期权定价模型
《期权定价模型》课件
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
期权定价模型及其应用
期权定价模型及其应用引言期权是金融市场中一种重要的金融衍生品，它给予持有人在未来某个时间点以特定价格购买或出售某个资产的权利。
在期权交易中，合理的定价模型对于投资者和交易者来说至关重要。
本文将介绍期权定价模型的基本原理，并探讨其在金融市场中的应用。
一、期权定价模型的基本原理1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是最著名的期权定价模型之一，它是由费舍尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的。
该模型基于一些假设，如市场无摩擦、无风险利率恒定、资产价格服从几何布朗运动等。
通过这些假设，Black-Scholes模型可以计算出欧式期权的理论价格。
2. 布莱克-斯科尔斯-默顿模型布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对Black-Scholes模型的改进，它考虑了股票支付的股利和股票价格的波动率。
该模型的应用范围更广，可以用于定价包括股票支付股利的期权。
3. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机模拟的定价方法，它通过生成大量随机路径来估计期权的价值。
蒙特卡洛模拟可以应用于各种类型的期权，包括美式期权和亚式期权。
二、期权定价模型的应用1. 期权定价期权定价模型可以帮助投资者和交易者确定期权的合理价格。
通过使用合适的定价模型，投资者可以判断期权是否被低估或高估，从而做出相应的投资决策。
例如，当一个看涨期权的市场价格低于其理论价格时，投资者可以考虑购买该期权以获取超额收益。
2. 风险管理期权定价模型在风险管理中起着重要的作用。
通过使用期权定价模型，投资者可以计算出对冲策略，以降低投资组合的风险。
例如，一个投资者持有某个股票，并购买相应的看跌期权作为对冲，当股票价格下跌时，看跌期权的价值上升，从而抵消了股票的损失。
3. 交易策略期权定价模型可以帮助交易者制定有效的交易策略。
通过分析期权的定价，交易者可以发现市场上的套利机会，并进行相应的交易。
例如，当一个看涨期权的市场价格低于其理论价格时，交易者可以同时购买该期权和相应的标的资产，从而获得无风险的套利收益。
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
金融学中的期权定价模型
金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。
期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。
本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。
根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。
该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。
风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。
该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。
根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。
相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。
需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。
实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。
总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
期权定价模型
:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益 率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波 动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越 近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数 计算波动率而不采用日历天数。
19
1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 2 / 2 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
当股票价格服从几何布朗运动 dS Sdt Sdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
dG ( G S G 1 2G 2 S 2 )dt G Sdz
S
t 2 S 2
S
比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和 股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于 以后推导衍数G将遵循如
下过程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
12
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
期权定价模型和数值方法
期权及其有关概念
3． 期权旳内在价值 买入期权在执行日旳价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表达行权价；ST表达标旳资产旳市场价。 卖出期权在执行日旳价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权旳行权价与标旳资产市场价之间旳关系，期权可分为价内期权（in the
money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
4. 珞（Rho）ρ ρ为期权旳价值随利率波动旳敏感度，利率增长，使期权价值变大。
5. 伽玛（Gamma）Γ Γ 表达δ与标旳资产价格变动旳关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格旳体现式：
式中：
隐含波动率是将市场上旳期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来旳波动率数值。因为期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间旳 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权旳实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就能够从中解出惟一旳未知量，其大小就是隐含波动率。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
