概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学
常州大学软件工程专业大二2020-2021学年第二学期概率论与数理统计期末测试试题
常州大学软件工程专业大二2020-2021学年第二学期概率论与数理统计期末测试试题1. [单选题] *A、0.1B、0.2(正确答案)C、0.3D、0.4答案解析:2. 设事件A,B相互独立,且P(A)=0.6,P(A∪B)=0.8,则P(B)= [单选题] *A、0.2B、0.4C、0.5(正确答案)D、0.6答案解析:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8,则P(B)=0.53. 甲袋中有3个红球和1个白球,乙袋中有 1 个红球 2 个白球,从两袋中分别取出一个球,则两个球颜色相同的概率的概率是 [单选题] *A、1/6B、1/4C、1/3D、5/12(正确答案)答案解析:红色:3/4*1/3=1/4白色:1/4*2/3=2/12两种情况相加等于5/124. 设随机变量 X 的分布律为则 P{X>0}=[单选题] *A、1/4B、1/2C、3/4(正确答案)D、1答案解析:由概率c+2c+1/4=1可解得c=1/4,P{X>0}=P{X=1}=P{X=2}=3/45. [单选题] *A、1/4(正确答案)B、1/2C、2/3D、3/4答案解析:6. 已知随机变量 X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从 N(0,1)分布的是 [单选题] *A、1/2(x-2)B、1/2(x+2)C、1/√2(x-2)D、1/√2(x+2)(正确答案)答案解析:7. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为[单选题] *A、0.1B、0.4C、0.5(正确答案)D、0.7答案解析:由图可知P{X+Y=1}=0.1+0.4=0.58. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=4,D(Y)=2,则 D(3X-2Y)= [单选题] *A、8B、16C、28D、44(正确答案)答案解析:D(3X-2Y)=9DX+4DY=449.[单选题] *A、1/6B、1/4(正确答案)C、1/3D、1/2答案解析:10.[单选题] *A、(正确答案)B、C、D、答案解析:方差未知,t检验11. 设 A,B,C 是随机事件,则“A,B,C至少有一个发生”可以表示为 [填空题] *和事件的定义_________________________________(答案:A∪B∪C)12. 设 P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则 P(B|A)= [填空题] *_________________________________(答案:0.8)13. 袋中有 3 个黄球和 2 个白球,今有 2 人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第 2 个人取得黄球的概率为 [填空题] *由于不知道第一个人取什么颜色,第二个人取到黄球的概率为3/5_________________________________(答案:3/5)14. 已知随机变量 X 服从参数为的泊松分布,且 P{X=1}=P{X=2} ,则λ= [填空题] *_________________________________(答案:2)15. 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,则P{X≥1}= [填空题] *_________________________________(答案:e^-1)16. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为则 P{X=Y}=[填空题] *由表可知P{X=Y}=0.4_________________________________(答案:0.4)17.则常数 c=[填空题] *对概率密度积分等于1,可求得参数c=1/2,或者利用均匀分布的几何意义亦可。
第四版 概率论与数理统计答案
点( a , b)连续,则: g ( X n , Yn ) ⎯ ⎯→ g ( a , b )
P
▲ 定理一的等价叙述: 定理一 设随机 X 1 , X 2 ,
同的数学期望和方差:
E ( X k ) = μ , D( X k ) = σ 2 , k = 1,2,
1 n Xn = ∑ Xi n i =1
近似服从
X
~
近似服从
N ( nμ , nσ ) 或
2
X − nμ 近似服从 ~ N ( 0,1) nσ
X −μ
近似服从
X
~
N (μ ,σ / n)
2
或
σ/ n
~
N ( 0 ,1)
例1、一加法器同时收到 20 个噪声电压 V k , 设它们 是相互独立的随机变量 ,且都在区间( 0, ) 10 上服从均匀分布,记 V = 求 P { > 105 } V 的近似值?
解:则该随机变量服从X~b(90000,1/3),其分布律为
⎛ 90000 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ P{ X = k } = ⎜ ⎜ k ⎟⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k 90000− k
, k = 0,1,
,90000
所求的概率为
⎛ 90000 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ P {29500 ≤ X ≤ 30500} = ∑ ⎜ ⎜ k ⎟⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎟ k = 29500 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dt = Φ( x )
证明: η n ( n = 1 , 2 ,
)可分解为 n 个相互独立、服从 :
同一( 0 − 1 )分布的随机变量之和 + Xn ηn = X1 + X 2 + 其中: EX 由定理四, ⎧ ⎪ lim P ⎨ n→ ∞ ⎪ ⎩ =
概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学
概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学同步练习参考答案练习 1-11. (1)是;(2)是;(3)是.练习1-21. (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =, 其中ie =‘出现i 点’1,2,,6i =L ,246{,,}A e e e =;(2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)};{(4,6),(5,5),(6,4)}A =;{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =;(3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)};{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =;(4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒;1.2. 5.0,,q p +,p ).(1q p +-6 .0.6, 0.1. 7.0.3,0.6.8. 1.p - 9.,1.p q r p r +-+- 10.0.1,0.1.练习1-41. 0.054.2. (1 )0.662; (2) 0.0354.3.(1) 112;(2)1.20 4.(1)365;365rrP (2) 41.965. 0.01107.6.1.12607.7147,,1515308.2!.(2)!nn n ⋅9.797.9A10. 491.10⎛⎫- ⎪⎝⎭11.3.1012.(1) 0.41; (2) 0.00061;(3) 0.0073.13. 0.0602.练习1-51. 3.52. 0.121.3. 0.25.4. (1)1;3(2) 1.25. 0.2.练习1-6 1.2.32.76.3. 0.6148.4.(1) 0.862; (2)0.058; (3)0.8286.5.(1) 1;1n k-+(2) 1.n6.0.645.7.0.64.8.(1) 0.0125; (2) 0.24: 0.64: 0.12 或6:16:3.9.(1)5;12(2)24.7510.(1) 0.10034; (2) 0.0038.11.(C).练习1-71.0.5,0.5.2.证明略.3. 0.902.4. (1) 0.5; (2) 0.4.5.(1)0.84;(2)6.6. (1)0.0168;(2) 0.1557; (3) 0.8587.7.(1) 0.3087;(2)0.371.8.(1)0.9;(2)0.887.9. 0.542.练习2-1, 2-2 1.X的分布列为2.{}2.3125,100.32.c P X X=<≠=3.分布列为{}1112P X -<≤=,{}5116P X -≤<=.4.(1)12a =; (2)2023(31)a =⋅-; (3)14a =.5.1927. 6. 0.9972. 7. 0120.80.80.80.810.04740!1!2!e -⎛⎫-++≈ ⎪⎝⎭. 8. 2λ=,{}42240.09024!P X e -==≈.练习2-31. 6k =, 0, 0.784. 2.2a π=3.12c =, 11e-. 4. 0.578125.5. 100a =, {}21503P X >=, 3280.296327P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.6. 45.7. 0.268. 8.0.60.5488e -≈.练习2-41. A.2. B.3. C.4. (1) 0.2; (2) {}0.5P X >={}050.5P X <≤=;(3)0, 1,0.5, 11,()0.7, 12,1 2.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 分布函数()F x 的图像略.5. 0.5.6.,0,2()1,0.2x xe x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩7.220, 0,, 01,2()21, 12,21,2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩8. (1) 1A =; (2)11124P x ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭,18239P x ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎭;(3)2,01,()0,.x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他9. (1)11,2A B π==; (2)1122P x ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭; (3)22()14f x x =+.10. 0.682.练习2-51. (1) 31Y X =+的分布列为(2)2Y X =的分布列为2. (1) 3A =; (2)23(1),11,()80,Y y y f y ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其他; (3)01,()0,Y y f y ≤≤=⎪⎩其他.3. (1)()21ln 2,0,()0,0;y Y y f y y -⎧>=≤⎩(2)14,1,()0,1;y Y y f y y -->=≤⎩(3) 22,0,()0,0.yY y f y y ->=≤⎩练习4-14.2435;32;31. 5.0;2. 6.3;2.7.121;31;31-. 8.18.4.练习4-24.8;0.2. 5.2;41. 6 7.4.练习4-38. (1) 21221)(x ex f -=π22221)(y ey f -=πp =0 (2) 不独立.9.18110. (1)(2)1515(3)12. (Ⅰ)n 11-; (Ⅱ)n1-; (Ⅲ)2113.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y),cov(Y X =32 )4,21(-F练习5-14.221d t xt--⎰; 0.5.5.≤94.6.0.983 8. 7. 0.997 7. 8. 0.952 5.练习6-34. 0.829 3.5. (1) 0.2628;(2) 0.2923;(3) 0.5785. 6. 0;n 31. 7.0.6744. 8.220,()00y n Y y f y y σ-⎧>=⎪⎪<⎩.9.λ;n λ;λ. 10. (1) 0.99;(2)4152σ.11. 35.12.(1)1n n -;(2)1n-.练习7-11.A .2.矩估计值:ˆx θ=,极大似然估计值:ˆx θ=. 3.矩估计量:ˆln X θ=,极大似然估计量:12ˆmin{,,,}nX X X θ=L . 4.矩估计值:ˆ0.67θ=,极大似然估计值:9ˆ13θ=.5.1X X -;1ln nii nX=∑;12min{,,,}nX X X L .6.ˆ3X θ=. 7.(1)2ˆXλ=;(2)2ˆXλ=.8.(1)ˆx x cθ=+,ˆX X cθ=+;(2)1ˆln ln nii nx n cθ==-∑,1ˆln ln nii nXn cθ==-∑.9.(1) ˆX μ=,ˆθ=(2)12ˆmin{,,,}n X X X μ=L ,ˆˆX θμ=-. 10.(1)ˆ2X θ=,(2)2ˆ().5D nθθ=练习7-21.D . 2.2. 3.2σ4.A5.215ˆ()9D μσ=,225ˆ()8D μσ=,231ˆ()2D μσ= 6.1n X +7.112n a n n =+,212nb n n=+ 8.(1)1ˆ22X θ=-;(2) 不是无偏估计量,因为22(4)E X θ≠.练习7-31.C . 2.C .3.(992.16, 1007.84). 4.(2818.54, 3295.46). 5.22224()u n Lασ≥.6. (1) (68.11, 85.089);(2) (190.33, 702.01). 7.(1)(5.608,6.392);(2)(5.558,6.442).8.(4.098,9.108). 9.(-0.002,0.006). 10.(0.45,2.79).练习8-11. A2. 第一类错误(弃真错误);第二类错误(取伪错误). 3.ˆXT =,t 分布,自由度1n -.4. C5. 可以认为包装机不正常工作. 6. 接受.7. 厂家的声称属实. 8. 可以认为无系统误差. 9. 可以.10.认为电池的寿命不比该公司宣称的短. 11.可以认为其平均电阻有明显的提高. 12.拒绝.13.可以认为无显著差异.练习8-21.222(1)ˆn S χσ-=;221/2/2(0,(1)][(1),)n n ααχχ---+∞U .2.D3.不正常.4.与通常无显著差异.5.不能.6.可以认为溶液水分含量不合格.练习8-31.(1) 接受0H;(2) 接受0H.2.无显著差异.3.接受.4.接受.5.认为X Y和的方差无明显差异.6.未达到公布的疗效.7.接受H0.。
