中考专题-平面直角坐标系下的平移、对称、旋转

合集下载

平面直角坐标系下的图形变换

平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。

在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180一、平移例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。

析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思：①根据平移的坐标变化规律：★左右平移时：向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时：向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：图2图1B/图2图1A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC△的三个顶点的位置如图3所示．（1）请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△（其中A B C'''，，分别是A B C，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C'''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C'''，，．析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-，故可得（2）(23)A'，，(31)B'，，(12)C'--，反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为21，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数．友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21，且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21．课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。

备战2025年中考数学冲刺专项训练(全国)专题05 二次函数中的平移、旋转、对称(原卷版)

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+k a、h不变，h变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线21(0)y ax bx aa=+-<与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）．（2）当B的纵坐标为3时，求a的值；（3）已知点11(,2Pa-，(2,2)Q，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m 的值．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y 时，直接写出自变量x 的取值范围．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x - 时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x 时，y 的最小值为5，求m 的值．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x -时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q 的坐标．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的横坐标：若不存在，请说明理由．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．20．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =--的顶点为A ，与y 轴交于点C ，线段//CB x 轴，交该抛物线于另一点B ．（1）求点B 的坐标及直线AC 的解析式；（2）当二次函数223y x x =--的自变量x 满足1m x m + 时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且2p q -=．求m 的值；（3）平移抛物线223y x x =--，使其（备用图）顶点始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n ，请直接写出n 的取值范围．21．（2023•米东区模拟）如图，已知二次函数2(y x bx c b =-++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A ，点(0,4)C ，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围．22．（2023•驻马店二模）如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax =-+交x 轴于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A 坐标为(1,0)-．（1）求抛物线解析式及其顶点坐标．（2）若将抛物线向右平移m 个单位，得新抛物线“V ”，若“V ”与坐标轴仅有两个交点，求m 值．（3）若点M 为线段AB 上一动点，过点M 作y 轴平行线，该平行线与“V ”交点为N ，请直接写出点N 的纵坐标N y 的取值范围．23．（2023•宝鸡二模）如图，抛物线2:4L y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．将抛物线L 向右平移一个单位得到抛物线L '．（1）求抛物线L 与L '的函数解析式；（2）连接AC ，探究抛物线L '的对称轴上是否存在点P ，使得以点A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数中的翻折问题24．（2024•江西模拟）已知二次函数265(0)y kx kx k k =-+>经过A ，B 两定点（点A 在点B 的左侧），顶点为P ．（1）求定点A ，B 的坐标；（2）把二次函数265y kx kx k =-+的图象在直线AB 下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线AB 上方的部分的组合图象记作图象W ，求向上翻折部分的函数解析式；（3）在（2）中，已知ABP ∆的面积为8．①当14x 时，求图象W 中y 的取值范围；②若直线y m =与图象W 从左到右依次交于C ，D ，E ，F 四点，若CD DE EF ==，求m 的值．25．（2023•零陵区三模）在平面直角坐标系中，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的式子表示）；（2）将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当31x -- 时，这个新函数G 的函数值y 随x 的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围；（3）已知直线:1l y =，点C 在二次函数2229y x mx m =-+-+的图象上，点C 的横坐标为2m ，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象在C 、B 之间的部分记为M （包括点C ，)B ，图象M 上恰有一个点到直线l 的距离为2，直接写出m 的取值范围．26．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点(0M ，)(3)m m - ，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A 、B 两点(B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）当1m =时，求点D 的坐标；（2）连接BC 、CD 、DB ，若BCD ∆为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若BCD ∆的面积为3，E 、F 两点分别在边BC 、CD 上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．27．（2024•盐城模拟）已知抛物线2(31)2(y ax a x a =---为常数且0)a ≠与y 轴交于点A ．（1）点A 的坐标为；对称轴为（用含a 的代数式表示）；（2）无论a 取何值，抛物线都过定点B （与点A 不重合），则点B 的坐标为；（3）若0a <，且自变量x 满足13x - 时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A 与点B 之间的函数图象记作图象M （包含点A 、)B ，若将M 在直线2y =-下方的部分保持不变，上方的部分沿直线2y =-进行翻折，可以得到新的函数图象1M ，若图象1M 上仅存在两个点到直线6y =-的距离为2，求a 的值．28．（2023•扶余市二模）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A ，(5,0)B ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）如图，把原抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x 轴上方的部分记作图形M ，在图形M 中，回答：①点A ，B 之间的函数图象所对应的函数解析式为2(3)4y x =--+(15)x ；②当342x 时，求y 的取值范围；③当2m x m + ，且32m >时，若最高点与最低点的纵坐标的差为154，直接写出m 的值．29．（2023•余江区一模）已知抛物线21:23(0)C y ax ax a =--≠（1）当1a =时，①抛物线1C 的顶点坐标为．②将抛物线1C 沿x 轴翻折得到抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式为．（2）无论a 为何值，直线y m =与抛物线1C 相交所得的线段EF （点E 在点F 左侧）的长度都不变，求m 的值和EF 的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线1C 沿直线y m =翻折，得到抛物线3C ，抛物线1C ，3C 的顶点分别记为P ，Q ，是否存在实数a ，使得以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a 的值：若不存在，请说明理由．30．（2023•越秀区校级三模）已知二次函数2y x bx m =++图象的对称轴为直线2x =，将二次函数2y x bx m =++图象中y 轴左侧部分沿x 轴翻折，保留其他部分得到新的图象C ．（1）求b 的值；（2）①当0m <时，图C 与x 轴交于点M ，(N M 在N 的左侧），与y 轴交于点P ．当MNP ∆为直角三角形时，求m 的值；②在①的条件下，当图象C 中40y -< 时，结合图象求x 的取值范围；（3）已知两点(1,1)A --，(5,1)B -，当线段AB 与图象C 恰有两个公共点时，直接写出m 的取值范围．题型三：二次函数对称问题31．（2024•雁塔区校级二模）如图，抛物线2:3L y ax bx =++经过(1,0)A -，(5,3)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线L 的表达式；（2）抛物线L '与抛物线L 关于直线BC 对称，P 是抛物线L 的x 轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线L '于点Q ，点P 、Q 关于抛物线L 的对称轴对称的点分别为M 、N ．试探究是否存在一点P ，使得四边形PQNM 为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数21441y ax ax a =++-的图象是M ．（1）求M 关于点(1,0)R 成中心对称的图象N 的解析式2y ；（2）当25x 时，2y 的最大值为5，求a 的值．33．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于(2,0)A ，(4,0)B -，与y 轴交于(0,4)C ，连接AC ，作直线BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知直线BC 上方抛物线上有一动点P ，过点P 作//PM x 轴交BC 于M ，过M 作//MN y 轴交x 轴于N ，求PM MN +的最大值和此时P 点坐标；（3）将原抛物线沿CB 方向平移个单位长度得到新抛物线，已知D 点是新抛物线上一动点，且DBC OAC BCO ∠=∠+∠，求所有符合条件的点D 的横坐标并写出其中一种情况的求解过程．34．（2023•海安市模拟）已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点1(,)x y 、2(,)x y 关于点(,)x x 对称，则称这两个函数为关于y x =的对称函数，例如，112y x =和232y x =为关于y x =的对称函数．（1）判断：①13y x =和2y x =-；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y x =的对称函数的是（填序号）；（2）若132y x =+和2(0)y kx b k =+≠为关于y x =的对称函数．求k 、b 的值．（3）若21(0)y ax bx c a =++≠和22y x n =+为关于y x =的对称函数，令21w y y =-，当函数w 与函数(02)y x x = 有且只有一个交点时，求n 的取值范围．35．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线21:3C y ax bx =+-与x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）已知抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，过点C 作//CD x 轴交抛物线1C 于点D ，P 是抛物线2C 上的一个动点，连接PB 、PC 、BC 、BD ．若PBC BCD S S ∆∆=，求点P 的坐标．36．（2023•灞桥区校级模拟）如图，顶点M在y轴负半轴上的抛物线与直线2y x=+相交于点(2,0)A-，(4,6)B，连接AM，BM．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线AB的下方，是否存在点P，使得118ABP ABMS S∆∆=若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数中的旋转问题37．（2023•吉安县校级一模）已知抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的解析式及顶点P 坐标；（2）将该二次函数绕点(4,0)旋转180︒，求旋转后的二次函数解析式；（3）设旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交点为D ，顺次连接A 、P 、D 、Q ，求四边形APDQ 的面积．38．（2023•郏县一模）如图，直线24y x =--与x 轴交于点A ，抛物线2421y ax x a =+++经过点(1,8)，与x 轴的一个交点为(B B 在A 的左侧），过点B 作BC 垂直x 轴交直线于C ．（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点B 、C 的对应点分别为点E 、F ．将抛物线2421y ax x a =+++沿x 轴向右平移使它过点F ，求平移后所得抛物线的解析式．39．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式及顶点P 的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180︒．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交于点D ，顺次连接A ，P ，D ，Q ，求四边形APDQ 的面积．40．（2023•长春模拟）如图，直线122y x =-与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．抛物线214y x bx c =++经过点A ，点B ，并与x 轴有另一交点C ．（1）依题，点A 的坐标是，点B 的坐标是．（2）求抛物线的解析式．（3）在直线AB 下方的抛物线上有一点D ，求四边形ADBC 面积的最大值．（4）在x 轴上有一个动点(,0)P m ，将线段OA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段MN ．直接写出线段MN 与抛物线只有一个公共点时m 的取值范围．题型五：二次函数中的几何变换41．（2024•梧州模拟）九年级数学兴趣小组的同学研究发现若把二次函数21y ax bx c =++的系数调换位置变成新的二次函数22y cx bx a =-+，且0b ≠，这两个函数有一定的关连，于是命名它们为“互为对调函数”，根据这个规定，解答下列问题：（1）若二次函数21325y x x =+-，则它的“对调函数”是2y =，且此“对调函数”与y 轴的交点是；（2）若k 、m 为非零实数，二次函数213y x kx m =++经过两个不同的点(,)A k h 与点(,)B m h ，请求出“对调函数”2y 的对称轴；（3）在（2）中，“对调函数”2y 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出这两个定点坐标；若不经过，请说明理由．。

2022年中考数学真题-专题17 图形变换(平移、旋转、对称)(1)(全国通用解析版)