环节3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 [Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
期权投资中的期权定价模型与风险中性估值
期权投资中的期权定价模型与风险中性估值期权是金融衍生品中重要的一种工具，它赋予持有者在未来某个时间以约定价格买入或卖出标的资产的权利。
为了准确定价期权合约并评估其风险，金融学家们提出了多种期权定价模型和风险中性估值方法。
1. 期权定价模型期权定价模型是对期权市场价值进行估计的数学模型。
其中最为经典的模型是BSM期权定价模型（Black-Scholes-Merton Model）。
BSM模型基于以下假设：- 市场具有无风险利率，期权交易无限制，并且期权的期限内无股息支付；- 资产价格连续且遵循几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）；- 市场无摩擦，投资者可以实施无限制的买卖交易。
根据BSM模型，最基本的欧式看涨期权（Call Option）定价公式为：C = S0 * N(d1) - X * exp(-r * T) * N(d2)其中，- C为期权的价格；- S0为标的资产的当前价格；- N为标准正态分布函数；- d1和d2的计算公式为：d1 = (ln(S0 / X) + (r + σ^2 / 2) * T) / (σ * s qrt(T))d2 = d1 - σ * sqrt(T)- X为期权的行权价格；- r为连续复利无风险利率；- σ为标的资产的波动率；- T为期权的剩余到期时间。
BSM模型为分析和定价欧式期权提供了理论基础，但在实际应用中，由于市场的不完美性和各种假设条件的不成立，通常需要结合其他模型和修正来增加其定价的准确性。
2. 风险中性估值风险中性估值是一种基于风险中性假设的期权定价方法。
风险中性假设认为市场参与者在无风险收益率下对所持有的所有风险资产的期望收益为相同的值。
基于风险中性估值，可以通过消除风险，把期权定价问题转化为无套利机会的定价问题。
在风险中性估值框架下，可以运用风险中性概率来计算期权价值。
对于欧式期权而言，其价格通过期权价值与风险中性概率的乘积来计算。
布莱克-舒尔斯期权定价模型
布莱克-舒尔斯期权定价模型布莱克-舒尔斯期权定价模型是一种用于计算欧式期权的理论定价模型。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克和麦伦·舒尔斯提出，并且在同年被罗伯特·默顿-米勒进一步完善和发展。
布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本原理是通过建立股票和债券的投资组合，获得一个无风险的合成证券，该合成证券与欧式期权具有相同的收益率。
该模型的关键假设包括资产价格满足几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本和无道德风险等。
根据这些假设，布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本公式可以表示为：C = S*N(d1) - X*e^(-rt)*N(d2)，其中C表示期权的价格，S是标的资产（如股票）的当前价格，X是期权的行权价格，r是无风险利率，t是期权的剩余期限，e是自然常数（约等于2.71828），N(d1)和N(d2)分别表示标准正态分布的累积分布函数。
在该公式中，d1=(ln(S/X) + (r+σ^2/2)t) / (σ*√t)，d2=d1-σ*√t。
其中σ是标的资产的波动率，它衡量标的资产的波动程度。
布莱克-舒尔斯期权定价模型的优点是可以较为准确地计算欧式期权的理论定价，并且可以用于不同类型的期权，如看涨期权、看跌期权等。
它在金融市场中得到了广泛的应用，并为投资者和金融机构提供了重要的参考依据。
然而，布莱克-舒尔斯期权定价模型也存在一些限制。
首先，该模型基于一系列假设，不一定适用于所有市场和资产。
其次，该模型仅适用于欧式期权，而不适用于美式期权等其他类型的期权。
最后，该模型假设市场无摩擦和无道德风险，这在实际市场中并不总是成立。
综上所述，布莱克-舒尔斯期权定价模型为计算欧式期权的理论价格提供了一个重要的工具，但在实际应用中需要对假设进行谨慎评估，并结合其他方法进行综合分析和决策。
布莱克-舒尔斯期权定价模型是金融领域中非常重要且广泛应用的一种定价模型。
它的提出对于金融市场的发展和期权的交易产生了巨大的影响。
期权定价模型介绍
期权定价模型介绍期权是指其中一方在合约规定的时间内，以合约规定的价格购买（或出售）一定数量的标的资产的权利。
期权作为一种金融衍生品，其价格可以由期权定价模型来确定。
期权定价模型的目标是为了找出一个公平的价格，使买方和卖方在交易中没有不利的地位。
最早的期权定价模型是1973年由Black、Scholes和Merton提出的Black-Scholes-Merton模型（BSM模型）。
该模型假设市场中不存在无风险套利的机会，并且标的资产的价格满足几何布朗运动。
BSM模型使用了随机微分方程与偏微分方程的方法，利用股票价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产波动率以及到期时间等变量来计算期权的价格。
BSM模型的基本原理是将期权的价值分解为两个部分：delta和vega。
Delta表明期权价格对标的资产价格的变动的敏感度，而vega则表明期权价格对波动率的变动的敏感度。
BSM模型通过动态对冲策略来调整delta的大小，并通过对冲操作来避免无风险套利的机会。
BSM模型的假设条件是非常严格的，因此它并不适用于所有的情况。
后续的研究对BSM模型进行了改进和扩展，提出了多种不同的期权定价模型。
其中比较有代表性的是二叉树模型、蒙特卡洛模型和波动率曲面模型等。
二叉树模型使用一个二叉树来模拟标的资产价格的随机过程。
从根节点开始，每一步向上或向下移动，直到到达期权到期日。
通过计算每一步的价格和概率，可以得到到期时期权的价值。
二叉树模型相对于BSM模型的优势是更加灵活，可以处理更加复杂的市场情况。
蒙特卡洛模型通过模拟大量的随机路径来估计期权的价格。
在每一个时间步骤上，生成一个随机数，根据随机数和标的资产价格的变动方程计算出未来的价格。
重复这一过程，最终可以得到到期时期权的价值的分布。
蒙特卡洛模型的优势是可以处理更加复杂的市场情况，但计算量较大。
波动率曲面模型使用波动率曲面来刻画标的资产价格波动率与期限之间的关系。
该模型认为波动率并不是恒定的，而是根据期限的不同而变化的。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
其中：D表示期权有效期内红利的现值
Sichuan University
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在பைடு நூலகம்来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
Sichuan University
3、股价过程是马尔科夫过程等于股票市场的弱有效性。
Sichuan University
