弹性力学基本方法

一、 按应力求解平面问题；

1、按应力求解平面问题的基本思路；

（1）找到用应力表示的方程组(,,)0x y xy f σστ=

（2）给出合适的应力边界条件，求解,,x y xy σστ

（3）根据物理方程求出,,x y xy εεγ

（4）根据几何方程确定,u v

2、按应力求解平面问题的一般提法：

00yx x x xy y y f x y f x y

τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ 平衡微分方程 ()()221y x x y f f x y x y σσμ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂++=-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

补充方程（平面应力） ()2211y x x y f f x y x y σσμ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂++=-+ ⎪ ⎪∂∂-∂∂⎝⎭

⎝⎭ 补充方程（平面应变） x yx x

xy y y l m f l m f σττσ+=+= 应力边界条件

3、应力函数

22x x f x y φσ∂=-∂；22y y f y x φσ∂=-∂；2xy x y

φτ∂=-∂∂（记） 40ϕ∇=

按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数φ，它必须满足在区域内的相容方程，在边界上的应力边界条件，在多连体中，还必须满足位移单值条件。

二、 按位移求解平面问题；

1、按位移求解平面问题的基本思路；

（1） 寻求关于位移的方程组(,)0f u v =

（2） 根据(,)0f u v =求出位移分量,u v

（3） 根据几何方程导出应变分量

（4） 根据物理方程导出应力分量

2、按位移求解平面问题的一般提法

222222222222110122110122x y E u u v f x y x y E v v u f y x x y μμμμμμ⎛⎫∂-∂+∂+++= ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂-∂+∂+++= ⎪-∂∂∂∂⎝⎭

基本方程 2

2112112x s y s E

u v u v l m f x y y x E

v u v u m l f y x x y μμμμμμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂-∂∂+++=⎢⎥ ⎪ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂-∂∂+++=⎢⎥ ⎪ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦用位移表示的应力边界条

件（平面应力）

2,11E E μμμμ⇒⇒--（平面应变）

s s u u v v == 位移边界条件

三、 逆解法；

1、 逆解法的基本思路；

（1）设定各种形式的应力函数ϕ，要求：满足相容方程 444422420x x y y

ϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂∂ 40ϕ∇= （2）求得应力分量

22x x f x y ϕσ∂=-∂ 22y y f y x ϕσ∂=-∂ 2xy x y

ϕτ∂=-∂∂ （3）由应力边界条件（2-15）式和弹性体的边界形状找到

应力分量对应的面力，从而得知所选取的应力函数 可以解决的问题。

四、半逆解法；￥￥￥

1、半逆解法的基本思路；

（1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；

（2）推出应力函数的形式；

（3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；（4）由应力函数求得应力分量；

（5）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）；

（6）满足是问题的解，不满足重新假设求解。

五、差分法；￥￥￥

1、基本思想；

是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。其数学基础是泰勒公式。

1、基本公式；

（1）二阶差分公式：

130

213022022f f f x h f f f f x h -∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎛⎫+-∂= ⎪∂⎝⎭（记）

240

224022022f f f y h f f f f y h ⎛⎫-∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫+-∂= ⎪∂⎝⎭（记）

（2）四阶差分公式

()()()()()()4013911420

4012345678222040241012420

164142164f f f f f f x h f f f f f f f f f f x y h

f f f f f f y h ⎛⎫∂=-+++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂⎝⎭⎛⎫∂=-+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂⎝⎭⎛⎫∂=-+++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂⎝⎭ （3）相容方程的差分格式

0123456789101112208()2()()0φφφφφφφφφφφφφ-+++++++++++=（记）

（4）边界条件的差分格式

d d ()d ()d B x A B

B y A B B

B

B B B x y A A f s y f s x y y f s x x f s φφφ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭=-+-⎰⎰⎰⎰（记）

六、位移变分法；￥￥￥

1、基本思路；

（1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式；

（2）使它们满足位移边界条件；

（3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程核应力边界条件）并求出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。

2、基本公式：

00x m x m A s m

y m y m A s m U f u dxdy f u ds A U f v dxdy f v ds B σσ∂--=∂∂--=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰（记）