( x b ) d x S a 4 ! 2
b ab a 4 ( 4 ) ( ) f ( ), 180 2
n 1
I k 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分 I的近 k 0 似值。
h I f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) f ( x ) k k 1 a x k 2 k 0 k 0 h f ( x ) 2 ( f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) f ( x ) 0 1 2 n 1 n 2
记
1 S f ( a ) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f ( b ) 1 n k k 2 6 k 0 k 1
n 1 n 1
称为复化辛普森公式。
18
类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求 积余项为
R s h f 2880 ba
1
4.3 复化求积公式
问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求 积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？ 问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增 加求积节点数的方法来提高计算精度吗？ 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间， 在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上 的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复 化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形 公式和复化辛普森公式。
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
Cotes系数只与 j 和 n 有关, 与 f x 和积分区间 a , b
无关， 且满足:
1 C k
n
n
C n k
n
(n) 2 C j 1 j0
2、截断误差
Newton-Cotes公式的误差为:
1 ) f (n ( ) R (f) w (x ) dx n 1 a ( n 1 )! b n 2 n n h (n 1 ) f ( ) ( tj) dt , ( a ,b ) ( n 1 )!0 0 j
n ( u j ) du 2
据此可断定 R f 0 ,因为上述被积函数是个奇函数.
4、数值稳定性
现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分
( n ) I ( f ) ( b a ) C j f(xj) n j 0 n
I ( f ) f ( x)dx
a
b
0 , 1 ,2 , . . . n 时, 其中计算函数值 f x j 有误差 ，而 j j
计算 C
n
j
没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑,
j
则在 I n ( f ) 的计算中,由
引起的误差为
( n ) e ( b a ) C f ( x ) ( b a ) C j) j (f(xj) n j j 0 ( n ) j j 0 ( n ) ( b a ) C j j n
x
f x
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2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来计 分的数值方法来帮 算积分有它的局限性。 忙啦。 那…… 怎么办呢？
数值分析4数值积分与数值微分
第4 章4数与数微数值积分与数值微分本章内容411.1 光波的特性4.1 引言4.2 Newton-Cotes 公式1.2 光波在介质界面上的反射和折射4.3 Romverg 算法4.4Gauss 1.3 光波在金属表面上的反射和折射4.4 Gauss 公式4.5 数值微分2本章要求主要内容：机械求积、牛顿柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式、•—数值微分。
•基本要求–(1)了解数值微分公式的导出方法及常用的数值微分公式。
–(2) 掌握数值积分公式的导出方法，截断误差；理解代数精度的概念，会用待定系数法。
–(3) 掌握梯形求积公式，抛物线求积公式，牛顿－柯特斯公式的构造及使用，并会应用公式求积分。
(4)熟悉复化梯形公式复化辛普生公式–(4) 熟悉复化梯形公式，复化辛普生公式。
–(5) 会用龙贝格积分法。
–(6) 了解高斯型求积公式的概念及导出方法，能构造简单问题的高精度求积公式，会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算。
积公式会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算•重点、难点重点牛顿柯特斯公式–重点：牛顿－柯特斯公式；–难点：代数精度的概念。
3414114.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想一、问题,d)(∫=b a xxfI数学分析中的处方法由微积分学基本定当如何求积分数学分析中的处理方法：由微积分学基本定理，当f(x)在[a, b]上连续时，存在原函数F(x)，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：).()(d)(aFbFxxf ba−=∫但有时用上面的方法计算定积分有困难但有时用上面的方法计算定积分有困难。
441N-L4.1 引言N L公式失效的情形：这时，N-L公式也不能直接运用。
因此有必要研究问题即用数值方法计算定积分因此，有必要研究数值积分问题，即用数值方法计算定积分的近似值.541二、构造数值积分公式的基本思想4.1 引言、构造数值积分公式的基本思想问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？f(ξ)641采用不同的近似计算方法从而得到各种不同的4.1 引言)对f(ξ)采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的数值求积公式。
郑州大学研究生课程数值分析复习---第四章数值微分与数值积分
郑州大学研究生课程数值分析复习---第四章数值微分与数值积分郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析Numerical Analysis习题课第四章数值微分与数值积分4.2.1 显格式导数与差商的关系数值微分取为导数的近似值，即差商。
00()() ()()()()()2lim lim lim h h h f x h f x h f x f x h f x h f x h f x h h →→→+??′=??+[,]()/i a b n x a ih h b a n =+=?将区间等分为份，是等距节点，是步长。