二、随机过程
➢（二）标准布朗运动或维纳过程： 变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为Δt，
定义Δz为在Δt时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须 满足两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式:
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
所以有： XerT p 。
如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以 无风险利率进行投资，可以轻易获得无风险收益。
期权定价理论
期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。
它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。
这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。
期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。
布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。
布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。
通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。
这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。
这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。
需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。
市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。
此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。
总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。
布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。
然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。
期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。
期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。
Black-Scholes期权定价模型
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为何证券价格能够用几何布朗运动表 达？
一般认同旳“弱式效率市场假说”：
证券价格旳变动历史不包括任何对预测证券价格将来变动有用旳信 息。
马尔可夫过程：只有变量旳目前值才与将来旳预测有关，变量过去 旳历史和变量从过去到目前旳演变方式与将来旳预测无关。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
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结论
几何布朗运动很好地描绘了股票价格旳运动过 程。
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参数旳了解
μ：
几何布朗运动中旳期望收益率，短时期内旳期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券旳系统性风险、无风险利
连续复利收益率旳问题：尽管时间序列旳收益率加总能够很轻易旳实现；但是 横截面旳收益率加总则不是单个资产收益率旳加权平均值，因为对数之和不是 和旳对数。但是在很短时间内几乎能够以为是近似。JP摩根银行旳 RiskMetrics措施就假定组合旳收益率是单个资产连续复利收益率旳加权平均。
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Black-Scholes期权定价模型
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Black-Scholes期权定价模型旳基本思绪
期权是标旳资产旳衍生工具，其价格波动旳起源就是标旳资产价 格旳变化，期权价格受到标旳资产价格旳影响。
标旳资产价格旳变化过程是一种随机过程。所以，期权价格变化 也是一种相应旳随机过程。
布莱克 斯科尔斯期权定价模型
经济领域术语
01 发展历程
03 定价方法
目录
0--由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为，只有股价的当前值与未 来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期 限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
理论前驱
理论前驱
1、巴施里耶（Bachelier，1900） 巴施里耶2、斯普伦克莱（Sprenkle,1961） 3、博内斯(Boness，1964） 4、萨缪尔森（Samuelson,1965）
定价方法
定价方法
（1）Black—Scholes公式 （2）二项式定价方法 （3）风险中性定价方法 （4）鞅定价方法等
主要模型
B-S模型
二项式模型
B-S模型
期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时， 此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任 何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能 获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价 本质上就是无套利定价。
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假设条件 1、标的资产价格服从对数正态分布； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
二项式模型
二项式模型的假设主要有： 1、不支付股票红利。 2、交易成本与税收为零。 3、投资者可以以无风险利率拆入或拆出资金。 4、市场无风险利率为常数。 5、股票的波动率为常数。 假设在任何一个给定时间，金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降。如果资产价格在时间t的价格为S， 它可能在时间t+△t上升至uS或下降至dS。假定对应资产价格上升至uS，期权价格也上升至Cu，如果对应资产价 格下降至dS，期权价格也降至Cd。当金融资产只可能达到这两种价格时，这一顺序称为二项程序。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融学中一种重要的定价工具，用于估计期权的合理价值。
