工程力学课件 第二章 平面汇交力系
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工程力学第二章平面汇交力系
FF
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
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§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
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§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
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第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
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§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
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矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
第二章平面汇交力系ppt课件
⑴选箱盖为研究对象， 画它的受力图
⑵三个力必汇交于吊环 中心A。
⑶画力三角形
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
a TAC
30° W 45° c
b
TAB
如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:
O
F1
A
O
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)平面汇交力系的合成:
应用力的多边形法则:
设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示)
R RX 2 RY2 (417)20(275)20500N0
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
⑵合力的方向:
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
⑴ 按比例先画出封闭的力多边形 ⑵ 用尺和量角器在图上直接量得所要求的
未知量
也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。
例1 起重机吊起的减速箱盖重W＝900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 α＝45°， β ＝30°试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
平面汇交力系PPT课件
刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共 点力系。 本章研究的两个问题：
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
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平面汇交力系
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。
F RF 1F2F3
FRF1F2... Fn
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2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零， 即: FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
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6
3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
平面汇交力系
12
由图知，若已知力 的 大小为F 及其与x轴、y轴的
夹角为a、b，则
FxFcoas
F yF co b s F sa in
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均 为正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力
在坐标轴上的投影是个代数量。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
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19
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg, 悬挂在支架铰接点 B 处， A、C 为固定铰支座，杆 件位置如图示，略去支 架杆件重量，求重物处
于平衡时，AB、BC 杆
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。
F RF 1F2F3
FRF1F2... Fn
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2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零， 即: FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
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3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
平面汇交力系
12
由图知，若已知力 的 大小为F 及其与x轴、y轴的
夹角为a、b，则
FxFcoas
F yF co b s F sa in
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均 为正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力
在坐标轴上的投影是个代数量。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
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例 题 2- 3
重物质量m =10 kg, 悬挂在支架铰接点 B 处， A、C 为固定铰支座，杆 件位置如图示，略去支 架杆件重量，求重物处
于平衡时，AB、BC 杆
平面汇交力系-精品课件
FR 称为原力系的主矢。
