最新整理ppt中怎么画自由曲线
曲线变直线直线变曲线PPT效果动画
06
总结与展望
回顾本次主题内容
曲线变直线、直线变曲线动画效果介绍
本次主题主要介绍了在PPT中实现曲线与直线之间转换的动画效果，包括其定义、应用场景以及具体 实现步骤。
动画效果实现方法
详细阐述了使用PPT自带动画功能以及第三方插件等方法，实现曲线与直线之间平滑转换的技巧和注 意事项。
案例分析
通过具体案例展示了曲线变直线、直线变曲线动画效果在PPT中的应用，如流程图、数据可视化等方 面，增强了观众对该动画效果的理解和应用能力。
动态效果
PPT中的动态效果可以使直线和曲线在演示过程中产生动态的变化，如旋转、缩放、移动 等。这些动态效果可以吸引观众的注意力，增强演示的视觉效果。
交互式设计
通过为直线和曲线添加交互功能，如超链接、触发器等，可以使PPT具有更强的交互性和 实用性。观众可以通过点击或触摸屏幕上的直线或曲线来触发相应的操作或展示更多的信 息。
曲线变直线直线变曲 线ppt效果动画
目录
• 引言 • 曲线变直线动画效果 • 直线变曲线动画效果 • 曲线与直线在PPT中的应用 • 制作曲线变直线、直线变曲线动画的技巧 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
演示文稿中的动画效果
在演示文稿中使用动画效果可以增强视觉效果，使得内容更加生动有趣。
曲线与直线的转换
对未来PPT动画效果的展望
更丰富的动画效果
随着技术的发展和用户需求的变化，未来PPT动画效果将 更加丰富多样，包括更复杂的曲线与直线转换、三维立体 动画等。
更智能的动画设计
借助人工智能和机器学习技术，PPT动画设计将更加智能 化，能够自动推荐合适的动画效果，提高设计效率和质量 。
更广泛的应用场景
怎么画曲线
怎么画曲线曲线是指在平面上的任意两点间有无限制长度的连线，其形状可以是光滑的，也可以是折线的。
曲线广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，具有重要的应用价值。
在绘画、设计和艺术创作中，曲线也是非常重要的元素之一。
本文将详细介绍如何在绘画中画出曲线。
一、画曲线前的准备工作在开始画曲线之前，首先需要准备一些必要的工具和材料。
具体如下：1. 画纸：画纸选择要注意材质和规格，常用的有水彩纸、卡纸、油画布等。
规格大小也要根据需要确定，常见的有A4、A3、A2等规格。
2. 铅笔：铅笔用于画出曲线的主轮廓，可以选择不同硬度的铅笔，如2H、HB、2B等。
3. 修正带和橡皮擦：用于更正和改正画出的错误线条。
4. 曲线板和曲线尺：曲线板和曲线尺可以帮助画出更精确的曲线，常用的曲线板有三角形曲线板和圆规曲线板。
5. 色彩材料：如果需要渲染色彩，可以准备颜料、水彩笔、彩铅等材料，色彩材料根据需要自行选择。
二、不同方法画曲线在绘画中，画曲线可以采用多种方法和技巧。
下面介绍几种有效的画曲线方法。
1. 手绘曲线法手绘曲线法是最基本的画曲线方法之一，需要借助手的灵活性和技巧来实现。
具体方法如下：（1）先用铅笔画出曲线的大致轮廓，可以在预留的轴线或网格上画出初始轮廓。
（2）根据画出的轮廓，逐渐添加更多的细节和曲线特征，慢慢将轮廓画得更加精细。
（3）在完成曲线之后，再使用黑色笔或者更细的笔提高曲线的强度和清晰度。
手绘曲线法在画出自由度最高的曲线时非常有效，可以根据参考图或者想象创造出各种形状的曲线，具有很强的艺术感。
2. 曲线板法曲线板法是通过利用曲线板的形状来画曲线，可以比手绘曲线法更加精确和规整。
具体方法如下：（1）选择合适的曲线板，将其放置在有规则的画纸上。
（2）按照曲线板的形状，将铅笔放置在合适的位置，并沿着板子的边缘轻轻画出曲线轮廓。
（3）在完成整个轮廓之后，再用黑色笔或更细的笔描出清晰的曲线。
曲线板法是一种简便有效的画曲线方法，不需要过多的技巧和经验，适合初学者使用。
PPT微课程图形处理（3）绘制自由曲线
PPT微课程图形处理（3）绘制自由曲线手绘，那是真正非常难的事情，如果是用铅笔或者其他非电脑工具进行的话。
手绘高手往往就是画家、至少也是绘画高手。
在PPT里面进行手绘，那可就没有那么难了，跟着我来，让你也体会一下手绘高手的感觉。
图1. 在PPT幻灯片上，插入“自由曲线”。
我们用鼠标在幻灯片上点击一下，随之拖动鼠标在第二个位置点击一下，然后再拖动鼠标在第三个位置点击一下，之后，按下键盘“esc键。
