周期信号的分解与合成

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周期信号的分解与合成

0引言
1 周期信号的分解
在《信号与系统》课程中，信号分解与合成的思想几乎贯穿了整个教材内容。如在连续系统的时域分析中，连续信号分解为许多冲激信号的线性组合，系统的响应可看作不同强度冲激信号产生的响应的合成。同样连续系统的频域分析中，系统响应可看作不同幅度虚指数信号产生的响应的合成。这种思想是信号处理和系统分析与设计的重要基础。周期信号分解与合成是信号和系统分析由时域向变换域转换的转折点，它对于信号频谱特性的理解及系统频域分析等都有着非常重要的作用。本文对三角形式傅里叶级数中周期信号的分解与合成进行介绍，运用 Matlab 软件对方波信号分解与合成进行仿真分析。
2011 年第 9 期
郗艳华：基于 Matlab 周期信号的分解与合成
157
形式的傅里叶级数展开式。但（ 1）式中对于周期信
号中 n 次谐波分量的幅度和相位不是很明了，因此利
用三角函数化简得到：
∞
f（ t） = A0 + n∑= 1An cos（ nΩt + Φn ）
（ 2）
式中 An
=
槡a2n
T
∫2
－
T 2
f（
t）
dt
=
E T
，
an =
2 T
∫ －
T
2 T
2
f（
t）
cosnΩtdt
=
2nπEsin
nπ T
，
bn
=
2 T
T
∫2
－
T 2
f（
t）
sinnΩtdt = 0
周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为：

周期信号的分解与合成

T 2
T
f (t) 1
0
T
t
ak
2 T
T
2 T
f (t ) cos (k 0t)d t = 0
2
1
bk
2 T
T 2
T 2
f
(t ) sin(k0t ) dt
4 T
T
2 f (t ) sin(k0t ) dt 0
0
奇函数：直流分量和余弦项为零，正弦项不为零。
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
（3）f(t)为半波镜像信号
f (t)
f (t ) f t T 2
波形移动T/2后与原波形镜像对称
T
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数中，仅含有奇次谐波，偶次谐波为零，即：
a0 a2 a4 0 b2 b4 0
周期信号对称性与傅里叶系数的关系
k 1
将上式同频率的正弦和余弦项合并，可写为：
其中
f (t) A0 A1 cos(0t 1 ) A2 cos(20t 2 )
f (t) A0 Ak cos(k0t k )
k 1
A0 a0
Ak
a
2 k
bk2
k
arctan
bk ak
周期信号用余弦形式的傅里叶级数表示
f (t) A0 Ak cos(k0t k )
例2求周期锯齿波的三角形式傅里叶级数展开式
f
(t)
A T
t
T 2
t
T 2
f(t)
A
2
T
0
解：
0，其他
T 2
TT
2
t
A

实验四、信号的分解与合成实验实验报告（报告人09光信2）

实验四、信号的分解与合成实验实验报告（报告⼈09光信2）实验四信号的分解与合成实验报告⼀、实验⽬的1、进⼀步掌握周期信号的傅⾥叶级数。

2、⽤同时分析法观测锯齿波的频谱。

3、全⾯了解信号分解与合成的原理。

4、掌握带通滤波器的有关特性测试⽅法及其选频作⽤。

5、掌握不同频率的正弦波相位差是否为零的鉴别和测试⽅法（李沙育图形法）。

⼆、实验原理任何电信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波叠加⽽成的。

对周期信号由它的傅⾥叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。

⽽⾮周期信号包含了从零到⽆穷⼤的所有频率成分，每⼀频率成分的幅度均趋向⽆限⼩，但其相对⼤⼩是不同的。

通过⼀个选频⽹络可以将信号中所包含的某⼀频率成分提取出来。

对周期信号的分解，可以采⽤性能较佳的有源带通滤波器作为选频⽹络。

若周期信号的⾓频率0w ，则⽤作选频⽹络的Ｎ种有源带通滤波器的输出频率分别是0w 、02w 、03w 、04w 、05w ．．．．0N w ，从每⼀有源带通滤波器的输出端可以⽤⽰波器观察到相应谐波频率的正弦波，这些正弦波即为周期信号的各次谐波。