（二）主矩 平面附加力偶系（ M1 ， M 2 ，…， M n ）可合成为一个合力偶，合力偶之矩 M O 等于各附加力偶矩的代数和，即 M O ＝ M1 + M 2 +…+ M n ＝ M O ( F1 )＋ M O ( F2 )＋…＋ M O ( Fn )＝∑ M O ( F ) M O 称为原力系对简化中心 O 的主矩，它等于原力系中各力对 O 点之矩的代 数和。
3．力系平衡
这是指 FR ＝0， Mo ＝0 的情况，在§4-3 中对此将作详细讨论。
三、平面一般力系的合力矩定理
合力矩定理 平面一般力系如果有合力， 则合力对该力系作用面内任一点之矩等于 力系中各分力对该点之矩的代数和。
第三节 平面一般力系的平衡方程
第三节 平面一般力系的平衡方程
一、平衡方程的基本形式
• 2．力的平移定理：作用在刚体上某点的力，可以平 行移动到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶， 其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。
• 3．主矢与主矩。 • 4．平面一般力系平衡方程的基本形式和其他形式。 • 5．平面一般力系平衡方程的应用。
以下各分力在轴或轴上的代数和简记为 或），这就是合力投影定理。
小结
• 1．各力的作用线在同一平面内且相交于一 点的力系，称为平面汇交力系。研究平面 汇交力系重点是讨论平衡问题。研究的方 法有：①几何法（矢量法）；②解析法 （投影法）。
• 2. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的合力为零。
• 三、三力平衡汇交定理
• 若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个 力的作用线相交于一点，则三个力的作用 线必汇交于一点，而且共面。
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
（二）主矩 平面附加力偶系（ M1 ， M 2 ，…， M n ）可合成为一个合力偶，合力偶之矩 M O 等于各附加力偶矩的代数和，即 M O ＝ M1 + M 2 +…+ M n ＝ M O ( F1 )＋ M O ( F2 )＋…＋ M O ( Fn )＝∑ M O ( F ) M O 称为原力系对简化中心 O 的主矩，它等于原力系中各力对 O 点之矩的代 数和。
3．力系平衡
这是指 FR ＝0， Mo ＝0 的情况，在§4-3 中对此将作详细讨论。
三、平面一般力系的合力矩定理
合力矩定理 平面一般力系如果有合力， 则合力对该力系作用面内任一点之矩等于 力系中各分力对该点之矩的代数和。
第三节 平面一般力系的平衡方程
第三节 平面一般力系的平衡方程
一、平衡方程的基本形式
• 2．力的平移定理：作用在刚体上某点的力，可以平 行移动到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶， 其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。
• 3．主矢与主矩。 • 4．平面一般力系平衡方程的基本形式和其他形式。 • 5．平面一般力系平衡方程的应用。
以下各分力在轴或轴上的代数和简记为 或），这就是合力投影定理。
小结
• 1．各力的作用线在同一平面内且相交于一 点的力系，称为平面汇交力系。研究平面 汇交力系重点是讨论平衡问题。研究的方 法有：①几何法（矢量法）；②解析法 （投影法）。
• 2. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的合力为零。
• 三、三力平衡汇交定理
• 若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个 力的作用线相交于一点，则三个力的作用 线必汇交于一点，而且共面。
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
工程力学(二)第2章 平面汇交力系
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
60
45
。
A
解：取铰B为研究对象，其上作用有 三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
例 题 2- 3
联立上述两方程，解得： FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
例题 2- 3
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB
y B x mg
60
45
。
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
30o
并以铰链A，C与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
例 题 2-4
A
60o
D
B
解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，设AB受拉，BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
Fx = 0, − FAB + F1sin 30o − F2sin 60o = 0 ∑ Fy = 0, FBC − F1 cos 30o − F2 cos 60o = 0 ∑
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
第2章平面汇交力系.ppt
112.3 N
17
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
例题1
合力FR的大小：
FR FR2x FR2y 171.3 N
合力FR的方向：
y
F2
FR
cos FRx 0.754
FR
cos FRy 0.656
FR
则，FR与x，y 轴的夹角分别为：
60o 30o F1
线过各力的汇交点。其大小和方向为力系
中各个力的矢量和。即
FR Fi
7
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
力多边形
F2
= F1
F3
=
F4 FR
A
FR
几何意义：平面汇交力系的合力即为力多边形的封闭边。
注意：在力多边形中，各分力矢首尾相接，环绕同一 方向，而合力矢则反向封闭力多边形。
8
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
45o O 45o
x
F3
F4
40.99
49.01
18
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
例题2
连杆机构OABC受力P和力F作用而在图示位置平 衡。已知P=4kN，不计杆自重，求力F的大小。
B
解：“B”
FA
P
Fy =0
1200
O
C 600
P ·cos600 - FAB·cos600 = 0
静力学
第二章 力系的等效与简化
1
第二章 力系的等效与简化
基本内容： 1、平面汇交力系的合成 2、平面力偶系的合成 3、平面任意力系的合成
2
第二章 力系的等效与简化
基本要求：
工程力学最新版教学课件第2章
2.3 平面任意力系的简化和平衡
