最短路径与关键路径

第四节最短路径与关键路径
1．最短路径：对于图G＝<V, E>(有向图或无向图)的每一条边e都附加一个实数
w(e)，w(e)称为e的权，则称G是一个带权图或赋权图，并把它记作G＝<V , E, w>，其中w是E上的实函数，叫作权函数。

对于简单图，当e=(v i,v j)（或<v i,v j>），常把w(e) 记作w ij。

设G＝<V , E, w>是n阶简单带权图（无向的或有向的），边（v i,v j）（或<v i,v j>）的权为w ij，并且约定：w ii=0;当v i与v j之间无边关联时w ij＝∞。

G中一条通路（回
路）上各条边的权之和叫作该通路（回路）的权。

G中从v i到v j的权最小的通路叫作v i到
v j的最短路径。

根据刚才的约定，若不存在从v i到v j的通路，则认为v i到v j的最短路径
的权为∞。

所谓最短路径问题就是求给定图中两点之间的最短路径。

下面介绍求最短路径问题的Dijkstra标号法。

它仅可用于所有的权w ij≥0的情况，可
以求从给定顶点（设为v1）到所有顶点的最短路径。

先介绍几个符号和名词。

（1）设l i(r)∗为顶点v1（最短路径的起点）到v i（最短路径的终点）的最短路径的权。

若v i获得l
i(r)∗，称v i在第r(r≥0)步获得了永久性标号，简称为p标号。

由于v1为起点，且w＝0，故当r=0时，l1(0)∗=0，首先v1获得永久性标号P。

11
（2）设l(jr)为v1到v j的最短路径的权在第r步获得的一个上界，称l(jr)为顶点v j的
临时性标号，简称t标号，其中，r≥0，开始的时候，l j=w1j。

(0)
（3）设P r={v v在前r步获p标号}，称P r为第r步的通过集，r≥0。

（4）设T r=V−P r，称T r为第r步未通过集。

Dijkstra标号法的计算步骤如下：
（1）开始
令r←0，获p标号：l1(0)∗=0,P0 ={v1},T0 =V−P0,v j( j≠1)的t标号为l(0)j
=w1j （2）求下一个p标号顶点。

令r ← r +1。

设 min{l (jr −1)}＝l i (r −1)，则记l i (r )∗ = l i (r −1)，将l i (r )∗放在相应顶点v i 处，
v ∈T j r
−1 表明v i 获 p 标号。

修改通过集和未通过集：令
P r = P r −1U {v i },T r =T r −1 −{v i }
检查 T r 。

若T r = ∅，则算法结束，否则执行（3）。

(3)修改T r 中各顶点的 t 标号。

令
l (jr ) = min{l (jr −1),l i (r )∗ + w ij },v j ∈T r 。

转（2）。

例 4.1 求图 4.1中 v 1到其余顶点的最短路径及其权。

解用 Dijkstra 标号法求解计算过程如表 4.1所示。

T 0 ={v 2,v 3,v 4},这里
（1）r =1：
l ,l 3 ,l
}= min{3,1,∞}=1= l 3
3(1)∗
= min{l 2(0) (0) (0) (0) ,l 3(1)∗的下标之所以取作 3，是因为最
4 小值是在第三个顶点处取得。

v 3在第一步获 P 标号（永久性标号），v 1到v 3的最短路 ，因此 v 1到 v 3的最短路径就是边 v 1,v 3 。

这样
T 1 =T 0 −{v 3}={v 2,v 4}，这两个顶点的临时性标号（T 标号）为
径的权为
l 3(1)∗＝1 l l (1) 2 = min{l 2
(0) ,l 3(1)∗ + w 32}= min{3,1,+3}= 3 (1) 4
= min{l 4 (0)
,l 3(1)∗ + w 34}= min{∞,1,+5}= 6。

（2）r = 2： min{l 2 (1) ,l }= min{3,6}= 3 = l 2
(1) (1) = l 2(2)∗，v 2在第二步获得永久性标号 P, v 1到v 2的
4 最短路径的权就是 3，因此v 1到v 2的最短路径就是边 v 1,v 2。

这样T 2 ={v 4}，v 4的临时性
标号为
l (2) 4
= min{l 4 (1),l 2(2)∗ + w 24}= min{6,3+ 2}= 5。

（3）r = 3： 4(3)∗ = min{l 4 l (2)
}= 5，v 4在第三步获永久性标号 P, v 1到v 4的最短路径权就是 5, v 1到 v 4的最短路径就是 v 1,v 2 + v 2,v 4，而T 3 = ∅，算法结束。

表 4.1
j
l （0） j l （1） j l （2） j l （3） j 1
2
3
4 0 3 1 * 3 3 * 1*
∞ 6 5 5
*
上表中的第一列为l 1 ,l ,l 3 ,l = 0；第二列为l 2 = 3,l 3 =1 ,l = 6;
(0) (0) (0) (0)的值，l 1(0)∗ = l 1(0) (1) (1) ∗ (1)
2 4 4 第三列为l 2(2)∗ = 3,l 4(2) = 5;第四列为l 4(3)∗ = 5。

v 2
v 1 v 4
v 3
例 4.2设备更新问题。

某企业使用一台设备，在每年年初，企业领导部门就要决定是购置新 的，还是继续使用旧的。

若购置新设备，就要支付一定的购置费用；若继续使用旧设备，则 需支付一定的维修费用。

现在的问题是如何制定一个几年之内的设备更新计划，使得总的支 付费用最少。

下面以 5年的计划为例，若已知该种设备在各年年初的价格为：
第 1年 第 2年 第 3年 第 4年 第 5年
11 11 12 12 13
还已知使用不同时间（年）的设备所需要的维修费用为：
使用年数 维修费用 0－1 1－2 2－3 3－4 4－5
5 6 8 11 18
可供选择的方案很多，如何制定方案使得总的支付费用最少呢？可以把这个问题转化为最短 路问题。

用点v i 表示“第i 年年初购进一台设备”这种状态。

加点v 6理解为第 5年年底。

从v i 到
( ) v i +1,L ,v 6各画一条弧，弧 v ,v 表示在第i 年初购进的设备一直使用到第 j 年年初。

i j 每条弧的权可按资料计算出来。

例如，(v 1,v 4)是第 1年年初购进一台新设备（购置费
11），一直使用到第 3年年底（维修费 5＋6＋8＝19），故(v 1,v 4)上的权为 30。

这样一来，制定一个最优的设备更新计划的问题就等价于寻求从 v 1到v 6的最短路的问 题。

按求解最短路的计算方法，可以得出{v 1,v 3,v 6}及{v 1,v 4,v 6}均为最短路，即在第 1年 和第 3年各购置一台新设备，或者在第 1年与第 4年各购置一台新设备，5年总的支付费用 均为 53。

请读者自己写出详细的求解过程。