山东省泰安市2020届高三数学第一轮复习质量检测试题 文
泰安市2020届高三数学一轮检测试题(含解析)
即 的定义域为 或 ，（ 且 )
令 ，其在 单调递减， 单调递增，
在 上 单调函数，其充要条件为
即 。
故选：C。
【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题。
5.已知定义在 上的函数 的周期为4,当 时, ，则 （ )
A. B. C. D.
【答Байду номын сангаас】A
【解析】
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ,集合 , ，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合N的补集 ,再求出集合M与 的交集,即为所求阴影部分表示的集合。
其中从事技术岗位的人数占的比为39。6％，则“90后”从事技术
岗位的人数占总人数的 .“80前”和“80后"
中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B正确；
4.已知函数 ，且 )，则“ 在 上是单调函数”是“ ”的（ ）
A。 充分不必要条件B。 必要不充分条件C。 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出复合函数 在 上是单调函数的充要条件，再看其和 的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.
【详解】 ，且 )，
A。 B. C. D。
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设 在直线 上 投影分别是 ，则 ， ，又 是 中点,所以 ，则 ，在 中 ，所以 ，即 ，所以 ，故选B．
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。
届数学一轮总复习第10章概率第3节几何概型跟踪检测文含解析
第十章概率第三节几何概型A级·基础过关|固根基|1.已知函数f（x）＝log2x，x∈［1,8]，则不等式1≤f（x）≤2成立的概率是(）A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：选B区间[1，8]的长度为7，不等式1≤f（x)≤2,即不等式1≤log2x≤2，解得2≤x≤4,对应区间［2,4]的长度为2，由几何概型概率公式可得使不等式1≤f（x）≤2成立的概率是P＝错误!.2．已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数y＝x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为(）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：选B由图形的对称性知,所求概率为P＝错误!＝错误!.故选B。
3．为了测量某阴影部分的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内,据此可以估计阴影部分的面积是（) A．4 B．3C．2 D．1解析:选B由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为错误!，所以阴影部分的面积约为9×错误!＝3.4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,点O为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(）A．1－错误! B.错误!C。
错误!D．1－错误!解析：选D如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V＝错误!×错误!π×13＝错误!.事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－错误!，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝错误!＝1－错误!。
5．（2020届“四省八校联盟”高三联考）在区间［－6，9］内任取一个实数m，设f（x）＝－x2＋mx＋m，则函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于（）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
2020届高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构、三视图和直观图课件理新人教A版
【教材导读】 1．平行投影和中心投影的区别和联系？ 提示：中心投影与人们感官的视觉效果是一致的，它常用来进行绘 画；平行投影中，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图 形的形状和大小完全相同．
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2.两面平行，其余各面都是平行四边形的几何体就 是棱柱吗？
提示：不是，其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行，如图几何 体就不是棱柱．
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D 解析：A 错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构 成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．
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B 错误，如图(2)(3)，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但 旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C 错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形． 由几何图形知，若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大于底面边长． D 正确．
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2．一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D 为原正方体的顶点， 则在原来的正方体中( )
(A)AB∥CD (C)AB⊥CD 答案：D
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(B)AB 与 CD 相交 (D)AB 与 CD 所成的角为 60°
3．下图中的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的( )
答案：A
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4．(2018 全国Ⅰ卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如 右图．
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第 1 节 空间几何体的结构、三视图和直观图
最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描 述现实生活中简单物体的结构． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的 三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们 的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形 的不同表示形式． 4.会画某些建筑物的三视图和直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸 线条等不作严格要求)
山东省泰安市2020届高三一轮检测数学试题-含答案
山东省泰安市2020届高三一轮检测
数学试题
2020.3
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡
8. 抛 物 线 y2 = 2px ( p > 0 ) 的 焦 点 为 F，准 线 为 l，A，B 是 抛 物 线 上 的 两 个 动 点 ，且 满 足
∠AFB
=
2π 3
.
设线段
AB
的中点
M
在
l
上的投影为
N，则
| MN | | AB |
的最大值是
A. 3
B. 3 2
C. 3 3
D. 3 4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的 .
1. 已知全集 U=R,集合 M = { x| -3 < x < 1 } ,N = { x| | x | ≤ 1 }，则阴影
合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 .
9. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼
状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前
2020届山东高三理科数学一轮复习课件第八章§8.1空间几何体的表面积和体积
×60=10.
评析 本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要 求出具体的底面面积和高是多少.
6.(2019天津文,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,侧棱长均为 5 .若圆柱的一个
底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的
体积为
.
答案
4
解析 本题考查圆柱、正四棱锥的性质,通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的空
间想象能力,体现了直观想象的核心素养.
如图所示,圆柱的高|O1O|= 12 |PO|= 12 PA2
AO2
= 1 5
2
1
=1,圆柱的底面半径r= 1 |AO|= 1 ,所以圆
2
2
柱的体积V=πr2·|O1O|=π× 14 ×1= 4 .
则2R= 3 × 2 ,R= 6 ,∴球O的体积V= 4 πR3= 6 π.故选D.
2
3
解法二:令PA=PB=PC=2x(x>0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= 3 .在△PAC中,cos∠APC=
4x2 4x2 4 = 2x2 1 .