专题17图形变换（平移、旋转、对称）一．选择题（2022·湖南娄底）1. 下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．（2022·四川自贡）2. 剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【详解】∵不是轴对称图形,∴A不符合题意；∵不是轴对称图形,∴B不符合题意；∵不是轴对称图形,∴C不符合题意；∵是轴对称图形,∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键．（2022·山东泰安）3. 下列图形：其中轴对称图形的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形．【详解】从左到右依次对图形进行分析：第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第3个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；第4个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；因此，第1、2、4都是轴对称图形，共3个．故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴．（2022·江苏苏州）0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按4. 如图，点A的坐标为()m，则m的值为（）逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(),3A.【答案】C【解析】【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC BC AB==，可得BD=m=．OB=m=，即可解得3【详解】解：过C 作CD ⊥x 轴于D ，CE ⊥y 轴于E ，如图所示：∵CD ⊥x 轴，CE ⊥y 轴，∴∠CDO =∠CEO =∠DOE ＝90°，∴四边形EODC 是矩形，∵将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AC ，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∵A （0，2），C （m ，3），∴CE ＝m ＝OD ，CD ＝3，OA ＝2，∴AE ＝OE −OA ＝CD −OA ＝1，∴AC BC AB ===，在Rt △BCD 中，BD =在Rt △AOB 中，OB ==∵OB ＋BD ＝OD ＝m ，m =，化简变形得：3m 4−22m 2−25＝0，解得：3m =或3m =-（舍去），∴m=，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．（2022·浙江湖州）5. 如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】C【解析】【分析】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，∵B′C=2cm，∴BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．（2022·浙江嘉兴）6. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得''''，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）到正方形A B C DA. 1cmB. 2cmC. 1)cmD. －1)cm 【答案】D【解析】【分析】先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB-′求解即可．【详解】解：由题意，BD=，由平移性质得BB'=1cm，∴点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（1）cm，故选：D．【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．（2022·湖南怀化）7. 如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选C．【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离的关键．（2022·湖南邵阳）8. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A. 等边三角形B. 圆C. 长方形D. 正方形【答案】B【解析】【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．（2022·江苏连云港）9. 下列图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．（2022·四川遂宁）10. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）科克曲线笛卡尔心形线阿基米德螺旋线赵爽弦图A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 阿基米德螺旋线D. 赵爽弦图【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．（2022·新疆）11. 平面直角坐标系中，点P (2，1)关于x 轴对称的点的坐标是（）A. ()2,1B. ()2,1-C. ()2,1-D. ()2,1--【答案】B【解析】【分析】直接利用关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．【详解】解：点P （2，1）关于x 轴对称的点的坐标是（2，-1）．故选：B ．【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．（2022·天津） 12. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A ．不是轴对称图形，故本选项错误；B ．不是轴对称图形，故本选项错误；C ．不是轴对称图形，故本选项错误；D ．是轴对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．（2022·天津）13. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（）A. AB AN =B. AB NC ∥C. AMN ACN ∠=∠D. MN AC ⊥【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，∴△ABM ≌△ACN ， ∴AB =AC ，AM =AN ，∴AB 不一定等于AN ，故选项A 不符合题意； ∵△ABM ≌△ACN ，∴∠ACN =∠B ，而∠CAB 不一定等于∠B ，∴∠ACN 不一定等于∠CAB ，∴AB 与CN 不一定平行，故选项B 不符合题意； ∵△ABM ≌△ACN ，∴∠BAM =∠CAN ，∠ACN =∠B ，∴∠BAC =∠MAN ，∵AM =AN ，AB =AC ，∴△ABC 和△AMN 都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B =∠AMN ，∴∠AMN =∠ACN ，故选项C 符合题意；∵AM =AN ，而AC 不一定平分∠MAN ，∴AC 与MN 不一定垂直，故选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．（2022·江苏扬州）14. 如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∴ADE ABC ≌， E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故①正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故②正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC △△，CAE CDF ∴∠=∠，CDF BAD ∠=∠∴，故③正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．（2022·四川南充）15. 如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ''△，点B '恰好落在CA 的延长线上，3090∠=︒∠=︒，B C ，则BAC '∠为（）A. 90︒B. 60︒C. 45︒D. 30【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出BAC ∠的度数，由旋转可知BAC B AC ''∠=∠，在根据平角的定义求出BAC '∠的度数即可．【详解】∵3090∠=︒∠=︒，B C ，∴90903060BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵由旋转可知60B A BAC C ''∠=︒∠=，∴618060860100C B A BA BA C C '''=︒-∠=︒-︒-︒=︒∠∠-，故答案选：B ．【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．（2022·山东泰安）16. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，ABC ∆经过平移后得到111A B C ∆，若AC 上一点(1.2,1.4)P 平移后对应点为1P ，点1P 绕原点顺时针旋转180，对应点为2P ，则点2P 的坐标为（，A. (2.8,3.6)B. 2.8,6()3.--C. (3.8,2.6)D. ( 3.8, 2.6)--【答案】A【解析】【详解】分析：由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1，再根据P 1与P 2关于原点对称，即可解决问题，详解，由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1，∵P ，1.2，1.4，，∴P 1，，2.8，，3.6，，∵P 1与P 2关于原点对称，∴P 2，2.8，3.6，，故选A，点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（2022·湖北宜昌）17. 将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形定义，能根据定义判定图形是否是中心对称图形是解决问题的关键．（2022·湖南常德）18. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D ，E ，点F 是边AC 的中点，连接BF ，BE ，FD ．则下列结论错误的是（）A. BE BC =B. BF DE ∥，BF DE =C. 90DFC ∠=︒D. 3DG GF =【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可判断A ；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B ；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C ；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D ．【详解】A ．∵将，ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到，DEC ，∴∠BCE =∠ACD =60°，CB =CE ，∴△BCE 是等边三角形，∴BE =BC ，故A 正确；B ．，点F 是边AC 中点，，CF =BF =AF =12AC ，，，BCA =30°，，BA =12AC ，，BF =AB =AF =CF ，，，FCB =，FBC =30°，延长BF 交CE 于点H ，则∠BHE =∠HBC +∠BCH =90°，∴∠BHE =∠DEC =90°，∴BF //ED ，∵AB =DE ，∴BF =DE ，故B 正确．C ．∵BF ∥ED ，BF =DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BC =BE =DF ，∵AB =CF ， BC =DF ，AC =CD ，∴△ABC ≌△CFD ，∴=90DFC ABC ∠=∠︒，故C 正确；D ．∵∠ACB =30°， ∠BCE =60°，∴∠FCG =30°，∴FG =12CG ，∴CG =2FG ．∵∠DCE =∠CDG =30°，∴DG =CG ，∴DG =2FG ．故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．（2022·湖南常德） 19. 国际数学家大会每四，举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：A不是中心对称图形，故A错误；B是中心对称图形，故B正确；C不是中心对称图形，故C错误；D不是中心对称图形，故D错误；故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180︒后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．（2022·河北）20. 题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥，乙答：d＝1.6，丙答：d=）2A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整【答案】B【解析】【分析】过点C 作CA BM '⊥于A '，在A M '上取A A BA ''''=，发现若有两个三角形，两三角形的AC 边关于A C '对称，分情况分析即可【详解】过点C 作CA BM '⊥于A '，在A M '上取A A BA ''''=∵∠B ＝45°，BC ＝2，CA BM '⊥∴BA C '是等腰直角三角形∴A C BA ''===∵A A BA ''''=∴2A C ''==若对于d 的一个数值，只能作出唯一一个△ABC通过观察得知：点A 在A '点时，只能作出唯一一个△ABC （点A 在对称轴上），此时d =的答案；点A 在A M ''射线上时，只能作出唯一一个△ABC （关于A C '对称的AC 不存在），此时2d ≥，即甲的答案，点A 在BA ''线段（不包括A '点和A ''点）上时，有两个△ABC （二者的AC 边关于A C '对称）；故选：B【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于A C'对称（2022·山西）21. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，故选B．【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．（2022·河南）22. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O∥轴，交y轴于点P．将，OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则重合，AB x第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）A. )1-B. (1,-C. ()1-D. (【答案】B【解析】【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴， ∴AP ＝1， AO ＝2，∠OP A ＝90°，∴OP∴A （1，第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，；第3次旋转结束时，点A 的坐标为（1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1；∵将，OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，，故选：B【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．（2022·四川宜宾）23. 如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC 内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则2CE =+ ）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④ 【答案】B【解析】【分析】证明BAD CAE ≌，即可判断①，根据①可得ADB AEC ∠=∠，由180ADC AEC ∠+∠=︒可得,,,A D C E 四点共圆，进而可得DAC DEC ∠=∠，即可判断②，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，证明FAH FCE ∽，根据相似三角形的性质可得45CF AF =，即可判断③，将APC △绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，根据当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，可得四边形ADCE 是正方形，勾股定理求得DP ，根据CE AD AP PD ==+即可判断④．【详解】解：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒， ,,AB AC AD AE BAD CAE ∴==∠=∠BAD CAE ∴△≌△BD CE ∴=故①正确；BAD CAE ≌ADB AEC ∴∠=∠180ADC AEC ∴∠+∠=︒,,,A D C E ∴四点共圆，CD CD =DAC DEC ∴∠=∠故②正确；如图，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，BAD CAE ≌,45,45ACE ABD ACB ∴∠=∠=︒∠=︒90DCE ∴∠=︒FC AH ∴∥2BD CD =，BD CE =1tan 2DC DEC CE ∴∠==,13CD BC = 设6BC a =，则2DC a =，132AG BC a ==，24EC DC a == 则32GD GC DC a a a =-=-=FC AH ∥1tan 2GD H GH ∴== 22GH GD a ∴==325AH AG GH a a a ∴=+=+=AH ，CE ，FAH FCE ∴∽CF CE AF AH∴= 4455CF a AF a ∴== 则45CF AF =；故③正确如图，将ABP 绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，PA PB PC PP P B PC B C '''+++∴'+=≥，当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，此时180********CPA APP '∠=-∠=︒-=︒︒︒，180********APB AP B AP P ∠=∠=︒-∠=︒-︒='''︒，360360*********BPC BPA APC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，此时120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，AC AB AB '==，AP AP '=，APC AP B ''∠=∠，AP B APC ''∴≌，PC P B PB ''∴==，60APP DPC '∠=∠=︒，DP ∴平分BPC ∠，PD BC ∴⊥，,,,A D C E 四点共圆，90AEC ADC ∴∠=∠=︒，又AD DC BD ==,BAD CAE ≌，AE EC AD DC ∴===，则四边形ADCE 是菱形，又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是正方形，9060150B AC B AP PAC P AP ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，则'B A BA AC ==，()1180152B ACB B AC '''∠=∠=︒-∠=︒， 30PCD ∠=︒，DC ∴=，DC AD =，2AP =，则)12AP AD DP DP =-==，1DP ∴==， 2AP =，3CE AD AP PD ∴==+=，故④不正确，故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．二．填空题（2022·云南）24. 点A （1，-5）关于原点的对称点为点B ，则点B 的坐标为______．【答案】（-1，5）【解析】【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点A （1，-5）关于原点的对称点为点B ，∴点B 的坐标为（-1，5）．故答案为：（-1，5）【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．（2022·湖南湘潭）25. 如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则∠=AEF _________．【答案】40°##40度【解析】【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，∵120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，∴18040OED ODE AOB ∠=-∠-∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．（2022·浙江丽水）26. 一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是___________cm ．【答案】3【解析】【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FNDE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．（2022·河南）27. 如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若∠O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．【答案】3π+【解析】【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2， AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移，90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯32π=+故答案为：32π+ 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．（2022·河南）28. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==，点D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ．当∠ADQ ＝90°时，AQ 的长为______．【解析】【分析】连接CD ，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，分Q 点在线段CD 上和DC 的延长线上，且1CQ CP ==，勾股定理求得AQ 即可．【详解】如图，连接CD ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==4AB ∴=，CD AD ⊥，122CD AB ∴==，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，Q 点在CD 上，且1CQ CP ==，211DQ CD CQ ∴=-=-=，如图，在Rt ADQ △中，AQ ===在Rt ADQ △中，2,3AD CD QD CD CQ ===+=AQ ∴===【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q 的位置是解题的关键．（2022·浙江金华）29. 如图，在Rt ABC 中，90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=．把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，连结CC '，则四边形AB C C ''的周长为_____cm ．【答案】8+【解析】【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．【详解】解：∵90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=，∴AB =2BC =4，∴∵把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，∴1CC '=，=4+1=5AB '， =2B C BC ''=，∴四边形的周长为：1528++=+故答案为：8+【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．（2022·四川德阳）30. 如图，直角三角形ABC 纸片中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 边上的中点，连接CD ，将ACD △沿CD 折叠，点A 落在点E 处，此时恰好有CE AB ⊥．若1CB =，那么CE =______．【解析】【分析】根据D 为AB 中点，得到AD =CD =BD ，即有，A =，DCA ，根据翻折的性质有，DCA =，DCE ，CE =AC ，再根据CE ，AB ，求得，A =，BCE ，即有，BCE =，ECD =，DCA =30°，则有，A =30°，在Rt △ACB 中，即可求出AC ，则问题得解．【详解】，，ACB =90°，，，A +，B =90°，，D 为AB 中点，，在直角三角形中有AD =CD =BD ，，，A =，DCA ，根据翻折的性质有，DCA =，DCE ，CE =AC ，，CE ，AB ，，，B +，BCE =90°，，，A +，B =90°，，，A =，BCE ，，，BCE =，ECD =，DCA ，，，BCE +，ECD +，DCA=，ACB =90°，，，BCE =，ECD =，DCA =30°，，A =30°，，在Rt △ACB 中，BC =1，则有13tan tan 30BC AC A ===∠，CE AC ==【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出，BCE =，ECD =，DCA =30°是解答本题的关键．（2022·山东泰安）31. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是__________________．【答案】23π 【解析】【分析】连接OO ′，BO ′，根据旋转的性质得到AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒，推出△OAO ′是等边三角形，得到60AOO '∠=︒，因为∠AOB ＝120°，所以60O OB '∠=︒，则OO B '是等边三角形，得到120AO B '∠=︒，得到30O B B O BB ''''∠=∠=︒，90B BO '∠=︒，根据直角三角形的性质得24B O OB '==，根据勾股定理得B B '=，用B OB '△的面积减去扇形O OB '的面积即可得．【详解】解：如图所示，连接OO ′，BO ′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒ ∴△OAO ′是等边三角形，∴60AOO '∠=︒，OO OA '=，∴点O '在，O 上，∵∠AOB ＝120°，∴60O OB '∠=︒，∴OO B '是等边三角形，∴120AO B '∠=︒，∵120AO B ''∠=︒，∴120B O B ''∠=︒， ∴11(180)(180120)3022O B B O BB B O B ''''''∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒， ∴180180306090B BO OB B B OB '''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴24B O OB '==，在Rt B OB '中，根据勾股定理得，B B '==∴图中阴影部分的面积=2160222=223603B OB O OB S S ''⨯-=⨯⨯扇形ππ，故答案为：23π．【点睛】本题考查了圆与三角形，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．（2022·湖南怀化）32. 已知点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，则a ﹣b =______．【答案】5【解析】【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a ，b 的值即可．【详解】∵点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，∴2a =，3b =-，∴()235a b -=--=故答案为：5．【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．（2022·浙江台州）33. 如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．【答案】8【解析】【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ∥B ′C ′，∴四边形B ′C ′CB 为平行四边形，∵BB ′⊥BC ，∴四边形B ′C ′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC=S 矩形B ′C ′CB=4×2=8(cm 2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．三．解答题（2022·湖南湘潭）34. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()4,0B -，()2,2C -．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒后得到111A B C △．（1）请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标：1A _________，1B _________，1C _________（2）求点B 旋转到点1B 的弧长．【答案】（1）（1，1）；（0，4）；（2，2）（2）2π【解析】【分析】（1）将，ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到，A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点B旋转到点1B的弧长所对的圆心角是90º，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．【小问1详解】解：将，ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到，A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）【小问2详解】解：由图知点B旋转到点1B的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，∴点B旋转到点1B的弧长=904 180π⨯⨯=2π【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．（2022·湖北武汉）35. 如图是由小正方形组成的96⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E 旋转180︒得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG BC∥；（2）在图（2）中，P是边AB上一点，BACα∠=．先将AB绕点A逆时针旋转。

2024年九年级数学中考专题：二次函数平移对称旋转课件

(x,y +b)
(x,y -b)
口诀：上加下减，左减右加
坐
标
旋
转
变
换
一、坐标平移旋转对称
点(x,y) 绕着（m,n）旋转180° ，求旋转后的
点的坐标？
中点坐标公式：
A(1 , 1 ), B(2 , 2 ),
1 +2 1 +2
AB中点 (
,
)
2
2
旋转后的点的坐标( − ,2n-y)
中考专题：
二次函数平移旋转对称
目录
一
二
三
坐标平移旋
转对称
二次函数
表达式
例题讲解
四
方法归纳
五
学以致用
一、坐标平移
旋转对称
坐
标
平
移
变
换
一、坐标平移旋转对称
x轴向左平移a个单位(x,y)
向右平移a个单位(x,y)
(x-a,y)
(x+a,y)
y轴向上平移b个单位(x,y)
向下平移b个单位(x,y)
坐
标
对
称
变
换
一、坐标平移旋转对称
关于x轴对称 (x,y)
关于y轴对称 (x,y)
(x, -y)
(- x, y)
口诀:关于谁对称，谁不变，另一个互为相反数
关于原点O对称 (x,y部互为相反数
二、二次函数
表达式
二、二次函数表达式
一般式：y = 2 + + ( ≠ 0, , 均为常数)
变式2
(3)抛物线2 与抛物线1 关于原点O对称，求抛物线 2 的表达
式
三、例题讲解

2020中考数学几何专题：平移和旋转(含答案)

2020中考数学几何专题：平移和旋转（含答案）例题1. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于．例题2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．例题3. 如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为．例题4. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC 于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=．巩固练习-旋转1．如图，在△ABC 中, 70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （）A. 30B. 35C. 40D. 502．如图，PQR ∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形.如果ABC ∆中任意一点M 的坐标为（a ，b ），那么它的对应点N 的坐标为 .3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90º，∠BAC=60º，AB =6．Rt △AB ´C ´可以看作是由Rt △ABC 绕A 点逆时针方向旋转60º得到的，则线段B ´C 的长为____________．4．如图，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的．若点在上，则旋转角的大小可以是（） A 、 B 、 C 、 D 、9030AOB B ∠=∠=°，°A OB ''△AOB △O αA 'AB α30°45°60°90°A OBA 'B '5．如图，若将△ABC 绕点C, 顺时针旋转90°后得到，则A 点的对应点的坐标是 .6．下列图形中，中心对称图形有（）．7．下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A ．正三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰梯形D ．正方形8．如图，点A ，B ，C 的坐标分别为（2，4），（5，2），（3，－1）．若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D 的坐标为．C B A ''∆A'9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。

中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)