概率论与数理统计课后答案
概率论与数理统计课后答案题型:选择题1. 某地平均每 1000 人口中有 A 型流感的患者 9 人,有 B 型流感的患者 3 人,有 A 型流感和 B 型流感患者共 1 人。
若从该地随机选择一名患者,其只感染了 A 型流感概率为多少?A. 0.75B. 0.25C. 0.09D. 0.03答案:C2. 某轿车厂生产了 64 辆同型号轿车,其中 8 辆有不合格的轮胎,现从这些轿车中任取 3 辆,不放回抽样,求抽到不合格轮胎的轿车比较多的概率?A. 0.2B. 0.3C. 0.375D. 0.5答案:B3. 假设事件 A,B 相互独立,且 P(A) = 0.4,P(B) = 0.3,则P(A∪B) =A. 0.12B. 0.32C. 0.58D. 0.7答案:C4. 对于正态分布,若它的均值为 0,标准差为 1,则标准正态分布的概率密度函数图像一定经过点?A. (0,1)B. (0,0.5)C. (1,0)D. (-1,0)答案:B5. 设事件 A 的概率是 0.7,事件 B 的概率是 0.3,且P(A∩B) =0.02。
则事件“A 与 B 中至少发生一个”的概率是多少?A. 0.7B. 0.58C. 0.52D. 0.08答案:C题型:填空题1. 有三个球,其中两个是白球,另一个是黑球。
现在从中任取一个,当取出白球时就将其放回,当取出黑球时就将其丢弃。
这个过程如果进行了两次,求两次都取出白球的概率。
答案:11/362. 已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = kx(1-x),其中 0<x<1,求 k 的值。
答案:23. 某厂生产的一种产品的长度 X 的分布函数为 F(x),满足 F(0)=0,F(+∞)=1,若 F(x)=0.4,则P(X≥x)=答案:0.64. 有两堆石子,一堆有 5 个石子,另一堆有 7 个石子。
两个人轮流从其中一堆拿走石子,每人每次只能取一堆中的任意数量的石子。
概率论与数理统计学习指导 参考答案
自测练习题参考答案第一章 自测练习题A1. (1)∅ (2)互逆事件 (3)0.7 (4)0.88 (5)132. (1)D (2)C (3) D (4) B (5) A3. 解 因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ,故()()()()0.40.30.60.1P AB P A P B P A B =+-=+-= ,从而()()()()()0.40.10.3P AB P A B P A AB P A P AB =-=-=-=-=。
4. 解 设i A 表示事件“第i 次取到的卡片上标有奇数”,1,2i =。
则 (1)13()5P A =, (2)2121232233()()()54545P A P A A P A A ⨯⨯=+=+=⨯⨯, (3)12121323()()(|)5410P A A P A P A A ==⋅=。
5. 解 设 A 表示“该种动物由出生活到10岁”,B 表示“该动物由出生活到12岁”,显然有B A ⊂,从而()()0.56(|)0.7()()0.8P AB P B P B A P A P A ====。
6. 设,,A B C 分别表甲、乙、丙独立地破译密码,E 表示密码被译出,则E A B C = 。
由,,A B C 的独立性,有()()1()1()P E P A B C P A B C P ABC ==-=-1()()()1[1()][1()][1()]P A P B P C P A P B P C =-=----423315345=-⨯⨯=。
7. 解 设i B 表示“第一次任取的3个球中有i 个新球”,0,1,2,3i =,A 表示“第二次取出的3个球全是新球”,由题意可得393312(), 0,1,2,3i i i C C P B i C -⋅==,39312(|), 0,1,2,3ii C P A B i C -==。
由全概率公式可得31842756108358420441()()(|)2202202202202202202202203025i i i P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅+⋅=∑自测练习题B1. (1) B (2) C (3) C (4) C (5) A2. (1)1p - (2)925 (3) 0.75 (4) 1(1)n p -- (5) 17253. 解 由已知,()()0P AB P AC ==,又A B C A B ⊂,故()0P A B C =。
大学概率论与数理统计习题及参考答案
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”,设事件 B 表示“及第一个邮筒 内只有一封信”,则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
3 2 1 C3 C3 C9 27 1 ; 则 P B 0 3 P B1 ; 3 220 C 12 220 C 12 1 2 3 C3 C9 C9 108 84 P B 2 ; P B . 3 3 3 220 C 12 C 12 220
设 A 表示事件“第二次取到的都是新球”,
解: 设事件 A 表示“最强的两队被分在不同的组内”,则
10 基本事件总数为: C 20 9 1 事件 A 含基本事件数为: C 18 C2
9 1 C 18 C2 P A 0.5263. 10 C 20
或
P A 1 P A
8 2C 18 C 22 1 10 C 20
解法1设事件a表示报警系统a有效事件b表示报警系统b有效由已知0862093092006808508006893从而所求概率为解法20012015080988001211三为防止意外在矿内同时设有两种报警系统a与b每种系统单独使用时效的概率系统a为092系统b为093在a失灵的条件下b有效的概率为0851发生意外时这两个报警系统至少有一个有效的概率
概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学
9 . 13
X ; X 1
n
ln X
i 1
n
; min{ X 1 , X 2 , , X n} .
i
ˆ 3X . 6. ˆ 2 ;(2) ˆ 2 . 7.(1) X X ˆ 8.(1) x ˆ ˆ X ;(2) , x c X c n ˆ , n
.
ln x n ln c
i 1 i
n
ln X
i 1
n
i
n ln c
ˆX 9.(1)
n 1 n ˆ 1 ( X X )2 . (X i X )2 , i n i 1 n i 1
ˆ X ˆ min{ X 1 , X 2 , , X n} , ˆ. (2) ˆ 2 X ,(2) D ( ˆ) . 10.(1)
365r
41 . 96
5. 0.01107. 6. 7.
1 . 1260 7 14 7 , , 15 15 30
(2 n)!
8. 2n n! .
7 9 9. A7 . 9
10.
9 1 . 10
4
11.
3 . 10
12.(1) 0.41; (2) 0.00061;(3) 0.0073. 13. 0.0602.
3 y , 0 y 1, 0, 其他. y 1, y 1;
1 2 ln y 1 e 2 , 3. (1) fY ( y ) 2 y 0,
y 1 1 e 4 , (2) fY ( y ) 2 ( y 1) y 0; 0,
6. 0.645. 7. 0.64. 8. (1) 0.0125; (2) 0.24: 0.64: 0.12 或 6:16:3.
概率论与数理统计习题及答案
第一章 概率论的基本概念1. 设C B A ,,为三个随机事件,用C B A ,,的运算表示下列事件: (1)、C B A ,,都发生; (2)、B A ,发生, C 不发生; (3)、C B A ,,都不发生;(4)、B A ,中至少有一个发生而C 不发生; (5)、C B A ,,中至少有一个发生; (6)、C B A ,,中至多有一个发生; (7)、C B A ,,中至多有两个发生; (8)、C B A ,,中恰有两个发生。
2. 设C B A ,,为三个随机事件, 已知:3.0)(=A P ,8.0)(=B P ,6.0)(=C P ,2.0)(=AB P ,0)(=AC P ,6.0)(=BC P 。
试求)(B A P ⋃,)(B A P ,)(C B A P ⋃⋃。
3. 将一颗骰子投掷两次, 依次记录所得点数, 试求: (1)、两次点数相同的概率;(2)、两次点数之差的绝对值为1的概率; (3)、两次点数的乘积小于等于12的概率。
4. 设一袋中有编号为1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅, 9的球共9只, 某人从中任取3只球, 试求:(1)、取到1号球的概率; (2)、最小号码为5的概率;(3)、所取3只球的号码从小到大排序,中间号码恰为5的概率; (4)、2号球或3号球中至少有一只没有取到的概率。
.5. 已知3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,2.0)(=AB P ,试求:(1) )|(A B P ; (2))|(B A P ; (3))|(B A B P ⋃; (4))|(B A B A P ⋃⋃。
6. 设有甲、乙、丙三个小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的条件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是0.80, 试求甲、乙、丙三人均得病的概率。
7. 设某人按如下原则决定某日的活动: 如该天下雨则以0.2的概率外出购物,以0.8的概率去探访朋友; 如该天不下雨,则以0.9的概率外出购物,以0.1的概率去探访朋友。
概率论与数理统计-学习指导与练习册习题答案
5
0.3
0.6
X的分布函数为:
4、解:由已知,X的密度函数为:
此二次方程的
(1)当 时,有实根,即
所以
(2)当 时,有重根,即
所以
(3)当 时,无实根,
5、解:设X为元件寿命,Y为寿命不超过150小时的元件寿命。由已知:
6、解:由 ,有: ,即
又由 ,有 ,即
联立求解,得:
7、解: ,由 ,有:
,即
则
所以
2、解:由已知: ,
可得:
同理: ,而
所以:
3、解:由已知边缘密度为: ,
所以 ,
而 ,所以 ,
4、解:
5、解:设每毫升血液中白细胞数为X,则由已知: ,
要估计 :
由切比雪夫不等式,可得
即每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率大概为 。
习 题 七 第四章
一、填空题
1、0
2、N(0,5)
=
习题三第二章随机变量及其分布
一、填空题
1、 2、2 3、 4、0.8 5、 6、
二、单项选择题
1、B 2、A 3、B 4、B
三、计算题
1、解:由已知 ,其分布律为:
至少有两人的概率:
多于13人的概率: 0
2、解设击中的概率为p,则X的分布率为
X
1
2
3
4
5
6
(
(
(
(
( +(
3、解:X的分布律为:
X
3
习题一
一.填空题
1. 2、 3、 4、
二.单项选择题
1、B 2、C 3、C 4、A 5、B
三.计算题
1.(1)略
概率论与数理统计(第四版)习题答案全
概率论与数理统计习(第四版)题解答第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数。