2 4x2
2x2
在△PEC中,EC2=PC2+PE2-2PC·PEcos∠EPC=4x2+x2-2×2x·x·2 x22x2 1 =x2+2,在△FEC中,∵∠CEF=
32
又制作该模型所需的原料密度为0.9 g/cm3, 故制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).
易错警示 计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理 求得HE= 22 32 = 13 ,错认为底面面积为13.
2020届高考数学一轮复习第十篇 第7节二项分布与正态分布课时作业理(含解析)新人教A版
第7节 二项分布与正态分布课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )＝( )(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析：事件A 的概率为P (A )＝12，事件AB 发生的概率为P (AB )＝14，由公式可得P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12，选A. 2．已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析：由ξ～N (3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x ＝3，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；若三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 4．(2019江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C →)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A →)P (B )P (C →)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P ABP A ＝12×1212＝12.故选B. 6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得： C k 512k×125－k ＝C k ＋1512k ＋1×124－k ， 解得k ＝2.故选C.7．(创新题)某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ≤4)＝0.9，该变量X ∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析：∵P (X ≤4)＝0.9，∴P (X ＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x ＝2对称，故P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0.1，∴P (0＜X ＜4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D. 8．(2019济宁一中)已知随机变量X ～N (2,2)，若P (X ＞t )＝0.2，则P (X ＞4－t )＝( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.7(D)0.8D 解析：P (X ＞4－t )＝1－P (X ＜4－t )＝1－P (X ＞t )＝1－0.2＝0.8.故选D. 9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣传此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10 000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：根据题意显然有X 2－B (10 000,0.01)，所以E (X2)＝10 000×0.01＝100，故E (X )＝200.答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解析：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316，X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为：X 的均值E (X )＝2×316＝38.能力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn ，12，η～Bn ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )(A)5 (B)10 (C)15(D)20B 解析：因为ξ～Bn ，12，所以E (ξ)＝n2，又E (ξ)＝15，则n ＝30. 所以η～B 30，13，故E (η)＝30×13＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924C 解析：设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49， 所以P (AB )＝P (B |A |)·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827，故选C.13．设随机变量X －N (3，σ2)，若P (X ＞m )＝0.3，则P (X ＞6－m )＝________. 解析：∵随机变量X ～N (3，σ2)，∴P (X ＞3)＝P (X ＜3)＝0.5， ∵P (X ＞m )＝0.3，∴P (X ＞6－m )＝P (X ＜m )＝1－P (X ＞m )＝1－0.3＝0.7. 答案：0.714．(2019林州一中质检)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P (0＜ξ＜3)＝P (ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．(2019南昌模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X ＜75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题知，P (80≤X ＜85)＝12－P (X ＜75)＝0.2，P (85≤X ＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P (75≤X ≤85)＝1－2P (X ＜75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B (3,0.4)，P (ξ＝0)＝0.63＝0.216，P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N *)的函数解析式； (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n ≥17时y ＝17×(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850n ≤16，n ∈N *，850n ≥17，n ∈N *.(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ， 由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P (B |A )＝P AB P A ＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X 表示当天的利润(单位：元)，X 的分布列为X 550 650 750 850 P0.10.20.160.54E (X )＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y 表示当天的利润(单位：元)，Y 的分布列为：Y 600 700 800 P0.10.20.7E (Y )＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E (X )＞E (Y )，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。
2020届高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.6对数与对数函数练习含解析
专题2.6 对数与对数函数【考试要求】1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a >0，且a ≠1)． 【知识梳理】 1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【微点提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n m log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x＞1时，log a x＞log b x，但a与b的大小不确定，故(4)错. 【教材衍化】2.(必修1P73T3改编)已知a＝132-，b＝log213，c＝log1213，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【答案】 D【解析】∵0<a<1，b<0，c＝log1213＝log23>1.∴c>a>b.3.(必修1P74A7改编)函数y＝log23(2x－1)的定义域是________.【答案】⎝⎛⎦⎥⎤12，1【解析】由log23(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴12<x≤1.∴函数y＝log23(2x－1)的定义域是⎝⎛⎦⎥⎤12，1.【真题体验】4.(2019·杭州检测)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )A.0B.2C.4D.6【答案】 D【解析】原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.5.(2019·上海静安区检测)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1【答案】 D【解析】由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即log a c>0，所以0<c<1.6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 【答案】 －7【解析】 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【答案】 (1)－20 (2)1【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.【规律方法】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab ＝N ⇔b ＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【答案】 (1)D (2)4 2【解析】 (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1 B.0<b <a －1<1 C.0<b －1<a <1 D.0<a －1<b －1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x<1，log2x ，x≥1，若方程f(x)－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)A (2){0}∪[2，＋∞)【解析】 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0， 即log a a －1<log a b <log a 1，所以，a －1<b <1. 