创意平板折叠桌

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）日期： 2014 年 9月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要本文讨论了平板折叠桌折叠的动态变化过程及相应的参数设计问题，以及在一定条件下折叠桌的最优设计加工参数求解问题。

利用空间解析几何知识，建立了非线性规划模型，用MATLAB软件和LINGO软件进行求解，得到了各种条件下的各个参数的尺寸。

针对问题一，根据题目所提供图1，从最外侧桌腿木条到中间桌腿木条依次编号为， 。

首先证明了在四条支撑腿底端构成正方形时稳固性较好；然后运用几何关系102,1，得到了在完全折叠成桌子时的各桌腿与折叠桌下底面的夹角、各桌腿与钢筋交点到相应铰链的距离以及桌腿底端点坐标都是桌面最外侧一根木条铰链处到圆形桌面直径的距离的函数。

利用这些函数关系，使用MATLAB编程计算，得到了圆形桌面最外侧桌腿铰链处到过桌面中心垂直于桌腿的直线的距离6.35 cm，1到10号桌腿开槽长度依次为：0，4.67，8.11，10.94，13.29，15.22，16.77，17.94，18.78，19.28（cm）。

还求出了各桌腿底端点的坐标并对这些点在其中两个坐标平面的投影作二维坐标曲线拟合，从而桌腿底端边缘线为以上两条拟合曲线为准线，母线垂直于对应坐标平面的两个柱面的交线。

针对问题二，折叠桌的稳定性由四条支撑腿确定，用材由每条桌腿的宽度确定，加工方便由开槽确定，根据任意给定的折叠桌的高度和圆形桌面直径，以加工方便为目标函数，桌腿与桌面之间的几何关系为约束条件，建立了非线性规划模型，用MATLAB 编程计算给定桌高为cm70，圆形桌面直径为cm158.00，宽度为80时的平板长度为cm3，木条宽度为cm.4，单侧木条数为17条。

7079cm，厚度为cm.90针对问题三，确定桌腿几何形状为与平板平行的长方体，由几何知识可以得出桌面形状关于重心对称，得到桌面为偶数条边的正多边形和椭圆两类形状。

在人机交互环境下，给定任意桌面高度，椭圆长轴和短轴参数下，以用料最省和加工简单为目标的条件下，建立非线性规划模型，解出开槽长度、桌腿条数和桌腿宽度的具体加工参数。

对于短半轴为cm70的桌面为椭圆的折叠桌，求出了各条桌45和高度为cm30、长半轴为cm腿的开槽长度依次为0，10.29，18.57，25.41，31.00，35.52，39.08，41.78，43.67，44.78（cm），平板尺寸为cm.52⨯，钢筋到相应桌腿的长度占整条桌腿cm161⨯00.358cm.00的长度比例为48.0。

关键词：非线性规划；MATLAB编程；LINGO编程；稳固性一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。

试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、问题的分析2.1问题一分析该问是一个给定平板尺寸，每根木条宽度，折叠后桌子的高度，要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并求出折叠桌的设计加工参数和桌角边缘的数学描述的问题。

题中要求折叠后桌子的高度为53cm，而由于每根木条的厚度为3cm，假设桌腿铰链固定在桌面下边缘，所以折叠后桌子圆形桌面下底面到地面的高度50cm。

在桌子折叠的过程中，随着桌子高度的变化，各桌腿与圆形桌面的夹角，各桌腿端点位置，各桌腿中钢筋到相应铰链的距离也相应发生变化，因此可以用这些参数随折叠桌高度的变化来描述此折叠桌的动态变化过程。

在求各参数的过程中，每个参数都与圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度有关。

若要求出各参数的具体值，就必须先确定合理的圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度。

可以从桌子的稳固性出发，求出圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度，进一步可求出折叠后桌子的高度为53cm时的描述动态变化的各参数值。

对于桌腿木条开槽长度的求解问题，可以分别求出桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离和折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离，在折叠过程中，各桌腿中钢筋到铰链的距离随最外侧桌腿与圆形桌面下底面向圆心延长线的夹角减小而单调递增，在描述折叠桌的动态变化过程，可以建立相应空间直角坐标系，求出题中图4红色曲线上各桌腿端点坐标。

