排列和组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式

排列A------和顺序有关

组合 C -------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序，组合不分

例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"

把5本书分给3个人,有几种分法"组合"

1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m) 或P(n,m)表示.

A(n,m)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.

c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r

举例：

Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。

以上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该

有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7

个三位数。计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三

国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在

一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数

即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？

解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴ 符合题意的不同排法共有9种．

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．

（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?

解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=35(种)

(二)排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.

例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )

A.60个

B.48个

C.36

个 D.24个

解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有A12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有A13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有A33，得A13A33A12＝36(个)

由此可知此题应选C.

例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为