中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。

(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。

(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。

2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做它的对称轴。

(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。

(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计

收稿日期：2021-01-16作者简介：曹自由（1979—），男，高级教师，主要从事中学数学教育研究.“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计曹自由摘要：图形的变化是发展空间观念的内容抓手，也是研究图形的基本方法，是发现和构造不变量和不变关系的重要途径.学生在新授课阶段分别学习了轴对称、平移和旋转，在中考第二轮复习中需要建立它们之间的关联，进行整体复习.通过四个课时的复习教学，分别引导学生感受运动变化、理解运动变化、运用运动变化、整合运动变化，有效发展学生的空间观念、几何直观和推理能力.文章将第1课时设计整理成文，以供研讨.关键词：图形的变化；中考复习；教学设计一、内容和内容解析1.内容图形的变化（轴对称、平移、旋转）．2.内容解析初中阶段学习的几何图形的变化包括轴对称、平移、旋转和相似（位似）的概念、性质和应用.本节课复习的内容是图形的全等变换——轴对称、平移和旋转.图形的全等变换可以看作是图形的刚体运动，用全等变换的思想研究图形的性质和关系是“图形与几何”领域重要的学习内容.在义务教育阶段，图形之间最重要的关系就是全等，全等可以用图形重合的方式直观获得，而“图形重合”需要通过图形的运动来实现，这种运动就是图形的轴对称、平移和旋转.图形的变化是理解图形空间结构的基本方法，也是空间观念的核心要素.抽象轴对称、平移和旋转的基本性质，用逻辑的方法理解图形的全等变换是从定性到定量研究图形的变化的桥梁.从小学直观认识图形的轴对称、平移和旋转到初中的逻辑研究、坐标表示再到后续的矩阵表示，是图形的全等变换的定性到定量发展的三个重要阶段.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：建立三种图形的变化相关知识的逻辑体系，并用图形变化的观点认识几何图形.二、目标和目标解析1.目标（1）理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识，落实画图和识图的能力，渗透几何直观能力.（2）在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化思考、解决问题的意识，渗透图形变化思想.2.目标解析达成目标（1）的标志：能够从运动变化的角度描述两个已知图形之间的关系，能够根据图形变化（轴对称、平移、旋转）的概念和性质画出运动变化后的图形，通过梳理建立三种变化相关知识的逻辑体系.达成目标（2）的标志：能够以运动的视角观察图形，用变化的思想分析图形特征．三、教学问题诊断分析近几年北京中考试卷中的几何综合题都考查了图形的变化的相关内容，并且不是单一的，而是从一种变化到另一种变化的综合考查.但是学生学习时，知识是零散的、分割开的，先学习了平移，然后是轴对称和旋转，没有形成三种变化相关知识的逻辑体系.同时，图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：三种图形的变化之间的转化．四、教学过程设计1.课前学习题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，△AOB 可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB 的过程：．图1思考问题：什么是轴对称、平移、旋转？它们各有什么性质？它们之间有什么联系？【设计意图】此题为2017年中考北京卷第15题，学生在课前复习轴对称、平移、旋转的相关知识，关注知识的形成过程及知识之间的内在联系，在应用中不断深化认识.通过解决中考试题回顾思考涉及的知识和思想方法，进一步提升能力.2.交流梳理环节1：交流课前学习成果.（1）平移：如图2，平移前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段平行且相等，两对应点连线互相平行（共线）且相等（从图形位置变化来看）.图2CC′BAA′B′（2）轴对称：如图3，关于某直线对称的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段相等，两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线（从图形位置变化来看）.图3B′A′ABCNMC′（3）旋转：如图4，旋转前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；每两对对应点连线所形成的角都等于旋转角（从图形位置变化来看）；对应点到旋转中心的距离相等（从图形位置变化来看）.BCAA′C′（1）OB′ABCC′A′（2）图4（4）轴对称、平移、旋转三者的关系：如图5，两条对称轴平行的轴对称复合⇔一次平移；两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.2（3）2（1）2（2）图5轴对称在三种变化中起到桥梁作用，轴对称与另外两种全等变换在地位上是有区别的，它是更加基础的一种变化，所有平移、旋转都可以用轴对称变化来解释.【设计意图】学生先回答思考问题，借此梳理三种变化的性质，明确各自的画图方法及依据，明确三种变化之间的关系.环节2：问题引导深入思考.思考：只用一种变化可不可以操作？如何操作？用两种变化如何操作？哪种方法容易快速想到？为什么？【设计意图】课上让学生先交流自己的结果.而学生在交流结果时一定是无序的，这时教师可以引导学生进行有序思考.问题1：对于题目，只用两种变化有哪些方法？学生活动：交流使用两种变化的情况.（1）旋转+平移.思路1：将△COD绕点C顺时针旋转90°后，再向左平移两个单位得到△AOB.思路2：将△COD绕点O顺时针旋转90°后，再向上平移两个单位得到△AOB.思路3：将△COD向左平移两个单位后，再绕点C 顺时针旋转90°得到△AOB.思路4：将△COD向上平移两个单位后，再绕点A 顺时针旋转90°得到△AOB.（2）旋转+轴对称.思路5：将△COD先关于x轴对称，再以点C为旋转中心顺时针旋转90°，再作关于直线x=1的对称得到△AOB.追问：采用“平移+轴对称”的方式可以吗？归纳：对应顶点排列的顺序一致——旋转；与目标图形的方向一致——平移.问题2：用一种变化有哪些方法？追问：两个全等的三角形通过某种运动方式一定能重合吗？若能重合，如何运动？归纳：对应顶点排列顺序一致，经过一次旋转能重合．学生活动：对于题目，展示只通过旋转或只通过轴对称完成任务的方法，并说明自己的画图方法和画图依据.方法1：（旋转）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向和旋转角.思路6：将△COD绕点()1，1顺时针旋转90°得到△AOB.思路7：将△COD先绕点()1，-1逆时针旋转90°后，再绕点O旋转180°得到△AOB.方法2：（轴对称）两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.思路8：先将△COD沿直线x=1对称后，再沿直线y=x对称得到△AOB.思路9：先将△COD沿直线y=1对称后，再沿直线y=-x+2对称得到△AOB.【设计意图】题目难度不大，且学生具备直接识别运动变化的能力，但是学生自己描述运动变化的经验还是比较少的，而且运动的方式是不唯一的，给出运动前后的图形，描述运动变化要素，这对学生的要求实际上是提高了很多的.因此，要关注这三种运动变化之间的联系，通过这个过程深化学生对于运动变化的认识.3.变式练习变式1：如图6，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△BCF？图6B E CFDA图7B E CDA变式2：如图7，在等边三角形ABC中，AD=BE，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到△CAD？学生活动：展示所画图形的变化过程，并用语言描述这个过程.学生可能想到如下情况.（1）旋转+平移（如图8和图9）.D图8图9（2）两次轴对称（如图10）.图10（3）一次旋转（如图11）.图11【设计意图】将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，培养思维的有序性、多样性.4.归纳与提升总结、归纳本节课的教学流程如图12所示.运动的眼光，变换的思想ìíîïï图形的平移图形的轴对称图形的旋转图12【设计意图】归纳方法、提升能力，形成用运动的眼光、变换的思想看待两个图形之间的关系的能力，渗透运动变换思想.5.布置作业（1）如图13，在平面直角坐标系xOy中，△O′A′B′可以看作是△OAB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OAB得到△O′A′B′的过程：.图13（2）如图14，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A()-4，1，B()-1，3，经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A″，B″的坐标分别为A″()1，0，B″()3，-3，则由线段AB得到线段A′B′的过程是：，由线段A′B′得到线段A″B″的过程是：．图14（3）如图15，在正方形网格中，线段A′B′可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由线段AB得到线段A′B′的过程：．图16图15ABA′B′（4）如图16，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作△DEF是经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程：．五、教学反思本节课是“图形的轴对称、平移和旋转”中考第二轮专题复习课，内容属于“图形的变化”.希望通过一系列数学活动，帮助学生在已有知识基础上对图形变换思想进行相应的概括和应用.同时，在落实“四基”、培养“四能”的过程中，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.1.感受运动变化，建立逻辑体系学生通过亲身经历课前的数学操作活动后，体验的水平停留在“感觉”阶段，还没有对活动过程进行深入的思考，没有深刻认识到三种全等变换之间内在的逻辑关系.在此基础上，学生在课堂上通过交流及反思性观察将获得的体验进行抽象，梳理三种全等变换各自的性质及它们之间的联系，形成解决该类问题的一般思维模式.图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.在关注联系的基础上，通过问题引导，使学生能够进行知识的归纳梳理，并能够主动利用经验的迁移去研究其他问题.通过本节课的教学，进一步帮助学生感受运动变化，学会以运动变化的视角分析图形，也为后续进一步主动运用图形变化视角认识几何图形，运用图形变换思想解决综合性问题奠定基础. 2.培养思维的有序性、多样性满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，开放性问题有助于学生体验解决问题方法的多样性.与此同时，通过增加限定条件，从两种图形变化的组合，到只用一种图形变化，将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时，渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.本节课的教学目标定位在落实画图和识图能力，渗透几何直观能力，理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识；在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化视角思考解决问题的意识，渗透图形变化思想.在实际授课过程中，知识与技能落实得比较到位，而思想性体现不够充分，还需要深入研究，在思想性上多做文章.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.［4］任华中，傅海伦，邵亚娜.初中数学基本活动经验的教学目标层次划分［J］.中国数学教育（初中版），2018（6）：30-32.。