3. 平面任意力系简化结果的讨论 （1） FR ′=0，MO′≠0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 （2）FR′≠0，MO′=0，则作用于简化中心的力FR ′就是原力系的合力，作用线通过简化 中心。 （3）FR ′≠0，MO′≠0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力FR ，经 过新的简化中心O。 平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对力系所在平面内任一点的矩等于其 各分力对同一点的矩的代数和。 （4）FR ′=0，MO′=0，此时力系处于平衡状态。
PS：投影是代数量，有正负之分。
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
PS：力的投影和分力的区别： ➢ 力的投影是代数量，它只有大小和正负； ➢ 而力的分量是矢量，不仅有大小和方向，还有作用点，二者不可混淆。 ➢ 只有当x、y轴相垂直的时候，分力的大小是投影的绝对值。
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
【例2-1】如图所示，分别求各力在x轴和y轴上的投影。
Fx Fy
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
4.平面汇交力系的合成 当平面汇交力系为已知时，可先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影， 再根据合力投影定理求得合力在x、y轴上的投影，即可求得合力。
FR FR2x FR2y ( Fx )2 ( Fy )2 cos FRx Fx
FR FR
平面力系
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
汇交力系——各力作用线汇交于同一点的力系； 平面汇交力系——若汇交力系中各力作用线在同一平面内。
2.1.1 平面汇交力系的合成
1. 力多边形
力的可传递性和力的三角形法则
矢量关系的数学表达式为
FR F1 F2 F3 F4
工程力学课件_02汇交力系教材
F1、F2、F3 如图。
F1 A
F2 F3
F1 A
B F2 C
R D F3
x
(a)
(b)
各力在x 轴上投影：
F1x ab F2x bc F3x dc
合力 R 在x 轴上投影：
Rx ad ab bc dc Rx F1x F2x F3x
F1 A
B F2 C
R D F3
x
a bdc
(b)
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
y
1、力在坐标轴上的投影：
Fx F cos Fy F cos
b´Fy
a´
Oa
F
Fx
B
bx
结论：力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与投 影轴正向间夹角的余弦。
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向：
F
F2 x
F2 y
cos Fx cos Fy
拉力FT=10N，斜面对球的支持力FN =10.732 试求 该球所受的合外力的大小。
FRx FT cos 30 FN cos 60
FRy W FT sin 30 FN sin 60 FRx 0 FRy 0
FR FR2x FR2y 0
Y
Oxy
FT
W
O 30°
X
60°
FN
30°
FRx FT W sin 30 0
的边称为力多边形的封闭边。这种用力多边形求合 力矢的作图规则称为力多边形法则。
用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为汇交 力系合成的几何法。合成中需要注意以下两点： • 合力的作用线必通过汇交点。 • 改变力系合成的顺序，只改变力多边形的形状，并 不影响最后的结果。即不论如何合成，合力是唯一 确定的。
工程力学第二章 平面汇交力
FR 2 FR1 FR 3 Fi
. . . . . .
n
3
. . .
i 1
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
力多边形
力多边形规则
三.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件:
Fi 0
力多边形自行封闭
§2-2 汇交力系的平衡条件解析法 由力的分解得各分力矢量表达式
n n n n FR Fi Fix i Fiy j Fiz k i 1
n
i 1
i 1
i 1
n n X i i Yi j Z i k
i 1 i 1 i 1
合力矢：
n n i 1
FR FRx FRy FRz FRx i FRy j FRz k
例1: 一个梁结构如图，在F力作用下 处于平衡状态，求A，C支座反力。
F
A
l
F
B
30
0
几何法
F
30 0
FB FA
30 0
F 3 FA FB F 0 3 2 cos30
FA
A
l
B
30 0
三力汇交平衡条件： 一物体上作用三个力时平衡，三 力共面和汇交于一点。
FB
解析法
F
1）取梁为研究对象
2）受力分析
B
l
30 0
A
3）分析力系：平面汇交力系 4）列平衡方程解未知力
y
600
x
F
Y 0
x
B
3 F FB sin 60 F sin 30 0 FB 3
. . . . . .
n
3
. . .
i 1
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
力多边形
力多边形规则
三.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件:
Fi 0
力多边形自行封闭
§2-2 汇交力系的平衡条件解析法 由力的分解得各分力矢量表达式
n n n n FR Fi Fix i Fiy j Fiz k i 1
n
i 1
i 1
i 1
n n X i i Yi j Z i k
i 1 i 1 i 1
合力矢：
n n i 1
FR FRx FRy FRz FRx i FRy j FRz k
例1: 一个梁结构如图，在F力作用下 处于平衡状态，求A，C支座反力。
F
A
l
F
B
30
0
几何法
F
30 0
FB FA
30 0
F 3 FA FB F 0 3 2 cos30
FA
A
l
B
30 0
三力汇交平衡条件： 一物体上作用三个力时平衡，三 力共面和汇交于一点。
FB
解析法
F
1）取梁为研究对象
2）受力分析
B
l
30 0
A
3）分析力系：平面汇交力系 4）列平衡方程解未知力
y
600
x
F
Y 0
x
B
3 F FB sin 60 F sin 30 0 FB 3
平面汇交力系课件
2.2 平面汇交力系合成的解析法
2.2.1 力在直角坐标轴上的投影 y
F
Fx Fcos
Fy
b a
Fy Fcos
x
O
Fx
2.2.2 合力投影定理
F F F F 合力投影定理: 合矢量在某一
A Rx轴上的投影等于ix各分矢量在同Ry B
iy 合力的大小为：
一轴上投影的代数和。
C
F F F 2.2.3 平面汇交力系合成的解 2
例2-1
求：CD 杆及铰链A 的受力.
已知：AC=CB，F=10kN,各 杆自重不计；
解：CD为二力杆，取 AB杆，画受力图.
用几何法，画封闭力三 角形.
