同济版本高数上第一章部分知识总结

一、映射1、映射的概念映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从x到y的映射，记作：f：X→Y举例：注意事项：一、无论是定义域还是值域都是非空集合二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。

比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。

三、对于定义域内部的每个x来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。

2、特殊映射满射（X到Y上的映射）：值域中的每一个值都被对应。

根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。

而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。

单射：定义域内对应值域内的值不同。

即x1≠x2，则f(x)1≠f(x)2一一映射：映射是满射又是单射3、逆映射若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。

记作：f−1。

其中，新构成的这个映射，定义域 D f−1=R f，即新的定义域为原映射的值域。

而新的值域则是R f−1=X，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。

若g:X→Y1，f:Y2→Z ，则由g与f可构成复合映射，即：f∘g: X→Z。

这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 f[g(x)]。

由定义可知，g的值域必须在f的定义域内。

且f∘g与g∘f意义不同。

二、函数1、函数的概念函数：若数集D⊂R，则称映射f:D⊂R为定义在D上的函数，通常简记为：y=f(x),x∈D其中，x称作自变量，y称作因变量，D称作定义域。

注意：一、y=f(x)表示在对应法则f的作用下，定义域内所对应的值，因此写作f(x)。

实际上，y与f(x)的意义一样。

二、函数是一个特殊的映射。

无论是其定义域，还是其值域，都是实数集R。

三、只需要对应法则f与定义域D f相同，则两个函数相同。

2、函数的几种特性函数具有有界性、单调性、奇偶性、周期性。

（一）有界性：若取数集X⊂D，其中D为函数f(x)的定义域，若X内任意一数x，存在K1< f(x)<K2，则说K1为f(x)的“下界”，K2为其“上限”。

若存在| f(x)|<M，则说该函数在数集X内“有界”。

可知，函数有界的充分必要条件是其既存在“上限”，又存在“下限”。

（二）单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I⊂D，如果对于区间I上任意两点x1，x2存在“单调递增”和“单调递减”两种情况，都统称该函数为单调函数。

（三）奇偶性；函数f(x)具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称。

在此前提下，若f(−x)= f(x)，则称该函数为“偶函数”；若f(−x)=−f(x)，则称该函数为“奇函数”。

若都不满足，则称为“非奇非偶函数”。

偶函数其图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。

（四）周期性：若对于x+l∈D，D为定义域，则如果f(x+l)=f(x)，则称该函数为周期，且l称作“周期”，平时我们所说为函数的“最小正周期”。

并非所有函数都有最小正周期。

3、反函数作为逆映射的特例，函数作为映射集合为实数的特殊映射，自然存在反函数的概念。

若作为函数f(x)的映射为单射，则它存在反函数f−1，写x=f(y)，由于习惯问题，我们常常将其写作y=f−1(x)。

而相对于反函数，我们称原函数为直接函数，且若将直接函数与反函数的图像画在同一坐标系上，则其图像关于y=x对称。

若P(a,b)是y=x图像上的一点，则Q(b,a)是其反函数上的一点。

还有一点值得注意的是，单调函数都是具有反函数的，因为单射，所以其才单调。

根据复合映射的概念，相应有复合函数的概念。

设函数y=f(u)的定义域为D f，函数u =g(x)的定义域为D g，且其值域R g⊂D f，则有：y=f[g(x)]，x∈D g值得注意一点的是，在许多情况下，为了简便，有些函数如√tan x也可以看做是符合函数，而且此时为了使整个函数具有意义，此时自变量x的取值范围不再是原来x的取值范围，而是其子集。

