同济版本高数上第一章部分知识总结

一、映射

1、映射的概念

映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从x到y的映射，记作：

f：X→Y

举例：

注意事项：

一、无论是定义域还是值域都是非空集合

二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。

三、对于定义域内部的每个x来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。

2、特殊映射

满射（X到Y上的映射）：值域中的每一个值都被对应。根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。

单射：定义域内对应值域内的值不同。即x1≠x2，则f(x)1≠f(x)2

一一映射：映射是满射又是单射

3、逆映射

若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。记作：f−1。其中，新构成的这个映射，定义域 D f−1=R f，即新的定义域为原映射的值域。而新的值域则是R f−1=X，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。

若g:X→Y1，f:Y2→Z ，则由g与f可构成复合映射，即：f∘g: X→Z。这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 f[g(x)]。由定义可知，g的值域必须在f的定义域内。且f∘g与g∘f意义不同。

二、函数

1、函数的概念

函数：若数集D⊂R，则称映射f:D⊂R为定义在D上的函数，通常简记为：

y=f(x),x∈D

其中，x称作自变量，y称作因变量，D称作定义域。

注意：

一、y=f(x)表示在对应法则f的作用下，定义域内所对应的值，因此写作f(x)。实际

上，y与f(x)的意义一样。

二、函数是一个特殊的映射。无论是其定义域，还是其值域，都是实数集R。

三、只需要对应法则f与定义域D f相同，则两个函数相同。

2、函数的几种特性

函数具有有界性、单调性、奇偶性、周期性。

（一）有界性：若取数集X⊂D，其中D为函数f(x)的定义域，若X内任意一数x，存在K1< f(x)

（三）奇偶性；函数f(x)具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称。在此前提下，若f(−x)= f(x)，则称该函数为“偶函数”；若f(−x)=−f(x)，则称该函数为“奇函数”。若都不满足，则称为“非奇非偶函数”。偶函数其图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。

（四）周期性：若对于x+l∈D，D为定义域，则如果f(x+l)=f(x)，则称该函数为周期，且l称作“周期”，平时我们所说为函数的“最小正周期”。并非所有函数都有最小正周期。

3、反函数

作为逆映射的特例，函数作为映射集合为实数的特殊映射，自然存在反函数的概念。若作为函数f(x)的映射为单射，则它存在反函数f−1，写x=f(y)，由于习惯问题，我们常常将其写作y=f−1(x)。

而相对于反函数，我们称原函数为直接函数，且若将直接函数与反函数的图像画在同一坐标系上，则其图像关于y=x对称。若P(a,b)是y=x图像上的一点，则Q(b,a)是其反函数上的一点。还有一点值得注意的是，单调函数都是具有反函数的，因为单射，所以其才单调。

根据复合映射的概念，相应有复合函数的概念。

设函数y=f(u)的定义域为D f，函数u =g(x)的定义域为D g，且其值域R g⊂D f，则有：

y=f[g(x)]，x∈D g

值得注意一点的是，在许多情况下，为了简便，有些函数如√tan x也可以看做是符合函数，而且此时为了使整个函数具有意义，此时自变量x的取值范围不再是原来x的取值范围，而是其子集。

还有一点就是，内层函数g(x)的值域需要在外层函数f(u)的定义域内，以保证函数整体具有意义。

5、函数的运算

在满足两个函数的定义域交集不为空的情况下，函数的运算，如加减乘除满足基本运算。即：

和（差）f±g：(f±g)=f(x)+g(x)

积f·g：(f·g)(x)= f(x)·g(x)

商f

g ：(f

g

)(x)=f(x)

g(x)

三、数列的极限

1、定义

数列极限的定义：设{x n}为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|x n−a |<ε都成立，那么就称常数a 是数列{x n}的极限，或者称数列{x n}收敛于a ，记作：

lim

n→∞

x n=a

或x n→a (n→∞)

对于定义的理解：|x n−a |<ε不等式中，|x n−a |表示x n与a 的距离，若相减得到0，说明此时x n=a ，则ε无限缩小时，x n与a 的值不断接近，但还总是存在距离。两者无限接近，这也就是极限的概念。

当x n中n无限增大（数列中n>0）时，若存在极限，则数列值应该趋向于一个值（不趋向则发散或趋向于无穷大），关于其中“总存在正整数N”，可以理解为，当ε确定时，只需要再往大出发，则数列值继续向极限值趋向。为什么是n>N，而不是n< N，因为n需要是正整数，在n值很小时，项的值是确定的

注意：定义并不能用来求极限，但是可以用来证明数列的极限。

2、收敛数列的性质