一、要点回顾()()'()i i i f x h f x f x h+?≈向前差商x ix i +h一阶数值微分由Taylor 展开2()()'()''(),2!f x h f x hf x f x x hξξ+=++≤≤+因此，有误差()()()'()''()()2!i i i f x h f x hR x f x f O h hξ+?=?=?=一阶数值微分()()'()i i i f x f x h f x h≈向后差商x i -hx i一阶数值微分由Taylor 展开2()()'()''(),2!i i i i i hf x h f x hf x f x x hξξ?=?+≤≤+因此，有误差()()()'()''()()2!i i i f x f x h hR x f x f O h h ξ??=?==一阶数值微分()()'()2i i i f x h f x h f x h+??≈中心差商x i -hx i一阶数值微分由Taylor 展开23112322()()'()''()'''(),2!3!()()'()''()'''(),2!3!i i i i i i i i i i i ih hf x h f x hf x f x f x x hh hf x h f x hf x f x f x h x ξξξξ+=+++≤≤+?=?+??≤≤因此，有误差22212()()()'()2 ['''()'''()]'''()()126i i i f x h f x h R x f x hh hf f f O h ξξξ+??=?=+==一阶数值微分()()231000232000120021()()'()''(),2!()()2'()2''(),24()()3()'(),2()4()3()'().2n n n n h f x f x hf x f x O h f x f x hf x h f x O h h f x f x f x f x hf x f x f x f x h=+++=+++??≈?+≈将第一式乘4并减去第二式，除以可得类似可得一阶数值微分数值积分公式求积系数求积节点()()()()nbk k n ak I f f x dx A f x I f =≈∑∫数值积分0()()nn k k k I f A f x ==∑0()()()()(),nbn k k ak R f I f I f f x dx A f x ==?=?∑∫分别称为为数值求积公式和求积公式余项数值积分求积公式的代数精度定义1称求积公式具有m 次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i )对所有次数≤m 次的多项式,有(ii )存在m+1次多项式,使得)(x P m 0)()()(=?=m n m m P I P I P R )(1x P m +0)()()(111≠?=+++m n m m P I P I P R 代数精度定义1中的条件(i),(ii)等价于: )()()0(,0)()()()(1≠≤≤== + mknkkxR iimkxxIxR i代数精度012,,,,,()1,,,,.n nx x x n f x x x x =L L 对于给定的一组结点要构造至少有次代数精确度的求积公式则它对于精确成立基本目标代数精度012,,,,n A A A A L 即求积公式的系数满足线性方程组+?=+++?=+++?=+++++1211110022110010n a b x A x A x A a b x A x A x A a b A A A n n nn n n n n n n L M L L 代数精度Newton-Cotes数值积分插值型求积公式上取一组节点在积分区间],[b a bx x x a n ≤<<<≤L 10插值多项式次的作Lagrange n x f )(0()()()nn k k k x f x l x ?==∑为插值基函数),,1,0)((n k x l k L =()(),n x f x ?用作为被积函数的近似有badx x f )(()bn ax dx ?≈∫∫∑==b ank kkdxx l x f 0)()(∑∫==nk bak k dxx l x f 0)()(则，记∫=bak k dx x l A )(∫badx x f )(∑=≈nk k k x f A 0)(Newton-Cotes数值积分()(0,1,,)bk k aA l x dx k n ==∫L 定义：系数由式所确定的求积公式称为插值型求积公式.4.5.11.n n +定理：利用个结点的求积公式至少具有次代数精确度的充分必要条件是它是插值型的Newton-Cotes数值积分等距节点的Newton-Cotes 求积公式],[)(b a C x f ∈设函数插值多项式为的Lagrange x f )([,]a b n 将积分区间分割为等份,nk kh a x k ,,1,0,L =+=为步长其中nab h ?=各节点为0()()()nn k k k x f x l x ?==∑Newton-Cotes数值积分。
数值分析第四章数值积分-69页精选文档
x
m k
1 m 1
b m 1 a m 1
由上面代数精度条件确定求积公式可分两种情形：
1. 若事先给定求积节点xk(k=0,…,n),例如被积函数以表的形式 给出时xk确定，可令m=n,由上式确定n+1个系数Ak即可---待定系数法和插值法。
2. 若xk和Ak都可选择，令m=2n +1，确定xk和法Ak ---Gauss法
求积系数，与被
b
n
积函数无关
f (x)dx
a
Ak f(xk)
k0
求积节 点
像这样，将积分用若干节点上被积函数值的线性组合来表示
的数值积分公式称为机械求积公式。
求积误差
b
n
R[f] f(x)dx a
Akf(xk)
k0
机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点xk和求积系
Case 1---方法1
Case 1---方法2 §1 插值型求积 公式
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
思 路
利用插值多项式
Pn(x)f(x)则积分易算。
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
n
多项式 Ln(x) f(xk)lk(x)，即得到 k0
数Ak，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问 题：
1. 精确度的度量标准；
2. 如何构造具体的求积公式；
3. 具体求积公式构造出来后，误差如何估计？
问题1
定义：代数精度
若某个求积公式对次数 m 阶的多项式准确成立，而对 m+1 阶 的 多 项 式 不 一 定 准 确 成 立 。 即 对 应 的 误 差 满 足 ： R[ Pk ]=0 对任意 k m 阶的多项式成立，且 R[ Pm+1 ] 0 对某 个 m+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 m 。
数值分析第四章数值微分
如何选择合适的步长h,需要进行误差分析。
在x=a处做泰勒展开
误差分析
h h f (a h) f (a ) hf (a ) f (a ) f (a ) 2! 3! 4 5 h (4) h (5) f ( a) f (a) 4! 5!
