高考重难点突破圆锥曲线50道题(4)含详细解析

高考重难点突破圆锥曲线50道题（4）含详细解析

1．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>及点(2,0)M ，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，4AB =． （1）求p 的值；

（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线1l 经过点C 且垂直于y 轴，直线2l 经过点M 且垂直于直线l ，记1l ，2l 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．

2．已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线2

213

x y -=的右焦点重合．

（1）求抛物线C 的方程及焦点到准线的距离； （2）若直线1

12

y x =

+与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，求12y y 的值． 3．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A C ∈，A 在l 上的射影为B ，且ABF ∆是边长为4的正三角形． （1）求p ；

（2）过点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2(S O 为坐标原点），求2212S S +的最小值．

4．已知抛物线22(0)y px p =>上一点0(M x ，到焦点F 的距离0

3||2

x MF =，倾斜角为α的直线经过焦点F ，且与抛物线交于两点A 、B ． （1）求抛物线的标准方程及准线方程；

（2）若α为锐角，作线段AB 的中垂线m 交x 轴于点P ．证明：2||sin 2FP α=

5．已知F 是椭圆22

184

x y +=的右焦点，过F 的直线!与椭圆相交于1(A x ，22)(x B x ，2)y 两

点． （1）若128

5

x x =

，求弦AB 的长；

（2）O 为坐标原点，AOB θ∠=，满足tan OA OB θ=l 的方程． 6．已知椭圆222:22(0)C x y b b +=>． （1）求椭圆C 的离心率e ；

（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且||3

AB =

，求A O B ∆的面积．

7．已知中心在原点，一焦点为0)的双曲线被点线47y x =-被得弦中点的横坐标为2，求此双曲线的方程

8．已知抛物线2:8C y x =，焦点为F ，准线为l ，线段OF 的中点为G ．点P 是C 上在x 轴上方的一点，且点P 到l 的距离等于它到原点O 的距离 （1）求P 点的坐标；

（2）过点(1,0)Q -作一条斜率为正数的直线L 与抛物线C 从左向右依次交于A ，B 两点，求证：2AGB AGP ∠=∠．

9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为椭圆的左、

右焦点，点4

(,)3

c 在椭圆上．

（1）求C 的方程；

（2）若直线(1)y k x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否在点D ，当k 变化时，总有ODA ODB ∠=∠？若存在求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由．

10．已知以椭圆22

22:(0)x y E l a b a b

+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4

的正方形．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若(,)x y 是椭圆E 上的动点，求2x y +的取值范围；

（3）直线:(0)l y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M ，若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．

11．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，焦距为(2,1)在该椭圆上． （1）求椭C 的方程；

（2）直线2x =与椭圆交于P ，Q 两点，P 点位于第一象限，A ，B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点．当点A ，B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．

12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:()2p

M x y R -+=的一个公共点为(2,2)A ．

（1）求圆M 的方程；

（2）已知过点A 的直线l 与抛物线C 交于另一点B ，若抛物线C 在点A 处的切线与直线OB 垂直，求直线l 的方程．

13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点1)2

-．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与椭圆C 相交于A 、B 两点，且直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率．

14．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b

Γ+=>>，Γ的四个顶点围成的四边形面积为

（1）求Γ的方程；

（2）过Γ的右焦点F ，且斜率不为0的直线l 与P 交于A ，B 两点线段AB 的垂直平分线

经过点(0,M ，求MAB ∆的面积．

15．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>(0,1)P 作斜率为k 的直线l 交椭

圆E 于A ，B 两点，当直线垂直于y 轴时，||AB =． （Ⅰ）求椭圆E 的方程

（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．