专题卷平面直角坐标系中平移和轴对称变换-简单数学之2021-2022学年七年级下册考点专训(解析

专题卷平面直角坐标系中平移和轴对称变换一、选择题（每小题3分，共36分）1．平面直角坐标系中，把点A (－3，2)向右平移2个单位，所得点的坐标是（）A ．（－3，0）B ．（－3，4）C ．（－5，2）D ．（－1，2）【答案】D【分析】根据点坐标平移的特点：左减右加，上加下减，进行求解即可．【详解】解：点A (-3，2)向右平移2个单位，所得点的坐标是（-3+2，2）即（-1，2），故选D ．【点睛】本题主要考查了点坐标平移，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的特点．2．点()3,5P -关于y 轴的对称点是（）A ．()3,5-B ．()3,5C ．()3,5--D ．()3,5- 【答案】C【分析】关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此解答．【详解】解：点()3,5P -关于y 轴的对称点是()3,5--，故选：C ．【点睛】此题考查关于y 轴对称的点的坐标特征：关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等． 3．点3(4,)P -关于x 轴对称的点所在的象限是（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】D【分析】根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点的坐标，再根据坐标确定所在象限．【详解】解：点3(4,)P -关于x 轴对称的点是(4,3)，在第一象限，故选：D ．【点睛】本题考查了关于x 轴的对称点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的变化特点．4．将点()2,2P m m +-向右平移2个单位长度到点Q ，且Q 在y 轴上，那么点P 的坐标是（）A ．()6,2-B ．()2,6-C ．()2,2D ．()0,4 【答案】B【分析】将点P （m +2，2-m ）向右平移2个单位长度后点Q 的坐标为（m +4，2-m ），根据点Q 在y 轴上知m +4=0，据此知m =-4，再代入即可得．【详解】解：将点P （m +2，2-m ）向右平移2个单位长度后点Q 的坐标为（m +4，2-m ），∵点Q （m +4，2-m ）在y 轴上，∴m +4=0，即m =-4，则点P 的坐标为（-2，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了y 轴上的点横坐标为0的特征．5．将ABC 的各个顶点的横坐标分别加3，纵坐标不变，连接三个新的点所成的三角形是由ABC （） A ．向左平移3个单位所得B ．向右平移3个单位所得C ．向上平移3个单位所得D ．向下平移3个单位所得【答案】B【分析】根据平移与点的变化规律：横坐标加3，图形向右移动；纵坐标不变，图形不向上下移动．【详解】解：根据点的坐标变化与平移规律可知，当ABC 的各个顶点的横坐标分别加3，纵坐标不变，相当于ABC 向右平移3个单位，故选：B ．【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移横坐标变化，纵坐标不变；而上下平移时横坐标不变，纵坐标变化；平移变换是中考的常考点．6．蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A 的坐标为（﹣5，3），则其关于y 轴对称的点B 的坐标为（）A ．（5，3）B ．（5，﹣3）C ．（﹣5，﹣3）D ．（3，5）【答案】A【分析】根据轴对称图形的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得解．【详解】解：由题意，A ，B 关于y 轴对称，∵A （﹣5，3），∴B （5，3），故选：A ．【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中轴对称图形坐标的求解，熟练掌握，即可解题．7．已知平面直角坐标系中点A 的坐标为()5,6-，则下列结论正确的是（）A ．点A 到x 轴的距离为5B ．点A 到y 轴的距离为6C ．点A 关于x 轴对称的点的坐标为()5,6-D ．点A 关于y 轴对称的点的坐标为()5,6【答案】D【分析】根据坐标与距离的关系，坐标关于x 轴，y 轴对称的特点求解【详解】∵点A 的坐标为()5,6-，∴点A 到x 轴的距离为|6|=6，到y 轴的距离为|-5|=5,∴选项A ，B 都是错误的；∵点A 关于x 轴对称的点的坐标为()5,6--，∴选项C 是错误的；∵点A 关于y 轴对称的点的坐标为()5,6，∴选项D 是正确的；故选D【点睛】本题考查了坐标的意义，坐标与距离，坐标与轴对称，准确理解坐标的意义，坐标的对称点的意义是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，把点P 先向左平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点M ，作点M 关于y 轴的对称点N ．已知点N 的坐标是(5，1)，那么点P 的坐标是 ( )A ．(2，-4)B ．(6，-4)C ．(6，-1)D ．(2，-1)【答案】A【分析】先根据点的关于y 轴对称性质由N 点求出点M ，再根据点的平移性质求出点P .【详解】解：因为点M 和点N 关于y 轴对称，N 点坐标是（5，1），所以点M 是（-5，1），又因为点P 先向左平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点M ，所以点P 是（2，-4），故选A.【点睛】本题主要考查点的对称和点的平移，解决本题的关键是要熟练掌握点的对称性质和点的平移性质.9．在平面直角坐标系内，P （2x ﹣6，5﹣x ）关于x 轴对称的对称点在第四象限，则x 的取值范围为（） A ．3＜x ＜5B ．x ＜3C ．5＜xD ．﹣5＜x ＜3【答案】A【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，由此求解即可.【详解】解：∵点P （2x ﹣6，5-x ）关于x 轴对称的点在第四象限，∴点（2x ﹣6，x -5）第四象限 ∴26050x x ->⎧⎨-<⎩解得：35x <<故选A ．【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称的点的坐标特征，坐标所在的象限的特点，解题的关键在于能够熟练掌握坐标所在象限的特点.10．在平面直角坐标系中，将点(1,2)A m n -+先向左平移3个单位长，再向上平移2个单位长，得到点A '，若点A '位于第二象限，则m ，n 的取值范围分别是（）A ．2m <-，0n >B ．4m <，0n >C ．4m <，4n >-D ．1m <，2n >-【答案】C【分析】根据点的平移规律可得向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m -1-3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得．【详解】解：点A （m -1，n +2）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m -4，n +4），∵点A′位于第二象限，∴m −4＜0， n +4＞0 ，解得：m ＜4，n ＞-4，故选C ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，解题的关键是要熟练掌握点的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．11．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，6），点P为x轴上一点，当P A+PB的值最小时，三角形P AB的面积为（）A．1B．6C．8D．12【答案】B【分析】如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，此时P A+PB的值最小．判断出点P 的坐标，根据S△P AB＝S△AA′B﹣S△AA′P，求解即可．【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，此时P A+PB的值最小．∵A（﹣2，2），B（2，6），A′（﹣2，﹣2），P（﹣1，0），∴S△P AB＝S△AA′B﹣S△AA′P＝12×4×4﹣12×4×1＝6，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称，坐标与图形，数形结合是解题的关键．12．如图，点()11,1A ，点1A 向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点2A ；点2A 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点3A ；点3A 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点4A ，…，按这个规律平移得到点2021A ，则点2021A 的横坐标为（）A ．202121-B ．20212C ．202221-D ．20222【答案】A【分析】根据平移方式先求得1234,,,A A A A 的坐标，找到规律求得n A 的横坐标，进而求得2021A 的横坐标．【详解】点1A 的横坐标为1121=-，点2A 的横坐为标2321=-，点3A 的横坐标为3721=-，点4A 的横坐标为41521=-，…按这个规律平移得到点n A 的横坐标为21n -，∴点2021A 的横坐标为202121-，故选A ．【点睛】本题考查了点的平移，坐标规律，找到规律是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．点M （2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 _________．【答案】（﹣1，1）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【详解】解：点M （2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（2﹣3，﹣1+2），即（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中，点的平移变换，掌握点的平移规律是解题的关键．14．若点A （1+m ，2）与点B （﹣3，1﹣n ）关于y 轴对称，则m +n 的值是___．【答案】1【分析】关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此可得m ，n 的值．【详解】解：∵点A （1+m ，2）与点B （-3，1-n ）关于y 轴对称，∴1312m n +=⎧⎨-=⎩，解得：21m n =⎧⎨=-⎩， ∴m +n =2-1=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了关于y 轴的对称点的坐标特点，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P ′的坐标是（-x ，y ）． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,1B ，将线段AB 平移至11A B 的位置，则a b +的值为___________．【答案】2【分析】根据平移变换的规律解决问题即可．解：由题意，线段AB 向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段11A B ，1a ，1b =，2a B ∴+=，故答案为：2．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．16．在平面直角坐标系中，若点()27,2M a -和点()3,N b a b --+关于y 轴对称，则b a =____．【答案】116【分析】关于y 轴对称的点的特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此解得a ，b 的值即可解题．【详解】解：∵点M （2a -7，2）和N （-3﹣b ，a +b ）关于y 轴对称，∴2732a b a b -=+⎧⎨+=⎩，解得：42a b =⎧⎨=-⎩，则b a ＝()21416-=．故答案为：116．【点睛】本题考查关于y 轴对称的点的特征、涉及解二元一次方程组，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．第一象限内有两点()4,P m n -，(),2Q m n -，将线段PQ 平移，使平移后的点P 、Q 都在坐标轴上，则点P 平移后的对应点的坐标是_________．【答案】(0,2)或(4,0)-【分析】设平移后点P 、Q 的对应点分别是P ′、Q ′．分两种情况进行讨论：①P ′在y 轴上，Q ′在x 轴上；②P ′在x 轴上，Q ′在y 轴上．解：设平移后点P 、Q 的对应点分别是P ′、Q ′．分两种情况：①P ′在y 轴上，Q ′在x 轴上，则P ′横坐标为0，Q ′纵坐标为0，∵0-（n -2）=-n +2，∴n -n +2=2，∴点P 平移后的对应点的坐标是（0，2）；②P ′在x 轴上，Q ′在y 轴上，则P ′纵坐标为0，Q ′横坐标为0，∵0-m =-m ，∴m -4-m =-4，∴点P 平移后的对应点的坐标是（-4，0）；综上可知，点P 平移后的对应点的坐标是（0，2）或（-4，0）．故答案为：（0，2）或（-4，0）．【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，“把某一图形先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形ABCD ，顶点()()1,3,3,1A C ，若正方形ABCD 经过一次上述变换，则点A 变换后的坐标为________；对正方形ABCD 连续做2021次这样的变换，则点D 变换后的坐标为_________．【答案】(1,3)-- (3,3)--【分析】根据平面直角坐标系内关于x 和y 轴成轴对称点的坐标特征易得解．关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【详解】解：根据平面直角坐标系内关于x 和y 轴成轴对称点的坐标特征：关于x 轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．点(1,3)A 先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折后的坐标为(1,3)--；由于正方形ABCD ，顶点(1,3)A ，(3,1)C ，所以(3,3)D ，先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折一次后坐标为(3,3)--，两次后坐标为(3,3)，三次后坐标为(3,3)--，故连续做2021次这样的变化，则点D 变化后的坐标为(3,3)--．故答案为：(1,3)--；(3,3)--．【点睛】考查了平面直角坐标系中的翻折变换问题，解题的关键是熟悉坐标平面内对称点的坐标特征．三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）19．如图所示，用点A (3，1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，用点B (2，3)表示放置2个胡萝卜，3棵青菜．（1）请你写出点C 、D 、E 、F 所表示的意义；（2）若一只兔子从点A 到达点B (顺着方格线走)，有以下几条路线可以选择：①A →C →D →B ；②A →E →D →B ；③A →E →F →B ，问走哪条路吃到的胡萝卜最多？走哪条路吃到的青菜最多？【答案】（1）C 表示放置2个胡萝卜、1棵青菜；D 表示放置2个胡萝卜、2棵青菜；E 表示放置3个胡萝卜、2棵青菜；F 表示放置3个胡萝卜、3棵青菜；（2）第③条路线吃到的胡萝卜和青菜都最多【分析】（1）根据问题的“约定”先写出坐标，再回答其实际意义；(2)通过比较三条线路吃胡萝卜、青菜的多少回答问题．【详解】解：(1)因为点A (3，1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B (2，3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜，可得：点C 的坐标是(2，1)，它表示放置2个胡萝卜、1棵青菜；点D 的坐标是(2，2)，它表示放置2个胡萝卜、2棵青菜；点E 的坐标是(3，2)，它表示放置3个胡萝卜、2棵青菜；点F 的坐标是(3，3)，它表示放置3个胡萝卜、3棵青菜．(2)若兔子走路线①A →C →D →B ，则可以吃到的胡萝卜共有3+2+2+2＝9(个)，吃到的青菜共有1+1+2+3＝7(棵)；走路线②A →E →D →B ，则可以吃到的胡萝卜共有3+3+2+2＝10(个)，吃到的青菜共有1+2+2+3＝8(棵)；走路线③A →E →F →B ，则可以吃到的胡萝卜共有3+3+3+2＝11(个)，吃到的青菜共有1+2+3+3＝9(棵)；由此可知，走第③条路线吃到的胡萝卜和青菜都最多．【点睛】本题考查平面直角坐标系中的坐标规律问题，理解横纵坐标的含义是结题关键．20．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，ABC 与A B C '''关于y 轴对称．（1）画出A B C '''；（2）直接写出点C '的坐标；（3）若(,1)P m m -是ABC 内部一点，点P 关于y 轴对称点为P '，且8PP '=，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）(5 3)C '-，；（3）(4 3)P ，【分析】（1）分别作出点A (4，5)、B (1，1)、C (5，3)关于y 轴的对称点A B C '''，，，依次连接起来即得到A B C '''；（2）根据关于y 轴对称的点的坐标的特征，即可写出点C '的坐标；（3）由点P 关于y 轴对称点为P '，则可得PP '关于m 的表达式，由8PP '=可得关于m 的方程，解方程即可，从而求得点P 的坐标．【详解】（1）如图所示．（2）C '点与C 点关于y 轴对称，且点C 的坐标为(5，3)，则点C '的坐标为(53)-，；（3）∵点P 关于y 轴对称点为P '，且(1)P m m -， ∴(1)P m m '--， ∵点P 在△ABC 的内部 ∴m >0 ∴2PP m '= ∵8PP '= ∴2m =8 ∴m =4 ∴(43)P ，．【点睛】本题是坐标与图形问题，考查了画轴对称图形，关于y 对称的点的坐标特征，掌握点关于y 轴对称的坐标特征是解题的关键．21．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣3，0），B 1（1，1），C 1（1，3）．（1）将点A 1、B 1、C 1三点分别向上平移1个单位再向右平移两个单位得到点A 、B 、C ，请写出点A ，B ，C 的坐标；并在平面直角坐标系中画出△ABC ；（2）连接OA ，OB ，求△ABO 的面积．【答案】（1）点A坐标（﹣1，1），点B坐标（3，2），点C坐标（3，4），图见解析；（2）5 2【分析】（1）先根据平移方式确定A、B、C三点的坐标，然后描点顺次连接即可；（2）根据三角形ABO的面积等于其所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可得到答案．【详解】（1）点A坐标（﹣1，1），点B坐标（3，2），点C坐标（3，4），如图，△ABC为所作．（2）S△ABO＝1115 241411322222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了平移作图，根据平移方式确定点的坐标，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．22．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A1B1C1，结合图形，完成下列问题：（1）三角形ABC 先向左平移个单位，再向平移个单位得到三角形A 1B 1C 1．（2）三角形ABC 内有一点P （x ，y ），则在三角形A 1B 1C 1内部的对应点P 1的坐标是．（3）三角形ABC 的面积是．【答案】（1）5，下，4；（2）（5x -，4y -）；（3）7．【分析】（1）根据题图直接判断即可；（2）由平移的性质：上加下减，左减右加解答即可；（3）利用分割法求出三角形的面积即可．【详解】解：（1）根据题图可知，三角形ABC 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位得到三角形A 1B 1C 1；故答案是：5，下，4；（2）由平移的性质：上加下减，左减右加可知，三角形ABC 内有一点P （x ，y ），则在三角形A 1B 1C 1内部的对应点P 1的坐标是（5x -，4y -），故答案是：（5x -，4y -）；（3）11144142423162437222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=，故答案是：7．【点睛】本题考查作图：平移变换，三角形的面积等知识，熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积是解题的关键．23．如图，ABC 三个顶点的坐标分别为(5,4)A -、(2,2)B -、(4,1)C -．（1）若111A B C △与ABC 关于y 轴成轴对称，请在答题卷上作出111A B C △，并写出111A B C △的三个顶点坐标；（2）求111A B C △的面积；（3）若点P 为y 轴上一点，要使CP BP +的值最小，请在答题卷上作出点P 的位置．（保留作图痕迹）【答案】（1）图见解析，1(5,4)A 、1(2,2)B 、1(4,1)C ；（2）72；（3）见解析【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A 1B 1C 1；（2）依据割补法进行计算，即可得到111A B C △的面积．（3）连接CB 1，交y 轴于点P ，则11BP CP B P CP B C +=+=可得最小值；【详解】解：（1）如图，1(5,4)A 、1(2,2)B 、1(4,1)C ；（2）111A B C △的面积为1312237332222⨯⨯⨯⨯---=；（3）连接1CB （或1BC ）与y 轴交于点P ，如图，11BP CP B P CP B C +=+= 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．24．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A （1，2），A 1（2，2），A 2（4，2），A 3（8，2）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是________；（2）若按（1）中找到的规律将三角形OAB 进行n 次变换，得到三角形OA n B n ，推测A n 的坐标是________，B n 的坐标是________．（3）求出△OAnBn 的面积．【答案】（1）(16，2)， (32，0)；（2）(2n ，2)， (2n+1，0)；（3）12n +．【分析】（1）观察图形并结合已知条件，找到A n 的横坐标、纵坐标的规律，及B n 的横坐标、纵坐标的规律，即可解题；（2）根据规律：A n 的横坐标是2n ，纵坐标都是2，得到A n 的坐标是(2n ，2)，B n 的横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0，得到B n 的坐标是(2n ＋1，0)；（3）分别计算11OA B ∆、22OA B ∆、33OA B ∆的面积，找到面积规律n n OA B ∆的面积为: 1112222n n ++⨯⨯=. 【详解】解：（1）A （1，2），A 1（2，2），A 2（4，2），A 3（8，2）A ∴的横坐标0112,A =的横坐标 1222,A =的横坐标2342,A =的横坐标382=，三个点的纵坐标都是2，4A ∴的横坐标是4216=，纵坐标是0， 4(16,2)A ∴，又B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0），1B ∴的横坐标2242,B =的横坐标 3382,B =的横坐标4162=，三个点的纵坐标都是0，4B ∴的横坐标5232=，纵坐标是2，4(32,0)B ∴故答案为：(16，2), (32，0)；（2）由A 1（2，2），A 2（4，2），A 3（8，2）可以发现它们各点坐标的关系为：横坐标是2n ，纵坐标都是2，得到A n 的坐标是(2n ，2)，由B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）可以发现，它们各点坐标的关系为：横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0，得到B n 的坐标是(2n ＋1，0)，故答案为：(2n ，2)，(2n ＋1，0)；（3）11OA B ∆的面积为2212222⨯⨯=，22OA B ∆的面积为3312222⨯⨯=，33OA B ∆的面积为4412222⨯⨯=，据此规律可得n n OA B ∆的面积为: 1112222n n ++⨯⨯=. 【点睛】本题考查平面直角坐标系与图形规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.。

中考一轮复习数学专题15 图形的旋转、翻折(对称)与平移(学生版)