综上有0<a －1<b <1.(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 考点三 对数函数的性质及应用 多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称【答案】 C【解析】由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log121 3，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b(2)若log a(a2＋1)<log a2a<0，则a的取值范围是( )A.(0，1)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】(1)D (2)C【解析】(1)法一因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log1213＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.法二log1213＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又log a(a2＋1)<log a2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，∴a>12.综上，a∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1.角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f(x)＝log a(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 【规律方法】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【训练3】 (1)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c<b cD.c a>c b(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.【答案】 (1)B (2)(0，＋∞)【解析】 (1)由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.(2)令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 【反思与感悟】1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8【答案】 A【解析】 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b【答案】 D【解析】 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b .3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )【答案】 A【解析】 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a>0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数 【答案】 D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2). ∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减.5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( ) A.12B.1C.2D.4 【答案】 C【解析】 由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2. 二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【答案】 －1【解析】 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 7.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 【答案】 (－1，0)【解析】 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________. 【答案】 －2【解析】 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意. 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值.【答案】见解析【解析】(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.【答案】见解析【解析】(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间 (－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )【答案】 A【解析】 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1.所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0<x <1时，g (x )＝log a (1－x )为减函数，排除C ；故选A.12.设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z【答案】 D【解析】 令t ＝2x ＝3y ＝5z ，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0， ∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________.【答案】 [1，＋∞)【解析】 令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1. 14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ).∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数.(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m（x －1）（7－x ）>0，∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。
2020届高考数学一轮复习人教B版逻辑联结词且或非作业Word版含答案
2020届一轮复习人教B版逻辑联结词且或非作业1.若p是真命题,q是假命题,则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.p是真命题D.q是真命题答案:D2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”和“p且q”都为真命题的是()A.p:4+4=9,q:7>4B.p:a∈{a,b,c},q:{a}⫋{a,b,c}C.p:15是质数,q:8是12的约数D.p:2是偶数,q:2不是质数解析:只有命题p和q都正确时“p且q”才正确,据此原则可判断仅B项符合.答案:B3.已知p与q是两个命题,给出下列命题:(1)只有当命题p与q同时为真时,命题“p或q”才能为真;(2)只有当命题p与q同时为假时,命题“p或q”才能为假;(3)只有当命题p与q同时为真时,命题“p且q”才能为真;(4)只有当命题p与q同时为假时,命题“p且q”才能为假.其中正确的命题是()A.(1)和(3)B.(2)和(3)C.(2)和(4)D.(3)和(4)解析:因为当命题p与q同时为真时,命题“p或q”“p且q”都为真,而当命题p与q一真一假时,命题“p 或q”为真,“p且q”为假,所以(1)错,(3)对;而当命题p与q只要有一个为假时,“p且q”就为假,所以(4)错;当命题p与q同时为假时,“p或q”才为假,所以(2)对,故选B.答案:B4.已知全集S=R,A⊆S,B⊆S,若p:∈(A∪B),则“非p”是()A. ∉AB.∈∁S BC. ∉(A∩B)D.∈[(∁S A)∩(∁S B)]解析:对一个命题的否定,只对命题的结论进行否定.答案:D5.导学号90074012已知命题p:存在x∈R,使tan x=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}.有下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且非q”是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④命题“非p或非q”是假命题.其中正确的是()A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④解析:命题p:存在x∈R,使tan x=1正确.命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也正确, ∴①命题“p且q”是真命题;②命题“p且非q”是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④命题“非p 或非q”是假命题,故应选D.答案:D6.用适当的逻辑联结词填空(填“且”或“或”):(1)若a2+b2=0,则a=0b=0;(2)若ab=0,则a=0b=0;(3)平行四边形的一组对边平行相等.解析:(1)若a2+b2=0,则a=0且b=0,故填“且”.(2)若ab=0,则a=0或b=0,故填“或”.(3)平行四边形的一组对边平行且相等,故填“且”.答案:(1)且(2)或(3)且7.如果命题“非p或非q”是假命题,对于下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的是.(填序号)解析:由“非p或非q”是假命题知,“非p”与“非q”都是假命题,所以p,q都是真命题,从而判断①③正确,②④错误.答案:①③8.命题p:1是集合{x|x2<a}中的元素;命题q:2是集合{x|x2<a}中的元素.若“p且q”是真命题,则a的取值范围为.解析:由p为真命题,可得a>1,由q为真命题,可得a>4.当“p且q”为真命题时,p,q都为真命题,即解得{a|a>4}.答案:{a|a>4}9.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题,并判断其真假.(1)p:1是质数,q:1是方程x2+2x-3=0的根;(2)p:平行四边形的对角线相等,q:平行四边形的对角线互相垂直;(3)p:N⊆Z,q:0∈N.解(1)因为p假q真,所以p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根,为真;p且q:1是质数且是方程x2+2x-3=0的根,为假;非p:1不是质数,为真.