我们绘制了三个点，按道理应该是绘制了一段折线啊，为什么是弧线呢？这是因为，PPT 默认情况下根据贝塞尔公式生产曲线，也成为贝塞尔曲线。
对此有兴趣者，请参见本人新浪博客相关博文，或者找度娘。
图2. 在选择图形的状态下，单击鼠标右键，选择“编辑顶点”。
图3. 在图形的编辑顶点状态下，我们看到上面的曲线有三个顶点（黑色方形点）。
这种状态下，我们可以用鼠标选择任意一个顶点，比如，我们选择中间的顶点，这时，顶点两边出现两个空白方形点，它们叫做“调节柄”。
（在VBA编程语言里，顶点和调节柄并没有区别，也就是说调节柄也是顶点。
）图4. 其实，要绘制一段弧线，只要两个顶点就行。
我们绘制一段两个顶点的自由曲线，这时得到的是一段曲线。
但是，我们编辑顶点时，可以将两个顶点的调节柄拖拽至不同方向，就可以得到一段S形曲线。
图5. 如果将两个调节柄拖拽至上面对称位置，那么我们可以得到一段圆弧。
图6. 我们现在来手绘一个心形图形。
首先绘制四个顶点的闭合自由曲线。
图7. 进入编辑顶点状态，如果我们调节上面顶点的调节柄时，会得到一个S形的曲线，如图7和图8所示。
这是因为，默认情况下，顶点是平滑顶点属性，我们需要将其设置为角部顶点属性。
图8. 平滑顶点属性的自由曲线。
图9. 更改为角部顶点后，调节上面顶点的调节柄至合适位置。
图10. 同样，下面顶点的属性也应该是角部顶点。
图11. 两边两个顶点的属性是平滑顶点。
手绘是不是很简单？你的关注，我分享的动力。
ppt怎么画曲线
ppt怎么画曲线一、使用 ppt 的绘图工具绘制曲线1. 打开 ppt，选择“插入”-“形状”-“线条”中的“曲线”选项。
2. 在 ppt 文档中单击鼠标左键，确定曲线的起点。
3. 移动鼠标，将箭头指向距离起点最近的点，单击鼠标左键，确定第一个控制点。
4. 移动鼠标到距离第一个控制点最远的位置，单击鼠标左键，确定第二个控制点。
5. 移动鼠标到距离第二个控制点最近的位置，单击鼠标左键，确定曲线的终点。
6. 拖动控制点可以调整曲线形状，通过“形状格式”-“形状填充”可以修改曲线颜色。
二、使用 Excel 绘制曲线并导入 ppt1. 打开 Excel，输入数据，并按要求绘制曲线图。
2. 选择“文件”-“另存为”-“PDF 或 XPS 格式”保存图表。
3. 打开 ppt，选择要插入图表的位置，点击“插入”-“对象”-“Adobe Acrobat 文档”选项。
4. 选择保存的 PDF 文件，并点击“确定”。
5. 调整图表大小和位置，完成插入。
三、使用第三方绘图软件绘制曲线并导入 ppt1. 下载并安装绘图软件，如 Adobe Illustrator 等。
2. 在绘图软件中绘制曲线，并保存为 JPEG 或 PNG 格式。
3. 打开 ppt，选择要插入图像的位置，点击“插入”-“图片”选项。
4. 选择保存的图像文件，并点击“确定”。
5. 调整图片大小和位置，完成插入。
四、使用插件绘制曲线1. 在 ppt 中搜索并下载“SmartArt 工具箱”插件。
2. 点击插件界面中的“曲线”选项，插入一条曲线。
3. 通过曲线属性面板，调整曲线形状、颜色等参数。
4. 完成绘制并调整大小和位置。
总结：以上四种方法是 ppt 中常用的绘制曲线的方法。
无论使用哪种方法，都需要注意曲线的形状、颜色等细节，以便实现最佳效果。
并且最好先绘制草图，确定好曲线的形状和位置，再进行绘制。
《曲线与曲面》PPT课件
精选ppt
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二、曲线的投影
画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确 地表示曲线，一般应画出曲线上特Hale Waihona Puke 点的投影，以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质：
1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线；
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2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的 投影相切，而且切点的投影仍为切点；
直母线绕一条与它交叉的 直线 OO 旋转，这样形成的曲 面称为旋转单叶双曲面，直线 OO称为旋转轴。