设事件A 表示“出现偶数点”,事件B 表示“出现的点数能被3整除”.(1)写出试验的样本点及样本空间;(2)把事件A 及B 分别表示为样本点的集合;(3)事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件?并把它们表示为样本点的集合.解:设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ,则(1)样本点为654321,,,,,ωωωωωω;样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω (2)},,{642ωωωA =; }.,{63ωωB =(3)},,{531ωωωA =,表示“出现奇数点”;},,,{5421ωωωωB =,表示“出现的点数不能被3整除”;},,,{6432ωωωωB A =⋃,表示“出现的点数能被2或3整除”;}{6ωAB =,表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”;},{B A 51ωω= ,表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点:(1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和.A —“点数之和大于10”,B —“点数之和小于15”.(2)一盒中有5只外形相同的电子元件,分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取3只,A —“最小号码为1”.解:(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ,则},,,{1843ωωω =Ω;},,,{181211ωωωA =;}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ,则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件,用事件之间的运算表示下列事件: (1) A 发生, B 与C 都不发生; (2) C B A ,,都发生;(3) C B A ,,中至少有两个发生; (4) C B A ,,中至多有两个发生. 解:(1) C B A ;(2) ABC ;(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件,以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品(n i ≤≤1).用i A 表示下列事件:(1)没有一个零件是不合格品; (2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅有一个零件是不合格品; (4)至少有一个零件不是不合格品. 解:(1) n A A A 21;(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21; (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A第二章 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数(但第一个数字不能为0),求电话号码是由完全不同的数字组成的概率.解:基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”,则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P二、把十本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率.解:基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种;这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种;这三本书的排列顺序数为!333=A ;故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”,则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次,把二十个队任意分成两组(每组十队)进行比赛,求最强的两个队被分在不同组内的概率.解:20个队任意分成两组(每组10队)的所以排法,构成基本事件总数1020C ;两个最强的队不被分在一组的所有排法,构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”,则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个,其中有5个次品.从这批产品中任取一半来检查,求发现次品不多于1个的概率.解:设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ,A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”,则 .10A A A ⋃=因为V A A =10,所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品.求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率.解:设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”;B 表示“取出的3件产品中没有废品”;C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”,则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P .求A , B , C 至少有一事件发生的 概率.解:因为0==P(AC)P(AB),所以V AC V AB ==,,从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”,则C B A D ⋃⋃=,于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P . 解:因为B A AB B B A A +=+=)(,所以)()()(B A P AB P A P +=,即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?解:设A 表示“第一次拨通”,B 表示“第二次拨通”,C 表示“拨号不超过两次而拨通”(1)2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P(2)4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.解:设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ;B 表示“出现废品”;C 表示“出现合格品”(1))()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=(2)25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人三次之内击中动物的概率.解:设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ,则由题设,有1006.0)(1kA P ==,得60=k ,从而有4.015060150)(2===k A P ,.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”,则321211A A A A A A A ++=,故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= (另解)设B 表示“猎人三次均未击中”,则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球,其中有9个是新的.第一次比赛时从其中任取3个来用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出的都是新球的概率. 解:设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ,则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”,则31236312373123831239322084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=第四章 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人照管的概率:第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率. 解:设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ,则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++=)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=.(另解)设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ,B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则10B B B +=且0B 、1B 互斥,另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P .二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成.设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路发生间断的概率.解:设1A 表示“a 损坏”;2A 表示“b 损坏”;3A 表示“c 损坏”;则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”,则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=.三、三个人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为51、31、41,求能将此密码译出的概率.解:设A 表示“甲能译出”;B 表示“乙能译出”;C 表示“丙能译出”,则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”,则C B A D ⋃⋃=,从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=. (另解)52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ,从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0.飞机被一人击中而被击落的概率为2.0,被两人击中而被击落的概率为6.0,若三人都击中,则 飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解:设1A 表示“甲命中”;2A 表示“乙命中”;3A 表示“丙命中”;则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ,则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P设A 表示“飞机被击落”,则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P .五、某机构有一个9人组成的顾问小组,若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7,现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见,并按多数人意见作出决策,求作 出正确决策的概率.解:设i A 表示“第i 人贡献正确意见”,则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i .又设m 为作出正确意见的人数,A 表示“作出正确决策”,则)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++=901.0=.六、每次试验中事件A 发生的概率为p ,为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ,问至少需要进行多少次试验? 解:设做n 次试验,则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1,即要p p n -≤-1)1(,从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答:至少需要进行一次试验.第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布. 解:设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”,则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p .生产过程中出现废品时立即进行调整.求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.解:设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”,且设p q -=1,则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个,其中有4个次品.(1)不放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布;(2)放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布.