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中考复习数学重难点解析——因式分解,一课解决 课件(17张PPT)优质课件PPT
(2)举例示范：
例2：x2 -3x
-4
=x2 -3x +(
3 2
)2 -(
3 2
)2 -4
=(x-
3 2
)2-(
5 2
)2
=(x+1)(x-4)
方法说明：
配方法一般是在提公因式法、公式法、十字相 乘法等方法无法进行因式分解的情况下才考虑， 也可以和其他方法互为检验。如例1、例2.
5、分组分解法: (1)依据：多项式乘以多项式法则的逆用
am-an+bm-bn =(m-n)(a+b) 3x2-12y2 =3(x+2y)(x-2y)
二、因式分解和整式乘法都是整式的 恒等变形，二者刚好相反。
整式乘法 因式分解
a(b+c)= ab+ac =a(b+c)
(x+y)(x-y)= x2-y2 =(x+y)(x-y)
(x+y)2= x2+2xy+y2 =(x+y)2
2、要掌握好因式分解，既要多做练习，更要 善于总结方法技巧，能举一反三。
3、做与因式分解有关的问题时，要注意认真 观察所给代数式的特征，也要注意题目的 要求，比如是在实数范围内还是在有理数 范围内分解。
例：2x2 +7x +6 = (2x+3)(x+2)
2x
+2 +3 +1 +6 -2 -3 -1 -6
x
+3 +2 +6 +1 -3 -2 -6 -1
十字相乘法巩固练习:
(1)a2-2a-3 =(a+1)(a-3) (2)a2+2a-3 =(a+3)(a-1) (3)a2-4a+3 =(a-3)(a-1) (4)3a2-4a+1 =(3a-1)(a-1) (5)3a2-a-2 =(3a+2)(a-1) (6)5a2+7a-6 =(5a-3)(a+2) (7)(x2+x)2+(x2+x)-6 =(x2+x-2)(x2+x+3)
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
24《因式分解法》课件(共35张PPT)ppt课件
x＋2 = 0 或 3x－5 = 0
∴ x1 =－2 ，
x2 =
5 3
（3）x2－4 = 0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) = 0 x＋2 = 0 或 x－2 = 0 ∴ x1 = －2， x
解：因式分解，得
3x 1 5 3x 1 5 = 0
PPT教学课件
回顾与复习
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
回顾与复习
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
以上解方程 x10 4.9 x 0的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x10 4.9x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次，这种解法叫做因式分解法．
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？
（精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
x2
100 49
x
50 49
例3.解下列方程 :
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解复习课(公开课)ppt课件
6
公因式
提
解
的
方
平方差公式：
法 公式法
完全平方公式：
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7
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
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8
2.把下列各式分解因式：
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9
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意
哪些问题？
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10
三、因式分解的应用
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
A
解：a（2 b c） b（2 b c) 0
c
b
(b c)(a2 b2 ) 0
B
a
C 所以b c 0或者a2 b2 0 因为a2 b2不可能为0
所以b c 0
所以b c
所以三角形是等腰三角形
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14
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4.已知a、b为有理数,且 a2+b2+2a+2b+2=0,试求a、b的值.
5.n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除.
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17
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18
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11
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12
2．求值
当 x y 3, xy 2，求 x2 y xy2 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
原式 3 2 6
巩固练习： 教科书17页复习题第6,11题
可编辑ppt
13
3．几何应用 已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
因式分解ppt课件
因式分解
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_______ (2) m2-16=__________ (3) y2-6y+9=______ (4) ma+mb-mc=
归纳小结
想一想 因式分解与整式乘法有什么关系？
整式积的形式 整式乘法
整式乘法 因式分解
互逆运算
多项式 因式分解
典例精析
例1 若多项式 ax+B可分解为a(x+y)，则B等于( )
第四章 因式分解
第一节 因式分解
温故知新
一、用简便方法计算
（1）66×42- 42×6
（2）16.9× 1 +15.1× 1
8
8
探索一：因式分解的概念
993-99能被100整除吗？
乘法对加法分配律Βιβλιοθήκη 逆用解：993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×9800 =99×100×98
8
8
5.若多项式2x2+mx+n分解因式的结果为(2x-2)(x+3) 求m，n的值。
能力提升
6:仔细阅读下面的例题,并解答问题
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x十3，求另
一个因式及m的值
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n)
即:x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.
