四边形易错题汇编及解析

四边形易错题汇编及解析
一、选择题
1．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ）
A．33°B．34°C．35°D．36°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，
∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，
∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.
故选：B．
【点睛】
∴ 的垂直平分线与矩形的交点，即为点 ，存在两个点．
综上所述，满足题意的点 的个数是 ．
故选 ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．
7．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )
A．540°B．720°C．900°D．1080°
∴DE= ，
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．
11．下列命题中是真命题的是（）
A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角
C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【详解】
∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD=∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠ECB，
∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=AB．
∵ ，
∴AB=4，
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE是解题关键．
A．16B．15.2C．15D．14.8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，当PC⊥BD时， 有最小值，由勾股定理求出BD的长度，由三角形的面积公式求出PC的长度，即可求出最小值.
【详解】
解：如图，当PC⊥BD时， 有最小值，
在矩形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，
3．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）
A．10B．20C．40D．48
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【详解】
如图所示，
根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△AGH： =1：6，
∵E、F分别是边BC、CD的中点,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ =7∶24,
故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
14．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为( )
A．6B．12C．24D．48
【答案】C
15．如图，在 中， 是 中点，连接 并延长至 ，使 ，连接 ．添加下列条件，可使四边形 为菱形的是()
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据AE＝CE，EF＝DE可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用中位线定理可得DE∥BC结合AC⊥BC可证得AC⊥DF，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．
【详解】
A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，
B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，
C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，
本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，
∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
在△ABF和△DEA中
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF＝AE；
设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝1，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴ =CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°= a.
故选C.
【点睛】
此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
5．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵DF=CF，BE=CE，
∴ ， ，
∴ ，
∴BG=GH=DH，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，
∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：连接AD
∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD= ，
∵S△ADB= ×AD×BD＝ ×AB×DE，
【详解】
解：∵点E是AC中点，
∴AE＝CE，
∵AE＝CE，EF＝DLeabharlann Baidu，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵点D、E是AB、AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴AC⊥DF，
∴平行四边形ADCF为菱形
故选：D．
【点睛】
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB= =5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：B．
【点睛】
此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.
4．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N.则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
【详解】
∵在矩形 中， ，点 是 的中点，
．
∴ 是等腰三角形，存在三种情况：
①当 为腰， 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在 上存在两个点P，在 上存在一个点P，共 个，使 是等腰三角形；
②当 为腰， 为顶角顶点时，
在 上存在一个点 ，使 是等腰三角形；
③当 为底， 为顶角顶点时，点 一定在 的垂直平分线上，
12．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）
A．4B． C．6D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求
出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】
绕点 顺时针旋转 到 的位置．
∵四边形ABED的面积为6，
∴ ，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），
∴EF＝x﹣1＝2，
在Rt△BEF中， ，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积 扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=8，∠ADC=180° 60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°= ，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积 扇形DEFG的面积
= ．
故选：C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
9．如图，在矩形 中， ， ，若 是 上的一个动点，则 的最小值是（）
D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．
6．如图，在矩形 中， 点 是 的中点，点 在 上，且 若在此矩形上存在一点 ，使得 是等腰三角形，则点 的个数是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当 为腰， 为顶角顶点时，②当 为腰， 为顶角顶点时，③当 为底， 为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案．
A．aB． aC． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】
∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理得出 ，即 ，得出 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是菱形，
∴ 的面积 ；
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形 是菱形是解题的关键．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到 •x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
2．如图，在平行四边形 中， ， 平分 交 于点 ，且 ，则 的长为（）
A．4B．3C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB即可得出答案．
四边形 的面积等于正方形 的面积等于20，
，
，
中，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应
边关系是解题关键．
13．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）
A．7 : 12B．7 : 24C．13 : 36D．13 : 72
【答案】A
【解析】
【详解】
解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为： ，
∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．
【点睛】
外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．
8．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）
由勾股定理，得
，
∴ ，
在△BCD中，由三角形的面积公式，得
，
即 ，
解得： ，
∴ 的最小值是： ；
故选：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P的位置，得到PC最短.
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）