实验四 自由曲线曲面算法实验(2)

实验四 自由曲线曲面算法实验

实验项目性质：设计性实验

所属课程名称：3D 游戏图形学

实验计划学时：3学时

一、 实验目的和要求

1. 了解自由曲线和曲面的生成原理；

2. 掌握并实现Bezier 曲线和B 样条曲线的生成算法；

3. 实现Bezier 曲面的生成算法。

二、 实验原理

1. Bezier 曲线是通过一组多边形折线的顶点来定义的。如果折线的顶点固定不变，则由其定义的Bezier 曲线是唯一的。在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。因此，多边形折线又称Bezier 曲线的控制多边形，其顶点称为控制点。

三次多项式，有四个控制点，如图1所示，

其数学表示如下：

,300.31 1.32 2.33 3.30

()()()()()()i i i Q t PB t P B t PB t P B t P B t ===+++∑

32230123(1)3(1)3(1),[0,1]t P t t P t t P t P t =-+-+-+∈

（1）

其矩阵形式为

01322313313630()(1),[0,1]33001000P P Q t t t t t P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（2）

2. B 样条曲线保留了Bezier 曲线的优点，对Bezier 曲线进行了拓广，用B 样条基代替Bernstein 基，克服了Bezier 曲线由于整体表示带来的不具备局部性质的缺点。B 样条曲线的数学定义为

0n k k,m k p(t)P B (t)

==∑

（3）

式中，(0,1

,,)k P k n = 为n+1个控制点，由控制点顺序连成的折线称为B 样条控制多边形。m 是一个阶参数，可以取2到控制顶点个数n+1之间的任一整数，m-1是B 样条曲线的次数。参数t 的选取取决于B 样条结点矢量的选取。k,m B (t)是B 样条基函数，

()()k 1,1,,11,111

1 ()0 ()k k k k m k m k m k m k m k k m k t t t B t t t t t B t B t B t t t t t ++-+-+-++≤<⎧=⎨⎩--=+--若其它 （4） k t 是结点值，01(,,,)n m T t t t += 构成了m-1次B 样条函数的结点矢量，其中的结点是非减序列，所生成的B 样条曲线定义在从结点值1m t -到结点值1n t +的区间上，而每个基函数定义在t 的取值范围内的k t 到k+m t 的子区间内。

从式（3）和（4）可以看出，仅仅给定控制点和参数m 还不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定结点矢量并使用公式（4）来获得基函数。

对于三次均匀周期性B 样条曲线，m=4，如果用4个控制点来拟合三次曲线，则n=3。假设结点矢量(0,1,2,3,4,5,6,7)T =，于是得到基函数计算式为：

()(),1,,11,11 1()0 ()11

k k m k m k m k t k B t t k k m t B t B t B t m m -+-≤<+⎧=⎨⎩-+-=+--其他 （5）

最终得到该B 样条曲线的矩阵形式为

,0010414243423013223()1331363011

303061

410 t [0,1)

n

k k m

k ,,,,B B p t P B P P B (t)B (t)B (t)B (t)P P P P t t t P P T M G ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⋅⋅∈∑ （6） 三、 实验内容

1．下面的代码用来生成三次Bezier 曲线，将代码补充完整，编译运行；修改代码，利用OpenGL 函数生成三次Bezier 曲线。

参考代码：

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

struct Point{

int x, y;

};

Point pt[4],bz[11];

vector vpt;

bool bDraw;

int nInput;

void CaleBZPoints()

{

添加代码；生成Bezier 曲线上的点；

}

void ControlPoint(vector vpt)

{

glPointSize(2);

for(int i=0;i

{

glBegin(GL_POINTS);

glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f); glVertex2i(vpt[i].x,vpt[i].y);

glEnd();

}

}

void PolylineGL(Point * pt, int num)

{

glBegin(GL_LINE_STRIP);

for(int i=0;i

{

glColor3f(1.0f,1.0f,1.0f);

glVertex2i(pt[i].x,pt[i].y);

}

glEnd();

}

void myDisplay()

{

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

glColor3f(1.0f,1.0f,1.0f);

if(vpt.size()>0)

{

ControlPoint(vpt);

}

if(bDraw)

{

PolylineGL(pt, 4);

CaleBZPoints();

PolylineGL(bz,11);

}

glFlush();

}

void Init()

{

glClearColor(0.0,0.0,0.0,0.0);

glShadeModel(GL_SMOOTH);