数学基础训练30 轨迹与最值问题

数学基础训练30 轨迹与最值问题

●训练指要

掌握直译法、相关点法、参数法求轨迹方程，对所求的轨迹应注意其完备性与纯粹性；掌握代数法与几何法求解析几何最值.

一、选择题

1.点P 为双曲线9162

2y x ＝1上异于顶点的任意一点，F 1、F 2是双曲线两焦点，则△PF 1F 2重心轨迹方程是

A.9x 2－16y 2＝16(y ≠0)

B.9x 2＋16y 2

＝16(y ≠0) C.9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D.9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 2.点P 与两定点F 1(－a ，0)、F 2(a ，0)(a ＞0)的连线的斜率乘积为常数k ，当点P 的轨迹是离心率为2的双曲线时，k 的值为

A.3

B.3

C.±3

D.４ 3.若实数x ,y 满足x 2＋y 2－2x ＋４y ＝0，则x -2y 的最大值为

A.5

B.10

C.9

D.5+25

二、填空题

4.抛物线y 2=4x 的经过焦点的弦的中点轨迹方程是_________.

5.圆x 2+y 2-4x +6y -12=0过点(-1，0)的最长弦长为L ，最短弦长为l ，则L -l =_________.

三、解答题

6.求过点M (1，-1)，离心率为2

2,且以y 轴为准线的椭圆的右焦点F 的轨迹方程. 7.设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(-4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹.

8.过椭圆2x 2+y 2

=2的左焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).

数学基础训练30答案

一、1.A 2.A

3.B

提示：已知条件化为(x －1)2+(y +2)2

=5,令x =1+5·cos α,y =－2+5sin α化为三角函数求最值，或令x －2y =t ,数形结合求最值.

二、4.y 2=2(x －1) 5.10－27 三、6.9

)3(22

-x +2(y +1)2=1 提示：设F (x ,y ),则左焦点F ′(x －2c,y ), ∵22=a c ,∴a 2=2c 2,又y 轴为左准线，故x =c

a 2

+c =3c , ∴c =3x ,即F ′(y x ,3

),又M 在椭圆上， 2

21)1()13(,22||2

2=++-='∴y x x F M M 即 ⇒F 的轨迹方程为.1)1(29

)3(222

=++-y x 7.所求轨迹为圆心在(5，0)，半径为3的圆，除去(2，0)和(8，0)两点；或圆心在(－5，0)，半径为3的圆，除去(－2，0)和(－8，0)两点. 8.22