2019年天津市河东区高考数学一模试卷(文科)

＝2，
则
的值是
．
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14．（3 分）若实数 x，y 满足 2cos2（x+y﹣1）＝
，则 xy 的最小值
为
．
三、解答题
15．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）
（x∈R），函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称．
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2019 年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3 分）已知 i 是虚数单位，x∈R，复数 z＝（x+i）（2+i）为纯虚数，则 2x﹣i 的模等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】A5：复数的运算． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
17．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形，CC1⊥平面 ABCD． （1）求证：BD⊥平面 ACC1A1；
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（2）若二面角 C1﹣BD﹣C 的大小为 60°，求异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值．
18．在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，a2 是 a1 与 a4 的等比中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
6．（3 分）为了得到函数 y＝3cos2x 图象，只需把函数
A．向右平行移动 个单位长度
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D．c＞a＞b 图象上所有点（ ）
B．向右平行移动 个单位长度 C．向左平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
7．（3 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2
，若当 x∈[﹣4，﹣2）时，不等式 f（x）≥
恒成
立，则实数 t 的取值范围是（ ）
A．[2，3]
B．[1，3]
C．[1，4]
D．[2，4]
二、填空题
9．（3 分）集合 A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则 A∩B＝
．
10．（3 分）已知函数 f（x）的导函数，满足 f（x）＝2xf'（1）+x3，则 f'（1）等于
与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1， ）
B．（ ，+∞）
C．（ ，2）
D．（2，+∞）
8．（3 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）＝2f（x），当 x∈[0，2）时，f（x）＝
在[0，2]上递减，即可得到 a、b、c 的大小关系．
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【解答】解：∵
，
∴
∵f（x）在[0，2]上递减， ∴f（ ）＞f（1）＞f（2） 又∵f（x）是偶函数，f（ ）＝f（﹣ ）＝
∴
＞f（1）＞
，即 c＞a＞b
故选：D． 【点评】本题给出偶函数在[0，2]上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数 奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题．
【分析】利用复数代数形式的乘除来自算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 x，代入 2x
﹣i，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z＝（x+i）（2+i）＝（2x﹣1）+（x+2）i 为纯虚数，
∴
，即 x＝ ．
∴2x﹣i＝1﹣i，则 2x﹣i 的模等于 ． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法， 是基础题．
与 y＝﹣ x 联立，可得交点 M（ ，﹣ ），
∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有
＞c2，
∴b2＞3a2， ∴c2﹣a2＞3a2，即 c＞2a． 则 e＝ ＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的 计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键． 8．（3 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）＝2f（x），当 x∈[0，2）时，f（x）＝
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与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1， ）
B．（ ，+∞）
C．（ ，2）
D．（2，+∞）
【考点】KC：双曲线的性质． 菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
20．已知 f（x）＝mx﹣alnx﹣m，g（x）＝ ，其中 m，a 均为实数， （1）求 g（x）的极值； （2）设 m＝1，a＝0，求证对 |恒成立；
（3）设 a＝2，若对∀给定的 x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在 t1，t2（t1≠t2）使得 f （t1）＝f（t2）＝g（x0）成立，求 m 的取值范围．
【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点 F2 的直线，与另一条渐近线联立即可得 到交点 M 的坐标，再利用点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外和离心率的计算公式即可得 出．
【解答】解：双曲线 ﹣ ＝1 的渐近线方程为 y＝± x，
不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y＝ （x﹣c），
，若当 x∈[﹣4，﹣2）时，不等式 f（x）≥
恒成
立，则实数 t 的取值范围是（ ）
A．[2，3]
B．[1，3]
C．[1，4]
【考点】3R：函数恒成立问题． 菁优网版权所有 第9页（共23页）
D．[2，4]
【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据条件，只要求出函数 f（x）在 x∈[﹣4，﹣2）上的最小值即可得到结论． 【解答】解：当 x∈[0，1）时，f（x）＝x2﹣x∈[﹣ ，0]，
5．（3 分）已知偶函数 f（x）在[0，2]上递减，试比 a＝f（1），b＝f（
），c＝f（log2 ）
大小（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
【分析】由对数的定义，可得 b＝f（2），c＝f（﹣ ）＝f（ ）．再结合函数函数 f（x）
2．（3 分）已知 x，y 满足不等式组
，则 z＝x+3y 的最小值等于（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【考点】7C：简单线性规划． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】画出满足条件的平面区域，将直线变形为 y＝﹣ x+ ，通过图象读出即可．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵|x﹣2|＜1，
∴1＜x＜3，
∵“1＜x＜2”
∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】EF：程序框图． 菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】算法的功能是求满足 P＝1+3+…+（2n﹣1）＞20 的最小 n 值，利用等差数列的
前 n 项和公式求得 P，根据 P＞20，确定最小的 n 值．
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【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足 P＝1+3+…+（2n﹣1）＞20 的最小 n 值，
（Ⅰ）当 x∈（0， ）时，求 f（x）的值域；
（Ⅱ）若 a＝7 且 sinB+sinC＝
，求△ABC 的面积．
16．某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分， 成绩均为不低于 40 的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图 的频率分布直方图． （1）求图中实数 a 的值； （2）若该校高一年级共有学生 640 人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数； （3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生， ①列出所有可能的结果； ②求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率．
【解答】解：把函数
图象上所有点向左平行移动 个单位长度，
可得函数 y＝3cos2x＝3sin（2x+ ）图象，
故选：D． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一 这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
7．（3 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2
∴ ≥ ﹣t+ 恒成立．
即 t2﹣4t+3≤0，
即（t﹣3）（t﹣1）≤0，
即 1≤t≤3，
即 t∈[1，3]，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，
难度较大．
D．12
A．3
B．4
C．5
D．6
4．（3 分）设 x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（ ）