或
按比例量得
F 2.3 k 8,F N 2.4 2 kN
C
A
例2-2 已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： 1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
BC 1
2
F1 F2 P
FBA7.32k1NFBC2.73k 2N
例2-5 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R A co S sCD co 40 s50
Y0 P R A si n S Cs D4 i0 n 5 0
4. 解方程 由EB=BC=0.4m，
2
析法
R
Rx
Ry
tan FRy Fy
FRx
Fx
F R x F i x F 1 c 3 o F 2 c 0 6 s o F 3 c 0 4 s o F 4 c 5 4 s o 1 . 3 5 N
工程力学ppt 2平面汇交力系和平面力偶系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
工程力学 第二章 平面汇交力系与平面力偶系
D
1 tg 2
E F
45°
FC
45° F FA
FA
A
C
Fc
B
例2-2
求：
已知： P =20kN，R =0.6m， h =0.08m
1.水平拉力F =5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F 至少多大？ 3.力F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
M O2 F , F F d x2 F x2 ' F d Fd
力偶矩的符号 M
2.4.2 同平面内力偶的等效定理
定理：作用在刚体上同一平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。 两个推论： (1) 力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对 刚体的作用效果。换句话说，力偶对刚体的作用与 它在作用面内的位置无关。
找出平面汇交力系合成的合力 F2 F1 F5 F3 F1 F3 F4 F2
F4
2.1.4 平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件：
合力等于零
n FR Fi 0
i 1
平面汇交力系平衡的几何充要条件： 力多边形自行封闭
应用：
横梁在力的作用下处于平衡，已知中点P=50KN， 求A、B约束反力 P 解： A B 25KN 比例尺 10mm 45°
y
Fy β A a B F Fx
a1
O Fx b x 力的起点垂足指向终点垂足 投影为正，反之为负。 与投影轴正向一致
如图，若F=40KN，α=30°，求力在x、y轴上的投影 Fx= 40cos30° KN y Fy= 40sin30° KN Fx= 40cos30° KN Fy= -40sin30° KN
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
工程力学 第2章 平面汇交力系
FR
y
Fi
r r r r F R = F Rx i + F Ry j + F Rz k r r r r F i = F ix i + F iy j + F iz k r r r r F R = ∑ ( F ix i + F iy j + F iz k )
x
13
FRx = ∑ Fx
FRy = ∑ Fy
FR = F + F
2 Rx 2 Ry
= 44.4 KN
θ = arctan
F Ry = 21.80 F Rx
17
( 几何法 ):
10KN
1cm
R
θ
y
F3
600
FR
θ
x
F2
300
o
F3 F2
F1
F1
测量合力 R 的大小和方向 的大小和方向. R=4.4 10=44KN θ = 220
18
三，平衡 平面力系的平衡方程： 平面力系的平衡方程：
F1 F2
F3 F4
求合力 FR
3
F1 F2
F3 F2
F3 F4 F12 F123 FR
F4
F1 F3 F2
F4
FR
F1
4
n 个力的合力: 个力的合力
Fn F3 F1 F2 Fi
FR o
5
结论
汇交力系可以合成为一个合力， 汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 即：合力矢等于各分力矢的矢量和。 合力矢等于各分力矢的矢量和。
26
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
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第2章 平面汇交力系
21
注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个未知 力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴上 的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
y FT O P 30 O P FN x
O
y FT FN
x
P
图(a)
图(b)
这样建立坐标 系FT 和FN相互耦合
x1 ab ,x2 bc ,FR x ac FR x x1 x2 FR y yC FR A F2
F1
a b
B
c x
FR x x1 x2 FR y y1 y2
xn yn
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第2章 平面汇交力系
16
3. 合成
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第2章 平面汇交力系
1
第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
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第2章 平面汇交力系
2
平面汇交力系的定义：
各力的作用线在同一平面内且相交于一点的 力系。
本章研究的两个问题： 平面汇交力系的合成（简化）和平面汇交力 系的平衡。 研究方法： 几何法和解析法。
B
A
a
P
a
C
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第2章 平面汇交力系
27
第2章 平面汇交力系
8
例 题 2- 2
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20 kN， 方向与梁的轴线成60º 角，支承情况如图所示，试求 固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自 重不计。
A
C
a a
B
30º
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第2章 平面汇交力系 B C
a a
30º
9
例 题 2- 2
解：1. 取梁AB作为研究对象。
FR x Fx
FR y Fy
FR FR x FR y
2 2
y
FR y
FR
F1
a
F2
FRx
Fn O x
tan a
FR y FR x
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第2章 平面汇交力系 y F2 FR y FR F1
a
17
4.平衡
FR FR x 2 FR y 2 0
FR x Fx 0 FR y Fy 0
a
b
x
O
a
图(a) 平行光线照射下
物体的影子
图(b) 力在坐标轴上 的投影
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第2章 平面汇交力系 y
11
由图知，若已知力 的
大小为F 及其与x轴、y轴的
夹角为a、b，则
b1 a1 Fy B Fy
Fx F cos a
Fy F cos b F sin a
b
A
a
F Fx Fx b x
y
F Fx2 Fy2
cos a Fx F F
2 x 2 y
b1 a1 Fy
B Fy A
b
a
F
Fx
Fx b x
cos b
Fy F F
2 x 2 y
O
a
式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。