f (a h) f (a h) 代入： G( h) 2h
（2）向后差商数值微分公式 f (a ) f (a h) f (a ) f (a h) f (a ) lim h 0 h h
中点方法与误差分析
（3）中心差商数值微分公式 f (a h) f (a h) f (a ) lim h 0 2h f (a h) f (a h) G ( h) 2h f (a h) f (a h) 中点方法 2h
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
--------(4)
f ( x1 ) L1 ( x1 ) E1 ( x1 )
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
(4)(5)式称为带余项的两点求导公式
1 f ( x0 ) f ( x1 ) ( f 1 f 0 ) h
( n 1) jk
--------(2)
k 0,1,, n
--------(3)
(2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差
由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式
二、低阶插值型求导公式
1.两点公式
从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。
f (2) 0.353553
数值分析--数值积分与数值微分
n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章 数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得
《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx
n
b a
pn ( x )dx
b n
b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分
的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a
《 数 值 分 析 》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章 数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《 数 值 分 析 》
(1 )
1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )
1 0
sd s
此时式(2―5)为
b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是
b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章 数值积分与数值微分
数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案
第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若101(1)()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 从而解得 令3()f x x =，则 故101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则 故此时， 故101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
（2）若21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 从而解得 令3()f x x =，则 故21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则 故此时， 因此，具有3次代数精度。
（3）若1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 从而解得120.28990.5266x x =-⎧⎨=⎩或120.68990.1266x x =⎧⎨=⎩ 令3()f x x =，则 故1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++⎰不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若20()[(0)()]/2[(0)()]hf x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 故有令3()f x x =，则 令4()f x x =，则 故此时， 因此，21()[(0)()]/2[(0)()]12hf x dx h f f h h f f h ''≈++-⎰具有3次代数精度。
数值分析复习之数值积分与数值微分
辛甫森求积公式的余项估计为：
Cotes求积公式的余项估计为：
5、 当用Newton-Cotes求积公式的时，当很大时一样存在数值不稳定性。为 了使用低阶求积公式，并且能达到较高的计算精度，可以将区间做若干 等分，在每个子区间上使用低阶求积公式，这样的方法称为复化求积方 法。次代数精度 证明：梯型求积公式为，取时，有 取时 取时，积分真值为 梯型求积公式的值为 故，即梯型求积公式只具有1次代数精度。
３、分别应用梯型求积公式、Simpson求积公式、Cotes求积公式计算积分，并 估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位） 解：运用梯形求积公式 其误差 应用Simpson求积公式， 其误差为 应用Cotes求积公式，有 其误差为：
４、推导下列三种矩形求积公式
解：将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得
５、已知， （１）推导以这三个点作为求积节点在上的插值型求积公式， （２）指明求积公式所具有的代数精度 （３）用所求公式的计算 解：由构造Lagrange插值多项式 并用近似表示，可得插值型求积公式： ，其中
为数值微分。
三、例题 １、确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出求积公式 所具有的代数精度。
解：这是的Newton－Cotes求积公式，至少具有三次代数精度。由此可以确定它 的系数，取可得以下方程组： 如果取，它的积分真值为，如果用积分公式来计算则得到它的近似值为，所 以，求积公式只具有3次代数精度。
构造出来的求积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写 为：
其中称为Cotes系数。特别地当时Newton-Cotes求积公式称为梯型求积公 式，写为：
数值分析课件第4章 数值积分与数值微分
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如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间 [a, b]的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组 即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有 n次 代数精度. 本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形 公式是其中的一个特例.