把分离出来的各次谐波重新加在⼀起，这个过程称为信号的合成。

因此对周期信号分解与合成的实验⽅案如图２－７－１所⽰。

本实验中，将被测锯齿波信号加到分别调谐于其基波和各次谐波频率的⼀系列有源带通滤波器电路上。

从每⼀有源带通滤波器的输出端可以⽤⽰波器观察到相应频率的正弦波。

本实验所⽤的被测周期信号是１００Ｈｚ的锯齿波，⽽⽤作选频⽹络的７种有源带通滤波器的输出频率分别是１００Ｈｚ、２００Hz 、300Hz 、400Hz 、500Hz 、600Hz 、700Hz ，因⽽能从各有源带通滤波器的两端观察到基波和各次谐波。

按照锯齿波的傅⾥叶级数展开式如下所⽰：111111211111f(t)=[sin()sin(2)sin(3)sin(4)sin(5)sin(6)....]23456w t w t w t w t w t w t -+-+-+∏可知，锯齿波的1~7次谐波的幅度⽐应为 1111111::::::234567。

信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告

信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告实验报告：信号系统的非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的：1.理解周期信号的概念和特点；2.学习如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分；3.学习如何合成一个非正弦周期信号。

二、实验原理：1.傅里叶级数展开：任何周期信号都可以由一系列谐波分量叠加而成；2.傅里叶级数中的谐波分量：频率是整数倍的基频信号，基频信号频率为信号周期的倒数。

三、实验仪器：1.计算机；2. 数字信号处理软件（如MATLAB、Python等）；3.数字音频信号采集卡（可选）；4.电脑音箱或音频耳机。

四、实验步骤：1.将采集卡连接至计算机（若使用）；2.打开信号处理软件，并导入需要处理的非正弦周期信号的音频文件；3.将音频信号从时域转换到频域，得到信号的频谱；4.分析频谱，找出频率成分较高的谐波分量；5.根据谐波分量的频率、振幅和初相位，计算每个谐波分量的波形；6.对所有谐波分量进行叠加，得到合成后的信号。

五、实验结果与讨论：1.实验结果：可以得到信号的频谱，并分析出频率较高的谐波分量；2.讨论：根据实验结果可以探讨信号的频谱结构、谐波的产生原理等，以及分析不同谐波分量对信号特性的影响；3.实验中还可以根据实际情况进行合理的参数选择，例如选择合适的采样率、截断频率等。

六、实验总结：通过本次实验，我们学会了如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分，并根据谐波分量的频率、振幅和初相位计算每个谐波分量的波形。