专题15 图形的旋转、翻折（对称）与平移一、单选题1．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（） A ．()3,1 B ．()1,1- C ．()1,3 D ．()1,1-2．（2022·广西）如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（）A ．（3，-3）B ．（3，3）C ．（－1，1）D ．（－1，3）3．（2020·山东菏泽）在平面直角坐标系中，将点()3,2P -向右平移3个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为（）A ．()0,2-B ．()0,2C ．()6,2-D ．()6,2--4．（2020·四川自贡）在平面直角坐标系中，将点()2,1向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（） A ．(),-11 B ．(),51 C ．(),24 D ．(),-225．（2021·四川雅安）如图，将ABC 沿BC 边向右平移得到DEF ，DE 交AC 于点G ．若:3:1BC EC =．16ADG S =△．则CEG S △的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．86．（2021·浙江丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (−1，b )，(1，b )，(2，b )，(3.5，b )，平移y 轴右侧的一盏灯笼，使得y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A ．将B 向左平移4.5个单位B ．将C 向左平移4个单位 C ．将D 向左平移5.5个单位 D ．将C 向左平移3.5个单位7．（2022·四川南充）如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ''△，点B '恰好落在CA 的延长线上，3090∠=︒∠=︒，B C ，则BAC '∠为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．308．（2022·山东青岛）如图，将ABC 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180︒，得到A B C '''，则点A 的对应点A '的坐标是（）A ．(2,0)B ．(2,3)--C ．(1,3)--D ．(3,1)--9．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到EDC △，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若BCD α∠=，则EFC ∠的度数是（用含α的代数式表示）（）A ．1902α︒+B ．1902α︒-C ．31802α︒-D ．32α 10．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 在y 轴上，点C 的坐标为（0，1），AC ＝2，Rt△ODE 是Rt△ABC 经过某些变换得到的，则正确的变换是（）* 本号资料皆来源于微信：数学A ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位11．（2022·黑龙江绥化）如图，线段OA 在平面直角坐标系内，A 点坐标为()2,5，线段OA 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段OA '，则点A '的坐标为（）A ．()5,2-B ．()5,2C ．()2,5-D ．()5,2-12．（2021·四川广安）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE ，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为（）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒13．（2020·湖北黄石）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是()2,1-，连接OG ，将线段OG 绕原点O 旋转180︒，得到对应线段OG '，则点G '的坐标为（）A ．()2,1-B ．()2,1C ．()1,2-D ．()2,1--14．（2020·四川攀枝花）如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（）．A ．2πB ．34πC ．πD ．3π15．（2022·天津）如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB AN = B ．AB NC ∥ C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥16．（2022·江苏扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：△AFE DFC △△；△DA 平分BDE ∠；△CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△17．（2021·黑龙江牡丹江）如图，△AOB 中，OA ＝4，OB ＝6，AB ＝，将△AOB 绕原点O 旋转90°，则旋转后点A 的对应点A ′的坐标是（）A ．（4，2）或（﹣4，2）B ．（4）或（﹣4） C ．（﹣2）或（2） D ．（2，﹣2，18．（2021·广东广州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到A B C '''，使点C '落在AB 边上，连结BB '，则sin BB C ''∠的值为（）A ．35B ．45CD 19．（2021·河南）如图，OABC 的顶点(0,0)O ，(1,2)A ，点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ．将ODA 绕点O 顺时针旋转得到OD A ''△，当点D 的对应点D 落在OA 上时，D A ''的延长线恰好经过点C ，则点C 的坐标为（）A ．0)B ．C ．1,0)D ．1,0)20．（2020·海南）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（）A ．1cmB ．2cmCD ．21．（2020·山东菏泽）如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则BED ∠等于（）A ．2α B ．23α C ．α D ．180α︒-22．（2020·山东聊城）如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（）．A ．21⎫+⎪⎪⎝⎭B 1C 1D 123．（2020·山东枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(1,2-+B ．()C ．(2+D ．(- 二、填空题 24．（2022·山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A ，B 的坐标分别是()0,2A ，()2,1B -．平移ABC 得到A B C '''，若点A 的对应点A '的坐标为()1,0-，则点B 的对应点B '的坐标是_____________．25．（2021·辽宁鞍山）如图，△ABC 沿BC 所在直线向右平移得到△DEF ，若EC ＝2，BF ＝8，则BE ＝___．26．（2021·湖南湘潭）在平面直角坐标系中，把点()2,1A -向右平移5个单位得到点A '，则点A '的坐标为____． 27．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB 沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．28．（2021·湖南怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知(2,1)A -，(1,4)B -，(1,1)C -，将ABC 先向右平移3个单位长度得到111A B C △，再绕1C 顺时针方向旋转90︒得到221A B C △，则2A 的坐标是____________．29．（2022·山东潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO 绕原点O 逆时针旋转75︒，再沿y 轴方向向上平移1个单位长度，则点B ''的坐标为___________．30．（2020·江苏镇江）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．31．（2020·广东广州）如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．32．（2020·湖南湘西）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为___________．33．（2022·湖南永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A 为网格线的交点.若线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后，端点A 的坐标变为______．34．（2021·湖北随州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）35．（2020·广西）以原点为中心，把()3,4M 逆时针旋转90°得到点N ，则点N 的坐标为______． 36．（2022·广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B 到x 轴的距离为4，若将OAB 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OA B ''△，则点B '的坐标为__________．37．（2022·湖北随州）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则△BHD 的度数为______，DH 的长为______．本@号资料皆来源于微信*：数学38．（2021·四川巴中）如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ．若BQ ：AQ ＝3：1，则AM ＝__________．9(0)0αα︒<<︒得到AB C ''△，连接BB '，CC '，则CAC '△与BAB '△的面积之比等于_______．40．（2020·四川眉山）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C △的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．41．（2020·山东烟台）如图，已知点A (2，0)，B (0，4)，C (2，4)，D (6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．42．（2020·甘肃天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．三、解答题43．（2022·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）．(1)将△ABC 向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △﹔(2)以边AC 的中点O 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向旋转180°，得到222A B C △，请画出222A B C △．44．（2022·黑龙江牡丹江）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 与△DEF 关于点O 成中心对称，△ABC 与△DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O 的位置；（2）将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（3）在网格中画出格点M ，使A 1M 平分△B 1A 1C 145．（2021·黑龙江哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC ∆的顶点和线段DE 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将ABC ∆向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到MNP ∆；（点A 的对应点是点M ，点B 的对应点是点N ，点C 的对应点是点P ），请画出MNP ∆；（2）在方格纸中画出以DE 为斜边的等腰直角三角形DEF （点F 在小正方形的顶点上）．连接FP ，请直接写出线段FP 的长．46．（2021·安徽）图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90︒得到221A B C △，画出221A B C △．47．（2022·湖南）如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度）中，AOB ∆的顶点坐标分别为(3,0)A ，(0,0)O ，(3,4)B ．(1)将AOB ∆沿x 轴向左平移5个单位，画出平移后的△111AO B （不写作法，但要标出顶点字母）； (2)将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△222A O B （不写作法，但要标出顶点字母）； (3)在（2）的条件下，求点B 绕点O 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留)π．48．（2022·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标； (3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．49．（2020·四川巴中）如图所示，ABC 在边长为1cm 的小正方形组成的网格中．（1）将ABC 沿y 轴正方向向上平移5个单位长度后，得到111A B C △，请作出111A B C △，并求出11A B 的长度；（2）再将111A B C △绕坐标原点O 顺时针旋转180°，得到222A B C △，请作出222A B C △，并直接写出点2B 的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB 在变换过程中扫过图形的面积和．50．（2022·江苏常州）如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．(1)按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为______；(2)在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．51．（2021·黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点坐标分别为()()()1,3,4,3,00,0A B --．（1）画出ABO 关于x 轴对称的11A B O ，并写出点1A 的坐标；（2）画出ABO 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的22A B O ，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点2A 所经过的路径长（结果保留π）．52．（2021·青海西宁）如图，正比例函数12y x =与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点A ，AB x ⊥轴于点B ，延长AB 至点C ，连接OC ．若2cos 3BOC ∠=，3OC =．（1）求OB的长和反比例函数的解析式；（2）将AOB绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．53．（2021·江苏淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为；*本号资料皆来源于微信：数学第*六感（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的15．54．（2021·辽宁阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于 y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．55．（2021·贵州毕节）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ．（1）求证：BD CE =，BD CE ⊥；（2）如图2．连接AF ，DC ，已知135BDC ∠=︒，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．56．（2021·内蒙古通辽）已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形OM OA ⎫<<⎪⎪⎝⎭，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON △绕点O 顺时针旋转．△如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；△当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．57．（2021·湖南衡阳）如图，点E 为正方形ABCD 外一点，90AEB =︒∠，将Rt ABE △绕A 点逆时针方向旋转90︒得到,ADF DF 的延长线交BE 于H 点．（1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由；（2）已知7,13BH BC ==，求DH 的长．58．（2021·北京）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．59．（2021·浙江嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<≤︒，得到矩形'''AB C D[探究1]如图1，当90α=︒时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．60．（2021·四川阿坝）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，点D 落在线段AB 上，连接BE ．（1）求证：DC 平分ADE ∠；（2）试判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由：（3）若BE BD =，求tan ABC ∠的值．61．（2020·湖南邵阳）已知：如图△，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图△，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．△AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）△求证：AF DM ⊥；△若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED 的值．（可不写过程，直接写出结果）62．（2020·江苏常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt△ABC △Rt△CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． △请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；△如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．63．（2020·福建）如图，ADE ∆由ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求BDE ∠的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠=∠CDF DAC ．△判断DF 和PF 的数量关系，并证明；△求证：=EP PC PF CF．64．（2020·甘肃金昌）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ∠=︒，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE △．（1）求证：AEM △△ANM ．（2）若3BM =，2DN =，求正方形ABCD 的边长．。

中考一轮复习--第25讲图形的平移、旋转、对称与位似

移后的△A'B'C';
(2)画出△DEF关于直线l对称的△D'E'F';
(3)填空:∠C+∠E=
°.
考点梳理自主测试
解:(1)(2)如图①所示,
(3)45°
考点梳理自主测试
3.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中,
给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB.
(1)将线段AB向右平移5个单位,再向上平移3个单位得到线段CD,请画出线段CD; (2)以线段CD为一边,作一个菱形CDEF,且点E,F也为格点.(作出一个菱形即可)
(或在同一直线)且相等,且都被对称轴垂直平分
考点梳理自主测试
轴对称
轴对称图形
图形
关系
对称轴条数图形的个数
只有一条
一条或多条
两个具有特殊位置关系的全一个具有特殊形状的图
等图形
形
考点梳理自主测试
2.中心对称与中心对称图形
概念性质
中心对称
中心对称图形
如果一个图形绕着某一点旋转 180°后,能够和另一个图形完全重合,就说这两个图形关于这一点成中心对称
成中心对称的两个图形全等,对应点的连线都经过对称中心 ,且被对称中心平分
如果一个图形绕着某一点
旋转 180°后,能够和原来的图形完全重合,就把这个图形叫做中心对称图形,这一点叫做对称中心
考点梳理自主测试
中心对称
中心对称图形
图形
关系对称中
心位置图形的个数
可能在两个图形内,可能在某个图形外两个具有特殊位置关系的全等图形
考点梳理自主测试

备战中考数学二轮专题归纳提升真题平面直角坐标系规律探究问题(解析版)

专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为（a ，-b ）点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为（-a ，b ）点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为（-a ，-b ）口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )；点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。

【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合，故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方，此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位，即（44，2）的位置．故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。

中考数学专题复习卷：轴对称、平移与旋转(含解析)

轴对称、平移与旋转一、选择题1.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C、平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D、矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故答案为：D.【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；根据轴对称图形的定义，再一一判断即可。

2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 正三角形B. 菱形C. 直角梯形D. 正六边形【答案】C【解析】：A.正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故正确，A符合题意；B.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误，B不符合题意；C.直角梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误，C不符合题意；D.正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误，D不符合题意；故答案为：A.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义一一判断对错即可得出答案.3.将抛物线y=-5x +l向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）.A. y=-5(x+1) -1B. y=-5(x-1) -1C. y=-5(x+1) +3D. y=-5(x-1) +3【答案】A【解析】：将抛物线y=-5x+l向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y=-5（x+1）2+1再向下平移2个单位长度得到的抛物线为：y=-5(x-1)+1-2即y=-5(x+1)-1故答案为：A【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。

根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。

即可求解。

4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】：点关于原点对称的点的坐标为（3,5）故答案为：C【分析】根据关于原点对称点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数，就可得出答案。

中考数学专题训练：图形的对称、平移与旋转(附参考答案)

中考数学专题训练：图形的对称、平移与旋转（附参考答案）1.下列图形：其中轴对称图形的个数是( )A．4 B．3C．2 D．12.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y 轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为( )A．(6，2) B．(－6，－2)C．(2，6) D．(2，－6)3.如图是用七巧板拼成的一个轴对称图形(忽略拼接线)，小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置(摆放时无缝隙不重叠)，还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )A．2 B．3C．4 D．54.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图1中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图2.根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是( )A．3 B．√5C．2 D．15.如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：第一步，如图1将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图2；第二步，再将图2中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图3；第三步，将图3中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图4.则DH的长为( )A．32B．85C．53D．956.在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)向右平移2个单位长度后，得到对应点的坐标是( )A．(－5，2) B．(－1，4)C．(－3，4) D．(－1，2)7.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移，平移后点A′的横坐标为4√3，则点B′的坐标为( )A．(－6√3，2) B．(6√3，－2√3)C．(6，－2) D．(6√3，－2)8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A 2B2C2.若B2(2，1)，则点A2的坐标为( )A．(1，5) B．(1，3)C．(5，3) D．(5，5)9.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移的距离为6，则阴影部分的面积为( )A．24 B．40C．42 D．4810.如图，△ABC沿BC方向平移后的图形为△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是( )A．1 B．2C．3 D．411．如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是( )A BC D12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为( )A．αB．α－45°C．45°－αD．90°－α13.如图，将直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′的度数为( )A．90°B．60°C．45°D．30°14.如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是边BC上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是( )A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC15.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，∠BCD的度数为________．16.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，√3)，(4，0)．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为(6，√3)，则点E的坐标为____________.17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(4，0)，连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为______________.18.如图，在□ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为______________________．参考答案1.B2.A3.B4.C5.D6.D7.D8.B9.D 10.C 11.B 12.C 13.B 14.C15．33° 16．(7，0) 17．(7，4) 18．90°或180°或270°。