(2)因为p假q假,所以p或q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,为假;p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,为假;非p:平行四边形的对角线不一定相等,为真.(3)因为p真q真,所以p或q:N⊆Z或0∈N为真;p且q:N⊆Z且0∈N,为真;非p:N⊈Z,为假.B组1.若命题“p或q”与“p且q”中一真一假,则可能是()A.p真q假B.p真q真C.非p真q假D.p假非q真解析:由题意知“p且q”为假,“p或q”为真,则p,q中一真一假.答案:A2.命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的否定是()A.原函数与反函数的图像关于直线y=-x对称B.原函数不与反函数的图像关于直线y=x对称C.存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称D.存在原函数与反函数的图像关于直线y=x对称解析:命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的本质含义是“所有原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”.故其否定应为“存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称”.答案:C3.已知命题p:“x>2是x2>4的充要条件”,命题q:“若,则a>b”,则()A.“p或q”为真B.“p且q”为真C.p真q假D.p,q均为假解析:由已知可知命题p为假,命题q为真,因此选A.答案:A4.设命题p:函数y=cos 2x的最小正周期为;命题q:函数f(x)=sin-的图像的一条对称轴是x=-,则下列判断正确的是()A.p为真B.非q为假C.p且q为真D.p或q为假解析:因为函数y=cos 2x的最小正周期为π,故命题p是假命题;因为f-=-1,故命题q是真命题,则非q为假,p且q为假,p或q为真,故选B.答案:B5.已知p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在直线y=-3x+2上,则使命题p且q为真命题的一个点P(x,y)是.解析:因为p且q为真命题,所以p,q均为真命题,即点P为直线y=2x-3与y=-3x+2的交点,故有--解得-.故点P的坐标为(1,-1).答案:(1,-1)6.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的范围是. 解析:由题意得,p:x∈[2,5],q:x∈{x|x<1或x>4},因为p或q为假,所以p假q假,故有或解得1≤x<2.答案:[1,2)7.已知函数①f(x)=|x+2|;②f(x)=(x-2)2;③f(x)=cos(x-2).现有命题p:f(x+2)是偶函数;命题q:f(x)在(-∞,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数.则能使p且q为真命题的所有函数的序号是.解析:若p且q为真命题,则p,q均为真命题.对于①,f(x+2)=|x+4|不是偶函数,故p为假命题.对于②,f(x+2)=x2是偶函数,则p为真命题;f(x)=(x-2)2在(-∞,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,则q为真命题,故p且q为真命题.对于③,f(x)=cos(x-2)显然在(2,+∞)内不是增函数,故q为假命题.故填②.答案:②8.已知命题p:“存在a>0,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a∈R,使任意x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.解若p为真,则函数f(x)图像的对称轴x=--在区间(-∞,2]的右侧,即≥2,∴0<a≤1.若q为真,则方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根,∴Δ=[16(a-1)]2-4×16<0,∴<a<.∵命题“p且q”为真命题,∴<a≤1.故实数a的取值范围为.9.导学号90074013已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解.若p且q是假命题,非p也是假命题.求实数a的取值范围.解∵p且q是假命题,非p是假命题,∴命题p是真命题,命题q是假命题.∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,∴-.∴|x1-x2|=-.∴当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3.由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,可得a2-5a-3≥3.∴a≥6或a≤-1,∴当命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,①当a>0时,显然有解;②当a=0时,2x-1>0有解;③当a<0时,∵ax2+2x-1>0,∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0.从而命题q:不等式ax2+2x-1>0有解时,a>-1.又命题q是假命题,∴a≤-1.综上所述得或--⇒a≤-1.∴所求a的取值范围为(-∞,-1].。
2020年高考数学(文)一轮复习专题6.2 等差数列及其前n项和(练)(解析版)
专题6.2 等差数列及其前n 项和1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．2B ．7C ．14D ．28【答案】C 【解析】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===，本题选C 。
2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=（ ）A ．12B ．9C ．6D ．3【答案】B【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==本题选B 。
3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6-C ．2-D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6， 故选A 。
4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（ ）A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-1【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或，451a =a q ∴，5a =232或，故选B.5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。
2020届高三(文)一轮复习：课堂达标27 等差数列及其前n项和
◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(二十七)[A 基础巩固练]1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10， ∴a 3＝5.又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2. [答案] B2．(2018·宁夏银川市二模试卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为( )A ．15B ．20C ．25D ．15或25[解析] ∵在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝51＋2＝1＋1＋，解得a 1＝－1，d ＝2， ∴数列{a n }的前5项的和为：S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×(－1)＋5×4＝15.故选：A.[答案] A3．(2018·山师大附中高三三模)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36[解析] 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1－q 51－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2. 又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2－q 51－q＝31，故选B.[答案] B4．(2016·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d>0，dS 4>0B ．a 1d<0，dS 4<0C ．a 1d>0，dS 4<0D ．a 1d<0，dS 4>0[解析] ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋7d)，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d≠0，∴a 1d<0.∵S n ＝na 1＋－2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.[答案] B5．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＞0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)＜0，则( )A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0[解析] 根据题意，等差数列{a n }中， 有(S 8－S 5)(S 9－S 5)＜0，即(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＜0， 又由{a n }为等差数列，则有(a 6＋a 7＋a 8)＝3a 7，(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＝2(a 7＋a 8)，(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＜0⇔a 7×(a 7＋a 8)＜0，a 7与(a 7＋a 8)异号，又由公差d ＞0，必有a 7＜0，a 8＞0，且|a 7|＜|a 8|； 故选：B. [答案] B6．(2018·湖南省常德市一模)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( )A ．72.705尺B ．61.395尺C ．61.905尺D ．73.995尺[解析] ∵每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d′＝0.03为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，设从地面往上，每节节圈长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，由{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列，∴一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是：S 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋[30×1.3＋30×292×(－0.013)]＝61.395.