将各桌腿端点坐标n p 分别投影到xoy 面、yoz 面做二位坐标曲线拟合，再以拟合出的曲线为准线，得到分别以垂直xoy 面、yoz 面的柱面方程，两柱面方程的交线，即为桌脚边缘线的数学描述。

2.2问题二分析问题二要求讨论给定任意折叠桌高度和圆形桌面直径最优设计。

折叠桌的设计应做到产品的稳固性好、加工方便、用材最少，对于稳固性，由第一问分析可知，在折叠桌高度和圆形桌面直径一定的时，稳固性主要受到平板尺寸，圆形桌面最外侧木条长度的影响。

折叠桌的用材主要由每条腿的宽度决定，由于桌腿宽度必须被桌面宽度的整除，则可以确定桌面的宽度。

以加工方便为目标函数，建立非线性规划模型，在一定条件下便可求出平板尺寸大小。

再在此基础上，求出最优的钢筋位置和开槽长度使加工更方便。

2.3问题三分析要用一长方形平板材料设计成可折叠的桌子，桌面形状应该满足一定要求，才能桌子具有一定的稳定性。

例如当桌面形状为矩形时，桌子是对称的，要使材料最省，那么桌子两边的桌腿应与地面垂直，那么当对桌脚施加任意的水平力就能使整个桌子倒塌，也即在这种情况下，不能设计符合实际的桌子。

三、模型的假设1.计算时不考虑模板厚度。

2.不考虑铰链厚度。

3.不考虑相邻桌腿之间空隙。

四、符号的说明c b a ,,：分别为平板木块的长宽高n d ：各桌腿中钢筋到相应铰链的距离，其中1021，，， =nn θ：每条桌腿与圆形桌面下底面夹角，其中1021，，， =nn p ：各桌腿端点坐标，其中1021，，， =nn ：桌腿编号k ：圆形桌面最外侧桌腿铰链到圆形桌面直径的距离R ：圆形桌面半径n b ：各桌腿铰链处到过桌面中心垂直于桌腿的直线的距离，其中1032，，， =n h ：折叠桌的高度n x ：各桌腿端点x 轴坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离n f ：桌腿长度 n b a -2，其中1021，，， =n n z ：各桌腿端点z 轴坐标即为各桌腿端点到桌面的距离n y ：各桌腿端点y 轴坐标1n s ：桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离，其中10211，，， =n2n s ：折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离，其中10212，，， =nd ：桌腿宽度m ：桌腿条数i b ：从外侧看过去对四分之一桌腿铰链到与桌腿铰链平行的桌面对称轴的距离，其中]2[21m i ，，， =， i f ：编号为i 的桌腿长，]2[21m i ，，， = 1i s ：平铺时各桌腿为中钢筋到铰链的距离，其中]2[211m i ，，， = 2i s ：折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离2i s ，其中]2[212m i ，，， = α：钢筋到相应桌腿的长度占整条桌腿的长度比例n1：正多边形条数θ：正多边形内角r ：正多边形边长i θ：正多边形至上而下的顶点与平板长边垂线的夹角，其中1,,2,1n i =k l ：正多边形至上而下的边在与平板长边垂直的垂线上的投影长，其中]4[21m k ，，， = ε：桌面上最外侧木条相应正多边形定点的距离B A ,：分别为椭圆形桌面长半轴和短半轴长五、模型的建立与求解5.1模型准备定理：当折叠桌的四条支撑腿所构成的结构区域形状为正方形时，折叠桌的稳固性最好]1[。

证明：下面先从折叠桌的稳固性出发来列出规划模型求相应参数之间满足的函数关系。

设平板长为a ，宽为b ，厚为c ，桌面的形状为圆形，且半径为R ，桌面高度为h 。

相同材质和形状的支撑桌腿，桌腿在承受相同力下，桌腿的张力越小，则桌子的稳固性越好。

桌腿的张力越小，也即最外侧桌腿与圆形桌面下底面夹角越小，即该夹角余弦值越大，因此可以以)22cos(ka c h --最大为目标。