2023年中考数学一轮专题练习图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转2一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市2022年）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．2. （湖南省娄底市2022年）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3. （湖南省郴州市2022年）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4. （江苏省常州市2022年）在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点1A 关于x 轴对称，点A 与点2A 关于y 轴对称．已知点1(1,2)A ，则点2A 的坐标是（） A ．(2,1)- B ．(2,1)--C ．(1,2)-D ．(1,2)--5. （湖南省长沙市2022年）在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是（） A ．(5,1)- B ．(5,1)- C ．(1,5) D ．(5,1)-- 6. （湖南省邵阳市2022年）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（） A ．等边三角形B ．圆C ．长方形D ．正方形7. （湖南省怀化市2022年）如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．48. （湖南省衡阳市2022年）下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（）A ．可回收垃圾B ．其他垃圾C ．有害垃圾D ．厨余垃圾9. （四川省雅安市2022年）在平面直角坐标系中，点（a +2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b ），则ab 的值为（） A ．﹣4B ．4C ．12D ．﹣1210. （天津市2022年）如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB AN = B ．AB NC ∥ C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥二、填空题（本大题共8小题）11. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）在平面直角坐标系中，线段AB 的端点(3,2),(5,2)A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，点A 的对应点C 的坐标是(1,2)-，则点B 的对应点D 的坐标是．12. （吉林省2022年）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角()0360αα︒<<︒后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）13. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得到FBE ，连接GF ．当GF 最小时，AE 的长是．14. （辽宁省大连市2022年）如图，对折矩形纸片ABCD ，使得AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 的对应点A '落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ．连接，若，，则的长是．15. （辽宁省大连市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是1,2，将线段OA 向右平移4个单位长度，得到线段BC ，点A 的对应点C 的坐标是．16. （江苏省扬州市2022年）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D；第MF MF BM ⊥6cm AB =ADcm2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN += ．17. （江苏省无锡市2022年）△ABC 是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE 交于点F ．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC =20°，则∠BAF ＝ °；现将△DCE 绕点C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是．18. （湖北省荆州市2022年）规定：两个函数，的图象关于y 轴对称，则称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数与的图象关于y 轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数（k 为常数）的“Y 函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y 函数”的解析式为．三、解答题（本大题共5小题）19. （四川省自贡市2022年）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．1y 2y 122y x =+222y x =-+()2213y kx k x k =+-+-(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝， EF ＝；(2)进一步观察，我们还会发现EF ∥AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．20. （湖北省十堰市2022年）已知90ABN ∠=︒，在ABN ∠内部作等腰ABC ，AB AC =，()090BAC αα∠=︒<≤︒．点D 为射线BN 上任意一点（与点B 不重合），连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转α得到线段AE ，连接EC 并延长交射线BN 于点F ．(1)如图1，当90α=︒时，线段BF 与CF 的数量关系是；(2)如图2，当090α︒<<︒时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若60α=︒，AB =BD m =，过点E 作EP BN ⊥，垂足为P ，请直接写出PD 的长（用含有m 的式子表示）．21. （黑龙江省绥化市2022年）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G .利用面积证明：DE DF CG +=．(2)如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B ′处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N .若8BC =，3BE =，求GM GN +的长．(3)如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，连接BD ，且AB AECD DE=，BC =3CD =，6BD =，求ED EA +的长． 22. （天津市2022年）将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(3,0)A ，点(0,6)C ，点P 在边OC 上（点P 不与点O ，C 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且30OPQ ∠=︒，点O 的对应点O '落在第一象限．设OQ t =．(1)如图①，当1t =时，求O QA ∠'的大小和点O '的坐标；(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，,O Q O P ''分别与边AB 相交于点E ，F ，试用含有t 的式子表示O E '的长，并直接写出t 的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为t 的值可以是（请直接写出两个不同．．．．的值即可）．23. （湖北省鄂州市2022年）如图1，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在y 轴的正半轴上，且OA =6，斜边OB =10，点P 为线段AB 上一动点．(1)请直接写出点B 的坐标；(2)若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；(3)如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；(4)如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．参考答案1. 【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2. 【答案】D【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．3. 【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误．故答案为B．4. 【答案】D【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，A点坐标，即可得出答案．2【详解】解：∵点1A的坐标为（1，2），点A与点1A关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），∵点A与点A关于y轴对称，2∴点A的坐标是（-1，﹣2）．2故选：D．5. 【答案】D【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】--．解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(5,1)故选D．6. 【答案】B【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．7. 【答案】C【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选 C．8. 【答案】C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，B．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，C．既是中心对称又是轴对称图形，D．是轴对称图形但不是中心对称图形，故选C．9. 【答案】D【分析】a b，可得a，b的值，再首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得240,20代入求解即可得到答案．【详解】解：点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴240,20a b，a b解得：6,2,ab12,故选D10. 【答案】C【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．11. 【答案】(1,2)【分析】根据点的平移法则：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．【详解】解：点A（3，2），点A的对应点C（-1，2），将点A（3，2）向左平移4个单位，所得到的C（-1，2），∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2），故答案为：(1,2)．12. 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角3601606︒∠==︒， 0360α︒<<︒， ∴角α可以为60︒或120︒或180︒或240︒或300︒，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．13. 【答案】5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论．【详解】解：①分析所求线段GF 端点：G 是定点、F 是动点；②动点F 的轨迹：正方形ABCD 的边长为10，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得到FBE ，连接GF ，则10BF BA ==，因此动点轨迹是以B 为圆心，10BA =为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF 最小值对应的线段为10GB -；⑤求线段长，连接GB ，如图所示：在Rt BCG ∆中，90C ∠=︒，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，则5,10CG BC ==，根据勾股定理可得BG =当G F B 、、三点共线时，GF最小为10，接下来，求AE 的长：连接EG ，如图所示根据翻折可知,90EF EA EFB EAB =∠=∠=︒，设AE x =，则根据等面积法可知EDG BCG BAE BEG S S S S S ∆∆∆∆=+++正方形，即()111111005105101022222DE DG BC CG AB AE BG EF x x ⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅=-+⨯++⎣⎦整理得)120x =，解得2015x AE====，故答案为：5．14. 【答案】【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，分别根据直角三角形中的三角函数求出AM 和DM ，从而得到答案．【详解】解：如下图所示，设A E '交BM 于点O ，连接AO ，∵点E 是中点，∴在Rt ABM 和 Rt A BM '中，,AO OM OB OA OB OM '====,∴,OAE OBE OBA OA B ''∠=∠∠=∠ ，∵OBE OBA '∠=∠，AOA M 'AOM∴OAE OA B '∠=∠ ，∵90,90OAE AOE OA B OA M ︒︒''∠+∠=∠+∠=，∴AOE OA M '∠=∠，∴//AO A M '，∵//AM OA '∴四边形AOA M '是平行四边形，∴AM OA '=∴AM AO OM ==,∴是等边三角形，∴∴ ∴∵，，∴，∴，∵， ∴∴故答案为：15. 【答案】()5,2【分析】由将线段OA 向右平移4个单位长度，可得点A 1,2向右边平移了4个单位与C 对应，再利用“右移加”即可得到答案．【详解】解：∵将线段OA 向右平移4个单位长度，∴点A 1,2向右边平移了4个单位与C 对应，∴14,2,C 即5,2,C故答案为：5,2.16. 【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】AOM 60AMO OMA ︒'∠=∠=tan tan 60AB AMO AM ︒∠==AM =MF BM ⊥60OMA ︒'∠=30A MF ︒'∠=18015030DMF ︒︒︒∠=-=132DF AB ==tan 30DF MD ==︒AD AM MD =+=解：∵已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ， ∴12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ∵第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，∴AM DM =，AN ND =，∴MN AD ⊥，∴MN BC ．∵AM DM =，∴MN 是ADC 的中位线， ∴12MP DB '=，12MN DC =． ∵12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=， ∴()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='．故答案为：6．17. 【答案】80 4##4【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （ SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H ，如图：∵△ACE ≌△BCD∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32， ∴FE =DF =cos30DG ︒∴AF =AE -FE故答案为：80；18. 【答案】或【分析】分两种情况，根据关于y 轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数（k 为常数）的“Y 函数”图象与x 轴只有一个交点，函数（k 为常数）的图象与x 轴也只有一个交点，当k =0时，函数解析为，它的“Y 函数”解析式为，它们的图象与x 轴只有一个交点，23y x =-244y x x =-+-()2213y kx k x k =+-+-∴()2213y kx k x k =+-+-23y x =--23y x =-当时，此函数是二次函数，它们的图象与x 轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x 轴上，，得，故k +1=0，解得k =-1，故原函数的解析式为，故它的“Y 函数”解析式为，故答案为：或．19. 【答案】(1)CD ，AD ；(2)见解析；(3)EF 于BC 之间的距离为64cm ．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD 的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC 是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH 的长，再证明△BCH ∽△BGE ，得到BH CH BE EG=，代入数值求解EG ，即可得到答案．(1)解：∵ 把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．∴由旋转的性质可知矩形ABCD 的各边的长度没有改变，∴AB ＝BE ，EF ＝AD ，CF ＝CD ，故答案为：CD ，AD ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∵AB ＝BE ，EF ＝AD ，CF ＝CD ，∴BE ＝CF ，EF ＝BC ，∴四边形BEFC 是平行四边形，∴EF BC ，∴EF AD ；(3)解：如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ， 0k≠∴()()2432104k k k k ---⎡⎤⎣⎦∴=10k k+=244y x x =---244y x x =-+-23y x =-244y x x =-+-∵DC ＝AB ＝BE ＝80cm ，点H 是CD 的中点，∴ CH ＝DH ＝40cm ，在Rt △BHC 中，∠BCH ＝90°，BH50=（cm ），∵ EG ⊥BC ，∴∠EGB ＝∠BCH ＝90°，∴CH EG ，∴ △BCH ∽△BGE ， ∴BH CH BE EG =， ∴， ∴EG ＝64，∵ EF BC ，∴EF 与BC 之间的距离为64cm ．20. 【答案】(1)BF =CF(2)成立；理由见解析 (3)62m PD =-或PD =0或62m PD =- 【分析】（1）连接AF ，先根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（2）连接AF ，先说明EAC BAD ∠=∠，然后根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（3）先根据60α=︒，AB =AC ，得出△ABC 为等边三角形，再按照60BAD ∠︒＜，60BAD ∠=︒，60BAD ∠︒＞三种情况进行讨论，得出结果即可．(1)解：BF =CF ；理由如下：连接AF ，如图所示：504080EG=根据旋转可知，90DAE α∠==︒，AE =AD ， ∵∠BAC =90°，∴90EAC CAD ∠+∠=︒，90BAD CAD ∠+∠=︒， ∴EAC BAD ∠=∠，∵AC =AB ，∴ACE ABD ∆∆≌（SAS ），∴90ACE ABD ∠=∠=︒，∴1809090∠=︒-︒=︒ACF ，∵在Rt △ABF 与Rt △ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），∴BF =CF ．故答案为：BF =CF ．(2)成立；理由如下：连接AF ，如图所示：根据旋转可知，DAE α∠=，AE =AD ， ∵BAC α∠=，∴EAC CAD α∠-∠=，BAD CAD α∠-∠=， ∴EAC BAD ∠=∠，∵AC =AB ，∴ACE ABD ∆∆≌，∴90ACE ABD ∠=∠=︒，∴1809090∠=︒-︒=︒ACF ，∵在Rt △ABF 与Rt △ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），∴BF =CF ．(3)∵60α=︒，AB =AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，AB AC BC === 当60BAD ∠︒＜时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌， ∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∵AB = tan tan30BF BAF AB∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==， 4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌， ∴CE BD m ==，∴4EF CF CE m =+=+，906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒， 60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒， ∵90EPF ∠=︒，∴906030FEP ∠=︒-︒=︒， ∴()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+，∴6622m m PD BP BD m =-=+-=-；当60BAD ∠=︒时，AD 与AC 重合，如图所示：∵60DAE ∠=︒，AE AD =，∴△ADE 为等边三角形，∴∠ADE =60°，∵9030ADB BAC ∠=︒-∠=︒，∴603090ADE ∠=︒+︒=︒，∴此时点P 与点D 重合，0PD =；当60BAD ∠︒＞时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌， ∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∵AB = tan tan30BF BAF AB∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==， 4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌， ∴CE BD m ==，∴4EF CF CE m =+=+，∵906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒，60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒，∵90EPF ∠=︒，∴906030FEP ∠=︒-︒=︒， ∴()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+， ∴6622m m PD BD BF m ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭；综上分析可知，62m PD =-或PD =0或62m PD =-． 21. 【答案】(1)证明见解析(2)4(3)【分析】（1）根据题意，利用等面积法ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，根据等腰ABC 中，AB AC =，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到AFE CFE ∠=∠，结合矩形ABCD 中AD BC ∥得到AFE FEC ∠=∠，从而有CFE FEC ∠=∠，从而确定EFC ∆是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到=GM GN FH +，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，根据AB AE CD DE =，EA AB ⊥，ED CD ⊥，得到ABC ∆是等腰三角形，从而由（1）知ED EA BG +=，在Rt BCG ∆中，BG ==Rt BDG ∆中，6BD =，BG =BG =1x =，从而得到结论．(1)证明：连接AD ，如图所示：在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G ，∴由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+得111222AB CG AB ED AC FD ⋅=⋅+⋅， ∴DE DF CG +=；(2)解：连接CG ，过点F 作FH BC ⊥于H ，如图所示：根据折叠可知AFE CFE ∠=∠，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，则AFE FEC ∠=∠，CFE FEC ∴∠=∠，即EFC ∆是等腰三角形，在等腰EFC ∆中，FC EC =，EF 边上有一点G ，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N ，过点F 作FH BC ⊥于H ，由（1）可得=GM GN FH +，在Rt ABE ∆中，90B ∠=︒，3,835BE AE EC BC BE ===-=-=，则4AB =，在四边形ABHF 中，90B BAF FHB ∠=∠=∠=︒，则四边形ABHF 为矩形，4FH AB ∴==，即4GM GN FH AB +===；(3)解：延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，在四边形中，E 为线段上的一点，，，则，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，设，，，在中，在中，，，22. 【答案】(1)60O QA ∠='︒，点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭ (2)36O E t '=-，其中t 的取值范围是23t <<(3)3，103．（答案不唯一，满足3t ≤< 【分析】（1）先根据折叠的性质得60O QA ∠='︒，即可得出30∠=︒'QO H ，作O H OA '⊥，然后求出O H '和OH ，可得答案；（2）根据题意先表示3=-QA t ，再根据12QA QE =，表示QE ，然后根据O E O Q QE =''-表示即可，再求出取值范围；ABCD BC EA AB ⊥ED CD ⊥90BAE CDE ∠=∠=︒AB AE CD DE=∴ABE DCE ∆∆ABE C ∴∠=∠ABC ∆∴ED EA BG +==GD x 90EDC BGC ∠=∠=︒BC =3CD =Rt BCG ∆BG Rt BDG ∆6BD =BG ∴BG =1x =BG ∴=ED EA BG +==（3）求出t =3时的重合部分的面积，可得从t =3之后重合部分的面积始终是求出P 与C 重合时t 的值可得t 的取值范围，问题得解．(1)在Rt POQ △中，由30OPQ ∠=︒，得9060OQP OPQ ∠=-∠=︒︒．根据折叠，知PO Q POQ '△≌△，∴O Q OQ '=，60︒∠=∠='O QP OQP ．∵180O QA O QP OQP ∠=︒--∠'∠'，∴60O QA ∠='︒．如图，过点O′作O H OA '⊥，垂足为H ，则90O HQ ∠='︒．∴在Rt O HQ '中，得9030QO H O QA ∠=︒-'∠='︒．由1t =，得1OQ =，则1O Q '=．由1122'==QH O Q ，222'+='O H QH O Q得32=+=OH OQ QH ，'=O H∴点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭．(2)∵点(3,0)A ，∴3OA =．又OQ t =，∴3QA OA OQ t =-=-．同（1）知，'=O Q t ，60O QA ∠='︒．∵四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒．在Rt EAQ △中，9030QEA EQA ∠=-∠=︒︒，得12QA QE =． ∴22(3)62QE QA t t ==-=-．又O E O Q QE =''-，∴36O E t '=-.如图，当点O ′与AB 重合时，OQ O Q t '==，60AQO '∠=︒，则30AO Q ∠='︒， ∴12AQ t =， ∴132t t +=，解得t =2，∴t 的取值范围是23t <<；(3)3，103．（答案不唯一，满足3t ≤< 当点Q 与点A 重合时，3AO '=，30DAO '∠=︒，∴cos 30AO AD '==︒则132ADP S =⨯⨯=∴t =3时，重合部分的面积是从t =3之后重合部分的面积始终是当P 与C 重合时，OP ＝6，∠OPQ ＝30°，此时t ＝OP ·tan30°＝由于P 不能与C 重合，故t <所以3t ≤<23. 【答案】(1)（8，6）(2)（67，6） (3)（112，6） (4)OG 的最小值为4，线段FP 扫过的面积为83π 【分析】（1）由勾股定理即可求解；（2）连接OP ，过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，因为∠POB =45°，所以PQ =OQ ，设PQ =OQ =x ，则BQ =10-x ，根据tan B 的值，即可求得x 的值，再利用勾股定理，即可求解；（3）令PA '交OB 于点D ，由点E 为线段OB 的中点，可得152A E AE OB '===，152BE OB ==，利用折叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；（4）当以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，此时OG 最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．(1)解：在Rt △OAB 中，8AB ===，∴点B 的坐标为（8，6）；(2)解：连接OP ，过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，如图，∵∠POB=45°，∴∠OPQ=45°，∴∠POB=∠OPQ，∴PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，在Rt△OAB中，6384 tanOABAB===，在Rt△BPQ中，3104 tanPQ xBBQ x===-，解得307x=，∴307 OQ PQ==，在Rt△POQ中，7OP==，在Rt△AOP中，67 AP==，∴点P的坐标为（67，6）；(3)解：令PA'交OB于点D，如图，∵点E为线段OB的中点，∴152AE OB==，152BE OB==，∵6384tan PD OA B BD AB ====，设3PD a =，则4BD a =，∴5BP a ==，54DE BE BD a =-=-∴85AP AB BP a =-=-，由折叠的性质，可得5A E AE '==，85A P AP a '==-，∴88A D A P PD a ''=-=-，在Rt △A DE 中，222A D DE A E ''+=，即22288545()()a a -+-=，解得121825，a a ==， ∵BD BE <，即45a <， ∴54a <， ∴12a =， ∴1118522A P '=-⨯=， ∴点P 的坐标为（112，6）； (4) 解：以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，连接OG ，此时OG 最小，如图，由题可知，624FP FG FO OA AF ===-=-=，在Rt APF 中，2142cos AF AFP FP ∠===， ∴60AFP ∠=︒，∵60PFG ∠=︒，∴60OFG ∠=︒，∴OFG △是等边三角形，∴4OG FO ==，∴OG的最小值为4，∴线段FP扫过的面积=26048 3603ππ⨯=．。

