通信网理论基础答案

通信网理论基础

第二章习题

2.2 求M/M/m （n ）中，等待时间w 的概率密度函数。 解： M/M/m （n ）的概率分布为：

1

1010011!)(!)(--=--⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--+=∑m r m n m k m m p k m p ρρρρ

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>≤≤-≤≤=n

k n k m p k m m k p k m p k

m k

k 0!10!)(00ρρ

假定n>m ，n ≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x 的概率。

∑=>•=>n

j j j x w P p x w P 0

}{}{

其中，P j {w>x}的概率为：

n

j m x w P n j m i x m e x w P m j x w P j m

j i i

x

m j j ≤≤=>-≤≤⋅

=>-≤≤=>∑-=-1

}{1!

)(}{1

00

}{0

μμ 可得：

x

m m n

n i m m n i i x m m n m j n m j i i x m j m n

n m

j m

j i i x

m j e

m m P x w P 则

若n P i x m e P m m i x m e P m m P i x m e

P x w P )(010

010010

!

)(1}{1!)(!!)(!!

)(}{λμμμμρρρρρμρμρμ--+--=--=-=--=-=-⋅-=>∞→+--⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=+⋅⋅=>∑∑∑∑∑

特别的，新到顾客需等待的概率为：

!

)(1}0{0m m P W P m

ρρ⋅

-=>

]

)!

1()()!1()(!)()([)1(!)(而

1

2

10--------=----=---∑m n m m m n x m i x m e m P m x f m n n

m n i m n m i m x m m w μλμρλμρλλμρρμ

n

m k k

x

m m m w P w P P w P 注：

e m m P m x

f 在n =∞===--=∞→∑-=--}{}0{)()

1(!)(10

)(0

λμλμρρ

2.4求M/D/1排队问题中等待时间W 的一、二、三阶矩m 1、m 2、m 3，D 表示服务时间为定值b ，到达率为λ。 解：

)

()

1()(S B s s s G λλρ+--= 其中 sb st e dt e b t s B -∞

-=-=

⎰

)()(δ

从而

sb

e s s s G -+--=λλρ)

1()( 又 ∑∞

==0

)(i i

i

s g s G

)1(!

)(00ρλλ-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅+-⎪⎭⎫

⎝⎛∴∑∑∞=∞=s j sb s s g j j i i i

b g λρ--=110 2

21)

1(2)1(b b g λρλ---= 34232)1(12)2)(1(b b b g λλλρ-+-=

3

4

3323

222

114

43)1(4)21(6)0()1(6)2(2)0()

1(2)0()

()1(24)1)(21(ρλρρλρρλρλλλρλ-+=

⨯='''-=-+=

⨯=''=-=

-='-==--+-=b g G m b g G m b g G m b b b b g

2.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W ，其中B 是二阶指数分布：

100

,)1()(212121<<>-+=--αλλλααλλλt

t e e t f

解：M/B/1

()[]

2

212212

2212

221221

12

22

122

1122

110

)1(1)1(1)

1(22)0(1)0()1()()(λλλαλαλλλλαλλαλρλλαλαλλρλαλα

λαλαλλαλαλ---+-=-=⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-+==-+

=

''=-+=

'-=+-+

+==⎰

∞

-m w w B w B w s

s dt e t f S B st

B/M/1

)

))(21(2)(11()

)(21(2)(11)

1(2))(21(2)(1110)1()

(21221212122121212212122

112

2

1

1

ρραρρρρμρραρρρρσμσρραρρρρσαλμσμλαλμσμαλσρμλρμ

λμσμσ--+-++----+-+-++=

-=

--+-+-++=

<<+--+

+-===-=w 的根

取令

B

B/B/1

设到达的概率密度函数为t t e e t f 2121)1()(λλλααλ---+=

设离去的概率密度函数为t t e e t f 4343)1()(λλλααλ---+=

假设423

121

λλλλααα====

()[]

[]212222122

212221212121'

021210

2121212142221214

22

212221

2211

22112211

)1(2)2()1())1(()()()())(()()

()()(lim

)

)(()()()

)(()()()

)()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(λλααλααλαλααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλααλλλ

λλαλαλλλαλαλλλαλαλ---+-=

-+-+=

+-=

-=+++=

Φ=

=Φ=---=

Φ+++=

Φ++---=++----+-+=

-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--+-++=

==++→-+t 其中

t

t

s S w s t s s k s S s k s w t

s s k s s s t s s s s s t s s 取

s s s s s s t s s s s s s s s s s s B s A s

s s B s A s w w s