上海市交大附中自招试卷数学试题(含答案)
2024-2025学年上海交大附中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)
1交大附中2024学年第一学期高三年级数学摸底考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知全集U R =,集合{|},{|13}A x x a B x x =<=−<<,且B A ⊆,则实数a 的取值范围 是 .2.已知常数0a >且1a ≠,无论a 为何值,函数21x y a −=+的图像恒经过一个定点,则这个点 的坐标为 .3.用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中 个体a 在第一次就被抽取的可能性为18，那么n = . 4.两正数a 与b 的几何平均值为2,则2a 与2b 的算术平均值的最小值为 .5.已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项,正整数n 的最小值为 .6.不等式21log x x <−+的解集是 .7.已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =−表示{}n a 的前n 项和,若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是 .8.已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数,则()'0f = . 9.满足定义域为{}1234,,,且值域为{}123,,的函数共有 个.10.已知函数()(0,0,02)y Asin x A =ω+φ>ω>≤φ<π的图像与直线(0)y b b A =<<的三个 相邻交点的横坐标依次是1,2,4,则ϕ=11.已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列,抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距 离均大于98,则q 的取值范围是 .212.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别 记为12345,,,,a a a a a ，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345,,,,d d d d d ，若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{}{}{}{}12345,12345i ,j,k ,,,,r ,s,t ,,,,⊂⊂。
交附自招真题解析
a
2
k2
k 1
1 2
2
1 k
1
k
0,1,......,
49
，
故 a 1 1 51 ； 2 100 100
当 x 为偶数时， x 2k ， 1 x a 在整数区间 k, k 1 内，
2
而 ax a k 1 ，即 2k 1 a k 1，
a k 1 1 1 k 1, 2,......,50 ，
2k 1 2 4k 2
故
a
51 100
，故
amax
51 100
．
10. G 为重心，DE 过重心， SABC 1，求 SADE 的最值，并证明结论．
传
【答案】
4 9
SADE
1 2
，证明略．
外 禁
【解析】已知 SABC 1，
严
， 设 AD mAB ， AE mAC ，由于 G 是 ABC 的重心，
部资 的长．
A
D
【答案】250．
内
方 【解析】设 DE 与圆相切与点 G ，
立 由圆的性质得： CD DG ， EG BE ，
智 设 BE x ，则 AE 200 x ， DE 200 x ，
故在 ADE 中：
立 昂
海 2002 200 x2 200 x2
E B
C
上 x 50 ，故 DE 200 50 250 ．
则 x 8 ，则 rB 8 ．
立 智
立
昂 9. 横纵坐标均为整数的点称为整点，若对一切满足 1 m a 的实数 m，直线 海2
上 y mx 21 x 100 都不经过整点，求 a 可取到的最大值．
【答案】 51 ． 101
上海四校自主招生-数学交附卷(高清打印)
⎨四校自招-数学·交附卷一、填空题1、在△ABC中，设CA=a，CB=b，P是中线AE与中线CF的交点，则BP= 。
（用a,b表示）2、已知a是正实数，则a+2的最小值等于a3、正整数360共有个正因数。
4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。
如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是5、计算：1=3-226、计算：1+1+ +1=1⨯22⨯32013⨯20147、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L=8、满足方程：4+2=1的正整数有序数对的（m,n）个数为m n9、已知实数x满足2x2-4x=6x2-2x-1，则x2-2x的值为10、直线x-y=1与反比例函数y=k的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限。
x11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45︒得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠部分的面积为12、请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了次14、设A(0,-2)，B(4,2)是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C(1,5)的距离等于22，则点P的坐标为15、方程组⎧217x+314y=2的解为⎩314x+217y=2 16、坐标原点(0,0)关于直线y=x+4翻折后的点的坐标为二、解答题17、已知，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S18、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像抛物线经过A(-3,0)，B(1,0)两点，M(t,4)是其顶点。
（1）求实数a,b,c的值；（2）设点C(-4,-6)，D(1,-1)，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到最大时点P 的坐标。
【中考模拟】上海市交大附中自招试卷数学试题(含答案)
【中考模拟】上海市交大附中自招试卷数学试题(含答案)交大附中自主招生试卷二千零二十一点零三第一部分1.已知2.3.ab∥cd，ab？15，cd？10，广告？3，cb？4.找到sabcd4.y?x3?4x?6，若a?x?b时，其中x的最小值为a，最大值为b，求a?b.5.y？2（x？2）2？m、如果抛物线和X轴的交点和顶点形成一个等边三角形，求m 的值11?x??3，求x3?3?1000.xxx?1xx?t??有增根，求所有可能的t之和.xx?1x(x?1)6.De是BC的切线，正方形ABCD的边长是200，BC是以BC为直径的半圆。
找出de的长度7.在直角坐标系中，正?abc，b(2,0)，c(,0)过点o作直线dmn，om?mn，求m的横坐标.8.四个圆相切，半径⊙ B和⊙ C是一样的。
什么时候⊙ a穿过中心⊙ D、半径⊙ A 是9。