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题(含解析)

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题1．如图，△ABC 和△DEF 关于某点对称（1）在图中画出对称中心O ；（2）连结AF 、CD ，判断四边形ACDF 的形状，并说明理由．2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位．（1）画出关于原点O 的中心对称图形；（2）在（1）的条件下，请分别写出点A 、B 、C 的对应点、、的坐标．ABC ABC 111A B C 1A 1B 1C3．如图1，图2，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 边上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），始终保持BD=CE.（1）当点D 、E 运动到如图1所示的位置时,求证：CD=AE.（2）把图1中的△ACE 绕着A 点顺时针旋转60°到△ABF 的位置（如图2），分别连结DF 、EF.①找出图中所有的等边三角形(△ABC 除外)，并对其中一个给予证明；②试判断四边形CDFE 的形状,并说明理由.4．如图，矩形中，，将矩形绕点C 顺时针旋转得到矩形 .设旋转角为，此时点恰好落在边上，连接 .（1）当恰好是中点时，此时；（2）若，求旋转角及的长.5．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD ，连接CD 、BD ．（1）如图，若α=80°，则∠BDC 的度数为；（2）请探究∠BDC 的大小是否与角α的大小有关，并说明理由．ABCD 4BC =ABCD A B C D ''''αB 'AD B B 'B 'AD α=75AB B ︒∠='αAB6．在平面直角坐标系中，小方格都是边长为1的正方形，△ABC ≌△DEF ，其中点A 、B 、C 、都在格点上，请你解答下列问题：（1）如图（a ）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号为．（2）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；画出△ABC 绕点P （1，﹣1）顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称吗？若成中心对称请你求出对称中心的坐标；若不成，则说明理由．7．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（将后备箱放大后如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．在图2中求：（1）点到的距离（结果保留根号）；（2）E 、两点的距离（结果保留根号）．ABCD ADE 60︒ADE AD E ''90AD =30DE =40EC =D 'BC E '8．如图，是等腰直角三角形，是直角三角形，，点为边中点将绕点顺时针旋转，旋转角记为，点为边的中点．（1）如图，求初始状态时的大小；（2）如图，在旋转过程中，若点构成平行四边形，请直接写出此时的值；（3）在旋转过程中，若点和点重合，请在图中画出并连接，判断此时是否有 ?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．ABC 90,ABC BDE ∠=︒ 30E ∠=︒D BC BDE D (0360)αα<<︒F BE AEC ∠,,,B D F B 'a F B ,B DE ' AE AE ED ⊥9．如图，在菱形中，，将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．过点作于点，过点作直线于点，连接．（1）（探索发现）填空：当时， = ．的值是（2）（验证猜想）当时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）（拓展应用）在（2）的条件下，若，当是等腰直角三角形时，请直接写出线段的长．ABCD 120BAD ∠= AB A 'AB αD DF BC ⊥F B BE ⊥'B D E EF 60α= 'EBB ∠ 'EF DB 0360α<< AB =BDE ∆EF10．如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD 相交于点E，已知∠ABC=∠AEP= (0°< <90°).（1）求证: ∠EAP=∠EPA;（2）APCD是否为矩形?请说明理由;（3）如图(2),F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.αα11．定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．（1）已知在半等边四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°．①如图1，若∠B=∠D ，求证：BC=CD ；②如图2，连结AC ，探索线段AC 、BC 、CD 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10，点D 是射线AM 上的一个动点，记∠DCA=a ，点B 在直线AC 的下方，若四边形ABCD 是半等边四边形，且CB=CD ．问：当点D 在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B 也随之运动，请直接写出点B 所经过的路径长．12．已知，把45°的直三角板的直角顶点E 放在边长为6的正方形ABCD 的一边BC 上，直三角板的一条直角边经过点D ，以DE 为一边作矩形DEFG ，且GF 过点A ，得到图1.（1）求矩形DEFG 的面积；（2）若把正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，把45°的直三角板的一个45°角的顶点与等腰直角三角形ABC 的直角顶点B 重合，直三角板夹这个45°角的两边分别交CA 和CA 的延长线于点H 、P ，得到图2.猜想：CH 、PA 、HP 之间的数量关系，并说明理由；（3）若把边长为6的正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，点M 是Rt △ABC 内一个动点，连接MA 、MB 、MC ，设MA+MB+MC ＝y ，直接写出的最小值.2y13．（1）观察猜想：如图①，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，AB ＝BC ，BE ＝BD ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接CD 、BF ，当点D 、B 、C 三点共线时，线段CD 与线段BF 的数量关系是，位置关系是 .（2）探究证明：在（1）的条件下，将Rt △BDE 绕点B 顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，BC ＝2AB ＝8，BD ＝2BE ＝4，连接AE ，点F 是AE 的中点，连结CD 、BF ，将△BDE 绕点B 在平面内自由旋转，请直接写出BF 的取值范围，14．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1，如图1，在等腰直角三角形ABC 中，，，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，过点D 作BC 边上的高DE ，则DE 与BC 的数量关系是，的面积为；（2）探究2，如图2，在一般的中，，（，），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，请用含m ，n 的式子表示的面积，并说明理由.（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，，（，，），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，试探究用含a ，b ，c 的式子表示的面积，要有探究过程.90ACB ∠=︒5BC =BCD Rt ABC 90ACB ∠=︒22()()BC m n m n =+--0m >0n >BCD AB AC =BC a b c =++0a >0b >0c >BCD15．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP.（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是，∠MNP的度数为；（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP.求证：△MNP是等边三角形；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值.16．（1）问题发现：如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 .（2）问题探究：如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD ＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；（3）问题解决：“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米.其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值.17．如图14-1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 2：y=与x 轴交于点B ，与直线l 1交于点c ，c点到x 轴的距离CD 为2 ，直线1交x 轴于点A(-3，0) ．（1）求直线l 1的函数表达式；（2）如图14-2，y 轴上的两个动点E 、F(E 点在F 点上方)满足线段EF 的长为，连接CE 、AF ，当线段CE+EF+AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标，以及CE+EF+AF 的最小值；（3）如图14-3，将△ACB 绕点B 逆时针方向旋转60°，得到△BGH ，使点A 与点H 重合，点C 与点G 重合(C 、G 两点恰好关于x 轴对称)，将ABGH 沿直线BC 平移，记平移中的△BGH 为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x 轴交于点M ，是否存在这样的点M ，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图（1）问题发现：如图1，已知点C 为线段上一点，分别以线段为直角边作两个等腰直角三角形，，连接，线段之间的数量关系为；位置关系为 .（2）拓展研究：如图2，把绕点C 逆时针旋转，线段交于点F ，则之间的关系是否仍然成立，说明理由；x AB ,AC BC 90,,ACD CA CD CB CE ︒∠===,AE BD ,AE BD Rt ACD ∆,AF BD ,AE BD（3）解决问题：如图3，已知，连接，把线段AB 绕点A 旋转，若，请直接写出线段的取值范围.19．如图1，在中， , ，点分别是的中点，连接 .（1）探索发现：图1中，的值为；的值为；（2）拓展探究若将绕点逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决当旋转至三点在同一直线时，直接写出线段的长.,,90AC CD BC CE ACD BCE ︒==∠=∠=,,AB AE AD 7,5AB AC ==AE ABC 2AB AC ==120BAC ∠=︒,D E ,AC BC DE AB BC AD BE CDE C AD BECDE ,,A D E BE20．有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC 和CDE ，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°．将两个直角三角板ABC 和CDE 如图①放置，点A ，C ，E 在直线MN 上．（1）三角板CDE 位置不动，将三角板ABC 绕点C 顺时针旋转一周，①在旋转过程中，若∠BCD ＝35°，则∠ACE ＝ ▲ °；②在旋转过程中，∠BCD 与∠ACE 有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．（2）在图①基础上，三角板ABC 和CDE 同时绕点C 顺时针旋转，若三角板ABC 的边AC 从CM 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为12°/秒，同时三角板CDE 的边CE 从CN 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为2°/秒，当AC 旋转一周再落到CM 上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t 秒，则在旋转过程中，当∠ACE ＝2∠BCD 时，t 为多少秒？21．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板和叠放在一起，使三角形板的顶点与三角形板的AC 边中点重合，把三角形板固定不动，让三角形板绕点旋转，设射线与射线相交于点M ，射线与线段相交于点N.ABC DEF DEF D ABC O ABC DEF O DE AB DF BC（1）如图1，当射线经过点，即点N 与点重合时，易证△ADM ∽△CND.此时，AM·CN= .（2）将三角形板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为 .其中，问AM·CN 的值是否改变？说明你的理由.（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为，求与的函数关系式.（图2，图3供解题用）22．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．（1）若点，求点和点的坐标；（2）将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：（3）在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．DF B B DEF O α090α<< y y x 2y ax bx c =++a b c 0a ≠()14M -，x A B A B y C ()03C -，A B A B 90︒A 1A A 1A M 1A P BC P PD x BC D P PE y x E PD PE +P答案解析部分1．【答案】（1）解：对称中心O 如图所示；（2）解：∵A 与F ，C 与D 是对应点，∴AO=DO ，CO ＝FO ，∴四边形ACDF 是平行四边形．2．【答案】（1）解：如图所示：（2）解：由图可知：，，．3．【答案】（1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴BC=CA ，∠B=∠ECA=60°.又∵BD=CE ，∴△BCD ≌△CAE.∴CD=AE.（2）解：① 图中有2个正三角形，分别是△BDF ，△AFE.由题设，有△ACE ≌△ABF ，∴CE=BF ，∠ECA=∠ABF=60°又∵BD=CE ，∴BD=CE=BF ，∴△BDF 是正三角形，∵AF=AE ，∠FAE=60°，∴△AFE 是正三角形.1(12)A -，1(33)B -，1(40)C ，② 四边形CDFE 是平行四边形.∵∠FDB=∠ABC =60°∴FD ∥EC.又∵FD=FB=EC ，∴四边形CDFE 是平行四边形.4．【答案】（1）60°（2）解：∵四边形是矩形，∴ ，∴ .由旋转的性质得，∴ ，∴ ，即旋转角为30°.作于点E.则 .5．【答案】（1）30°（2）解：无关．理由如下：由旋转变换可知：∠BAC=60°，∠CAD=α， = ， AB=AC=AD ，∴ ，，ABCD //AD BC 75CBB AB B ︒'∠=∠='CB CB ='75CB B CBB ︒∠'=∠='180757530BCB ︒︒︒︒∠--='=αB E BC '⊥122AB B E CB '='==()1180602ADB α∠=︒-+︒⎡⎤⎣⎦1202α︒-()11802ADC α∠=︒-()11202ADB α︒∠=-∴∠BDC=∠ADC-∠ADB= - =30° ，∴∠BDC 的大小与ɑ的度数无关．6．【答案】（1）②（2）解：如图（3）解：如图所示：△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称图形，对称中心的坐标为：（1，0）．7．【答案】（1）解：过点作，垂足为点H ，交于点F ．由题意得（厘米），．∵四边形是矩形，∴ ，．在中，又∵ ，，∴ ．∴ （厘米）答：点到的距离是（厘米）．（2）解：连结、、．()11802α︒-()11202α︒-D 'D H BC '⊥AD 90AD AD =='60DAD ∠='︒ABCD AD BC 90AFD BHD ∠'=∠='︒Rt AD F ∆'sin 90sin 60D F AD DAD ︒=⋅∠=⋅='''40CE =30DE =70FH=70)D H D F FH ='++'=D 'BC ()70+AE AE 'EE '由题意得，．∴ 是等边三角形．∴ ．∵四边形是矩形，∴ ．在中，，，∴（厘米）答：E 、两点的距离是厘米．8．【答案】（1）解：∵∠BED ＝30°，△BDE 是直角三角形，∴∠EBD ＝90°－∠BED ＝60°．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是BC 的垂直平分线．∵BE ＝CE ，∠BEC ＝60°，∴△BCE 是等边三角形．∴BC ＝BE ．∵△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝90°，∴AB ＝BC ．∴BE ＝AB ．∵AB ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴AB ∥DE ，∴∠ABE ＝∠BED ＝30°．∴∠BAE ＝∠BEA ＝ (180°－∠ABE)＝75°．∴∠AEC ＝∠BAE ＋∠BEC ＝135°．（2）解：∵四边形BDFB ＇是平行四边形，∠FB ＇D ＝60°∴B ＇F ∥BD ，∴∠B D B ＇＝∠FB ＇D ＝60°AE AE ='60EAE ∠='︒AEE ∆'EE AE '=ABCD 90ADE ∠=︒Rt ADE ∆90AD =30DE =AE ===E '12即＝60°．（3）解：△B ＇DE 如图所示，AE ⊥DE 不成立，理由如下：DE 与AB 相交于点G ，假设AE ⊥DE ，则△AEG ∽△DBG ，设BG ＝a ，∠BDG ＝30°，∴DG ＝2a ，BD ＝ a ，AB ＝2 BD ＝ a ．∴AG ＝AB －BG ＝（－1）a ，B ＇D ＝BD ＝a ．∴DE ＝＝3a．∴GE ＝DE －DG＝3a －2a ＝a ．∴ ，．∴ 与假设矛盾．∴AE ⊥DE 不成立．9．【答案】（1）30（2）解：当时，（1）中的结论仍然成立．证明：如图1，连接．a tan 30B D＇AG DG ==1GE a GB a ==AG GE DG GB≠0360α<< BD，，．，．．．，即．，，．．，（3）解：线段的长为或．连接，交于点．