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投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影，以及素线的包络线。
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2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
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旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。
曲导线曲导线cc是空间曲线是空间曲线称为切线面的称为切线面的脊线三切线面29工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面并且使切线面的所有切线与地面成同一角度这样设计成的切线面称为同坡曲30直母线直母线ll沿着两条交叉直导沿着两条交叉直导ababcdcd运动且始终平行于某一导运动且始终平行于某一导平面平面qq这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为双曲抛物双曲抛物面面工程上也称双曲抛物面的投影图中只双曲抛物面的投影图中只需画出两条直导线和若干素线的投影需画出两条直导线和若干素线的投影而不必画出导平面
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五、锥状面
直母线 l 沿着一条直导线 EF 和一条曲导线ABC 运动，且始终 平行于导平面P（P 平行于两条导 线端点的连线AE 和CF ），这样 形成的曲面称为锥状面。
ppt中怎么画自由曲线.doc
ppt中怎么画自由曲线ppt画自由曲线的方法打开ppt，内容版式空白，自选图形线条直线。
按住shift键拖动鼠标画出一条水平线，右键点击线条，编辑顶点。
2右键点击左边的端点，选择角部顶点。
3这时出现了一条蓝色线条，蓝色线条的一段连接直线左边的端点，一段是黑色边框、内部白色的正方形为端点，鼠标单击该正方形不松手，向右下方向拖动。
由于下面多次要说线条，我们这里说蓝色调节的线叫调节线，这里的线条是指原本我画的那个直线。
4同样，对线条右边的端点进行角度顶点编辑，如下图，左上方向拖动。
我们得到一条曲线。
5下图中我们对调节线拖动，在我们没有松手的时候，存在着红色直点线，还有一条红色的曲点线。
红色直点线表示这时我们松开鼠标后，调节线所要变化到的位置，也就说是所蓝色的调节线将要被我们调节到此处，红色曲点线表示线条被我们所调节后的形状，当我们看到线条的效果满意时就可以松开鼠标。
6如下图，一样是在调节线条的左边端点，蓝色调节线向左水平拉伸，左边弧度的中心向左超越了线条的左端点，红色的调节线向右水平拉伸，红色的曲线表示了原本左边的弧度。
7换个方法来做一下，画一条直线，倾斜度跨垂直三个网格，如红色箭头所示，右键单击线条，编辑顶点，在红色圆圈内(也就是线条中心)右键添加顶点。
调节好弧度，这时应该注意到线条的两端，弧度不协调。
试着调整线条的端点，使它整体协调，尽量的把调节线缩短，并向着线条拖动。
选中线条，ctrl+d进行复制，多按几次。
使用wps的朋友，ctrl+c复制，然后连续按ctrl+v。
我们先把白色正方形拖动到一条竖立的网格线上，松开鼠标，然后继续拖动该端点，沿着该网格线向下平滑，注意保证我们既没有向左偏离也没有向右偏移，我们看到左边弧度中心向下移动了，但是中心的水平位置和原来的保持一致。
补充：ppt制作常用快捷键--Ctrl字母组合键【Ctrl+A】选择全部对象或幻灯片【Ctrl+B】添加/删除文本加粗【Ctrl+C】复制【Ctrl+D】生成对象或幻灯片副本【Ctrl+E】段落居中对齐【Ctrl+F】打开查找对话框【Ctrl+G】打开网格参考线对话框【Ctrl+H】打开替换对话框【Ctrl+I】添加/删除文本倾斜【Ctrl+J】段落两端对齐【Ctrl+K】插入超链接【Ctrl+L】段落左对齐【Ctrl+M】或【Enter】插入新幻灯片【Ctrl+N】生成新PPT文件【Ctrl+O】打开PPT文件【Ctrl+P】打开打印对话框【Ctrl+Q】关闭程序【Ctrl+R】段落右对齐【Ctrl+S】保存当前文件【Ctrl+T】打开文字对话框【Ctrl+U】添加/删除文本下划线【Ctrl+V】粘贴【Ctrl+W】关闭当前文件【Ctrl+X】剪切【Ctrl+Y】重复最后操作【Ctrl+Z】撤销操作相关阅读：制作PPT实用技巧：1、在PPT中加入公司LOGO(1)执行视图-母版-幻灯片母版这一命令;(2) 在幻灯片母版视图中，单击插入菜单下的图片，选择来自文件，将Logo放在合适的位置上(公司Logo可以进行修改设置);(3)关闭母版视图，返回到普通视图后，我们就能在PPT 的每一页上看到公司LOGO了。
