2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解

2016年全国初中数学联合竞赛试题

第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23

t =-a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则

11

2b a

-= （ ） .A 1

2

.B 3.C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书

30本，那么不同的购书方案有 （ ）

.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种

3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3

3

3

3

21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）

.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262

3(B ）.已知二次函数2

1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当

a b -为整数时，ab = （ ）

.A 0 .B 14 .C 3

4

- .D 2-

4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若

8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）

.A 12 .B 15 .C 16 .D 18

5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==

1CD =,对角

线的交点为M ，则DM = ( )

.

A 3.

B 5.

C 2.

D 12

6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

.A 12 .B 23 .C 3

4

.D 1 二、填空题（本题满分

28分，每小题7分）

(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y =

（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .

1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，

AD =则AM = .

2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，

,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .

3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .

3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .

第二试

(3月20日上午9:50 — 11:20)

一、（本题满分20分）

已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.

二、（本题满分25分） (A ).如图，点C 在以AB 为直径的

O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,

AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.

(B ).已知：5,a b c ++= 2

2

2

15,a b c ++= 33347.a b c ++= 求2

2

2

2

2

2

()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.

三、（本题满分25分）

(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

------++= .

(1) 求

111

xy yz zx

++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.

(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==

D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线

AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.

2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)

1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知

t =

a 是

t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则

11

2b a

-= （ ）

.A 1

2

.B .C 1 .D 【答案】A .

【解析】

22,2t =

=<<-324,∴<+< 即34,t <<

3 1.a t ∴=-=

又

221,t -=---<-423,∴-<-<-

(4)2b t ∴=---=11211,

2222b a +-==-=故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图

书30本，那么不同的购书方案有 （ ）

.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种

【答案】C .

【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30

101520500x y z x y z ++=⎧⎨

++=⎩

，

即30341002y z x y z x +=-⎧⎨

+=-⎩，解得20210y x

z x

=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），

故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,

,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都

有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C . 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3

3

3

3

21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）

.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262