求半径⊙ B9.横纵坐标均为整数的点为整点，（点，求a可取到的最大值.10.G是重心，de通过重心，s？abc？1.找到s？并证明结论921?m?a），y?mx?a（1?x?100），不经过整2第二部分（科学素养）1.已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2.阅读材料：根据凸函数的定义和性质解决三个小问题，其中第三个是不等式证明f[bx1?(1?b)x2]?bf(x1)?1?bf(x2)（1） b？3.请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4.附加问题（25分）11；（2）b?.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）43?2w?x?y?z?1?w?2x?y?z?2?（2points）solvethefollowingsystemofequationsforw.?nn？2n？1.N2.（6分）解方程x?4x?16x?????42021x?3?x?1.expressyour回答为在IRPrimeFactorization中使用数字或写入的简化分形。
上海四校自招-数学交附卷解析
a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部 胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次 最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故 不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。
2023上海市交大附中嘉定分校数学自招模拟试题
2023上海市交大附中嘉定分校数学自招模拟试题简介本文档为2023年上海市交大附中嘉定分校数学自招模拟试题。
试题包括单选题、多选题和解答题，总共五道题目。
我们希望通过这些试题，帮助考生熟悉考试形式，提高数学解题能力。
单选题1. 下列哪个数是质数？- A. 12- B. 17- C. 20- D. 252. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，已行驶4个小时，计算该车行驶的总距离是多少公里？- A. 120- B. 180- C. 240- D. 300多选题3. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则下列说法正确的是（多选题）- A. 函数在x=1处达到最小值- B. 函数在x=2处达到最大值- C. 函数的图像是一个开口向上的抛物线- D. 函数f(x)在x=3和x=1之间单调递减解答题4. 一个长方形的长度是宽度的两倍，若长方形的周长为24cm，求长方形的长度和宽度各是多少cm？5. 一根柱子高度为3.5米，上面有一个高20厘米的标志牌，标志牌的顶端到柱子的底端的距离是2米，请问此根柱子的底部离地面的距离是多少米？请将解答题的答案写在下方：4. 长方形的长度设为x，宽度设为y。
根据题意，可以列出以下方程组：2x + 2y = 24 （长方形的周长为24cm）x = 2y （长度是宽度的两倍）根据方程组解得，x = 8cm，y = 4cm。
5. 设柱子的底部离地面的距离为h。
根据题意，可以列出以下方程：3.5 - h + 2 = 0.2 （标志牌的顶端到柱子的底端的距离是2米，转换为米表示）解方程可得，h = 5.3m。
总结通过完成上述五道题目，考生可以练单选题、多选题和解答题，了解数学自招考试的题型和难度。
同时，积极做题可以提高数学解题能力，为考试做好充分准备。
注意：在实际考试中，同学们需要认真审题并理解题意，遵循考试规则完成所有题目。
祝各位同学考试顺利，取得优异的成绩！。
【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题
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2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、 填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项 式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的 面 积 为 16 ， 那 么 线 段 DE 的 长 度 是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32
1 9
2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）
上海交大附中2019自招数学真题及答案
2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。
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交大附中自主招生试卷
2019.03
第一部分
1. 已知13x x +=-，求3311000x x
++. 2. 11(1)
x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和. 3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .
4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.
5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.
6. DE 为»BC
的切线，正方形ABCD 边长为200，»BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长. 7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.
8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.
9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（
12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.
10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.
第二部分（科学素养）
1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.
2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明
（1）14
b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分） 3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）
4. 附加题（25分）
（2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221
w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ （4 points ）
Compute 98∞
（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.
The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to x
A ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤
⎢⎥+⎣⎦
B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，
find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。