在PPT中画正弦曲线的操作步骤是什么.doc
在PPT中画正弦曲线的操作步骤是什么在PPT中画正弦曲线的操作步骤是什么PPT画正弦曲线1、使用插入工具中的直线工具画一条横向的直线(步骤1-3中的线都是辅助线，最后要删除的。
);注：、画线时请按住shift键，以使线平直;线越长越好，最好占满整张PPT，这是为了后面画波浪线时更为容易。
2、按住Ctrl键及鼠标左键，将直线复制两份(或直接Ctrl+C，Ctrl+V复制两份);让三根线在纵向方向上保持一定距离(距离适中即可，太近则波浪线不好画，太远则比较费时间);选中三条线(可以用鼠标拖拽，也可以按着Ctrl分别点击，或直接按ctrl+A 键全选);点击格式，点击对齐，先让三条线左对齐(或居中对齐，或右对齐，对最终效果无影响);再次点击格式，点击对齐，点击纵向分布，让三条线间距相同(这一步很重要，决定了你的波浪线画的是否好看)。
注：做完以上步骤，你可以将三条线组合，可以让后面的步骤更轻松，不过这步不是必须要做的。
3、用步骤1、2的同样方法画出纵向的线，但纵向的线条数目应该多一些(最少5条，这样可以保证画出一条完美的正弦曲线);注：在画纵向的线时，对齐方式使用的顶端对齐(或垂直居中，或底端对齐);分布方式也应该是横向分布你也可以把纵向的线组合，可以让后面的步骤更轻松，不过这步不是必须要做的。
4、点击插入，点击曲线工具;5、使用曲线工具在如图的5个点处按序点击;按Esc或Enter键退出编辑状态;正弦曲线完成。
注：在点击时，每个点的位置越精确(即刚好在交叉点上)，所画出的正弦曲线越平滑。
6、删除步骤1-3中所画的，横向与纵向的辅助线;注：你可以按Ctrl+X键将正弦曲线剪切入剪贴板，然后按Ctrl+A，将辅助线删除后，再按Ctrl+V将正弦曲线贴回来;如果之前你使用过组合将横向与纵向的辅助线组合过，删除过程也很容易;你也可以将正弦曲线直接复制到另外一张新的PPT单页中。
7、你会发现所画的正弦曲线并不平滑(如图中箭头所示位置);没关系，缩小后就看不出来了(如图上红圈中所示)。
在ppt中如何添加曲线
在ppt中如何添加曲线
ppt是一款很强大的办公软件，我们经常会在其中添加曲线，对于新手来说，可能不知道具体的操作，下面就让店铺告诉大家在ppt 中如何添加曲线。
在ppt中添加曲线的方法
打开PPT2007，新建一个幻灯片。
右击幻灯片，选择空白版式，等一下在这里画曲线。
单击曲线工具。
在幻灯片中拖动鼠标移动，在需要拐弯处单击一下，然后开始拐弯。
在需要停止的地方双击一下，这样就停止画图了。
如下图所示，画出一条类似抛物线的曲线。
使用曲线工具，只要注意两点：在怪弯处单击一下，在停止处双击一下。
任意曲线工具，就是一支笔，画到那里算哪里，跟铅笔一样很好用。
单击任意曲线工具。
在幻灯片里任意画曲线，画完就好。
相对而言前者画图比较光滑，后者有棱角。
后者的优点是可随心所欲的画图，前者相对比较难控制曲线走向。
看了在ppt中如何添加曲线的人还看。
如何在PPT中绘制自由曲线和线段
如何在PPT中绘制自由曲线和线段在现代商务和教育领域中，演示文稿（PPT）已经成为了一种非常重要的工具。
人们可以通过PPT来展示自己的想法、表达观点以及向他人传达信息。
而在PPT 中，绘制自由曲线和线段是一种常见的需求。
接下来，我将分享一些关于如何在PPT中绘制自由曲线和线段的技巧和方法。
首先，我们来看如何绘制自由曲线。
在PPT中，我们可以使用"形状"工具栏中的"曲线"选项来绘制自由曲线。
点击"曲线"选项后，我们可以看到鼠标指针变成了一个十字形状。
在绘制自由曲线时，我们只需要按住鼠标左键并拖动，就可以在PPT中绘制出我们想要的曲线形状。
当我们绘制完一段曲线后，可以松开鼠标左键，然后再次点击鼠标左键，就可以开始绘制下一段曲线。
通过不断重复这个过程，我们可以绘制出复杂的自由曲线形状。