同时，我们也学会了如何合成一个非正弦周期信号。

实验结果表明，通过傅里叶级数展开，我们可以准确地分解和合成周期信号，这对于理解信号的频谱结构、谐波的产生原理等有着重要的意义。

希望通过本次实验，同学们能对非正弦周期信号的分解与合成有更深刻的理解，并能够运用所学知识解决实际问题。

周期信号的合成与分解实验报告

ｙ=ｓishｕ*sｉn(1００＊ｐｉ*ｔ);
ｓubploｔ(221)
ｐlｏt（t，ｙ)；
axｉs（［０，0.0５，-４,4]);
xlabｅl(＇tiｍe＇）;
ylａbeｌ（'前1 项有限级数'）；
ｙ=0;
fｏｒ i=1:10
ｙ=y＋sishu＊（sin（(2*i-１)*10０＊pi＊t）/(2*i－1));
选取奇对称周期方波的周期Ｔ＝0.0２ｓ，幅度Ｅ＝6,请采用有限项级数替代无限项级数来逼近该函数。分别取前 1、1０、50和２00 项有限级数来近似,编写程序并把结果显示在一幅图中,观察它们逼近方波的过程。
ＭＡTLAB 程序如下:
%奇对称方波合成
t＝0:0.０000１：0．１;
sｉsｈu=12／pi;
1.实验目的
2.实验基本原理
3.主要仪器设备(含必要的元器件、工具）
一、实验目的
1．在理论学习的基础上，通过实验深刻领会周期信号傅里叶级数分解的物理意义。
2．理解实际应用中通常采用有限项级数来逼近无限项级数,此时方均误差随项数的增加而减小。
３．观察并初步了解 Giｂbs 现象。
4．深入理解周期信号的频谱特点,比较不同周期信号频谱的差异。
周期信号的合成与分解实验报告
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期：
ﻩ
武汉大学教学实验报告
电子信息学院通信工程专业2017年9月１4日
实验名称周期信号的合成与分解指导教师
姓名年级学号成绩
一、预习部分
ｙ＝0;
for i=1:１０
ｙ=y＋ｓｉsｈu*（ｓin((2*i-1)*１0０*pｉ*t）/(2*i－1)）;

周期信号分解与合成

信号与线性系统课程设计报告课题1 周期信号分解与合成班级:姓名：学号：组号及同组人：成绩：指导教师：日期：题目：周期信号分解与合成摘要：本文主要利用多反馈带通滤波器的设计方法，设计五中不同中心频率的带通滤波器，分别对应于输入信号利用傅里叶级数展开后的基波分量频率、二次谐波分量频率、三次谐波分量频率、四次谐波分量频率、五次谐波分量频率，通过带通滤波器对原输入信号进行滤波将各个分量分开，实现信号的分解，利用加法器实现信号的合成，在设计时先采用Multisim 软件进行模拟电路设计及仿真，然后根据仿真结果进行元件参数的修改，当仿真结果比较理想后，进行硬件电路的调试。

关键词：周期信号，分解，合成，带通滤波器，加法器1课程设计的目的、意义本课题主要研究周期信号分解与合成的软硬件实现方法以及相关滤波器的设计及应用。

通过本课题的设计，主要达到以下几个目的：1．了解周期信号分解与合成电路的原理及实现方法。

2．深入理解信号频谱和信号滤波的概念，理解滤波器幅频响应和相频响应对信号的影响以及无失真传输的概念。

3．掌握模拟带通滤波器的原理与设计方法。

4．掌握利用Multisim软件进行模拟电路设计及仿真的方法。

5．了解周期信号分解与合成硬件电路的设计、制作、调试过程及步骤。

6．掌握新一代信号与系统实验系统及虚拟示波器、虚拟信号发生器的操作使用方法。

7．培养运用所学知识分析和解决实际问题的能力。

2 设计任务及技术指标本课题的任务包括周期信号分解与合成电路设计、电路（系统）仿真分析、电路板焊接、电路调试与测试、仿真和测试结果分析等内容，主要工作有：1. 采用有源带通滤波器，选择适当的滤波器参数，设计一个能分解出周期信号（周期信号基波频率在100Hz~2kHz之间自行选择）前5次谐波的电路，并用Multisim软件进行仿真验证和参数调整。

2. 列出所设计带通滤波器的系统函数，用Matlab软件分析其频率响应、时域响应，并与Multisim电路仿真的结果进行比较分析。

4.1_周期信号的分解与合成

4.1_周期信号的分解与合成周期信号是指具有一定周期的信号，它在某段时间内表现出相似的特征。

周期信号的分解和合成是信号处理领域中常用的基础操作，可以将复杂的信号分解成若干个简单的周期信号，或将多个简单的周期信号合成成一个复杂的周期信号，为后续的信号处理和分析提供基础。

周期信号的分解可以通过傅里叶级数展开实现，即将周期信号表达为一系列正弦函数和余弦函数的线性组合。

傅里叶级数展开的公式为：f(x) = a0 + Σ(An*cos(nω0*x) + Bn*sin(nω0*x))其中，a0、An、Bn分别表示直流分量、余弦项系数、正弦项系数，ω0表示基波角频率。