，，，，∵DE=BE ，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，．，∠B′EB=90°，，．，．．'AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒11(180)3022CBD ABC BAD∠=∠=︒-∠=︒ 'EBB CBD ∴∠=∠'''EBB FBB CBD FBB ∴∠+∠=∠+∠'DBB EBF ∠=∠cos BF DBF BD ∠== cos ''BE EBB BB ∠=='BF BE BD BB ∴='DBB FBE ∆∆∽''EF BE DB BB ∴==EF 3+3-AC BD O AC DB ⊥ 1602BAO BAD ∠=∠=︒sin OB AB BAO ∴=⋅∠=2BD OB ∴==sin DE BE BD DBE ∴==⋅∠=='AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒'tan '2EB BE EBB ∴=⋅∠==分两种情况：如图，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF ，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ，．如图，．①''2B D DE BE =+=+EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF D '∴==+=②''2B D DE B E =-=∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ，．综上所述，线段的长为或．10．【答案】（1）证明：(1)在△ABC 和△AEP 中,∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP, ∠ACB=∠APE,在△ABC 中,AB=BC. ∠ACB=∠BAC,∠EPA=∠EAP,（2）解： APCD 是矩形.四边形APCD 是平行四边形,AC=2EA,PD=2EP.由(1)知, ∠EPA=∠EAP.EA=EP ，进而AC=PDAPCD 是矩形.（3）解：EM=ENEA=EP, ∠EPA=90° - ∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+ 由(2)知, ∠CPB=90°,F 是BC 的中点, FP=FB,∠FPB=∠ABC= ，∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° -+ =90°+ ∠EAM=∠EPN∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ，EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF B D ∴===-'EF 33 ∴∴∴ ∴∴∴ ∴12α∴12α12α∴∴α∴12αα12α∴∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.△EAM ≌△EPN,EM=EN.11．【答案】（1）解：①证明：连结AC ，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，∴∠B+∠D=180°，且∠B=∠D ，∴∠B=∠D=90°，∵AB=AD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （HL ），∴BC=DC ；②解：延长CB ，使得CD=BE ，∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠D=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，∴∠D=∠ABE ，又∵AB=AD∴△ABE ≌△ADC ，∴AE=AC，∴∴∴∠BAE=∠DAC ，∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AC=CE=CB+BE=CB+CD（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM ⊥AD ，D‘H ⊥AC ，由旋转图形的特点可知，CB=CD ，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，∴△∠BCB'≌△DCD‘，BB'=DD’，设D'H=x ，由勾股定理得：， HC=x，则，解得x=10，即D'H=10，得，AD’=20，在Rt △AMC 中，∵，∠DAC=30°，∴，AM=（，-5，，∴DD’为D 点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .12．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝∠DCE ＝90°，∵四边形DEFG 是矩形，∴∠AGD ＝∠GDE ＝90°，∴∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADC ﹣∠ADE ＝∠GDE ﹣∠ADE ，∴∠EDC ＝∠ADG ，∵∠EDC ＝∠ADG ，∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∴△ECD ∽△AGD ，∴ ，∴DG•DE ＝DC•DA ＝6×6＝36，∴矩形DEFG 的面积＝DG•DE ＝36；（2）解：，证明：把△BAP 绕着点B 顺时针旋转90°得到△BCK ，连接KH ，由旋转得△BAP ≌△BCK ，∴BK ＝BP ，∠PBA ＝∠KBC ，∠BCK ＝∠BAP ＝，∴∠HCK ＝＝，∴由勾股定理得，，∵∠PBE ＝45°，∴∠PBA+∠ABE ＝45°，∵∠PBA ＝∠KBC ，∴∠KBC+∠ABE ＝45°，∵∠ABC ＝90°，∴∠HBK ＝45°，∵∠PBE ＝45°，∴∠HBK ＝∠PBE ＝45°，∵BK ＝BP ，∠HBK ＝∠PBE ，BH ＝BH ，∴△BHP ≌△BHK （SAS ），CD DE DG DA=222CH PA HP +＝18045135︒-︒=︒BCK BCA ∠-∠1354590︒-︒=︒222CH PA KH +＝∴HK ＝HP ，∵ ，∴ ；（3）解：把△BMC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△BKN ，连接MK ，BN ，NC ，由旋转得，△BMC ≌△BKN ，∴MC ＝KN ，BM ＝BK ，∵BM ＝BK ，∠MBK ＝60°，∴△BKM 是等边三角形，∴MK ＝BM ，∴MA+MB+MC ＝AM+MK+KN ，当A ，M ，K ，N 四点共线时，AN 就是所求的MA+MB+MC 的最小值，过N 作NQ ⊥AB 交AB 的延长线于Q ，∵ ，∠BQN ＝90°，∴QN ＝BN•sin30°＝6× ＝3，BQ ＝BN•cos30°＝，∴AQ ＝AB+BQ ＝，在Rt △AQN 中，由勾股定理得，，∴ 的最小值为 .13．【答案】（1）CD=2BF ；BF ⊥CD（2）解：BF ⊥CD ，CD=2BF 成立，证明：∵△ABC 与△DBE 都是等腰直角三角形，∴AB=BC ，DB=EB ，∠ABC=∠DBE=90°，222CH PA KH +＝222CH PA HP +＝180906030NBQ ∠︒-︒-︒=︒＝126=6+(222226372AN AQ QN +=++=+＝2y 72+如图②，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBG ，点E 、F 的对应点分别是G 、H ，连BH ，则△ABE ≌△CBG ，BE=BG ，AE=CG ，BF=BH ，∠FBH=∠EBG=90°，AF=CH ，EF=GH ， ∴BF ⊥BH ，∵AF=EF ，∴CH=GH ，∵∠DBE=90°，∴∠DBE+∠EBG=180°，∴D 、B 、G 三点共线，∴BH ∥CD ，，∴BF ⊥CD ，，即CD=2BF ，∴BF ⊥CD ，CD=2BF 成立；（3）14．【答案】（1）DE=BC ；12.5（2）解：过点D 作BC 边上的高DE ，如图，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE ，又∵∠ACB=∠E=90°，AB=BD ，∴ ，∴，12BH CD =12BF CD =13BF ≤≤ACB BED ≌BC DE =又 .∴ 的面积为：.（3）解：作于G ，过点D 作BC 边上的高DE ，如图，由（2）同理，可证，∴ ，又，∵AB=AC ，，∴ .∴ 的面积为： .15．【答案】（1）NM=NP ；60°（2）证明：由旋转得：∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵点M ，N ，P 分别为DE ，BE ，BC 的中点，∴MN= BD ，PN= CE ，MN ∥BD ，PN ∥CE ，∴MN=PN ，∠ENM=∠EBD ，∠BPN=∠BCE ，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB ，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE ，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP 是等边三角形；（322()()4mn BC m n m n =+--=BCD 221448m n 2mn mn ⨯⨯=AGB BED ≌BG DE =BC a b c =++BC a b c =++11()22BG BC a b c ==++BCD 2111()()()224a b c a b c a b c ⨯++⨯++=++121216．【答案】（1）4（2）解：如图②中，连接BD ，取AC 的中点O ，连接OB ，OD.∵∠ABD ＝∠ADC ＝90°，AO ＝OC ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DBC ＝∠DAC ，∵DA ＝DC ，∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴∠DBQ ＝45°，根据垂线段最短可知，当QD ⊥BD 时，QD 的值最短，DQ 的最小值＝BQ ＝5 .（3）解：如图③中，将△BDC 绕点D 顺时针旋转90°得到△EDA ， ∵∠ABC+∠ADC ＝180°，∴∠BCD+∠BAD ＝∠EAD+BAD ＝180°，∴B ，A ，E 三点共线，∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°，∴BE ＝ BD ，∴AB+BC ＝AB+AE ＝BE ＝BD，∴BC+BC+BD ＝（ +1）BD ，∴当BD 最大时，AB+BC+BD 的值最大，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴当BD 为直径时，BD 的值最大，∵∠ADC ＝90°，∴AC 是直径，∴BD ＝AC 时，AB+BC+BD 的值最大，最大值＝600（ +1）.17．【答案】（1）解：∵点C 的纵坐标为2 ，点c 在直线l 2：y= ∴点C(-1，2 )设l 1的表达式为y= kx+ b将A(-3，0)、C(-1，2)代入，解得故直线l 1的表达式为：y=x+3 （2）解：作点a关于y 轴的对称点A(3，0)，将点a4向上平移个单位长度得E (3，)连接E'C 交y 轴于点E ，在E下方取EF= ，则点F是所求点，将点C 、E' 的坐标代入一次函数表达式，同理可得： CE' 的函数表达式为：y= 故点E(0，)，点F(0，)CE+EF+4F 的最小值=FE+CE'= +．（3）M(5+8，0)或(5-8，0)或(-3，0)或(-19，0) x +03k bk b=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩x +18．【答案】（1）AE=BD ；AE ⊥BD（2）解：仍然成立.由题意得，∵△ACD 和△BCE 是等腰直角三角形即，∴∴ .∴∴ .（3）解：连接BD.由（2）可知，AE=BD ，在△ABD 中，且，所以即在AB 绕点A 旋转过程中，当A ，B ，D 三点在一条直线上时，或者,AE BD AE BD =⊥90ACD DCE ECB DCE DCE ︒∴∠+∠=∠+∠=+∠,,ACE DCB AC CD EC CB ∠=∠==ACE DCB∆≅∆,12AE DB =∠=∠180(4512)90EFB ︒︒︒∠=--∠+∠=AE BD⊥77AE -≤≤7AD AB ===77BD <<+77AE -<<+7AE =7AE =∴ ≤AE≤ 19．【答案】（1（2）解：无变化,理由: 由(1)知,CD=1, ,∴,∴ ,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD ∽△BCE,∴,（3）解：线段BE 的长为或，理由如下：当点D 在线段AE 上时,如图2,过点C 作CF ⊥AE 于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴ ,∴,7-7+CE BE ==CD CE =AC BC =CD AC CE BC ==AD AC BE BC ==1122DF CD ==CF ==在Rt △AFC 中,AC=2,根据勾股定理得, ,∴AD=AF+DF=,由(2)知, ,∴当点D在线段AE 的延长线上时,如图3,过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴ ,∴ ,在Rt △ACG 中,根据勾股定理得,,∴ ,由(2)知,,∴即:线段BE 的长为或.AF ==AD BE =BE ==1122DG CD ==CG ==AG =AD AG DG =-=AD BE =BE ==20．【答案】（1）①145；②∠BCD+∠ACE ＝180°，理由如下：∵∠ACE ＝∠ACB+∠BCE ，∴∠BCD+∠ACE ＝∠BCD+∠ACB+∠BCE ＝∠ACB+∠DCE ＝90°+90°＝180°；（2）解：三角板ABC 和CDE 重合之前，∠ACE ＝180°-10°t ，∠BCD ＝10°t ，依题意有180°-10°t ＝2×10°t ，解得t ＝6；三角板ABC 和CDE 重合之后，∠ACE ＝10°t-180°，∠BCD ＝360°-10°t ，依题意有10°t-180°＝2×（360°-10°t ），解得t ＝30．故当t ＝6或30秒时，有∠ACE ＝2∠BCD ．故答案为：6或30．21．【答案】（1）4（2）解：AM•CN 的值不会改变.连接BD ，在△ADM 与△CND 中，∵∠A=∠C=60°，∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，∴∠ADM=∠CND ，∴△ADM ∽△CND∴ ，∴AM•CN=AD•CD=2×2=4，∴AM•CN 的值不会改变；（3）解：情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM ＜4，即1＜x ＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形AD AM CN CD如图2，过D 作DQ ⊥AB 于Q ，DG ⊥BC 于G ，∴DQ=DG= ，由（2）知，AM•CN=4，得CN=，于是y=（1＜x ＜4）；情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN ，如图3，过点D 作DH ∥BC 交AM 于H ，易证△MBP ∽△MHD ，∴ ，又∵MB=x-4，MH=x-2，DH=2,∴BP=，∴PN=4－，于是y= ，综上所述，1＜x ＜4时，y=；x≥4时，y= 22．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，将点代入得，4x 21122AB AM DQ CN DG x -⋅-⋅=BP MB DH MH=282x x --4282x x x ---114284222x PN DG x x -⎛⎫⋅=--= ⎪-⎝⎭x ()214y a x =--()03C -，解得：∴抛物线解析式为当时，解得：，∵点在点的左侧，∴，；（2）解：∵，抛物线，与轴相交于，两点∴，对称轴为直线，设，则，∴∵点绕点逆时针方向旋转得到，则点一定在第四象限，如图所示，则，，∵，两点关于点中心对称，∴解得：，则∴，1a =()214y x =--0y =()2140x --=1213x x =-=，A B ()10A -，()30B ，()14M -，2y ax bx c =++x A B 0a >1x =()0A m ，()20B m -，222AB m m m=--=-A B 90︒A 'A '22BA BA m ='=-()222A m m '--，A 1A M 228m -=-3m =-()58A '-，()30A -，()50B ，将点代入得，解得：∴抛物线解析式为；（3）解：如图所示，设交于点，由（1）可得，，设直线的解析式为，将点代入得，解得所以直线的解析式为，∵抛物线解析式为，设，则，∴，∵轴，轴，由∵则是等腰直角三角形，∴()30A -，()214y a x =--1640a -=14a =()21144y x =--PE BC F ()30B ，()03C -，BC 3y kx =-()30B ，330k -=1k =BC 3y x =-()221423y x x x =--=--()223P t t t --，()0E t ，()3F t t -，223233FP t t t t t =--++=-+223PE t t =-++PD x PE y OC OB=OCB 45FDP OBC ∠=∠=︒∴也是等腰直角三角形，∴∴∴当时，取得最大值此时，即．PDF PD PF=PD PE+22323t t t t =-+-++2253t t =-++252525232168t t ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭2549248t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭54t =PD PE +498225632314416t t ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭563416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

中考专题之平面直角坐标系下的平移、对称、旋转
1、（2015•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，
（1）画出△AB′C′；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
2、（2015•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
3、（2015•巴中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为．
4、（2015•丹东）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
5、（2015•桂林）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是．
6、（2015•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．。