绘制线段相对来说更加简单。
我们可以使用"形状"工具栏中的"直线"选项来绘制线段。
点击"直线"选项后，我们可以看到鼠标指针变成了一个十字形状。
在绘制线段时，我们只需要按住鼠标左键并拖动，就可以在PPT中绘制出我们想要的线段形状。
与绘制自由曲线不同的是，在绘制线段时，我们只需要按住鼠标左键并拖动到我们想要的终点位置，然后松开鼠标左键即可完成线段的绘制。
除了使用基本的绘图工具，我们还可以使用一些高级的技巧来绘制自由曲线和线段。
例如，我们可以使用"曲线"工具栏中的"编辑顶点"选项来调整曲线或线段的形状。
点击"编辑顶点"选项后，我们可以在曲线或线段上看到一些小圆圈，这些小圆圈表示曲线或线段的控制点。
通过拖动这些控制点，我们可以调整曲线或线段的形状，使其更符合我们的需求。
此外，我们还可以使用"形状格式"工具栏中的"样式"选项来对绘制的曲线或线段进行样式设置。
计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2
(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧
二阶几何连续条件？
自学
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4.6 Bezier曲线
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
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4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线
n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：
26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
【PPT实用技巧】PPT幻灯片中怎么绘制任意曲线
PPT幻灯片中怎么绘制任意曲线
PPT幻灯片中怎么绘制任意曲线？ppt在绘图的时候，想要绘制一条曲线，该怎么绘制呢？下面我们就来看看ppt绘制曲线的教程，需要的朋友可以参考下
1、打开PPT，新建空白幻灯片，添加需要编辑的原稿，
2、选择添加的形状”任意多边形“
3、按住鼠标左键，可随意图画，最后按”ESC“最终定型，
4、当然我们更加需要的可能是有规律的图形，可以鼠标点击一下起点，之后松开，以点的形式最终汇聚成一个方形回到起点，变成为你需要
重点标示的区域。
5、当然，还可以添加该图形的颜色、边框、透明度等。
曲线图怎么画
曲线图怎么画曲线图作为一种常见的信息呈现方式，在各个领域广泛应用。
它能够帮助我们直观地理解和分析数据的趋势和变化情况。
本文将为您介绍曲线图的绘制方法和相关注意事项。
希望能对您有所帮助。
第一部分：绘制曲线图的基本步骤绘制曲线图的基本步骤可分为以下几个部分：1. 确定横纵坐标：在开始绘制曲线图之前，我们首先要确定图表的横纵坐标。
横坐标通常表示时间或者其他因素，纵坐标则表示相应的数值或者比率。
2. 收集数据：在绘制曲线图之前，我们需要先收集相关的数据。
数据可以通过实地调查、查阅文献、使用统计数据等途径获得。
3. 选择合适的曲线图类型：根据数据的性质和目的，选择合适的曲线图类型。
常见的曲线图类型有折线图、曲线图、柱状图和散点图等。
选择合适的图表类型能够更好地展示数据的特点。
4. 绘制曲线：根据数据确定的横纵坐标，在坐标轴上绘制对应的刻度线，并将数据以折线的形式连接起来。
绘制过程中要注意保持曲线的平滑和连贯。
5. 添加必要的标注和说明：在曲线图上加入必要的标注和说明，如图表的标题、坐标轴的标签、数据点的标记等。
这有助于读者更好地理解图表所传递的信息。
第二部分：绘制曲线图的技巧和注意事项除了基本步骤外，还有一些绘制曲线图的技巧和注意事项。
1. 数据的准备：在绘制曲线图之前，要确保数据的准确性和完整性。
数据的质量将直接影响到曲线图的准确性和可信度。
2. 曲线的平滑：在绘制曲线时，要尽量保持曲线的平滑和连续性。
如果数据点比较少，可以使用曲线平滑算法来优化曲线的显示效果。
3. 标题的准确：曲线图的标题应准确地反映图表的内容和目的。
标题要简洁明了，能够直观地传递出图表要表达的主要信息。
4. 坐标轴的标签：坐标轴的标签应清晰地表示坐标轴所代表的含义。