例如，对于周期为T的方波信号，可以通过傅里叶级数展开得到：其中，n为正整数，ω0为基波角频率。

展开后得到的式子是一系列正弦函数的和，它们的频率是基波频率的整数倍，每一项的振幅都有一定的规律。

这些项的和就可以表示出原始的方波信号。

同理，其他周期信号也可以通过傅里叶级数展开来进行分解。

周期信号的合成则是将多个周期信号组合起来，形成一个新的周期信号。

例如，可以将三角波信号和方波信号进行合成，得到一个新的复合信号：f(x) = (4/π)*∑([(-1)^n-1]/(2n-1)*sin((2n-1)ω0*x))+ (4/π)*∑sin(2nπ*x/T)/n其中，第一项为三角波信号的傅里叶级数展开形式，第二项为方波信号的傅里叶级数展开形式。

将上述两项相加即可得到合成信号的形式。

周期信号的分解和合成是信号处理中常用的基础操作，在信号分析和处理中具有重要的应用价值。

通过周期信号的分解和合成，可以有效地简化信号的处理和分析过程，为实际工程应用提供了基础支撑。

信号与系统实验(MATLAB 西电版)实验10 周期信号的合成与分解

逼近
t=-2：0.001：2;
%
N=20; c0=0.5;
f1=c0*ones(1，length(t)); %
for n=1：N %
f1=f1+cos(pi*n*t)*sinc(n/2);
end plot(t，f1); axis(［-2 2 -0.2 0.8］);
方波的傅里叶级数逼近如图10.3
实验10 周期信号的合成与分解图 10.3 方波的傅里叶级数逼近
实验10 周期信号的合成与分解
3) 用正弦信号的叠加近似合成一频率为50 Hz，幅值为3
MATLAB clear all;
fs=10000; t=［0：1/fs：0.1］; f0=50; sum=0; subplot(211) for n=1：2：9;
实验10 周期信号的合成与分解
plot(t，4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t)，′k′); title(′信号叠加前′); hold on;
写出相应MATLAB
实验10 周期信号的合成与分解
五、
简述实验目的及原理，按实验步骤附上相应的信号波形
六、
(1) (2) 傅里叶级数分解有三种形式，请以另外两种形式重
(3) 若周期函数为奇谐波函数，重复上述实验，比较实验结果。
end subplot(221); plot(t，xN) xlabel(′time′); ylabel(′approximation N′); axis(［-2 2 -0.7 0.7］);
实验10 周期信号的合成与分解 2.
x(t)=
4
π n1
sin(2πnf0t)
1 n
n=1，3，5，…
Hale Waihona Puke 用前5项谐波近似合成一频率为50 Hz，幅值为3的方波，

周期信号的分解与合成

实验二：周期信号的分解与合成1.1实验目的(1) 深入理解在一个周期内满足绝对可积的任意周期信号fT(t) 都可以用振幅和初相角不同的各次谐波（含直流分量）之和表示。