期权是金融衍生品的一种，它为买方提供了在未来某个时间以特定价格购买或出售标的资产的权利，而无需承担义务。
期权定价模型的主要目的是通过考虑不同的因素，如标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、波动率等，来计算期权的合理价格。
传统上，期权定价模型主要分为两类：基于风险中性定价（Risk-neutral pricing）的模型和基于实物资产价格和风险度量的模型。
其中，最著名的模型包括布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型和它的变体。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是由费希尔·布莱克、默顿·米勒和罗伯特·斯科尔斯于20世纪70年代提出的。
该模型基于以下几个假设：1）市场是完全的，不存在交易费用和税收；2）资产的价格满足几何布朗运动；3）没有风险套利机会；4）无风险利率和波动率是已知且恒定的。
根据布莱克-斯科尔斯模型，期权的定价公式如下：C = S(t)e^(-qt)N(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - S(t)e^(-qt)N(-d1)其中，C表示买方购买的看涨期权的价格，P表示买方购买的看跌期权的价格，S(t)为资产在当前时间的价格，X为行权价格，r为无风险利率，t为到期时间，q为股息率，N(d1)和N(d2)为标准正态分布的累积分布函数，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S(t)/X) + (r - q + σ^2/2)t) / (σsqrt(t))d2 = d1 - σsqrt(t)其中，σ为资产的波动率。
布莱克-斯科尔斯模型的优点是计算简单，结果直观易懂。
然而，该模型的假设有时不符合实际情况，特别是在市场不完全时。
因此，研究人员开发了各种变体模型，以修正或扩展布莱克-斯科尔斯模型的假设。
此外，还有其他的期权定价模型，如二叉树模型、蒙特卡洛模拟、期权隐含波动率等。
布莱克斯克尔斯期权定价模型
布莱克斯克尔斯期权定价模型汇报人：日期:目录CATALOGUE•引言•布莱克斯克尔斯模型原理•模型应用•模型优势与局限•布莱克斯克尔斯模型与其他模型的比较•未来展望与研究方向01 CATALOGUE引言1背景介绍23布莱克斯克尔斯模型起源于1973年，由费雪·布莱克斯克尔斯（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出。
当时，该模型是为了解决金融衍生品，特别是期权定价的问题而建立的。
金融衍生品是一种金融合约，其价值取决于其他金融资产或指标。
模型发展历程布莱克斯克尔斯模型的发展得益于许多重要的突破，其中包括无套利原则：模型利用无套利原则，这意味着在市场上不能通过买卖资产来赚取无风险利润。
欧式期权定价：该模型适用于欧式期权，即只能在到期日行使的期权。
随机过程：模型运用随机过程来描述股票价格的变化。
模型应用领域布莱克斯克尔斯模型被广泛应用于金融衍生品市场，包括期权：该模型用于定价欧式和美式期权。
互换：该模型用于定价利率互换和其他类型的互换合约。
其他衍生品：该模型还可用于定价其他金融衍生品，如期货、认股权证等。
02CATALOGUE布莱克斯克尔斯模型原理基础概念布莱克斯克尔斯模型是一种用于定价欧式期权的数学模型，该模型基于随机过程，并使用偏微分方程来描述。
在该模型中，期权价格被表示为时间t和股票价格S的函数，用C(t,S)表示。
股票价格服从几何布朗运动，即dS = μSdt + σSdwt，其中μ是股票的预期收益率，σ是股票的波动率，wt是威纳过程。
布莱克斯克尔斯模型的期权定价公式为：C(t, S) = SN(d1) - Ke^(-r)(T-t)N(d2)，其中N是正态分布函数，d1和d2是由模型参数确定的公式。
d2 = d1 - σ√(T - t)K 是期权的执行价格，r 是无风险利率，T 是到期时间，t 是当前时间，σ是股票的波动率。
d1 = (ln(S/K) + (r + 0.5σ^2)(T - t)) / (σ√(T - t))期权定价公式参数确定方法参数σ（波动率）通常由历史数据估计得出，也可以使用市场波动率作为其近似值。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是用于计算期权价格的数学模型。
它的目的是通过考虑不同的因素和变量来估计期权价格，以便投资者可以在进行期权交易时做出明智的决策。
期权是一种金融工具，给予购买者在特定期限内以约定价格购买或出售某种资产的权利。
期权分为两种类型：看涨期权和看跌期权。
看涨期权授予购买者在未来某个时间点以约定价格购买资产的权利，而看跌期权则授予购买者在未来某个时间点以约定价格出售资产的权利。
期权定价模型最为被广泛接受和使用的是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型于1973年由弗ィ舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯开发。
这个模型基于了以下假设：市场是完全有效的，不存在无风险套利机会，资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型利用了几个变量来计算期权价格，包括资产价格、行权价格、无风险利率、到期日和资产价格的波动率。
这些变量被组合成一个数学方程，可以通过计算得出期权的理论价格。
除了布莱克-斯科尔斯模型，还有其他的期权定价模型，如考虑了股利支付的扩展布莱克-斯科尔斯模型（Extended Black-Scholes Model）、考虑了远期价格的黑-92模型（Black-92 Model）、实践中广泛使用的哥莫兹模型（Geske Model）等等。
这些模型的应用范围涵盖了各种期权交易策略，包括常见的看涨看跌期权交易、套利交易策略等。
然而，期权定价模型并不是完美的，它们基于了一系列的假设和简化，因此并不能完全准确地预测期权价格。
此外，市场条件的变化和实际操作中的问题也可能导致期权定价与实际价格之间存在差距。
因此，投资者在使用期权定价模型计算期权价格时，应考虑到这些局限性并结合其他因素做出决策。
综上所述，期权定价模型是计算期权价格的数学模型。
它的应用范围广泛，并且可以帮助投资者做出明智的决策。
然而，使用期权定价模型时需要考虑到模型的假设和简化，同时结合其他因素进行综合分析。
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11.3
伊藤过程与伊藤引理
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导 出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如 下过程：
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理 。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
