圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)

圆锥曲线解题方法技巧归纳

一、知识储备：

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离002

2

Ax By C d A B

++=

+

③夹角公式：21

21

tan 1k k k k α-=+ ④两直线距离公式

（3）弦长公式

直线y kx b =+与圆锥曲线两交点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或122

1

1AB y y k =+

- (若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。) （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且

2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式（三种形式）

标准方程：

22

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且 距离式方程：2

2

2

2

()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：

22

1(0)x y m n m n

+=⋅< 参数方程：

距离式方程：2

2

2

2

|()()|2x c y x c y a ++--+=

(3)、三种圆锥曲线的通径

22

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义

(5)、焦点三角形面积公式：122

tan

2

F PF P b θ

∆=在椭圆上时，S 122cot

2

F PF P b θ

∆=在双曲线上时，S

（其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅）

(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，

可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22

p p

x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形 二、方法储备

1、点差法（中点弦问题） 设

()11,y x A 、()22,y x B ，

的弦AB 中点则有

两式相减得

⇒

()()

()()

3

4

21212121y y y y x x x x +--

=+-⇒AB k =

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果

有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判

别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、

F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542

2

=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0

90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0

90

可得出AB ⊥AC ，从而得

016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；

解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2

y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有

116

20,1162022

222121=+=+y x y x 两式作差有

16)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04

500=+k

y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由

2321=+x x ，得30=x ，由03

4

21=++y y 得20-=y ，代入（1）得5

6

=

k 直线BC 的方程为02856=--y x

2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2）

设直线BC 方程为8054,2

2

=++=y x b kx y 代入，得080510)54(2

2

2

=-+++b bkx x k

2

215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-=

2

2

22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 0541632922=+--k b b ，解得)(4舍=b 或9

4

-=b