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个
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得求积公式为
I
2h
2h
8 4 8 f ( x ) d x hf ( h) hf (0) hf ( h) 3 3 3
2h 3
令 f (x)=x3，得
8 3 3 0 x d x h[( h) h ] 0 2h 3
令 f (x)=x4，得
64 5 2 h 4 8 16 5 4 4 h x d x h[( h) h ] h 2h 5 3 3
~ In ( f ) In ( f )
~ Ak [ f ( xk ) f k ] ,
k 0
n
成立，则称求积公式ΣAkf(xk)是稳定的，
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定理2 若求积公式ΣAkf(xk)中所有系数Ak>0， 则此求积公式是稳定的.
证明 对任给ε>0，若取δ=ε/(b-a), 对所有k都有 ~ f ( xk ) f k ( k 0,1,, n) n 则有 ~ ~ I n ( f ) I n ( f ) Ak [ f ( x k ) f k ]
k 0 n
k 0 n
~ Ak f ( x k ) f k
Ak (b a ) .
k 0
故求积公式是稳定的.
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6.2 牛顿—柯特斯公式
数值分析第四章数值积分与数值微分
称 f 为区间 a , b 的平均高度.
3、求积公式的构造
若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： Iffaba
中矩形公式： Iff a2bba
右矩形公式： Iffbba
左矩形公式： Iffaba
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分。
WhatI’st’tshseo Ocorimgipnlaelx that funwcteiocnan?!not
get it.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
(i) 对所有次数≤m次的多项式 Pm (x,)有
R (P m ) I(P m ) In(P m ) 0
(ii)存在m+1次多项式 Pm1(x),使得
R (P m 1 ) I(P m 1 ) In (P m 1 ) 0
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
( i )R ( x k ) I ( x k ) I n ( x k ) 0 ,( 0 k m )
f x xn1 的余项为零。
由于 f x xn1,所以 fn1xn1!
即得
R(f)hn2 n n (tj)dt 0
j0
引进变换 t u n ,因为 n 为偶数,故 n 为整数,
2
2
于是有
n
R(f)hn2
2 n
2
n (unj)du
且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需
铝板的长度L.
这个问题就是要求由函数 f xsinx
数值分析——第4章 数值积分与微分法(“公式”相关文档)共76张
n
a Pm1( x)dx Ak Pm1( xk ).
k0
则称求积公式具有m次代数精度.
注①求积公式具有m次代数精度 0 i m有
b xidx a
n
Ak x i .
但
b xm1dx
a
n
Ak x m1 .
k0
k0
§1 Newton—cotes公式
1.1 插值型求积公式与科茨系数（cotes系数）
§1 Newton—cotes公式
n
In Ak f (xk )
1.1 插值型求积公式与科茨系数（cotesk系0 数）
1. 插值型求积公式
将[a, b]n等分：h b a 为步长，节点为等分点： n
xk a kh.(k 0,1,2,..., n) .
取I≈In.余项记为：
b
Rn (In ) a Rn ( x)dx
同理可得复合型Simpson公式：
b a
n1
n1
Sn
6n
[ f (a) 2 f (xk )
k 1
f (b) 4
k0
f
(
x
k
1
)].
