第3章 有穷自动机

例3.10
NDFA =（Q，，t，Q0，F）其中 Q={q0, q1, q2, q3}, ={x, y}, Q0={q0}, F={q1}. t（q0，x）={q1, q2}, t（q0，y ）={q0}, t（q1， x）={q0}, t（q1，y ）={q1,q2}, t（q2，x）={q3}, t（q2，y） ={q3}, t（q3，x）={q1,q3}, t（q3，y）={q3} DFA =(Q’, , t’,q0, F’). (1) ={x,y}; (2)Q’={[q0], [q1], [q2], [q3], [q0, q1], [q0, q2], [q0, q3], [q1, q2], [q1, q3], [q2, q3], [q0, q1, q2], [q0, q1, q3], [q0, q2, q3], [q1, q2, q3], [q0, q1, q2, q3]} (3)定义映射t’: t’([q0], x)=[q1,q2], t’([q0], y)=[q0], t’([q1], x)=[q0], t’([q1], y)=[q1, q2], t’([q2], x)=[q3], t’([q2], y)=[q3], t’([q3], x)=[q1, q3], t’([q3], y)=[q3], t’([q0, q1], x)=[q0, q1,q2], t’([q0, q1], y)=[q0, q1,q2], …. t’([q0, q1 , q2 , q3], x)=[q0, q1,q2 ,q3], t’([q0, q1 , q2 , q3], y)=[q0, q1,q2 ,q3]. (4)DFA的开始状态q0’=[q0] (5) DFA的开始状态集合F=[q1], [q0, q1], [q2, q1], [q3, q1], [q0, q1, q2], [q0, q1, q3], [q1, q2, q3], [q1, q2, q3 , q4]
例3.1状态转换表
DFSA 例3.2
DFA A=（{q0, q1, q2, q3}, {a,b}, t, q0, {q0}）其 中 t 定义为：
t（q0 ，a）= q1 t（ q2 ，a）= q3
t（q0 ，b）= q3
t（q1 ，a）=q0
t（ q2 ，b）= q1
t（ q3 ，a）= q2
t（q1 ，b）= q2
t（ q3 ，b）= q0
状态转换表
t（q0 ，a）= q1 t（q0 ，b）= q3 t（q1 ，a）=q0 t（q1 ，b）= q2
状态 字符
t（ q2 ，a）= q3 t（ q2 ，b）= q1 t（ q3 ，a）= q2 t（ q3 ，b）= q0
q0 q1 q2 q3
a q1 q0 q3 q2
DFSA 可接受的符号串
DFSA=(Q, ∑, t, q0, F), 扩充的映射t: Q×Σ*→Q 定义为：
（1）t（q，）= q
q∈Q， a∈∑， ∈ ∑*
（2） t（q， a）=t（t（q，a）， ） 其中
DFSA=(Q, ∑, t, q0, F)，如果t（q0， ）=q∈F,则符号
x
q2
y
x,y
y
q1
x
q3
x,y
NDFSA与DFSA的区别
• NDFSA有一个开始状态集合，而DFA只有一个 开始状态； • NDFSA的映射是Q Q的子集，是一个多值 映射，而DFSA是Q Q的一个单值映射。
例3.7 证明符号串xyx能被例3.6中的NDFSA，所 接受。 证明：因为t(q0, xyx)=t(q1,yx) t(q2,yx) (∵t(q0, x)={q1, q2})=t(q1,x) t(q2,x) t(q3,x) (∵t(q1, y)={q1, q2}, t(q2, y)={q3})={q0} {q3}
q0
q1
a b
q2
a
q4
a b
a
q0
q2
b
b
q3
b
q3
b
(1)
(2)
确定化-子集法(自学)
• 给定一个NDFSA A=(Q, ∑, t, Q0, F)是一个非确定的有穷 自动机，一定可以构造一个和它等价的确定有穷自动机 DFSA A’=(Q’, ∑, t’, q0, F’)，即L(A)=L(A’)。
例子
NDFSA N=（{S，P，Z}，{0，1}，t，{S，P}， {Z}） 其中 N状态图表示 t（S，0）={P} 1
t（S，1）={S，Z} t（P，1）={Z} t（Z，0）={P} t（Z，1）={P}
1 S 0,1 Z 1
0
P
例子3.6
NDFSA =（Q，，t，Q0，F）其中 Q={q0, q1, q2, q3}, ={x, y}, Q0={q0}, F={q1}. t（q0，x）={q1, q2}, t（q0，y ）={q0}, t（q1，x）={q0}, t（q1，y ）={q1,q2} t（q2，x）={q3}, t（q2，y）={q3} t（q3，x）={q1,q3}, t（q3，y）={q3} NDFA状态图表示 y q0 x x
非确定的有穷自动机NDFSA
• 定义3.４ 一个非确定的有穷自动机是一个五元组， NDFA=Q，，t，Q0，F，其中Q为状态的有穷非空集， 为有穷输入字母表，t为Q 到Q的子集(多值映射)， Q0Q是初始状态集，F Q为终止状态集。
一个确定的有穷自动机（DFSA）M是一个五元组：M=（Q，Σ，t，q0，F） 其中
{q1, q3}={q0, q1, q3}
∵q1∈ t(q0, xyx)={q0, q1, q3}, q1 ∈F 所以xyx能被该NDFSA所接受。
空移环路的寻找
• 如果自动机的弧上允许标记，则称此自动 机为自动机，记为NDFSA或DFSA.
q1 q2 q1