(2) 理解相加的谐波分量愈多，时域信号的边沿愈陡，即边沿愈陡的信号包含愈多的高次谐波分量。

1.2 实验内容:(1) 讨论时域信号的上升沿、下降沿、顶部同包含的谐波分量的关系。

(2) 画出该周期信号的频谱图。

1.按照三角形式的傅里叶级数理论，满足一定关系的直流信号和无限多项正弦( 或余弦) 信号才能逼近原信号。

但在实际中只可能用有限次谐波合成来逼近原周期信号，这必将引起误差。

在实际应用中经常采用有限项级数来代替无限级数。

符合狄利赫利条件的周期信号可以分解成直流分量、不同频率正弦分量和余弦分量的叠加。

满足一定关系的直流分量和一系列的谐波分量之和可以近似表示周期信号。

本文运用Matlab 软件分析了方波信号的构成，仿真了直流信号和有限次谐波近似合成方波信号。

可以发现随着合成谐波的项数增加，合成波形越接近原方波信号，并且对方波信号合成中出现的吉布斯现象和均方误差进行分析。

这对于理解信号分解与合成理论以及信号和系统的分析和设计有非常重要的作用。

T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:3ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);实验截图:图1T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:7ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);实验截图:图2T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:20ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);实验截图:图3T = 1;A = 1;omega0 = 2*pi/T;y = zeros(size(-T:1e-3:T));for k=1:100ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));endplot(-T:1e-3:T, y);1.3实习总结：通过本次实习，我深入理解了相加的谐波分量愈多，时域信号的边沿愈陡，即边沿愈陡的信号包含愈多的高次谐波分量,在一个周期内满足绝对可积的任意周期信号fT(t) 都可以用振幅和初相角不同的各次谐波（含直流分量）之和表示。

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三 5三三三三三
三 1三三三三三
4
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

周期信号波形的合成和分解

周期信号波形的合成和分解实验四周期信号波形的合成和分解⼀.实验⽬的1. 加深了解信号分析⼿段之⼀的傅⽴叶变换的基本思想和物理意义。

2. 观察和分析由多个频率、幅值和相位成⼀定关系的正弦波叠加的合成波形。

3. 观察和分析频率、幅值相同，相位⾓不同的正弦波叠加的合成波形。

4. 通过本实验熟悉信号的合成、分解原理，了解信号频谱的含义。

⼆. 实验原理提⽰按富⽴叶分析的原理，任何周期信号都可以⽤⼀组三⾓函数{sin(2πnf0t),cos(2πnf0t)}的组合表⽰： x(t)=a0/2+a1*sin(2πf0t)+b1*cos(2πf0t)+a2*sin(4πf0t)+b2*cos(4πf0t)+........也就是说，我们可以⽤⼀组正弦波和余弦波来合成任意形状的周期信号。

对于典型的⽅波，根据傅⽴叶变换，其三⾓函数展开式为：由此可见，周期⽅波是由⼀系列频率成分成谐波关系，幅值成⼀定⽐例，相位⾓为0的正弦波叠加合成的。

三.实验仪器和设备计算机若⼲台,labVIEW虚拟仪器平台 1套,打印机1台四.实验步骤及内容1.启动labVIEW中的"波形合成与分解"实验脚本，进⾏该实验。

4. 在"波形合成与分解"实验中的频率输⼊框中输⼊100，幅值输⼊框中输⼊300，相位输⼊框中输⼊0，然后点击"产⽣信号"按钮，产⽣1次谐波，并点击"信号合成"按钮将其叠加到波形输出窗中。

5. 然后在频率输⼊框中输⼊300，幅值输⼊框中输⼊100，相位输⼊框中输⼊0，点击"产⽣信号"按钮，产⽣3次谐波，并点击"信号合成"按钮将其叠加到波形输出窗中，形成1，3次谐波叠加后的波形。

6. 然后在频率输⼊框中输⼊500，幅值输⼊框中输⼊60，相位输⼊框中输⼊0，点击"产⽣信号"按钮，产⽣5次谐波，并点击"信号合成"按钮将其叠加到波形输出窗中，形成1，3，5次谐波叠加后的波形。

周期信号的分解与合成

t2 t1
gi
(t)
g*j(t)d
t
0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
N
f( t) c 1 g 1 ( t) c 2 g 2 ( t) c r g r ( t) c N g N ( t)c ig i( t)
t0T(ejnt)(ejmt)dt0
t0
T
mn mn
式中，T=2π/Ω为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数
f(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为
f(t)F0F1ejt F2ej2t F1ejt
F2ej2t Fnejnt
n
式中，相关系数Fn
3.2.2周期信号的复指数表示
• 由3.2.1知：
3.2.1周期信号的三角级数表示
• 几个系数的关系
a0 A0 C 0
a nA nco sn C nsinn
b n A nsinn C nc o sn
An
an2 bn2 Cn
n
arctanbn an
n
arctanan bn
3.2.1周期信号的三角级数表示
• 几种系数的特点
An An
T0
an
2 T
T 2
T 2
f(t)cons1tdtT4
T 2
0
f(t)cons1tdt
bn
2 T
T 2
T 2
f(t)sin1tdt 0
偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，
无正弦分量。
3.2.1周期信号的三角级数表示