还有一点就是，内层函数g(x)的值域需要在外层函数f(u)的定义域内，以保证函数整体具有意义。

5、函数的运算在满足两个函数的定义域交集不为空的情况下，函数的运算，如加减乘除满足基本运算。

即：和（差）f±g：(f±g)=f(x)+g(x)积f·g：(f·g)(x)= f(x)·g(x)商fg ：(fg)(x)=f(x)g(x)三、数列的极限1、定义数列极限的定义：设{x n}为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|x n−a |<ε都成立，那么就称常数a 是数列{x n}的极限，或者称数列{x n}收敛于a ，记作：limn→∞x n=a或x n→a (n→∞)对于定义的理解：|x n−a |<ε不等式中，|x n−a |表示x n与a 的距离，若相减得到0，说明此时x n=a ，则ε无限缩小时，x n与a 的值不断接近，但还总是存在距离。

两者无限接近，这也就是极限的概念。

当x n中n无限增大（数列中n>0）时，若存在极限，则数列值应该趋向于一个值（不趋向则发散或趋向于无穷大），关于其中“总存在正整数N”，可以理解为，当ε确定时，只需要再往大出发，则数列值继续向极限值趋向。

为什么是n>N，而不是n< N，因为n需要是正整数，在n值很小时，项的值是确定的注意：定义并不能用来求极限，但是可以用来证明数列的极限。

2、收敛数列的性质定理1（极限的唯一性）：如果数列{x n}收敛，那么它的极限唯一定理2（收敛数列的有界性）：如果数列{x n}收敛，那么数列{x n}一定有界定理3（收敛数列的保号性）：如果数列{x n}极限为a，且a >0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有x n>0（或x n<0）推论：如果数列{x n}从某项起有x n≥0或x n≤0，且数列{x n}极限为a，那么a≥0（或a≤0）定理4（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列{x n}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a注意：收敛数列一定有界，但不一定单调，此处定理不可以数列单调来理解。

四、函数的极限1、函数极限的定义根据数列极限的定义，抛弃n→∞的特殊性，则得出两种情形：（1）自变量x任意地接近于有限值x0或者说趋于有限值x0（x→x0）时，对应的函数值f(x)的变化。

（2）自变量x的绝对值|x|无限增大即趋于无穷大（记作x→∞）时，对应的函数值f(x)的变化。

2、自变量趋于某个值时函数的极限定义：设函数f(x)在点的某一去心邻域内有定义。

如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x−x0|<δ，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作limx→x0f(x)或f(x)→A（当x→x0）在这其中，0<|x−x0|<δ表示x不等于x0，但是彼此又有距离。

3、函数单侧极限若某点x0为其极限值，则从x0左侧趋近或右侧趋近，分别称作函数的左极限与右极限。

统称为单侧极限。

联想坐标轴方向记忆，其中左极限写作：limx→x0−f(x)或f(x−)，右极限写作limx→x0+f(x)或f(x+)。

由此我们可知，函数若要有极限，则左右极限都存在，且为其充分必要条件。

4、自变量趋向于无穷大时函数的极限定义：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。

如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作limx→∞f(x)或f(x)→A（当x→∞）对于定义的理解：5、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）：如果函数limx→x0f(x)存在，那么这极限唯一。

定理2（函数极限的局部有限性）：如果limx→x0f(x)=A，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x−x0|<δ时，有| f(x) |≤M。

定理3（函数极限的局部保号性）：如果limx→x0f(x)=A，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0，使得当0<|x−x0|<δ时，有f(x)>0（或f(x)<0）。

定理3`：如果limx→x0f(x)=A（A≠0），那么就存在着x0的某一去心邻域，当x属于该去心邻域中时，就有| f(x) |>|A|2。

推论：如果在x0的某去心邻域内f(x)>0（或f(x)≤0，而且limx→x0f(x)=A，那么A≥0（或A≤0）。

定理4（函数极限与数列极限的关系）：如果limx→x0f(x)存在，|x n|为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：x n≠x0（n∈N+），那么相应的函数值数列|f(x n)|必收敛，且lim n→∞f(x n)=limx→x0f(x)。

对于定理的理解：6、无穷小与无穷大无穷小：如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小。