标签的字体和字号要适中，不要过于突出或过于隐蔽。
5. 数据点的标记：在曲线图上，可以使用不同的符号、颜色或线型来标记不同的数据点或数据集。
这有助于读者更好地识别和理解图表中的数据。
相图知识和自由能曲线 ppt课件
图左： 二元系中三 相平衡时的自由能成分曲线
分析可知：多相平衡时，利用公切线，可确定多相
平衡时的成分及A、B组元的化学势。
PPT课件
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用自由能—成分曲线推测相图
根据二元系不同温度下的自由能—成分 曲线可画出二元系相图。
见下图，根据公切线可求出体系在某一温 度下平衡相的成分。从 T1、T2、T3、T4、 T5下的自由能—成分曲线可得A、B两组元完 全互溶的相图。
物（或相）混合成一个新混合物（或相）时，则新混合物
（或相）的组成点必在两个原始混合物（或相）组成点的连
线上，且位于两点之间，两个原始混合物（或相）的质量之
比与它们的组成点到新混合物（或相）组成点之间的距离成
反比。
PPT课件
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宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来
杠杆定律
两个已知的三元系统Ｍ 和Ｎ， 其质量分别为ｍ 和ｎ，根据杠 杆规则，混合后形成的新系统 Ｐ 的组成点一定在ＭＮ 的组 成点连线上，且在Ｍ 和Ｎ 之 间，同时有下列关系： ｍ/ｎ ＝ＰＮ/ＭＰ
4.当两相区与单相区的分界线与三相等温线相交， 则分界线的延长线应进入另一两相区内，而不会 进入单相区内。
PPT课件
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典型的共晶相图
PPT课件
典型的包晶相图
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PPT课件
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错误二元相图示例
PPT课件
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二、三元相图的杠杆定律和重心定律
2.1 三元相图的杠杆定律
在三元系统的相平衡中常常要解决以下两方面的问题，即当
Ω = NAZ[eAB―（eAA + eBB）/2] NA：常数； Z：配位数； eAB 、eAA 、 eBB： 结合能。
可见：G是G0，ΔHm和-TΔSm三项综合的结果， Ω不同作出任意给定温度下的固溶体自由能—成 分曲线不同，见下图。
自由曲线-自由曲面设计
若令 d k x
n
a
j 0
m
k 0
i k
Si ,
d
k 0
n
i yk xk Ti；则可得方程组： k
j
S i j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；
一组实验数据： x 0 10 20 30 40
多项式拟合最小二乘法
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和来衡量：
(a0 , a1 ,..., am ) d k [ F ( xk ) yk ]2
k 0 n
F ( x) a j x j 使得偏 令F(x)为一个m次多项式，
j 0
m
差平方和 达到极小；
最小二乘法解决逼近问题
根据求极值问题的方法可知，使 (a j ) 达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i 2 d k a j xkj y k xk 0 ai k 0 j 0
i 0,1,..... m
1972年，德布尔(de Boor)给出了B样条的标准计算 方法；
1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔 德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样 条曲线、曲面；
1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B 样条方法； 80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将 有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