解:(1)设X 表示“取出的样本中的次品数”,则X 服从超几何分布,即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即(2)设X 表示“取出的样本中的次品数”,则X 服从超几何分布,即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X 的概率分布为即四、电话总机为300个电话用户服务.在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01,求在一小时内有4个用户使用电话的概率(先用二项分布计算,再用泊松分布近似计算,并求相对误差). 解:(1)用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP(2)用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生次数不少于3次时,指示灯发出信号.现进行了5次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:设X 表示“事件A 发生的次数”,则3.0)(==p A P ,5=n ,).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈(另解) )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ;其中λ>0为常数,试确定常数a .解:因为∑∞===01)(k k X P ,即∑∞==01!k kk λa ,亦即1=λae ,所以.λe a -=第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x+可否是连续随机变量X 的分布函数?为什么?如果X 的可能值充满区间: (1)(∞+∞- ,);(2)(0,∞-).解:(1)设211)(x x F +=,则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ,0)(lim =+∞→x F x ,所以)(x F 不能是X 的分布函数.(2)设211)(x x F +=,则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ,1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ,所以)(x F 在(0,∞-)上单增. 综上述,故)(x F 可作为X 的分布函数.二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度?为什么?如果X 的可能值充满区间:(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π; (2)[]π,0; (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π.解:(1)因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ,所以0sin )(≥=x x f ;又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ,所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度.(2)因为[]πx ,0∈,所以0sin )(≥=x x f ;但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ,所以当[]πx ,0∈时,函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度.(3)因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ,所以x x f sin )(=不是非负函数,从而它不可能是随机变量X 的概率密度.二、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数,并作出分布函数的图形. 解:设X 表示“取出的废品数”,则X 的分布律为于是,X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤=3,132,22021921,222110,430,0)(x x x x x x F 其图形见右:四、(柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(.求:(1)系数A 及B ;(2)随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率;(3) X 的概率密度. 解:(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ,12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ,解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F . (2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π.五、(拉普拉斯分布)设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x f x,)(.求:(1)系数A ;(2)随机变量X 落在区间)1,0(内的概率;(3)随机变量X 的分布函数.解:(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ,得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx ,解得21=A ,即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x x xx.第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过.乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的.求乘客候车时间不超过3分钟的概率.解:设随机变量X 表示“乘客的候车时间”,则X 服从]5,0[上的均匀分布,其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取3个这种电子元件,求至少有1个能使用1000h 以上的概率.解:设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”;321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”.则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=(另解)设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”.则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰e e dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ,进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe .证明:对于任意非负实数s 及t ,有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性.(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(.e .某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上 的概率.解:(1)因为)(~λe X ,所以R x ∈∀,有xex F λ--=1)(,其中)(x F 为X 的分布函数.设t s X A +≥=,t X B ≥=.因为s 及t 都是非负实数,所以B A ⊂,从而A AB =.根据条件概率公式,我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(. 另一方面,我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(.综上所述,故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥.(2)由题设,知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.,;,0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年,则根据上述证明的(1)的结论,该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx .答:该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0.四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ,求下列随机变量函数的概率分布: (1)X Y 211-=;(2)2)3(2X X Y -=. 解:X 的分布律为(1)X Y 211-=的分布律为(2)2)3(2X X Y -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度.解:因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π,即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π.第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次.设随机变量X 表示第一次出现的点数,随机变量Y 表示两次出现点数的最大值,求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布. 解:二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=.求:(1)系数A 、B 及C ;(2)(X ,Y )的联合概率密度:(3)边缘分布函数及边缘概率密度.解:(1)由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==,.12πA =(2)因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ,所以(X ,Y )的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π (3)X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求:(1)系数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数;(3)X 及Y 的边缘概率密度;(4)),(Y X落在区域R :632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率. 解:(1)由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ,有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ,解得.6=A (2)),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x yy x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x (3)X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00030006),()(3032y y ex x dx e e dx y x f y f y y x Y(4)⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布.求:(1) ),(Y X 的联合概率密度;(2) 概率)2(≥+Y X P . 解:(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C .故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x . 第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,X 在]1,0[上服从均匀分布,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥.解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ,),(Y X 的联合概率密度为(注意Y X ,相互独立)⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X(2)dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xyxy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立,并且都服从二项分布:.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布. 