根据众多学者的实证研
究，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假 说。一般认为，弱式效率 市场假说与马尔可夫随机 过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来刻 画股票的这种特征。
• 1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预 测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获 得超过平均收益率的收益。
• 2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获 得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息 以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券 。
• 3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获 得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信 息”）对挑选证券都没有用处。
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
• 由于衍生产品价格是标的资产价格和时 间的函数，因此随机过程在衍生产品分 析中扮演重要的角色。
11.2.股4 票价格的变化过程：几何布朗运动
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示：
• 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维 纳过程是一个马尔可夫随机过程
• 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次 变分（Quadratic Variation）不为零的性质， 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质 也是相符的
市场有效理论与随机过程
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为 ，证券价格对新的市场信息的反应 是迅速而准确的，证券价格能完全 反应全部信息。
由于μ和σ是常数，S显然服从
，
的伊藤过程，我
们可以运用伊藤引理
我们就可得到
所
遵循的随机过程为
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值
，方差为
的正态分布。
11.2.股4 票价格的变化过程：几何布朗运动
从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动 ，则有
期权定价模型
2020年5月27日星期三
1布1.莱1 克-休尔斯-莫顿期权定价模型基本思路
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势 。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已 知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情 况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票 价格是影响期权价格的最根本因素。
标准布朗运动两大特征：
特征1
(正态分布)
特征2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值 相互独立。(独立增量）
维纳过程的性质
• [z (T ) – z (0)]也是正态分布
– 均值等于 0 – 方差等于T – 标准差等于 – 方差可加性
为何使用布朗运动？
• 正态分布的使用：经验事实证明，股票价格 的连续复利收益率近似地服从正态分布
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率 分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是
一致的。
11.2.1
布朗运动
标准布朗运动的扩展：普通布郎运动，令漂移 率为a，方差率为b2，：
or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动 态过程： adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间 为a； bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添 加的噪音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且 这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
11.2.1
布朗运动
布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学家 布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
11.3
伊藤过程与伊藤引理
**随机微积分与非随机微积分的差别
案例11.1
运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程
假设变量S服从
其中μ和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？
1 从自然对数的定义域可知，S不能为负数。 2 股票价格的对数服从普通布朗运动，股票价格和连续复利收 益率服从对数正态分布
11.2.股4 票价格的变化过程：几何布朗运动
3. T－t期间年化的连续复利收益率可以表示为
11.2.1
布朗运动
普通布朗运动的离差形式为
，显然，Δx也
具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为
1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值 为aT，标准差为 ，方差为b2T。
2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。
11.3
伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可 以得到
• 根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效 率市场假说。
一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中， 只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量 从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。