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通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
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直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
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7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
自由曲线与曲面
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其中
称为Cardinal矩阵。 将式子展开写成代数形式为：
P(u)﹦Pk-1(-su3﹢2su2﹣su)﹢Pk((2﹣s)u3 ﹢(s﹣3)u2﹢1)﹢Pk+1((s﹣2)u3 ﹢(3﹣2s)u2﹢su)﹢Pk+2(su3﹣su2)
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其中
C0(u)﹦-su3﹢2su2﹣su C1(u)﹦(2﹣s)u3﹢(s﹣3)u2﹢1 C2(u)﹦(s﹣2)u3﹢(3﹣2s)u2﹢su C3(u)﹦su3﹣su2 称为Cardinal样条调和函数。下图是Cardinal样条调和
象Hermite样条曲线一样，Cardinal样条曲线也是
插值分段三次曲线，且边界条件也是限定每段曲线端
点处的一阶导数。与Hermite样条曲线的区别是，在
Cardinal样条曲线中端点处的一阶导数值是由两个相
邻型值点坐标来计算的。
设相邻的四个型值点分别记为Pk-1、Pk、Pk+1、 Pk+2, Cardinal样条插值方法规定Pk、Pk+1 两型值点 间插值多项式的边界条件为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦(1﹣t)(Pk+1﹣Pk-1)/2 P’(1)﹦(1﹣t)(Pk+2﹣Pk)/2 其中t为一可调参数，称为张力参数，可以控制
Cardinal样条曲线型值点间的松紧程度。
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记S=(1﹣t)/2，用类似Hermite曲线样条中的方法， 将Cardinal边界条件代入参数方程，可以得到矩阵 表达式：
void Hermit3(HDC hdc,int arry1[2][2],int arry2[2][2],int n,int steps)
自由曲线
力学背景
P [x(t), y(t), z(t)]
弹性细梁在集中荷载作用下的变形曲线
参数曲线的优点 1. 与坐标系无关； 2. 三个坐标值相互之间没有影响，仅与参数t有关； 3. t=[0,1]，因此曲线是有界的； 4. dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)，避免了垂直的情况求导数
空间自由曲线3次参数方程表示方式
主要内容
内容简介本章主要介绍自由曲线的定义、形成、以及其计算机实现。
自由曲线包括
Hermite曲线 Bezier 曲线 B-spline曲线
5 自由曲线
5.1 自由曲线基础知识
重要意义 1. 在汽车、飞机、轮船等的CAD工作中，复杂曲线与曲面的设
计，是一个主要问题； 2. 复杂曲线曲面：形状复杂、不能用二次方程来描述、、、 3. 例如：汽车车身、飞机机翼、轮船船体、、、
自由曲线设计的2类问题
1. 已知离散点→决定曲线
2. 已知自由曲线（可以显示）→需要修改（交互操作）
自由曲线设计的一般方法→研究自由曲线的数学表示方法
1. 拟合：根据给定型值点来构造曲线
2. 插值：求解给定型值点之间曲线上的点的值
3. 逼近：求解给定型值点列连接线相近的曲线
5 自由曲线
5.1 自由曲线基础知识
di Pi ci Pi'
bi
3(Pi1 ti2
Pi )
2 Pi '
ti
P' i 1
ai
Pi '
P' i 1
ti2
2(Pi1 Pi ) ti3
