工程力学课件 第二章 平面汇交力系

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第2章 平面汇交力系
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第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
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第2章 平面汇交力系
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平面汇交力系的定义：
各力的作用线在同一平面内且相交于一点的 力系。
本章研究的两个问题： 平面汇交力系的合成（简化）和平面汇交力 系的平衡。 研究方法： 几何法和解析法。
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注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个未知 力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴上 的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
y FT O P 30 O P FN x
O
y FT FN
x
P
图(a)
图(b)
这样建立坐标 系FT 和FN相互耦合
Fn
O
FRx x
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两 个坐标轴中每一轴上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个 未知量。
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例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为 固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求 重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
y
F Fx2 Fy2
cos a Fx F F
2 x 2 y
b1 a1 Fy
B Fy A
b
a
F
Fx
Fx b x
cos b
Fy F F
2 x 2 y
O
a
式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。
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2.合力投影定理 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的 代数和。
(3)正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力，
二力构件等）；
(4)合理选取坐标系，列平衡方程并求解；
(5)对结果进行必要的分析和讨论。
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思 考 题 2- 4
如图所示,匀速起吊重P 的预制梁，如果要求
绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问a 角应在什
么范围内？
O Fn F2 F1
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
FR=F1+F2+F3 FR=F1+F2+…+Fn
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2.平衡 平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即 （1） FR=0 ; （2）在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
F2 F1 F4 F2 F3 F1 F3 F4
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3.三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交于同 一点，而且共面。
F2 F12 F1
O
F3
F12=F1+F2
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A D
60
如 图 所 示 ， 重 物 P=20
B
kN ，用钢丝绳挂在支架的滑
轮B上，钢丝绳的另一端绕在
铰车 D 上。杆 AB 与 BC 铰接，
30
并以铰链 A ， C 与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
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B
A
a
P
a
C
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例 题 2- 1
利用三力平衡汇交定理确定铰A处约束 力的方位。
F
A 2m
C
3m
B
解
A FRA C
F B FRB
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思 考 题 2- 1
试指出图示各力多边形中，哪些是自行封闭的？ 哪些不是自行封闭的？如果不是自行封闭，哪个矢
量代表合力？哪些矢量代表分力？
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图(c)
可求得FT
∑Fx=0, FT－P · sin30 =0
。
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思 考 题 2- 3
重量为P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。Biblioteka Baidu问
平衡时是否有FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
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例 题 2- 4
FCB 。 30 。 45 FAB
y B
联立上述两方程，解得：
x mg
FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
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第2章 平面汇交力系 y
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C 。 B
60
45
。
FCB 。 30 。 45 FAB
B
x mg
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
b1 a1 Fy
B Fy A Fx Fx b x F
O
a
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思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力F 沿x、y轴
方向的分力的大小与力F在x、y轴上的投影的大小
是否相等？
y
F
O x
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注意: 力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投 影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
2. 画出受力图。 3. 作出相应的力三角形。
A
4. 由力三角形中量出： FA = 17.0 kN
FB = 10 kN
60º
30º
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§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
y
y
b1 A
B Fy Fy F Fx Fx b x
B
a1
A
O
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A D
60
B
解：取滑轮 B 为研究对象，忽 略滑轮的大小，设 AB受拉， BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
30
F F
P y
x y
0, FAB F1sin 30 F2sin 60 0 0, FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
显然，F1=F2=P 解方程得杆AB和BC所受的力:
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例 题 2- 2
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20 kN， 方向与梁的轴线成60º 角，支承情况如图所示，试求 固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自 重不计。
A
C
a a
B
30º
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第2章 平面汇交力系 B C
a a
30º
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例 题 2- 2
解：1. 取梁AB作为研究对象。
a
b
x
O
a
图(a) 平行光线照射下
物体的影子
图(b) 力在坐标轴上 的投影
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由图知，若已知力 的
大小为F 及其与x轴、y轴的
夹角为a、b，则
b1 a1 Fy B Fy
Fx F cos a
Fy F cos b F sin a
b
A
a
F Fx Fx b x
FR x Fx
FR y Fy
FR FR x FR y
2 2
y
FR y
FR
F1
a
F2
FRx
Fn O x
tan a
FR y FR x
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第2章 平面汇交力系 y F2 FR y FR F1
a
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4.平衡
FR FR x 2 FR y 2 0
FR x Fx 0 FR y Fy 0
FAB 0.366P 7.32 kN (压杆）
x
C
FAB
F2
60
30

FBC
B
F1
FBC 1.366P 27.3 kN (压杆）
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求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤： (1)弄清题意，明确已知量和待求量； (2)恰当选取研究对象，明确所研究的物体；
x1 ab ,x2 bc ,FR x ac FR x x1 x2 FR y y1 y2
同理
O
y C FR A F2
F1
a b
B
c x
FR x x1 x2 FR y y1 y2
xn yn
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3. 合成
O
a
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正 向间夹角的余弦。当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值 ；当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。故力在坐标轴上 的投影是个代数量。
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第2章 平面汇交力系 y
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而如将力F沿正交的x、 y坐标轴方向分解，则所得 分力Fx 、F y 的大小与力F 在相应轴上的投影Fx、Fy的 绝对值相等。但是当Ox、 Oy两轴不正交时，则没有这 个关系。
C y 60
。
B
45
。
FCB 。 30 。 45 FAB
B
x mg
A
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解：取铰B为研究对象，其上作用有三个力：重力mg； BC杆的约束力FCB（设为拉力）及AB杆的约束力FAB （设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0