期权定价模型

由于μ和σ是常数，S显然服从
，
的伊藤过程，我
们可以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。
令
，则
代入式
我们就可得到
所
遵循的随机过程为
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值
，方差为
的正态分布。
11.2.股4 票价格的变化过程：几何布朗运动
从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动 ，则有
• 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维 纳过程是一个马尔可夫随机过程
• 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次 变分（Quadratic Variation）不为零的性质， 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质 也是相符的
市场有效理论与随机过程
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为 ，证券价格对新的市场信息的反应 是迅速而准确的，证券价格能完全 反应全部信息。
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
11.3
伊藤过程与伊藤引理
**随机微积分与非随机微积分的差别
案例11.1
运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程
假设变量S服从
其中μ和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？
1 从自然对数的定义域可知，S不能为负数。 2 股票价格的对数服从普通布朗运动，股票价格和连续复利收 益率服从对数正态分布
11.2.股4 票价格的变化过程：几何布朗运动
3. T－t期间年化的连续复利收益率可以表示为
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
• 由于源自文库生产品价格是标的资产价格和时 间的函数，因此随机过程在衍生产品分 析中扮演重要的角色。
11.2.股4 票价格的变化过程：几何布朗运动
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示：
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
11.2.1
布朗运动
布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学家 布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率 分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是
一致的。
11.2.1
布朗运动
标准布朗运动的扩展：普通布郎运动，令漂移 率为a，方差率为b2，：
or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动 态过程： adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间 为a； bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添 加的噪音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且 这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
根据众多学者的实证研
究，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假 说。一般认为，弱式效率 市场假说与马尔可夫随机 过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来刻 画股票的这种特征。
• 1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预 测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获 得超过平均收益率的收益。
这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个 标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率 为a，方差率为b2。
11.3
伊藤过程与伊藤引理
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导 出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如 下过程：
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理 。
期权定价模型
2020年5月27日星期三
1布1.莱1 克-休尔斯-莫顿期权定价模型基本思路
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势 。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已 知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情 况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票 价格是影响期权价格的最根本因素。
11.2.1
布朗运动
普通布朗运动的离差形式为
，显然，Δx也
具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为
1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值 为aT，标准差为 ，方差为b2T。
2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。
11.3
伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可 以得到
• 根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效 率市场假说。
一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中， 只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量 从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
• 2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获 得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息 以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券 。
• 3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获 得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信 息”）对挑选证券都没有用处。
标准布朗运动两大特征：
特征1
(正态分布)
特征2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值 相互独立。(独立增量）
维纳过程的性质
• [z (T ) – z (0)]也是正态分布
– 均值等于 0 – 方差等于T – 标准差等于 – 方差可加性
为何使用布朗运动？
• 正态分布的使用：经验事实证明，股票价格 的连续复利收益率近似地服从正态分布