证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C +=-=∑, 有k n n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立,并且X 在区间[0,1]内服从均匀分布,Y 在区间[0,2]内服从辛普森分布:⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度. 解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=,其中D 是zy x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L (3,2,1;2,1==j i )组成,联接方式如右图所示.设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ,求仪器使用寿命的概率密度.解: 由题设,知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y ii i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min (321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ第十章 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取一个.如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差. 解:设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”,则X 的概率分布为即于是有1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX X σ二、对某一目标进行射击,直至击中为止.如果每次射击命中率为p ,求射击次数的数学期望及方差. 解:设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ,则X 的分布为于是有p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2X的分布为于是有p pp p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=- 进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在?若存在,请计算)(X E ;若不存在,请解释为什么.解:因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛,所以ξ没有数学期望.四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x xx f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D .解:011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx x x dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、(拉普拉斯分布)设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x.求数学期望)(X E 及方差)(X D .解:021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x(分部积分亦可)第十一章 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ,求2)3(X X Y -=的数学期望及方差. 解:X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为于是有72.072.0128.00=⨯+⨯=EY72.072.0128.002=⨯+⨯=EY 2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦,求所有这些弦的平均长度.解:在圆周上任取一点O ,并通过该点作圆得直径OA .建立平面直角坐标系,以O 为原点,且让OA 在x 轴的正半轴上.通过O 任作圆的一条弦OB ,使OB 与x 轴的夹角为θ,则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf .弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ,故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRR d R4sin 4cos 4202===⎰.三、一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元, 调换一台设备厂方需花费300元.试求厂方出售一台设备的平均净赢利. 解:由题设,有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1(-=<-=≥eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”,则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---eee EY答:厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元.四、设随机变量n X X X ,,21相互独立,并且服从同一分布,数学期望为μ,方差为2σ.求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差.解:因为μ=)(i X E ,2)(σ=i X D ,且随机变量n X X X ,,21相互独立.所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(,nn X D n X D n X n D X D ni ni i n i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====.五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出,沿途有10个车站可以下车,到达一个车站时如没有旅客下车就不停车.假设每位旅客在各车站下车是等可能的,且各旅客是否下车相互独立.求该车停车次数的数学期望.解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0于是iX 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-=即停车次数的数学期望为748.8.第十二章 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求:(1)系数A ;(2)数学期望)(X E 及)(Y E ,方差)(X D 及)(Y D ,协方差),cov(Y X .解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr rrr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--= ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它.,0;10,,1),(x x y y x f求(1) ),cov(Y X ;(2) X 与Y 是否独立,是否相关,为什么?解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-10210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx .(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的.又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的.三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率.解:91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P .四、为了确定事件A 的概率,进行10000次重复独立试验.利用切比雪夫不等式估计:用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时,误差小于0.01的概率. 解:设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”,则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时,如果发现次品多于10个,则认为这批产品不能接受.应该检查多少个产品,可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9? 解:设ξ表示“发现的次品件数”,则)1.0,(~n B ξ,现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ,即9.0)10(=≤<n ξP ,因为9.0)10(=≤<n ξP ,所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ (德莫威尔—Laplace 定理)因为10>n ,所以53>n ,从而有1)3(1,0≈n Φ,故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ.查表有8997.0)28.1(1,0=Φ,故有28.13.0101.0≈-nn ,解得.146≈n答:应该检查约146个产品,方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.第十三章 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ,求(1))8.56.1(<≤-X P ;(2))56.4(≥X P .解:(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=.0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X (mm )服从正态分布)6.0,100(2N .规定直径在2.1100±(mm )之间为合格品,求这种机械零件的不合格品率.解:设p 表示这种机械零件的不合格品率,则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p .而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p .三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.解:三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ,所以由事件的相互独立性,有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--=于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ.四、设随机变量),(~2σμN X ,求随机变量函数Xe Y =的概率密度(所得的概率分布称为对数正态分布).解:由题设,知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=.当0≤y 时,有0)(=y F Y ;此时亦有0)(='y F Y . 当0>y 时,有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ.此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F .从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立,),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,求: (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差,其中a 及b 为常数; (2) 随机变量函数XY Z=2的数学期望与方差.解:由题设,有211)(,)(σμ==X D X E ;222)(,)(σμ==Y D Y E .从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=; 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=. (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ;)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=.第十四章二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布,已知0)()(==Y E X E ,16)(=X D ,25)(=Y D ,并且12),cov(=Y X ,求),(Y X 的联合概率密度.。
概率论与数理统计课后习题答案
