第07章 信号的自适应分解方法

剩余值序列 x1 ( t ) x ( t ) f 1 ( t )
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§7.3 EMD的实现过程
(1) 基本过程
由此，时间序列 x (t ) 可表示成 一个余项 rn (t ) 的和，即： n
n 个基本模式分量 f i (t )和
x (t )
f
i 1
i
(t ) rn (t )
信号 x ( t ) sin( 200 t ) sin(100 t ) 的经验模式分解结果如图
36
§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Data & c7 - 12
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Detail Data and Sum IMF c7-c12
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Difference Data – sum all IMFs
§7.3 EMD的实现过程
(1) 基本过程
第二步：用原始时间序列 x (t ) 减去包络线的均值 m (t ) ，得 到 h1 ( t ) x ( t ) m ( t ) , 检测 h 1 (t ) 是否满足基本模式分量 的两个条件。如果不满足，使 h 1 (t ) 作为待处理数据，重复第 一步，直至 h 1 (t ) 是一个基本模式分量，记 f 1 (t ) h1 (t )
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Data & c12
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Data & Sum c11-12
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§7.3 EMDຫໍສະໝຸດ Baidu实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Data & sum c10-12
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机械工程与应用电子技术学院
现代测试信号分析与处理 (Advanced Signal Analysis and Processing)
胥永刚/张建宇
北京市先进制造技术重点实验室
Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology
1
期末大作业
1、时间：2015.12.23之前，由张志新收齐交给胥老师。 2、内容：选用一种或多种现代信号处理方法，完成数据分
11
§7.2 何为EMD？
(2) 瞬时频率的概念
考虑如下信号
x (t ) x1 (t ) x 2 (t ) A1 e
j 1t
A2 e
j 2 t
A ( t ) e j ( t )
为了简单起见，假设信号幅值A1和A2是恒定的，ω1和ω2是正 的。信号的频谱应由两个在ω1和ω2的δ函数组成，即
X ( ) A1 ( 1 ) A 2 ( 2 )
12
§7.2 何为EMD？
(2) 瞬时频率的概念
这个信号是解析的，按前式可以求解其相位和幅值，得到
A1 sin 1t A2 sin 2 t (t ) arctan A1 cos 1t A2 cos 2 t
析，以论文形式提交（不少于3页）。信号类型不限定，由自 己课题组提供。
3、格式：按照《机械工程学报》的模板。
2
讲授提纲
1
2 3 4 5 6
绪论
信号分析基础
模拟信号数字化过程 离散信号分析与数字滤波 调制信号的解调分析方法 非平稳信号的时频分析 信号的自适应分解方法 盲信号处理技术及其应用
3
7 8
非平稳信号的自适应分解
(1) EMD的基本思想
HHT发明人：黄锷
1937年12月生于湖北，1960 年毕业于台湾大学土木工程系， 1967年获约翰霍普金斯大学流体 力学博士学位。1975年起进入太 空总署工作，是该署海洋科学首 席科学家。在美国NASA工作超过 三十年，为 NASA 海洋科学首席 科学家。曾当选中央研究院院士 （ 2004 ） 、 NASA 年 度 发 明 家 （2003），以及美国国家工程研 究院院士（2000）。
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§7.2 何为EMD？
(2) 瞬时频率的概念
对任意的时间序列x(t)，可得到它的Hilbert变换y(t)为：
y (t ) x ( ) d t 1

构造解析函数 其中幅值函数
z (t ) x (t ) i y (t ) a (t ) e i ( t )
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§7.2 何为EMD？
(2) 瞬时频率的概念
当两个正弦频率取 1 10和 2 20 两个频率时，幅值的取 值不同，其瞬时频率亦有很大的不同。 A1=0.2 A2=1 A1=-1.2 A2=1
瞬时频率不仅是连续的，而且还出现了负值，而我们已知信 号的频率是离散的和正的。可见，对任一信号做简单的Hilbert 变换可能会出现无法解释的、缺乏实际物理意义的频率成分。
对满足基本模式分量两个限定条件的信号可以通过Hilbert 变换求出其瞬时频率。
但不幸的是，大多数信号或数据并不是基本模式分量，任何 时刻，信号中可能包括多个振荡模式，这就是为什么简单的 Hilbert变换不能给出一般信号的完全的频率内容的原因。
我们必须把复杂的非平稳信号按一定的规则提取出所包含 的基本模式分量。 基于此，Norden E. Huang等人创造性地提出了如下假设： 任何信号都是由一些不同的基本模式分量组成的；每个模式可 以是线性的，也可以是非线性的，满足IMF的两个基本条件；任 何时候，一个信号可以包含多个基本模式分量；如果模式之间 相互重叠，便形成复合信号。
a (t ) x (t ) 2 y (t ) 2
y (t ) ( t ) arctan 相位函数 x (t ) 相位函数的导数即为瞬时频率
d (t ) (t ) dt
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§7.2 何为EMD？
(2) 瞬时频率的概念
Hilbert
a (t )
( (tt))
然而在某些情况下，按上述定义求解的瞬时频率可能会出 现没有意义的负频率。
(b) 在任一时间点ti 上，信号局部极大值确定的上包络线 fmax(t)和局部极小值确定的下包络线fmin(t)的均值为零。即
[ f max (t i ) f min (t i )] / 2 0
t i [t a , t b ]
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§7.2 何为EMD？