5 自由曲线
5.2 三次参数样条曲线的几何定义及推导
调和函数的推导将ai
,
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p p t中怎么画自由曲线
有时我们在做流程图或者栏目总览时候会用到自
由曲线，但是一些用户不知道怎么制作。
具体方法是什么呢?下面就对这些问题探讨下，希望能对大家有点用吧。
p p t画自由曲线的方法
打开p p t，内容版式空白，自选图形线条直线。
按住s h i f t键拖动鼠标画出一条水平线，右键点击线条，编辑顶点。
2右键点击左边的端点，选择角部顶点。
3这时出现了一条蓝色线条，蓝色线条的一段连接直线左边的端点，一段是黑色边框、内部白色的正方形为端点，鼠标单击该正方形不松手，向右下方向拖动。
由于下面多次要说线条，我们这里说蓝色调节的线叫调节线，这里的线条是指原本我画的那个直线。
4同样，对线条右边的端点进行角度顶点编辑，如下图，左上方向拖动。
我们得到一条曲线。
5下图中我们对调节线拖动，在我们没有松手的时候，存在着红色直点线，还有一条红色的曲点线。
红色直点线表示这时我们松开鼠标后，调节线所要变化到的
位置，也就说是所蓝色的调节线将要被我们调节到此处，红色曲点线表示线条被我们所调节后的形状，当我们看到线条的效果满意时就可以松开鼠标。
6如下图，一样是在调节线条的左边端点，蓝色调节线向左水平拉伸，左边弧度的中心向左超越了线条的左端点，红色的调节线向右水平拉伸，红色的曲线表示了原本左边的弧度。
7换个方法来做一下，画一条直线，倾斜度跨垂直三个网格，如红色箭头所示，右键单击线条，编辑顶点，在红色圆圈内(也就是线条中心)右键添加顶点。
调节好弧度，这时应该注意到线条的两端，弧度不协调。
试着调整线条的端点，使它整体协调，尽量的把调节线缩短，并向着线条拖动。
选中线条，c t r l+d进行复制，多按几次。
使用w p s 的朋友，c t r l+c复制，然后连续按c t r l+v。
我们先把白色正方形拖动到一条竖立的网格线上，松开鼠标，然后继续拖动该端点，沿着该网格线向下平滑，注意保证我们既没有向左偏离也没有向右偏移，我们看到左边弧度中心向下移动了，但是中心的水平位置
和原来的保持一致。
补充：p p t制作常用快捷键--C t r l字母组合键选择全部对象或幻灯片
添加/删除文本加粗
复制
生成对象或幻灯片副本
段落居中对齐
打开查找对话框
打开网格参考线对话框
打开替换对话框
添加/删除文本倾斜
段落两端对齐
插入超链接
段落左对齐
或插入新幻灯片
生成新P P T文件
打开P P T文件
打开打印对话框
关闭程序
段落右对齐
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关闭当前文件
剪切
重复最后操作
撤销操作
相关阅读：制作P P T实用技巧：
1、在P P T中加入公司L O G O
(1)执行视图-母版-幻灯片母版这一命令;
(2)在幻灯片母版视图中，单击插入菜单下的图片，选择来自文件，将L o g o放在合适的位置上(公司L o g o
可以进行修改设置);
(3)关闭母版视图，返回到普通视图后，我们就能在P P T的每一页上看到公司L O G O了。
2、在P P T中插入f l a s h动画
(1)点击视图-工具栏-控件工具箱里点击其他控
件，在弹出的下拉列表里选择s h o c k w a v e f l a s h o b j e c t;
(2)此时鼠标会变成一个十字架，按住左键画一个范
围，这个范围就是我们播放f l a s h动画的窗口。
(3)画完后右键点击此框，在弹出的菜单里点击属性，然后在弹出的窗口里m o v i e一栏填入你要插入的
f l a s h的文件名就可以啦。
注意：插入的f l a s h动画需要s w f格式的，文件名最好不要用中文。
另外，在插入之前先把p p t和f l a s h 放在同一个文件夹里。
3、快速调用其他P P T
在进行演示文档的制作时，我们有时需要用到以前制作的文档中的幻灯片或是要调用其他可以利用的幻灯片，那怎么才能快速复制到当前的幻灯片中呢?
(1)单击插入菜单下的幻灯片(从文件)命令;
(2)在弹出的幻灯片搜索器话框中单击浏览，选择要调用的文档;
(3)选中需要插入的幻灯片，选中保留源格式，单击插入，如果需要插入列表中所有的幻灯片，直接点击全部插入即可;
这样就可以快速调用其他P P T文档了。