(完整版)圆锥曲线大题归类

圆锥曲线大题归类

一．定点问题

例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程；

(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →

＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．

[解析] (1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)，

直线AF 的方程为x

c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得

|3＋c －c |

c 2＋1

＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2

＝1.

(2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1

k x ＋1.

联立⎩⎨⎧

y ＝kx ＋1，x 23＋y 2

＝1，

整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，

解得x ＝0或x ＝－6k

1＋3k 2

，

故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2

1＋3k 2

)，

同理，点Q 的坐标为(6k

k 2＋3，k 2－3k 2＋3)

∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－

1－3k 2

1＋3k 26k k 2＋3－

－6k 1＋3k 2＝k 2－1

4k ，

∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k

k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3，

即y ＝k 2－14k x －12.

∴直线l 过定点(0，－1

2)．

方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)，

联立⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝kx ＋t ，x 23

＋y 2

＝1，

整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＋x 2＝－6kt

1＋3k 2，

x 1x 2＝3(t 2－1)

1＋3k 2，(*)

由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0，

得·＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝0， 将(*)代入，得t ＝－1

2， ∴直线l 过定点(0，－1

2)．

例2.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－1

2，求证：直线AB 过x 轴上一定点． [解析] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p

2＝1，所以p ＝2.

所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .

(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A (t 24，t )，B (t 2

4，－t )．

因为直线OA ，OB 的斜率之积为－1

2， 所以t t 24·－t t 24

＝－1

2，化简得t 2＝32.

所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.

②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎨⎧

y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.

根据根与系数的关系得y A y B ＝4b

k ，

因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B

＝－1

2，

即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B

4＋2y A y B ＝0，

解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4b

k ＝－32，即b ＝－8k ， 所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)． 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 二．定值问题

例3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，

0)，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.导学号 30072628

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2定值． [解析] (1)依题意，由已知得c ＝2，则a 2－b 2＝2，

由已知易得b ＝|OM |＝1，所以a ＝3，所以椭圆的方程为x 23＋y 2

＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，不妨设A (1，63)，B (1，－6

3)，则k 1＋k 2＝2－632＋2＋63

2＝2为定值．

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝k (x －1)，x 23

＋y 2

＝1，得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，

依题意知，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6k 2

3k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1，又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，

所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)

(3－x 1)(3－x 2)