故选：B. [答案] B7．(2018·湖南省永州市三模)数列{a n }的通项公式为a n ＝nsin n π2＋(－1)n，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝______.[解析] ∵n ＝2k(k ∈N *)时， a n ＝a 2k ＝2k·sin k π＋1＝1. n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝(2k －1)·sin 2k －12π－1＝(－1)k －1(2k －1)－1.∴S 2 017＝(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＋(a 1＋a 3＋…＋a 2 017) ＝1 008＋(1－3＋5－7＋…－2 017－1 009) ＝1 008＋(－1 008－2 017－1 009)＝－3 026. [答案] －3 0268．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为______． [解析] 因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m.由S m ＝(3－m)m ＋－2×1＝0，解得正整数m 的值为5.[答案] 59．在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝__________. [解析] 法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.法二：因为S 100－S 10＝11＋a 1002＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S110＝1＋a 1102＝11＋a 1002＝－110.[答案] －11010．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)，a 1＝12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12n－1－＝n －1－n－1＝－1－.当n ＝1时，a 1＝12不适合卡式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－1－，n≥2.[B 能力提升练]1．(2018·南昌一模)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84[解析] 由题意a 1>0，a 10·a 11<0，得d<0，a 10>0，a 11<0，所以a 1>a 2>…>a 10>0>a 11>a 12>…>a 18>…， 所以T 18＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a 18|＝a 1＋a 2＋…＋a 10－(a 11＋a 12＋…＋a 18)＝2S 10－S 18＝2×36－12＝60.[答案] C2．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *，(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列[解析] S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n ＋1|长度一半，即S n ＝12 h n |B n B n ＋1|，由题目中条件可知|B n B n ＋1|的长度为定值，那么我们需要知道h n 的关系式，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成了直角梯形，那么h n ＝h 1＋|A 1A n |·sin θ，其中θ为两条线的夹角， 即为定值，那么S n ＝12(h 1＋|A 1A n |·sin θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(|h 1＋A 1A n ＋1|·sin θ)|B n B n ＋1|， 作差后：S n ＋1－S n ＝12 (|A n A n ＋1|·sin θ)|B n B n ＋1|，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值．故选A. [答案] A3．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为__________．[解析] ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. [答案]19414．(2018·湖南省常德市一模)已知数列{a n }中，a 1＜0，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足：b n ＝na n (n ∈N *)，设S n 为数列{b n }的前n 项和，当n ＝7时S n 有最小值，则a 1的取值范围是______．[解析] 数列{a n }中，a 1＜0，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)， ∴1a n ＋1－1a n ＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为3. ∴1a n ＝1a 1＋3(n －1)．解得a n ＝a 11＋－1.∴b n ＝na n ＝na 11＋－1，设S n 为数列{b n }的前n 项和， 当n ＝7时S n 有最小值，∴b 7＞0，b 8＜0.∴7a 11＋18a 1＞0，8a 11＋21a 1＜0，解得－118<a 1<－121.则a 1的取值范围是：⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，－121.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－118，－121. 5．(2017·江苏)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k＝2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列．[证明] (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n≥4时，a n －k ＋a n ＋k＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P(3)数列”．(2)数列{a n }即是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ， ① 当n≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)， ③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )， ④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4，所以a 2＝a 3－d′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3，所以a 1＝a 2－2d′，所以数列{a n }是等差数列．[C 尖子生专练](2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n}(n ＝1,2,3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x S }表示x 1，x 2，…，x S 这S 个数中最大的数．(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．[解析] (1)c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0.c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1,3－3×2,5－3×3}＝－2.当n≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n(a k ＋1－a k )＝2－n<0，所以b k －na k 关于k ∈N *单调递减．所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n}＝b 1－a 1n ＝1－n. 所以对任意n≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1， 所以{c n }是等差数列．(2)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1)．所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋a 1n ＋－2－nd 1，当d 2>nd 1时，b 1－a 1n ，当d 2≤nd 1时，①当d 1>0时，取正整数m>d 2d 1，则当n≥m 时，nd 1>d 2，因此c n ＝b 1－a 1n.此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列． ②当a 1＝0时，对任意n≥1，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2,0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2,0}－a 1)．此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列． ③当d 1<0时，当n>d 2d 1时，有nd 1<d 2.所以c n n ＝b 1－a 1n ＋－2－nd 1n＝n(－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n(－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|.对任意正数M ，取正整数m>max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当时，c nn >M.。
2020届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第三章 导数及其应用 课时跟踪训练15 Word版含解析.doc