2
复合Cotes公式：
b a
n1
n1
n1
Cn
[7 f (a) 14
90n
k 1
f ( xk ) 7 f (b) 12
k0
f
(
x
k
1 2
)
32
式，再将结果求和. 设x=a+th. (k=0,1,2,…,n), h b a
b
h
n1
a
f ( x)dx
[ f (a) 2
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b
a
f
(x)dx
1 (b 6
a)
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
y=f(x)
梯形公式把 f(a), f(b) 的加权平均值
1 f (a) f (b)
2
aa ((aa++bb))//22 bb
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把 [a,b] 的中点处函数值
f
ab 2
定义 （代数精度） 设求积公式（1）对于一切次 数小于等于 m 的多项式( f (x) 1, x, x2 , , xm 或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )是准确的，而对于 次数为 m+1 的多项式是不准确的，则称该求积公 式具有 m 次代数精度（简称代数精度）
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
Simpson公式是以函数 f(x)在 a, b, (a+b)/2 这三点的函数
值 f(a),
f(b),
f
a
2
b
的加权平均值
。
1 ( f (a) 4 f ( a b ) f (b))作为平均高度 f() 的近
6
2
似值而获得的一种数值积分方法。
将积分区间细分, 在每个小区间内用简单函数代替复 杂函数进行积分，这是数值积分的思想。本章主要讨论 用代数插值多项式代替 f(x) 进行积分。
5.1.1 数值积分的基本思想
积分 I b f (x)dx 在几何上可以理解为由 x=a, x=b, a
y=0 以及 y = f(x) 这四条边所围成的曲边梯形面积。如图 1 所 示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边 y=f(x)。
k 0
k 0
其中
Ak
b
a lk
(x)dx
b a
(x
( x) xk ) (xk
)
dx
称为求积系数。给出如下定义,
定义 1 求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
(1)
k 0
b
其系数 Ak a lk (x)dx 时，则称求积公式为插值求积公式。
设插值求积公式的余项为R( f ) ,由插值余项定理得
f ( )
f (a) 2
f (b)
和
f ( )
f
y( a
2
b
)
y=f(x)
则分别得到中矩形公式和梯形公式。
①梯形公式
b
a
f
(x)dx
1 (b 2
a) f
(a)
f
(b)
②中矩形公式
aa
bb x
y y=f(x)
b f (x)dx (b a) f ( a b)
a
2
aa (a+b)/2 b x
③辛普森 Simpson公式 y
jk
这里 (x) (x x0 )( x x1 )(x xn )
b
b
多项式 P(x) 易于求积, 所以可取 P(x)dx作为 f (x)dx
a
a
的近似值，即
b
b
bn
f (x)dx P(x)dx
a
a
a
f (xk )lk (x)dx
k 0
n
b
n
f (xk ) a lk (x)dx f (xk )Ak
（2）先用某个简单函数 (x)近似逼近 f(x), 用(x) 代替原被
b
积函数 f(x)，即 f (x)dx
b ( x)dx以此构造数值算法。
a
a
从数值计算角度考虑, 要求 (x) 充分的逼近应对 f(x) ,且
易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且易于计
算积分,因此将 (x) 选取为插值多项式，这样 f(x)的积分可用
R( f ) b f (x) P(x)dx b f (n1) ( ) (x)dx
a
a (n 1)!
其中 a,b.
当 f(x)是次数不高于n 的多项式时，有 f (n1) (x) 0， R( f ) 0，求积公式 (1) 能成为准确的等式。由于闭区间 [a, b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式 能对高次多项式 f(x) 成为准确等式，是衡量该公式的精 确程度的重要指标，为此给出以下定义。
y=f(x) a
图1 数值积分的几何意义
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两种：
(1)由积分中值定理可知，对于连续函数 f(x)，在积分区
间[a, b]内存在一点 ξ ，使得
b
a f (x)dx (b a) f ( )
a,b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为 (b-a)，高为 f ( ) 的矩
(1) 被积函数 f(x) 并不一定能够找到用初等函数的
有限形式表示的原函数 F(x)，例如：
1 sin xdx和 1 ex2 dx
0x
0
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数 f(x)的原函数能用初等函数表示，
f (x) x2 2x2 3
但积分后其表达式却很复杂, 积分后其原函数 F(x)为：
数值分析课件
第四章 数值积分与数值微分
5.1 数值积分问题
我们知道,若函数 f(x)在区间 [a,b] 上连续且其原函数为 F(x),则可用 Newton-Leibnitz 公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
求定积分的值 。Newton-Leibnitz 公式 无论在理论上还是在 解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积 分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且 极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：
其插值多项式的积分来近似代替。
5.1.2 插值求积公式
设已知 f(x) 在节点 xk (k 0,1,, n) 有函数值 f (xk ),作 n
次拉格朗日插值多项式
n
P(x) f (xk )lk (x) k 0
式中
lk (x)
n j0
x xj xk x j
(x) (x xk )(xk )
形面积。
但点 ξ 的具体位置一般是未知的, 因而 f ( ) 的值也是未知
的, 称 f ( )为 f(x) 在区间[ a,b ]上的平均高度。那么只要对平均
高度 f ( ) 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法。
按照次思想，可三构造个出一求些求积积分分值公的近式似公式。
例如 f ( ) 分别取
F(x) 1 x2 2x2 3 3 x 2x2 3 9 ln( 2x x2 2x2 3)
4
16
16 2
(3) 被积函数 f(x) 没有具体的解析表达式, 其函数关 系由表格或图形表示。
对于以上情况, 计算积分的准确值十分困难。由此， 通过原函数计算积分有它的局限性, 因而，研究一种新 的积分方法来解决 Newton-Leibniz 公式所不能或很难解 决的积分问题，这时需要用数值解法来建立积分的近似 计算方法。