在这里，解决问题的关键是把 一个数式化成几个数的积的形式。
所以，993-99能被100整除. 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
探索一：因式分解的概念
议一议 你能尝试把
第4课因式分解中考复习PPT课件
第4课 因式分解
知识点索引
要点梳理
基础知识·自主学习
4. 因式分解的应用 当实际问题中数值不够理想时，常利用因式分解的方 法转化为积的情势加强运算．如利用比差法进行大小 比较，可利用因式分解化成积的情势确定差的符号来 比较大小． 如：已知x、y为不相等的正数，比较x2(x－y)与y2(x －y)的大小．
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
【例 1】 (2013株洲)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5) (x＋n)，则m＝____6____，n＝____1____． 解析 ∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n， ∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n，
第4课 因式分解
知识点索引
题型三 运用公式法分解因式
题型分类·深度剖析
变式训练3 (1)(2015杭州)分解因式：m3n－4mn＝ _m_n_(_m_＋__2_)_(_m_－__2_)_． 解析 分解因式m3n－4mn，先提取公因式mn后继续应 用平方差公式分解即可：m3n－4mn＝mn(m2－4)＝ mn(m (＋2)2()2(0m1－4淄2)博．)分解因式：8(a2＋1)－16a＝__8_(_a_－__1_)_2 _． 解析 分解因式8(a2＋1)－16a，先提取公因式8后继续 应用完全平方公式分解即可：8(a2＋1)－16a＝8(a2－2a ＋1)＝8(a－1)2.
∴n5＋ n＝5＝ 5，m，∴nm＝ ＝16.，
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
探究提高 熟练地掌握因式分解的意义．因式分解是将 一个多项式化成几个整式积的情势的恒等变形．本题考 查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
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注意：a,b可以为单项式也可以为多项式
.
强化练习4
(1) (2a+b)2- (a+2b)2 (2)9(a+b)2-6(a+b)+1
.
综合运用
例3 分解因式. (1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)
解:(1)x3-2x2+x =x(x2-2x+1) =x(x-1)2 (2)x2(x-y)+y2(y-x)
因式分解
X2-1
(X+1)(X-1)
整式乘法因式分解与整式乘法是互逆来自程.强化练习1
1.下列从左到右的变形是分解因式的有（ )
A.6x2y=3xy·2x B.a2－b2+1=(a+b)(a-b)+1 C.(x+3)(x-3)= x2－9 D.4x2-4x+1=(2x-1)2
.
知识点2 公因式的概念和找公因式的方法
(1)-9m2n-3mn2+27m3n4； （2）(a2+b2)2-4a2b2 ; （3）x4-1;
(4)1-x2+2xy-y2
.
因式分解的一般步骤：
一般步骤
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式；
二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三 项，则考虑用完全平方公式；
.
探索与创新题 （1）若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
解：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴kxy=±2·3x·6y=±36xy ∴k=±36
（2）若x2-6x+k2是完全平方式，则k=___ k=3或k=-3
.
当堂检测：
1.下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（） A.x(a-b)=ax-bx B.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2 C.y2-1=(y+1)(y-1) D.ax+bx+c=x(a+b)+c 2.下列各项不能用完全平方公式进行因式分解的是（） AC3.．.-分ma2+解+11+因414 am式b2+：49b2B.-xD2.+91 2nx2y--32 yn2+1
.
知识点3 提公因式法分解因式
例题讲解
例1. 8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2∙ 3bc
=4ab2(2a2 -3bc )
提公因式法步骤 •找出公因式 •提取公因式得到 另一个因式 •写成积的形式
.
例题讲解 例2. -24x3 –12x2 +28x
解：原式= (24x3 +12x2-28x) = 4x (6x2+3x-7)
三变：若以上两步都不行，则先做整式乘法；
四查：最后看各因式能否再分解，应分解到每一个因式都 不能再分解为止。
.
当堂作业：
教材复习题 P49 8 .14题
.
=x2(x-y)-y2(x-y) =(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x+y)(x-y)各项有“公”先提“公” =(x+y)(x-y)2 首项有负常提负，
某项提出莫漏“1”,
括号里面分到“底”。
.
强化练习5 (1)3ax2+6axy+3ay2 (2) 9y3 -4y (3) (x-y)2- 4(x-y-1) (4)(a-2b)2+8ab
多项式中各项都含有的相同因式,称 之为公因式.
一看系数，找最大公约数 二看字母，找相同字母 三看指数，找最低次幂
.