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第2章 平面汇交力系
15
2.合力投影定理 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的 代数和。
b1 a1 Fy
B Fy A Fx Fx b x F
O
a
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第2章 平面汇交力系
13
思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力F 沿x、y轴
方向的分力的大小与力F在x、y轴上的投影的大小
是否相等？
y
F
O x
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第2章 平面汇交力系
14
注意: 力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投 影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
2. 画出受力图。 3. 作出相应的力三角形。
A
4. 由力三角形中量出： FA = 17.0 kN
FB = 10 kN
60º
30º
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第2章 平面汇交力系
10
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
y
y
b1 A
B Fy Fy F Fx Fx b x
B
a1
A
O
图(c)
可求得FT
∑Fx=0, FT－P · sin30 =0
。
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第2章 平面汇交力系
22
思 考 题 2- 3
重量为P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。试问
平衡时是否有FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
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第2章 平面汇交力系
23
例 题 2- 4
FAB 0.366P 7.32 kN (压杆）
x
C
FAB
F2
60
30
FBC
B
F1
FBC 1.366P 27.3 kN (压杆）
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第2章 平面汇交力系
25
求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤： (1)弄清题意，明确已知量和待求量； (2)恰当选取研究对象，明确所研究的物体；
O Fn F2 F1
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第2章 平面汇交力系
3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
FR=F1+F2+F3 FR=F1+F2+…+Fn
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第2章 平面汇交力系
4
2.平衡 平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即 （1） FR=0 ; （2）在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
O
a
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正 向间夹角的余弦。当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值 ；当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。故力在坐标轴上 的投影是个代数量。
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第2章 平面汇交力系 y
12
而如将力F沿正交的x、 y坐标轴方向分解，则所得 分力Fx 、F y 的大小与力F 在相应轴上的投影Fx、Fy的 绝对值相等。但是当Ox、 Oy两轴不正交时，则没有这 个关系。
(3)正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力，
二力构件等）；
(4)合理选取坐标系，列平衡方程并求解；
(5)对结果进行必要的分析和讨论。
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第2章 平面汇交力系
26
思 考 题 2- 4
如图所示,匀速起吊重P 的预制梁，如果要求
绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问a 角应在什
么范围内？
Fn
O
FRx x
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两 个坐标轴中每一轴上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个 未知量。
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第2章 平面汇交力系
18
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为 固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求 重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
F2 F1 F4 F2 F3 F1 F3 F4
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第2章 平面汇交力系
5
3.三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交于同 一点，而且共面。
F2 F12 F1
O
F3
F12=F1+F2
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第2章 平面汇交力系
6
C y 60
。
B
45
。
FCB 。 30 。 45 FAB
B
x mg
A
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第2章 平面汇交力系
19
解：取铰B为研究对象，其上作用有三个力：重力mg； BC杆的约束力FCB（设为拉力）及AB杆的约束力FAB （设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
24
A D
60
B
解：取滑轮 B 为研究对象，忽 略滑轮的大小，设 AB受拉， BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
30
F F
P y
x y
0, FAB F1sin 30 F2sin 60 0 0, FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
显然，F1=F2=P 解方程得杆AB和BC所受的力:
A D
60
如 图 所 示 ， 重 物 P=20
B
kN ，用钢丝绳挂在支架的滑
轮B上，钢丝绳的另一端绕在
铰车 D 上。杆 AB 与 BC 铰接，
30
并以铰链 A ， C 与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
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第2章 平面汇交力系
例 题 2- 1
利用三力平衡汇交定理确定铰A处约束 力的方位。
F
A 2m
C
3m
B
解
A FRA C
F B FRB
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