习题答案第1章 三、解答题1.设P (AB ) = 0,则下列说法哪些是正确的? (1) A 和B 不相容; (2) A 和B 相容; (3) AB 是不可能事件; (4) AB 不一定是不可能事件; (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解:(4) (6)正确.2.设A ,B 是两事件,且P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.7,问: (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少? (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 解:因为)()()()(B A P B P A P AB P ,又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值,最大值是)()(A P AB P =0.6.(2)1)( B A P 时P (AB )取到最小值,最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.3.已知事件A ,B 满足)()(B A P AB P ,记P (A ) = p ,试求P (B ).解:因为)()(B A P AB P ,即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ,所以.1)(1)(p A P B P4.已知P (A ) = 0.7,P (A – B ) = 0.3,试求)(AB P .解:因为P (A – B ) = 0.3,所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7,所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4,6.0)(1)( AB P AB P .5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 解:显然总取法有410C n种,以下求至少有两只配成一双的取法k : 法一:分两种情况考虑:15C k24C 212)(C +25C 其中:2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二:分两种情况考虑:!2161815C C C k +25C其中:!2161815C C C为恰有1双配对的方法数法三:分两种情况考虑:)(142815C C C k +25C其中:)(142815C C C 为恰有1双配对的方法数法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2815C C k -25C法五:考虑对立事件:410C k -45C 412)(C其中:45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六:考虑对立事件:!4141618110410C C C C C k其中:!4141618110C C C C 为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410C k p 6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求: (1) 求最小号码为5的概率; (2) 求最大号码为5的概率.解:(1) 法一:12131025 C C p ,法二:1213102513 A A C p (2) 法二:20131024 C C p ,法二:2013102413 A A C p 7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 解:设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则834)(3341 A M P , 1694)(324232 A C M P , 1614)(3143C M P8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?解:设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则 3.0)(25232 C C M P ,6.0)(2512131 C C C M P ,1.0)(25221 C C M P9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.解:设M 1=“取到两个球颜色相同”,M 1=“取到两个球均为白球”,M 2=“取到两个球均为黑球”,则2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121 M P M P M M P M P10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示任取两个数,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ,y ):0 x ,y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ,y ) : x + y 6/5} 因此2517154211)(2的面积的面积A A P . 图?11.随机地向半圆220x ax y(a 为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率. 解:这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标, 表示原点和该点的连线与x 轴的夹角,在平面上建立xOy 直角坐标系,如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间={(x ,y ):220,20x ax y a x}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4” ={(x ,y ):40,20,202x ax y a x }因此211214121)(222 a aa A A P 的面积的面积.12.已知21)(,31)(,41)( B A P A B P A P ,求)(B A P . 解:,1213141)()()( A B P A P AB P ,6121121)|()()(B A P AB P B P.311216141)()()()(AB P B P A P B A P 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少?解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。
概率论与数理统计课后习题答案
习题一1.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与B发生,C(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC(4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB).【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,(1)在什么条件下P(AB(2)在什么条件下P(AB【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率. (1) n 件是同时取出的; (2)n (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11..见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p ==16.0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076175双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22.0,1)中随机地取两个数,求:(1)两个数之和小于65的概率;(2)两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y,则0<x,y<1.(1)x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23.P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5,求P(B|A∪B)【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29..统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立. 33.15,13,14,求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 【解】(1) 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A =“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”; (3) C =“恰有两位乘客在同一层离开”; (4) D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1) 2466C 9()10P A =,也可由6重贝努里模型:224619()C ()()1010P A =(2) 6个人在十层中任意六层离开,故6106P ()10P B =(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有110C 种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有131948C C C 种可能结果;②4人同时离开,有19C 种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有49P 种可能结果,故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++(4) D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率: (1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n 个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 【解】 (1) 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.[0,a ]【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形,有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形,即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示,故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k =1,2,…,n )才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率P (A i )(i =0,1,2,3). 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色},i =0,1,2,3.在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000-(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ,B ,CP (AB )+P (AC )-P (BC )≤P (A). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.n 次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数},B ={出现反面次数多于正面次数},由对称性知P (A )=P (B )(1) 当n 为奇数时,正、反面次数不会相等.由P (A )+P (B )=1得P (A )=P (B )=0.5(2) 当n 为偶数时,由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.n +1次,乙掷n 次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正(甲乙)=(甲正≤乙正)=(n +1-甲反≤n -乙反)=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)由对称性知P (甲正>乙正)=P (甲反>乙反) 因此P (甲正>乙正)=1246.Sure -thing ):若P (A |C )≥P (B |C ),P (A |)≥P (B |),则P (A )≥P (B ).【证】由P (A |C )≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢,有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的},(i =1,…,n ),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1,2,…,n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零,于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明:不论ε>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rr m m m n m n m nm n m n+==++++ 50.巴拿赫(Banach )火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件,则有121()()2P B P B ==.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了2n -r 次,设n 次取自B 1盒(已空),n -r 次取自B 2盒,第2n -r +1次拿起B 1,发现已空。