q2

q3
(a)
q1 q2
3 t是转换函数，是在Q×Σ→Q上的映射，即，如: t=(q，x）=q’，（q，q’Q）就意味着，当前状态为q， 输入符为x时，将转换为下一个状态q’，我们把q’称作q 的一个后继状态；
4 q0 Q是唯一的一个开始状态； 5 F Q是一个终止状态集，它至少由一个终止状态组成。
状态转换表
FSA例3.1 :识别一个由带符号或无符号十进制数组成的语言。
终止状态
开始状态
有穷自动机DFSA定义3.1： 一个确定的有穷自动机（DFSA）M是一个五元组：M= （Q，Σ，t，q0，F）其中 1 Q是一个有穷集，它的每个元素称为一个状态； 2 Σ 是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入符 号，所以也称Σ 为输入符号字母表；
确定化-造表法
子集法的确定，如果状态数n很大，确定化 后的状态数将更大2n-1，并且其中很多是不可到 达的状态而造表法，更加简单而有效。 步骤： 确定DFSA的开始状态，从开始状态开始分别计算 对不同输入字母的映象，如果产生新的状态，则 继续计算新状态的映象，重复这个过程一直到没 有新的状态出现为止。
b q3 q2 q1 q0
DFSA 的状态图表示
t（q0 ，a）= q1 t（q0 ，b）= q3 t（ q2 ，a）= q3 t（ q2 ，b）= q1
t（q1 ，a）=q0
t（q1 ，b）= q2
t（ q3 ，a）= q2
b
t（ q3 ，b）= q0
q2
a a
b
q1
a
a
q3
b
q0
b
DFSA 例3.3：DFSA M=({0，1，2，3}，{a，b}， f，0，{3})， 其中：f素称为一个状态；
2 Σ 是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入符号，所以也称Σ 为 输入符号字母表； 3 t是转换函数，是在Q×Σ→Q上的映射，即，如: t=(q，x）=q’，（q， q’Q）就意味着，当前状态为q，输入符为x时，将转换为下一个状态q’， 我们把q’称作q的一个后继状态； 4 q0 Q是唯一的一个开始状态； 5 F Q是一个终止状态集，它至少由一个终止状态组成。
第3章 有穷自动机
• • • • • • 有穷自动机形式定义 NDFSA DFSA 的转换 正规文法与有穷自动机 正规表达式与FA DFSA在计算机中的表示 小结
有穷自动机 有穷自动机(也称有限自动机)作为一种识别装 置，它能准确地识别正规集，即识别正规文法 所定义的语言和正规式所表示的集合，引入有 穷自动机这个理论，正是为词法分析程序的自 动构造寻找特殊的方法和工具。 有穷自动机分为两类：确定的有穷自动机 (Deterministic Finite State Automata)和不确定 的有穷自动机(NonDeterministic Finite State Automata) 。
t（q0 ，a）= q1
t（q0 ，b）= q3 t（q1 ，a）=q0
t（ q2 ，a）= q3
t（ q2 ，b）= q1 t（ q3 ，a）= q2
t（q1 ，b）= q2
t（ q3 ，b）= q0
q2 a a
b b
q1
a a
b b
q3
q0
自动机的等价
定义3.2 给定两个有穷自动机M和M’，如果L(M)=L(M’)，则 称自动机M和M’等价。 例3.４ DFSA M=({q0,q1}, {a,b}, t, q0, {q0} ), 其中t(q0,a)=q1, t(q1,b)=q0. DFSA M’=({q0’,q1’,q2’}, {a,b}, t’, q0’, {q2’} ), 其中 t’(q0’,a)=q1’, t’(q1’,b)=q2’, t’(q2’,a)=q1’. 则L(M)=L(M’)={(ab)n|n1}, 所以自动机M,M’等价。