(3) 基本模式分量的定义
典型的基本模式分量（IMF）
S d 的值通常取 0 .2 ~ 0 .3
Sd
t 0
T
h1( k 1) (t ) h1k (t ) h1k (t )
2
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§7.3 EMD的实现过程
(3) EMD的滤波特性
FFT
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§7.3 EMD的实现过程
(3) EMD的滤波特性
观察IMF提取过程可以得知，在每次求均值曲线时极大值点 （或极小值点或过零点）间的时间间隔是不断增大的，这就意味 着每次分解都提取出一个细节信号（基本模式分量）和一个频率 低于细节的低频分量。也就是信号震荡周期相对最短的分量（即 频率最高分量）先提取出来，剩余信号的频率低于所有已经提取 出来的信号频率。
8
§7.2 何为EMD？
(2) 瞬时频率的概念
为了研究瞬态与非平稳现象，频率与能量必须是时间的函 数，因此我们需要瞬时频率与能量的定义。信号的瞬时能量与 瞬时包络的概念被广泛接受，而瞬时频率的概念在Hilbert变 换方法产生之前，却一直具有争议性。大多数观点认为其不存 在或认为只在特定的条件下存在，比如单分量信号。 接受瞬时频率这一概念主要有两个基本的困难： (1)首先是受到了傅立叶分析的根深蒂固的影响； (2)其次是定义瞬时频率的方法不统一。
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§7.3 EMD的实现过程
(1) 基本过程
详细步骤演示1 详细步骤演示2
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§7.3 EMD的实现过程
(2) 停止准则问题
基本模式分量的两个限定条件只是一种理论上的要求，在实 际的筛选过程中，很难保证信号的局部均值绝对为零。如果完全 按照上述两个限定条件判断分离出的分量是否为基本模式分量， 很可能需要过多的重复筛选，从而导致基本模式分量变成具有恒 定幅度的纯粹的频率调制信号。为了保证基本模式分量保存足够 的反映物理实际的幅度与频率调制，我们必须确定一个筛选过程 的停止准则。 筛选过程的停止准则可以通过限制两个连续的处理结果之间 的标准差 S d 的大小来实现。 2
16
§7.2 何为EMD？
(3) 基本模式分量的定义
满足以上两个条件的基本模式分量，只包括一个基本模式的 振荡，没有复杂的叠加波存在。需要注意的是，如此定义的基本 模式分量并不被限定为窄带信号，可以是具有一定带宽的非平稳 信号，例如纯粹的频率和幅度调制函数。
典型的基本模式分量（IMF）
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§7.2 何为EMD？
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§7.2 何为EMD？
(3) 基本模式分量的定义
基本模式分量是为了得到有意义的瞬时频率而提出的。基 本模式分量需要满足的两个条件为： (a)在整个数据序列中，极值点的数量Ne（包括极大值点 和极小值点）与过零点的数量Nz必须相等，或最多相差不多 于一个，即
( N z 1) N e ( N z 1)
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§7.3 EMD的实现过程
(1) 基本过程
第一步：确定时间序列 x (t ) 的所有局部极值点，然后将所有 极大值点和所有极小值点分别用一条曲线连接起来，得到 的上、下包络线。记上、下包络线的均值为 m (t )
图中曲线：黑色—原始信号， 蓝色—上包络线 红色—下包络线， 粉色—包络线均值
19
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
信号分解方法的完备性就是指把分解后的各个分量相加就 能获得原信号的性质。
通过经验模式分解方法的过程，方法的完备性已经给出。
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
第一个基本模式分量 f 1 (t )
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§7.3 EMD的实现过程
(1) 基本过程
第三步：用原始时间序列 x (t ) 分解出第一个基本模式分量 f 1 (t ) 之后，用 x (t ) 减去 f 1 (t ) ，得到剩余值序列 x1 ( t ) x ( t ) f 1 ( t )。 把 x1 (t ) 当作一个新的 “原始序列”，重复上述步骤，依次 提取出第2、第3，直至第n个基本模式分量。最后剩下原始 信号的余项 rn (t ) 。
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——基函数问题
从信号分解基函数理论角度来说，不同的基函数可以对信号 实现不同的分解，从而得到性质迥然的结果。 STFT、Gabor变换、wavelet、chirplet变换——需要预先选定基 函数。 匹配追踪——包容各种基函数，组成“原子”集，根据最大匹配 投影原理寻找最佳基函数的线性组合实现对信号的分解。 EMD——基函数没有统一的表达式，而是依赖于信号本身，是自 适应的，不同的信号分解后得到不同的基函数，与传统的分析工 具有着本质的区别。
§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Data & c9 - 12
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Data & c8 - 12
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§7.3 EMD的实现过程
(4) EMD的数学释义——完备性问题
Detailed Data and Sum c8-c12
本章内容：
○ 课程回顾 ○ 何为EMD？ ○ EMD的实现过程
○ Hilbert-Huang变换
○ EMD方法的主要问题
○ EEMD的提出
○ EMD的其他衍生算法
4
§7.1 课程回顾
FFT
FFT
FFT
5
§7.1 课程回顾
STFT
WVD
小波
6
§7.1 课程回顾
STFT
Wavelet
理论值
7
§7.2 何为EMD？
取相位的导数，得到其瞬时频率，有
A2 A1 1 1 ' (t ) (t ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 A 2 (t )
2 2
A 2 (t ) A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )t
2 2
可以发现，按照前述公式计算得到的瞬时频率，不仅和信 号原有频率相关，还和信号中不同频率信号的幅值有关。