强化练习2 1.找出下列各多项式中的公因式：
（1） 8x+64 （2）12m2n3 -3n2m3
（3） p(a2+b2) -q (a2+b2) （4） 2a(y-z) – 3b(z-y)
方法二
原式=28x—12x2—24x3
提负号 要变号
=4x(7-3x-6x2)
.
变式训练
（1）m(a-3)+2(3-a)
（2）4p(1-q)3+2(q-1)2
方法点拨： 变后不变前 变偶不变奇
.
知识点4 公式法分解因式 (1)平方差公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)完全平方公式逆用： a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
华师大版八年级上册
因式分解专项复习
偃师市邙岭一中
.
教学目标:
1.因式分解的概念及因式分解与整式乘法 的关系． 2.公因式概念和找公因式的方法． 3.会用提公因式法和公式法分解因式
.
知识点1 因式分解的定义及与整式乘法的关系
把一个多项式化成几个整式积的形 式这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
.
强化练习4
(1) (2a+b)2- (a+2b)2 (2)9(a+b)2-6(a+b)+1
.
综合运用
例3 分解因式. (1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)
解:(1)x3-2x2+x =x(x2-2x+1) =x(x-1)2 (2)x2(x-y)+y2(y-x)
因式分解
X2-1
(X+1)(X-1)
整式乘法因式分解与整式乘法是互逆来自程.强化练习1
1.下列从左到右的变形是分解因式的有（ )
A.6x2y=3xy·2x B.a2－b2+1=(a+b)(a-b)+1 C.(x+3)(x-3)= x2－9 D.4x2-4x+1=(2x-1)2
.
知识点2 公因式的概念和找公因式的方法
(1)-9m2n-3mn2+27m3n4； （2）(a2+b2)2-4a2b2 ; （3）x4-1;
(4)1-x2+2xy-y2
.
因式分解的一般步骤：
一般步骤
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式；
二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三 项，则考虑用完全平方公式；
.
探索与创新题 （1）若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
解：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴kxy=±2·3x·6y=±36xy ∴k=±36
（2）若x2-6x+k2是完全平方式，则k=___ k=3或k=-3
.
当堂检测：
1.下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（） A.x(a-b)=ax-bx B.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2 C.y2-1=(y+1)(y-1) D.ax+bx+c=x(a+b)+c 2.下列各项不能用完全平方公式进行因式分解的是（） AC3.．.-分ma2+解+11+因414 am式b2+：49b2B.-xD2.+91 2nx2y--32 yn2+1
.
知识点3 提公因式法分解因式
例题讲解
例1. 8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2∙ 3bc
=4ab2(2a2 -3bc )
提公因式法步骤 •找出公因式 •提取公因式得到 另一个因式 •写成积的形式
.
例题讲解 例2. -24x3 –12x2 +28x
解：原式= (24x3 +12x2-28x) = 4x (6x2+3x-7)
三变：若以上两步都不行，则先做整式乘法；
四查：最后看各因式能否再分解，应分解到每一个因式都 不能再分解为止。
.
当堂作业：
教材复习题 P49 8 .14题
.
=x2(x-y)-y2(x-y) =(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x+y)(x-y)各项有“公”先提“公” =(x+y)(x-y)2 首项有负常提负，
某项提出莫漏“1”,
括号里面分到“底”。
.
强化练习5 (1)3ax2+6axy+3ay2 (2) 9y3 -4y (3) (x-y)2- 4(x-y-1) (4)(a-2b)2+8ab
多项式中各项都含有的相同因式,称 之为公因式.
一看系数，找最大公约数 二看字母，找相同字母 三看指数，找最低次幂
.
强化练习2 1.找出下列各多项式中的公因式：
（1） 8x+64 （2）12m2n3 -3n2m3
（3） p(a2+b2) -q (a2+b2) （4） 2a(y-z) – 3b(z-y)
方法二
原式=28x—12x2—24x3
提负号 要变号
=4x(7-3x-6x2)
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变式训练
（1）m(a-3)+2(3-a)
（2）4p(1-q)3+2(q-1)2
方法点拨： 变后不变前 变偶不变奇
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知识点4 公式法分解因式 (1)平方差公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)完全平方公式逆用： a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
华师大版八年级上册
因式分解专项复习
偃师市邙岭一中
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教学目标:
1.因式分解的概念及因式分解与整式乘法 的关系． 2.公因式概念和找公因式的方法． 3.会用提公因式法和公式法分解因式
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知识点1 因式分解的定义及与整式乘法的关系
把一个多项式化成几个整式积的形 式这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.