课时跟踪训练(十五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )[解析] 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．[答案] A2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2,0) [解析] 设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．[答案] D3.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数[解析] 由图可知，当－3<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－3,0)上是减函数．故选A.[答案] A4．函数f (x )＝2ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a D ．(－∞，a )[解析] 由f ′(x )＝2x －a >0，得0<x <2a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a .故选A. [答案] A5．(2018·江西临川一中期中)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x .要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x ＝0在x >0上有解，所以a <0.[答案] C6．(2017·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.[答案] B二、填空题7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2x －a ，∵f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≤2x ，∴a ≤2.[答案] (－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ax －x 3，若对区间(0,1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 问题等价于函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0,1)上为增函数，即g ′(x )＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0,1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．[答案] [4，＋∞)三、解答题10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[能力提升]11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) [解析] 由f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )是偶函数．f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当0<x <π2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π2)上为增函数．又0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.故选A. [答案] A12．(2017·湖北华北师大附中模拟)若f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，则f (x －1)<e 2＋1e 的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 由f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，得f (x )－f (－x )＝(1－a )(e x －e －x )＝0恒成立，所以a ＝1，即f (x )＝e x ＋e －x ，则f ′(x )＝e x －e －x .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且图象关于y 轴对称．由f (x－1)<e 2＋1e ＝f (1)得|x －1|<1，解得0<x <2，即f (x －1)<e 2＋1e 的解集为(0,2)，故选B.[答案] B13．(2017·福建福州质检)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6＝2x 2＋(a －6)x ＋a x(x >0)． 设g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)，因为函数f (x )在(0,3)上不是单调函数，等价于函数g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零．又g (0)＝a ，g (3)＝4a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)＝a >0，0<－a －64<3，Δ＝(a －6)2－8a >0，解得0<a <2，所以实数a 的取值范围为(0,2)．[答案] (0,2)14．(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.[解析] ①因为f (x )＝2－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故f (x )＝2－x 具有M 性质．②因为f (x )＝3－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，故f (x )＝3－x 不具有M 性质．③因为f (x )＝x 3的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·x 3，构造函数g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x (x ＋3)，当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0，所以e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f (x )＝x 3不具有M 性质．④因为f (x )＝x 2＋2的定义域为R ，又e x f (x )＝e x (x 2＋2)，构造函数h (x )＝e x (x 2＋2)，则h ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，所以e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．故填①④.[答案] ①④15．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴综上当a ≤0时f (x )在(0，＋∞)单调递增．当a >0时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，则2≥1a ，即a ≥12.∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．[解] f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．②若a >－e 2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．③若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．[延伸拓展]已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)。
【人教版】2020届高考数学一轮复习 第4讲 函数及其表示学案(无答案)文
C．4D．5
〖概括小结〗映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．
常用结论记心中，快速解题特轻松：
1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！
2．函数问题定义域优先！
3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！
4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．
本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．
(3)函数f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．
(4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4.
(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．
(6)f(x)＝ 则f(－x)＝
2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________．
3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中 只与x的一个值对应的y值的范围是________．
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1（含答案解析）
2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合4=(x|-4<x<3}>B={-5,-4,一3,—2},则AC\B={)A.{一4,一3,—2}B.(-3,-2}C・(-4,-3} D. {-5,-4)2.设，是虚数单位.如果复数z=M，其实部与虚部互为相反数，那么实数々=（）A.—3B.3C.—iD.3.某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到甲||乙如图所示的茎叶图，已知甲班6名同学成绩的平均数为82,乙班6名同学[6|7成绩的中位数为77,则z-y=（）, 7?：?：6x1|R25A.3B.-3C.4D. -40L L4.过焦点为F的抛物线y2=i2x上一点M向其准线作垂线，垂足为N,若直线NF的斜率为—手则|MF|=（）A.2B.2^3C.4D.4屯5.如图是一个算法流程图，则输出的〃的值为（）A. 3B. 4C.5D.6y-x<0,6.设%,y满足约束条件x+2y<4,则z=x—3y的最大值为（）（x-2y<2,A.4B. IC. -：D・27.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该校柱的表面积为（）A. 24 +V3B. 24 + 2V3C. 14V 字 D・ 12焰8, 在等比数列｛%｝中，若Q1 = 2, %=16，则｛%｝的前5项和晃等于（）A. 30 B. 31 C. 62 D. 649. 函数/'（x ） = /4sin （anr + <p ）（其中4 > 0, 3 > 0. M < ?）的图象如图所示.为了得到g （x ） = sin2x的图象，则只需将『侦）的图象（）A.向左平移:个长度单位C.向右平移:个长度单位 B.向右平移?个长度单位D.向左平移;个长度单位1!哗＞.』3 -:r), T 1 . n 则/(2019)=()A i B.j C. j IL 3、已知 lg2 = a. Ig3 = t,则也 12 等于()A. B. fe + 2« C. « + 2iD 蓦D・u +护r f -（3/w + 1）k +3,X 。
2020届高考一轮复习数学(理科) 第二章 函数、导数及其应用第五节 指数与指数函数
核心素养
1.逻辑推理 2.数学运算 3.直观想象
1．根式
n
(1)概念：式子 a叫做_根__式__，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
n
n
(2)性质：( a)n＝a(a 使 a有意义)；当 n 为奇数时，
n
an＝a，当
n
n
为偶数时，
an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0.