信号与系统实验周期信号的合成与分解

信号与系统实验周期信号的合成与分解实验报告实验名称: 周期信号的合成与分解姓名：学号：专业：信息与计算科学日期：成绩：实验名称：周期信号的合成与分解一、实验目的在熟悉连续、离散时间周期信号的Fourier 级数以及频谱函数的基础上，着重掌握运用Matlab 软件实现周期信号的合成，周期信号的分解。

二、实验题目1) 推导题M4-2图三角波信号的Fourier 级数表达式。

2) 取1=A ，20=T ，画出信号的频谱。

3）以95.0)2(122≥+∑=P C C Nn n 定义信号的有效带宽，试确定信号的有效带宽0Nw 。

画出有效带宽内有限项谐波合成的近似波形和原始信号波形。

三、实验内容1. 推导题M4-2图三角波信号的Fourier 级数表达式。

解：由图M4-2可知00T 2πω=，)(t f 在区间[]2/,2/00T T -的表达式为≤<≤<--=)2/0(2)02/(2)(0000T t t T A t T t T A t f由Fourier 系数计算公式?+-=000T 0)(T 1t t t jn n dt e t f C ω可得Fourier 系数为())1)cos(22-=ππn n A C n ）（0≠n由于此信号偶对称，当0=n 时，20AC =因而，该三角波信号的Fourier 级数表达式为：)cos()1)(cos(22)(0122t n n n AA t f n ωππ∑∞=-+=2. 取，，210==T A 画出信号的频谱。

将210==T A ，代入n C 得到=≠-=)0(5.0)0()1)(cos(122n n n n Cn ππ利用MATLAB 画出该周期三角波信号的频谱，代码如下： N=16; n1=-N:-1;c1=(cos(n1*pi)-1)/pi^2./n1.^2; c0=1/2; n2=1:N;c2=(cos(n2*pi)-1)/pi^2./n2.^2; cn=[c1 c0 c2];n=-N:N;subplot(1,2,1);stem(n,abs(cn));ylabel('Cn的幅度'); xlabel('\omega/\omega0'); subplot(1,2,2);stem(n,angle(cn));ylabel('Cn的相位'); xlabel('\omega/\omega0');3. 以95.0)2(122≥+∑=P C C Nn n 定义信号的有效带宽，试确定信号的有效带宽0Nw 。

第12讲周期信号的的分解与合成

周期信号的傅里叶级数展开：复指数形式傅里叶级数
图示周期矩形脉冲信号展成复指数形式傅里叶级数
f (t) A
…
…
T
T
t
22
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t)e jn0t dt 1 T
2 2
Ae jn0t dt
A T
sin( n0 )
2 n0
=
A T
Sa( n0 2
)
2
f (t)
Fne jn0t
【例4.2-4】如图4-5(a)所示的周期信号f1(t)的傅里叶系数为 Ak ，试用Ak 表示图4-5 (b)、(c)、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
2
f (t) 0
A π
s
in
0t
A 2π
s in
2
0t
直流
A π
cos ( 0 t
2
)
A 2π
(cos
2 0 t
2
)
基波
2次谐波
周期信号对称性与傅里叶级数的关系
对称于坐标原点
（1） f(t)为奇函数 f (t) f (t)
1
a0 T
T
2 f (t )dt = 0
T 2
T
f (t) 1
e e jk0t
-jk0t
e jk0t e-jk0t
f (t) a0 ak k 1
2
bk
2j
令
a0
k 1
ak
jbk 2
e jk0t
ak
jbk 2
e-jk0t
Fk
ak
jbk 2
Fke jk