信号与系统零状态响应求解及系统全响应分析

⏹经典法⏹双零法☐零输入响应☐零状态响应⏹变换域法特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由初始条件(0-)→零输入响应方法①：先求解冲激响应h(t)，再计算零状态响应h(t)*f(t) 。

方法②：将输入信号等效为某虚拟系统的冲激响应，然后求解系统和虚拟系统的总响应，得到零状态响应。

单位冲激响应(复习)()()n n m m n m m p a p a p a h t b p b p b p b t −−−−++++=++++11110110()()δ h(t ) 的表达式：①与特征根有关当为无重根单根形式时有：①与n,m相对大小有关●当n > m 时，h (t )中不含δ(t )及其各阶导数●当n=m 时，h (t )中应包含δ(t )●当n < m 时，h (t )中应包含δ(t )及其各阶导数1(?)()k nt k k h A e u t t λ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+∑零输入/零状态的求解方法；全响应分析零输入/零状态的求解方法；全响应分析1.掌握零输入/零状态响应的求解方法2.掌握系统的全响应模式方法一（掌握）：卷积法求解，在求解冲激响应的基础上，利用卷积求解。

双零法零输入特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由0-时刻的初始条件计算系数求解冲激响应，通过卷积计算任意输入信号的响应零状态零状态()f t()()*()fy t f t h t=零状态响应5、零状态响应的求解初始状态为零时，输出y(t)完全由输入f(t)决定，此时y(t)=yf(t)。

零状态响应可以由三种方法得到。

()i h t τ−()i t δτ−时不变()()i i i f t ττδτΔ−(())i i i h t f τττΔ−线性()()i i i i f t ττδτ∞=−∞Δ−∑可加性()()i i i i h t f τττ∞=−∞−Δ∑i i i idt τττττΔ→Δ连续变化（0），用代替,并用替换()()f t d τδττ∞−∞−⎰)(()f d h t τττ∞−∞−⎰线性时不变()()()f t d f t τδττ∞≡−=⎰()()()==h t f t y t ∗零状态卷积法的由来：LTI系统的性质5、零状态响应的求解卷积法求解零状态响应：线性时不变系统的性质若系统为因果系统, 即h (信号，则有0(()(tf t f h τ⎰方法二（熟练掌握）：将输入信号f (t )看做某个系统的冲激响应的，此时f (t )通过系统的响应等于：①冲激信号经过h 1(t )=f (t )的系统②再通过冲激响应为h (t )的系统的响应③列写h all (t )=f (t )*h (t )的算子方程④利用2.6中冲激响应求解法得h all (t )，即有y f (t )=h all (t )()f t ()()*()f y t f t h t =零状态()f t all ()()*()h t f t h t =5、零状态响应的求解零状态()f t ()()*f y t f t =零状态响应非常重要：①系统分析的大问题；②概念容易混淆。

系统全响应系统全响应= 零输入响应+ 零状态响应（Zero-input）（Zero-state）= 自然响应+ 强迫响应（Natural）（Forced）= 瞬态响应+ 稳态响应（Transient-state）（Steady-state）()()11110110()()()()()()nn mm n m m pa pa p ab p b py t f t D p y t N p f t b p b −−−−++++=++++= 根据全响应的特点，在分析系统时，常用三种划分方法。

零输入响应：y x (t )完全由D (p )=0的特征根对应的响应模式得到。

零状态响应：y f (t )由与初始状态无关。

()()()x f y t y t y t =+1、系统全响应= 零输入响应+ 零状态响应()()11110110()()()()()()nn mm n m m pa pa p ab p b py t f t D p y t N p f t b p b −−−−++++=++++=)t (i 12F 列写微分方程12λλ=。

由KVL))]−−=223()()()5552015零输入响应零状态响应tttttzi zs i t i t i t e e e e e −−−−−=+=−+−+−()()()n y t y t y t ϕ=+223()()()5552015()t t t t tx y i t i t i t e e e e e u t −−−−−⎡⎤=+=−+−+−⎢⎥⎢⎥⎣⎦零输入响应零状态响应上例中，系统的特征根为：23()3()2()10()tp i t pi t i t p e u t −⎡⎤++=⎣⎦1212=−=−λλ，全响应中的e -t 和e -2t 项与激励信号e -3t 项无关，只与系统本身的特性，即微分方程的特征模式有关。

这种有系统特征模式决定的响应被被称为自然响应或自由响应，通常表示为y n (t )（对应经典法中的齐次解）。

全响应中的e -3t 项完全由激励信号决定，通常被称为强迫响应，表示为y ϕ(t ) 。

（对应经典法中的特解）2、系统全响应= 自然响应+ 强迫响应223()55520150t t t t ty t e e e e e t −−−−−=−+−+−≥零状态响应零输入响应自然响应强迫响应零输入响应= 一部分自然响应零状态响应= 另一部分自然响应+ 强迫响应注意：系统全响应中，零输入响应和零状态响应共同作用，有可能会产生系统齐次解中不存在的特解，也有可能抵消掉一些自然响应项。

()y t ϕ()n y t 2、系统全响应= 自然响应+ 强迫响应223()55520150t t t t t y t e e e e e t −−−−−=−+−+−≥零状态响应零输入响应自然响应强迫响应全响应中的e -t 、e -2t 与e -3t 项随着时间的增加而衰减，并最终会消失。

这种响应被称为瞬态响应。

瞬态响应系统全响应中那些随着时间的增加一直保留的分量称为稳态响应。

本例的全响应中，无稳态响应分量。

系统全响应= 瞬态响应+ 稳态响应3、系统全响应= 瞬态响应+ 稳态响应3()2()(),(0)t py t y t e u t y a−+==例2：设系统输入输出关系和初始条件分别为容易得到：223()()()()5()5()x f t t ty t y t y t ae u t e u t e u t −−=+=−+稳态响应瞬态响应3、系统全响应= 瞬态响应+ 稳态响应∞−∞<∞ττ()h d稳态响应与稳定系统①稳定系统的自然响应是瞬态响应；②输入信号随时间增长而衰减，强迫响应是瞬态的；③不稳定系统的自然响应中有稳态响应；④输入信号不随时间增长而衰减，强迫响应是稳态响应。

稳定系统自然响应全部是瞬态响应，即自然响应没有稳态响应充要条件稳态响应与稳定系统223()55520150t t tt ty t e e e e e t −−−−−=−+−+−≥ 零状态响应零输入响应 自然响应强迫响应瞬态响应2()(2)()t t h t e e u t −−=−+该系统为稳定系统数学模型:用常系数微分方程来描述系统全响应= 零输入响应+ 零状态响应系统特征模式的线性组合零状态响应:()()()()zs f t y t f t h t →=∗零输入响应:系统全响应= 零输入响应+ 零状态响应= 自然响应+ 强迫响应= 瞬态响应+ 稳态响应系统稳定性：自然响应全部为瞬态响应，或系统单位冲激响应是绝对可积。

连续LTI系统的时域分析法小结本章作业补充知识阶跃响应()()u t g t → 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。

()t δ()h t ()u t ()g t 我们可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。

线性时不变系统满足微、积分特性()()d ,()()d t tu t g t h δττττ−∞−∞=∴=⎰⎰【例1】全响应的三种解法3()(),(0)1,(0)1t f t e u t y y −−−′===求系统()3()2()2()()y t y t y t f t f t ′′′′++=+已知：的全响应，【解】：方法三：变换法（以后学习）。