2．分数指数幂
4
解析：(1)由于 （－4）4＝ 44＝4，故(1)错．
24
(2)(－1)4＝ （－1）2＝1，故(2)错．
(3)由于指数函数解析式为 y＝ax(a＞0，且 a≠1)，故
y＝2x－1 不是指数函数，故(3)错．
(4)由于 x2＋1≥1，又 a＞1，所以 a x2＋1≥a.故 y＝ax x2
＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错．
(2)设年产量经过 x 年增加到 y 件，则第一年为 y＝a(1 ＋p%)，第二年为 y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第 三年为 y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…， 则 y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m 且 x∈N)．
答案：(1)C (2)B
3．典题体验 (1)(2019·泰安一中月考)设 a＞0，将
角度 指数函数性质的应用
【例 3】 已知 f(x)＝ax－1 1＋12x3(a＞0，且 a≠1)． (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立． 解：(1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0， 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}． 对于定义域内任意 x，有 f(x)＝ax－1 1＋12x3＝x23（（aaxx－＋11）），
2020届高三文理科数学一轮复习《三角函数的图像与性质》专题汇编(教师版)
《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一 三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．解析：根据题意知sin x >0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)． 2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由2sin x －3≥0得sin x ≥32，∴π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π(k ∈Z)，故选B ． 3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________． 解析：要使函数式有意义，需2sin x －2≥0，即sin x ≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)． 4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析：D ，由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z .] 5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π解析：法一：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π，3π2.故选C. 法二：x ＝π时，函数有意义，排除A 、D ；x ＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.题型二 三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域 (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．解析：f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z)，x ＝6k π(k ∈Z)，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z}．] 2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． 解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎫255cos x ＋55sin x ＝5sin(x ＋α)(其中tan α＝2)，故函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. 3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.4．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3，故选B ． 5．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________． 解析：∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3<1，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3<2. ∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为(－1,2)． 6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.7．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝|2sin ⎝⎛⎪⎪2x －π3）<3，所以m ≥ 3. 8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为解析：∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112， 又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. 10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______解析：设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12(－2≤t ≤2)，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y 取最大值为2＋12，当t ＝－1时，y 取最小值为－1.所以函数值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2.]11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． 12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．题型三 三角函数的单调性类型一 求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；解析：观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是( k π－π2，k π ]，k ∈Z.2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：选D ，将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________． 解析：由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)．故函数的递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12.4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 解析： f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－2sin ( 2x －π4 )，令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，故－π4＋2k π≤2x ≤3π4＋2k π(k ∈Z)，解得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．故选D. 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________． 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，函数f (x )的减区间就是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为 ； 递减区间为解析：当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是[ －5π12，π12]， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－5π12，⎣⎡⎦⎤π12，π2. 8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π解析：令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π3，π3，故选C ． 9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________． 解析：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12和⎣⎡⎦⎤－π12，0. 10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B ，因为sin φ－cos φ＝22，所以2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－cos (2x ＋2φ)2＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z). 11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18＞sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解析：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．解析：令－π2≤2x －π6≤π2，则－π6≤x ≤π3.令π2≤2x －π6≤32π，则π3≤x ≤5π6.因为－π12≤x ≤π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取得最大值为1. 因为f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，所以当x ＝－π12时，f (x )min ＝－32. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 类型二 已知单调性求参数值或范围 已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于 解析：因为f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32. 2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4. 3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________. 解析：由π8≤x ≤5π8得π8ω＋π4≤ωx ＋π4≤5π8ω＋π4.又函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z)，则⎩⎨⎧π8ω＋π4＝2k π＋π2，58πω＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＝16k ＋2ω＝165k ＋2，解得ω＝2. 4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是 ． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意，知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥2k π＋π2，k ∈Zπω＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，当k ＝0时，12≤ω≤54.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．解析：由π＜x ＜3π2得πω－π3＜ωx －π3＜3π2ω－π3，由题意知⎝⎛⎭⎫πω－π3，3π2ω－π3⊆⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)． ∴⎩⎨⎧πω－π3≥2k π＋π2，k ∈Z3π2ω－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得⎩⎨⎧ω≥2k ＋56，k ∈Zω≤43k ＋119，k ∈Z，当k ＝0时，56≤ω≤119.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________. 解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π，∴2πω≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________. 解析：因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则 f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．解析：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ∈[0，a ]时，π4≤x ＋π4≤a ＋π4， 由题意知a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值为3π4.题型四 三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 解析：22．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 解析：T ＝2ππ＝2．3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π. 4．函数 ＋ 的最小正周期为______.解析：函数,所以，最小正周期，5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C ．6．函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为________ 解析：由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 题型五 三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． (2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x ， 故函数y 是最小正周期为π的奇函数，故选A.2．若函数 是偶函数，则 等于______解析：由题 ，又()0,ϕπ∈，故 =3．若函数 是偶函数，则 ________．解析：函数为偶函数，则当 时函数取得最值，即： .4．若 是定义在 上的偶函数，其中 ，则 _____ 解析：根据题意可知若f （x ）是定义在R 上的偶函数，即 的对称轴为x=0则有 ，又因为 ，所以可解得5．将函数 向右平移 个单位，得到一个偶函数的图象，则 最小值为__ 解析：将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 ，因为函数 为偶函数， ，当 时， 的最小值 ，故答案为 .6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________. 解析：由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. 题型五 三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z1．列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：根据函数的最小正周期为π知，排除C ，又当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，2x －π6＝π2，2x －π3＝π3，故选B ． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 解析：令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z.当k ＝－1时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－3π4，0.故选B. 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π12解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，可得x ＝512π＋k 2π(k ∈Z)．令k ＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x ＝1112π. 3．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为 解析：由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z.∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. 4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0解析：选B ，因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值. 5．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称 C ．关于直线x ＝π2对称 D ．关于直线x ＝－π2对称解析：f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－2，故选B. 6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( ) A.π6 B.π3 C.7π6 D.4π3解析：选C ，函数零点即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π12，可知两个交点关于直线x ＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π6. 8．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称 解析：选A ，由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A. 9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π 解析：选B ，∵函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2. 10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)解析：选C ，由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)． 题型六 三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x ) 解析：选D ，A 选项，函数在⎝⎛⎭⎫π2，3π4上单调递减，在⎝⎛⎭⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；B 选项，函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 解析：D ，A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z)，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确． C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确． D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)，递增区间为2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z)，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D ． 4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数 解析：选C ，由题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π3＝32，直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C. 5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.32解析：选D ，∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3，∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 6．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z. 所以函数f (x )图像的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z. (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ( x －π4)·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，1，k ∈Z. (2)x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数有最大值2； 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值12.8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解析：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)， ∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z)． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＋ 2 ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.∵由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， ∴单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3时，可得2x －π6∈⎣⎡⎦⎤0，π2，解得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2∈[2，2＋1] ⇒F (x )＝[f (x )]2－22f (x )＝[f (x )－2]2－2∈[－2，－1]．存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3，满足F (x )－m ＞0的实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。
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山东省泰安市2020年3月高三第一轮复习质量检测
数学试题(文科)
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}-1012A =，，，，集合{}
23,B y y x x A ==-∈⋂，则A B 等于
A ．{}101-，，
B ．{}11-，
C ．{}112-，，
D ．{}012，， 2．若()125i z i -=，则z 的值为
A ．3
B ．5
C ．3
D ．5
3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，6483,a a a =+则
A ．有最小值6
B ．有最大值6
C ．有最大值9
D ．有最小值3
4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：
根据上表可得回归方程$9.49.1y x =+，那么表中m 的值为
A ．27．9
B ．25．5
C ．26．9
D ．26
5．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．
的是
A ．()g x 的周期为π
B ．62g π⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．()3x g x π
=是的一条对称轴
D ．()g x 为奇函数 7．已知F 是抛物线2x y =的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB
的中点到x 轴的距离为
A ．74
B ．54
C ．1
D ．34
8．给出下列结论：
①命题“若000x y xy ===或，则”的否命题为“若00x y ≠≠或，则xy ≠0”； ②“2a =”是“直线41030ax y ax y ++=--=与直线垂直”的充要条件；
③命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；
④函数()x
f x e x =+的零点在区间()1,0-内. 其中正确结论的个数是
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题正确的是
A ．//,//,//m n m n αα若则
B ．,//αγβγαβ⊥⊥若，则
C ．//,//,//m m αβαβ若则
D ．,,//m n m n αα⊥⊥若则
10．如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=o ，2BC CD ==，点E 在对角线AC
上，AC=4，AE=1，则EB ED ⋅u u u r u u u r 的值为
A ．17
B ．13
C ．5
D ．1 11．已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=o
，且3OQ OP =u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为
A 7
B ．72
C ．73 C ．74
12．设函数()()()()()()[],20,1f x x R f x f x f x f x x ∈-==-∈满足，且当时，()3f x x =，又函数()4log g x x =，则函数()()()h x g x f x =-零点的个数为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上．
13．设函数()()()()2211log 2,16log 112,1
x x x f x f f x -⎧+-<⎪=-+=⎨≥⎪⎩，则 ▲ ． 14．设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则目标函数24z x y =+的最小值是
▲ ．
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
▲ ． 16．对任意数列123:,,,,,n A a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义A ∆为数列2132431,,,,,n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，如果数列A 使得数列()A ∆∆的所有项都是1，且122220a a a ===，则 ▲ ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为()222,,234a b c a c
b c -=-，且．
(I)求角B 的大小； (Ⅱ)若1
3b a c =-，求的取值范围．
18．(本小题满分12分)
如图，三棱柱1111ABC A B C A -，点在平面ABC 内的射影D 在AC 上，E 是B 1C 1的中点∠
BAC=1160CAA AB AC AA ∠===o ，且．
(I)求证：11//DE AA B B 平面；
(Ⅱ)求证：11B C A B ⊥．
19．(本小题满分12分)
体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。
某学校数学学科共有30位教师，其中60％的人经常进行体育锻炼。
经体检调查，这30位教师的健康指数(百分制)的数据如下：
经常锻炼的：65，76，80，75，92，84，76，86，87，95，68，82，72，94，71，89，83，77缺少锻炼的：63，58，85，93，65，72，59，91，63，67，56，64
(I)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系”?
(Ⅱ)从该学科教师健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中经常进行体育锻炼的人数的分布列和数学期望．
附：()()()()()()2
2a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++．
20．(本小题满分12分) 已知椭圆(22
2:133x y C a a +=>的右焦点为F ，左顶点为A ，右顶点为B ，e 为椭圆的离心率，且119e OF OA FA
+=，其中O 为原点． (I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设过点F 的直线l (直线l 与x 轴不重合)与椭圆C 交于M ，N 两点，直线AM 与BN 交于点T.证明：T 点的横坐标为定值．
21．(本小题满分12分)
已知函数()()ln 0a f x x a x
=+>． (I)若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)证明：当()2x a f x e e
-≥>时，. 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程．
已知直线l
的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为222x y x +=，且直线l 与圆C 交于A 、B 两点．
(I)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 与圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)求OAB ∆的面积(O 为坐标原点)．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()()23f x x m x m R =++-∈．
(I)当3m =-时，解不等式()9f x <；
(Ⅱ)若存在[]2,4x ∈，使得()3f x ≤成立，求m 的取值范围．。