概率论与数理统计学习指导参考答案-常州大学
同步练习参考答案练习 1-11. (1)是;(2)是;(3)是.练习1-21. (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =, 其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L , 246{,,}A e e e =;(2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =;(3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)};{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =; (4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------.(5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L .2. (1)ABC ; (2)AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ; (3)A B C U U 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ; (4)ABC ABC ABC U U ;(5)AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U .3. (1)123A A A ;(2)123A A A U U ;(3)123123123A A A A A A A A A U U ; (4)121323A A A A A A U U .4.(C)5. 甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中. 6.,,.ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC C BC ABC ++++++++ 7. 略. 8. 略.练习1-31. 0.3.2. 2. 30%.3. 3. 5/8.4. 4. )()(AB P A P -.5. 5.0,,q p +,p ).(1q p +- 6 .0.6, 0.1. 7. 0.3,0.6. 8. 1.p -9.,1.p q r p r +-+- 10.0.1,0.1.练习1-41. 0.054.2. (1 )0.662; (2) 0.0354.3.(1) 112;(2)1.204.(1) 365;365rrP (2) 41.965. 0.01107.6.1.12607. 7147,,1515308.2!.(2)!n n n ⋅9. 797.9A 10. 491.10⎛⎫- ⎪⎝⎭11.3.1012.(1) 0.41; (2) 0.00061;(3) 0.0073. 13. 0.0602.练习1-51. 3.52. 0.121.3. 0.25.4. (1)1;3 (2) 1.25. 0.2.练习1-61.2.3 2.76. 3. 0.6148.4.(1) 0.862; (2)0.058; (3)0.8286.5. (1)1;1n k -+ (2) 1.n 6. 0.645. 7. 0.64.8. (1) 0.0125; (2) 0.24: 0.64: 0.12 或 6:16:3. 9. (1)5;12(2)24.7510. (1) 0.10034; (2) 0.0038. 11. (C).练习1-71.0.5,0.5.2.证明略.3. 0.902.4. (1) 0.5; (2) 0.4.5.(1)0.84;(2)6.6. (1)0.0168;(2) 0.1557; (3) 0.8587. 7.(1) 0.3087;(2)0.371.8.(1)0.9;(2)0.887.9. 0.542.练习2-1, 2-21.X2.{}2.3125,100.32.c P X X =<≠= 3.分布列为{}1112P X -<≤=, {}5116P X -≤<=. 4.(1) 12a =; (2)2023(31)a =⋅-; (3) 14a =. 5.1927. 6. 0.9972. 7. 0120.80.80.80.810.04740!1!2!e-⎛⎫-++≈ ⎪⎝⎭. 8. 2λ=, {}42240.09024!P X e -==≈.练习2-31. 6k =, 0, 0.784.2. 2a π=. 3. 12c =, 11e -.4. 0.578125.5. 100a =, {}21503P X >=, 3280.296327P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.6.45. 7. 0.268.8. 0.60.5488e -≈.练习2-41. A.2. B.3. C.4. (1) 0.2; (2) {}0.5P X >={}050.5P X <≤=; (3) 0, 1,0.5, 11,()0.7, 12,1 2.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 分布函数()F x 的图像略.5. 0.5.6. ,0,2()1,0.2xxe x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 7.220, 0,, 01,2()21, 12,21,2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩8. (1) 1A =; (2) 11124P x ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭, 18239P x ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎭;(3) 2,01,()0,.x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他9. (1) 11,2A B π==; (2) 1122P x ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭; (3) 22()14f x x =+.10. 0.682.练习2-5(2) 2Y =2. (1) 3A =; (2) 23(1),11,()80,Y y y f y ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其他;(3) 01,()0,Y y f y ≤≤=⎪⎩其他.3. (1) ()21ln 2,0,()0,0;y Y y f y y -⎧>=≤⎩(2) 14,1,()0,1;y Y y f y y -->=≤⎩(3) 22,0,()0,0.yY y f y y ->=≤⎩练习4-14.2435;32;31.5.0;2. 6.3;2.7.121;31;31-. 8.18.4.练习4-24.8;0.2. 5.2;41. 67.4.练习4-38. (1) 21221)(x ex f -=π22221)(y ey f -=πp =0 (2) 不独立.9.181 10. (1)(2) 151512. (Ⅰ)n 1-; (Ⅱ)n-; (Ⅲ)213. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y ),cov(Y X =32 )4,21(-F练习5-14.221d t xt --⎰; 0.5.5.≤94. 6.0.983 8. 7. 0.997 7. 8. 0.952 5.练习6-34. 0.829 3.5. (1) 0.2628;(2) 0.2923;(3) 0.5785.6. 0;n31. 7.0.6744. 8.220,()00y n Y y f y y σ-⎧>=⎪⎪<⎩.9.λ;nλ;λ.10. (1) 0.99;(2) 4152σ. 11. 35. 12.(1)1n n -;(2)1n-.练习7-11.A .2.矩估计值:ˆx θ=,极大似然估计值:ˆx θ=. 3.矩估计量:ˆln X θ=,极大似然估计量:12ˆmin{,,,}n X X X θ=L . 4.矩估计值:ˆ0.67θ=,极大似然估计值:9ˆ13θ=. 5.1XX -;1ln nii nX=∑;12min{,,,}n X X X L .6.ˆ3X θ=. 7.(1) 2ˆXλ=;(2) 2ˆXλ=. 8.(1) ˆx x cθ=+,ˆX X c θ=+;(2) 1ˆln ln nii nx n cθ==-∑,1ˆln ln nii nXn cθ==-∑.9.(1) ˆX μ=,ˆθ= (2) 12ˆmin{,,,}n X X X μ=L ,ˆˆX θμ=-. 10.(1) ˆ2X θ=,(2) 2ˆ().5D nθθ=练习7-21.D . 2.2. 3.2σ 4.A5.215ˆ()9D μσ=,225ˆ()8D μσ=,231ˆ()2D μσ= 6.1n X + 7.112n a n n =+,212n b n n =+8.(1) 1ˆ22X θ=-;(2) 不是无偏估计量,因为22(4)E X θ≠.练习7-31.C . 2.C .3.(992.16, 1007.84). 4.(2818.54, 3295.46). 5.22224()u n Lασ≥.6. (1) (68.11, 85.089);(2) (190.33, 702.01). 7.(1)(5.608,6.392);(2)(5.558,6.442). 8.(4.098,9.108). 9.(-0.002,0.006). 10.(0.45,2.79).练习8-11. A2. 第一类错误(弃真错误);第二类错误(取伪错误). 3. ˆXT =,t 分布,自由度1n -. 4. C5. 可以认为包装机不正常工作. 6. 接受.7. 厂家的声称属实. 8. 可以认为无系统误差. 9. 可以.10.认为电池的寿命不比该公司宣称的短. 11.可以认为其平均电阻有明显的提高. 12.拒绝.13.可以认为无显著差异.练习8-21.222(1)ˆn S χσ-=;221/2/2(0,(1)][(1),)n n ααχχ---+∞U .2.D3.不正常.4.与通常无显著差异. 5.不能.6.可以认为溶液水分含量不合格.练习8-31.(1) 接受0H ;(2) 接受0H . 2.无显著差异. 3.接受. 4.接受.5.认为X Y 和的方差无明显差异. 6.未达到公布的疗效. 7.接受H 0.。
概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育出版社
9.在长度为的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布,而与时间间隔的起点无关〔时间以小时计〕,求
〔1〕某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率;
〔2〕某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率;
9.在长度为t的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为 的Poisson(泊松)分布,而与时间间隔的起点无关〔时间以小时计〕.求
〔1〕某人经此检验法诊断患有肝癌的概率;
〔2〕已知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率。
解:
令 “被检验者患有肝癌”, “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”
那么,
〔1〕
〔2〕
12.一大批产品的优质品率为30%,每次任取1件,连续抽取5次,计算以下事件的概率:
〔1〕取到的5件产品中恰有2件是优质品;
服从指数分布〔 〕
〔2〕
〔3〕
9.设 ,试计算〔1〕 ;〔2〕 ;〔3〕 ;〔4〕 .
的概率:
〔1〕直到第 次才成功;
〔2〕第 次成功之前恰失败 次;
〔3〕在 次中取得 次成功;
〔4〕直到第 次才取得 次成功。
解:
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
16..击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6,假设被击中三次,则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
〔2〕在取到的5件产品中已发现有1件是优质品,这5件中恰有2件是优质品。
解:令 “5件中有 件优质品”,
〔1〕
〔2〕
13.每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时,从中任取1件,如果检验是次品,则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误,1件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算:
概率论与数理统计习题参考答案
概率论与数理统计习题参考答案概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第1页(共101页)概率论和数理统计的参考答案(附练习)第一章随机事件及其概率1.写出以下随机测试的样本空间:(1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和;(2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;(3) 10种产品中有3种存在缺陷。
每次取一个,直到三个有缺陷的产品全部取出后再放回去。
记录提取次数;(4)测量汽车通过给定点的速度解:所求的样本空间如下(1) s={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}(2)s={(x,y)|x2+y2<1}(3)s={3,4,5,6,7,8,9,10}(4)s={v|v>0}2.设a、B和C为三个事件,并使用a、B和C的运算关系来表示以下事件:(1)a发生,B和C不发生;(2)a与b都发生,而c不发生;(3)a、b、c都发生;(4)a、b、c都不发生;(5)a、b、c不都发生;(6)至少出现a、B和C中的一种;(7) a、B和C的出现次数不超过一次;(8)解决方案a、B和C中至少有两个出现:请求的事件表示如下(1)abc(2) abc(3)abc(4)abc(6)a?BC(5)abc(7)ab?bc?ac(8)ab?bc?ca3.在某小学的学生中任选一名,若事件a表示被选学生是男生,事件b表示该如果学生是三年级的学生,C项意味着学生是运动员,那么(1)AB项意味着什么?(2)在什么条件下abc=c成立?(3)在什么条件下关系式c?b是正确的?(4)在什么条件下a?b成立?解决方案:请求的事件表示如下(1)事件ab表示该生是三年级男生,但不是运动员.(2)当全校运动员都是三年级男生时,abc=c成立.概率论和数理统计练习参考答案(仅供参考)第1章第2页(101)(3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式c?b是正确的.(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,a?b成立.4.设p(a)=0.7,p(a-b)=0.3,试求p(ab)由于一个问题的解决方案?B=acab,P(a)=0.7,所以p(a?b)=p(a?ab)=p(a)??p(ab)=0.3,所以p(ab)=0.4,故p(ab)=1?0.4=0.6.5.对于事件a、B和C,已知P(a)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=141求a、b、c中至少有一个发生的概率.8解由于abc?ab,p(ab)?0,故p(abc)=0那么p(a+B+C)=p(a)+p(B)+p(C)CP(AB)CP(BC)CP(AC)+p(ABC)?11115 04万肆仟肆佰捌拾捌元6.设盒中有α只红球和b只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A={两个颜色相同的球},B={两个颜色不同的球}222解由题意,基本事件总数为aa?b,有利于a的事件数为aa?ab,有利于b111111中的事件数是aaab?阿巴?2aaab,2aa?ab2则p(a)?2aa?b112aaabp(b)?2aa?B7.若10件产品中有件正品,3件次品,(1)取其中任何一个三次,不放回去,计算得到三个不良品的概率;(2)每次取其中任何一个三次,计算得到三次次品的概率(1)让a={得到三次次品}33c3a316p(a)?3?.或者p(a)?3?c10120a10720(2)设b={取到三个次品},则3327p(a)?3.1010008.在一家旅行社的100名导游中,43人说英语,35人说日语,32人说日语和汉语英语,9人会讲法语、英语和日语,且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种,求:(1)此人可能会说英语和日语,但不会说法语;(2)此人只会说法语的可能性解设a={此人会讲英语},b={此人会讲日语},c={此人会讲法语}根据主题的意思,你可以概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第3页(共101页)(1) p(abc)?p(ab)?p(abc)?(2)p(abc)?p(ab)?p(abc)32923?? 100100100? p(a?b)?0 1? p(a?b)?1.p(a)?p(b)?p(ab)43353254?1一千零一亿零一十万零一百9.罐中有12颗围棋子,其中8颗白子4颗黑子,若从中任取3颗,求:(1)取到的都是白子的概率;(2)获得两个白点和一个太阳黑子的概率;(3)取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率;(4)取到三颗棋子颜色相同的概率.解(1)那么让a={带上所有白人孩子}3c814p(a)?3??0.255.C1255(2)设B={得到两个白点和一个太阳黑子}1c82c4p(b)??0.509.3c12(3)设c={取三颗子中至少的一颗黑子}p(c)?1?p(a).4?0.7(4)设d={取到三颗子颜色相同}33c8?c4p(d)??0.273.3c1210.(1)500人中,至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)?(2)六个人中有一个人恰好在同一个月过生日的概率是多少?解决方案(1)设a={至少有一个人生日在7月1日},则364500? 0.746便士?1.p(a)?1.365500(2)假设计算的概率为p(b)41c6?c1?1122?0.0073p(b)?12611.将字母C、C、e、e、I、N和S7随机排列成一行,并尝试将它们精确地排列成科学的概率p.227解决方案因为两个C和两个e共享A2,所以有A2安排,基本事件的总数是a722a2p??0.0007947a7概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第4页(共101页)12.从5副手套中取出4副手套,并找出这4副手套未配对的可能性解要4只都不配对,我们先取出4双,再从每一双中任取一只,共有c54?24中取法.设a={4只手套都不配对},则有c54?2480便士(a)?4.210c1013.一名实习生用一台机器独立生产三个同类型零件,I零件不合格的概率为pi?为多少?假设AI={第I部分不合格},I=1,2,3,那么p(AI)?圆周率?那么p(AI)?1.圆周率?1,I=1,2,3。
概率论与数理统计学1至7章课后答案
概率论与数理统计学1至7章课后答案(总14页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章作业题解:掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足 式.解:由表格知并且,361)12()2(====X P X P ;362)11()3(====X P X P ;363)10()4(====X P X P ;364)9()5(====X P X P ;365)8()6(====X P X P ;366)7(==X P 。
即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解:根据1)(0==∑∞=k k X P ,得10=∑∞=-k kae,即1111=---e ae 。
故 1-=e a甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率:(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解:分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中,则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为:0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P , 两人各投中一次的概率为:2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为:0784.0)(2121=B B A A P 。
所以: (1)两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为:12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ,求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解:(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k ,求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解:31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率:(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解:(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .某城市在长度为t (单位:小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率: (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解:(1) ()!kP X k e k λλ-==,由题意,0.53 1.5,0k λ=⨯==,所求事件的概率为1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意,0.54 1.5λ=⨯=,所求事件的概率为213e --.为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是,假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于解:设应配备m 名设备维修人员。
常州大学概率统计A卷答案
word 格式-可编辑-感谢下载支持091~092可能用数据: Φ0(1.5)=0.9332;0.05(8) 2.306t =;0.05(9) 2.262t =;0.05 1.96u =一、 填空题(共10题,每题3分,共30分)1、A ,B ,C 是三个随机事件,则恰好有一个事件发生可表示为:ABC ABC ABC ++。
2、设袋中有10 个黑球,5个红球,现从袋中一次任取6个球,恰有3个红球的概率为2400.241001≈。
3、已知事件A 的概率P (A )=0.5,事件B 的概率P (B )=0.6,条件概率P (B|A )=0.8,求概率()P A B += 0.3 。
4、设随机变量X 的分布律为:2Y X=的分布律为:5、设连续型随机变量X 的分布函数为:,()arcsin ,(),0 , 01 x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<<>⎨⎪≥⎪⎩ 则常数A = 1/2 ,B = 1π/。
6、已知随机变量(4)X P ~,随机变量(10,0.2)Y B ~,则(23)E X Y ++= 13 。
7、设随机变量(0,1)X N ~,试用契比雪夫不等式估计{2}P X <34≥。
8、设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本,写出下列统计量的表达式,样本均值X =11nii Xn=∑,样本方差2S =2221111()[()]11n n i i i i X X X n X n n ==-=---∑∑。
9、设22~(,),~()X N Y n μσχ,且X ,Y 相互独立,T =则~T t (n ) 。
10、已知总体, 0(;),(0)0, 0x e x X f x x θθθθ-⎧≥~=>⎨<⎩, 12,,,n x x x X是的一组样本观察值,则样本似然函数()L θ=11niii x nx n i eeθθθθ=--==∑∏。
概率论与数理统计统计课后习题答案
第二章习题解答1. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ).A . 52,53-==b aB . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a2. 解:因为随机变量X ={这4个产品中的次品数}X 的所有可能的取值为:0,1,2,3,4.且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈; 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈;2215542070{2}0.2167323C C P X C ===≈; 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈;041554201{4}0.0010969C C P X C ===≈.3.解:设{1}P x p ==,则{0}1P x p ==-. 由已知,2(1)p p =-,所以23p =X 当0x <时,(){}0F x P X x =≤=;当01x ≤<时,1(){}{0}3F x P X x P X =≤===; 当1x ≥时,(){}{0}{1}1F x P X x P X P X =≤==+==.X 的分布函数为:00()1/30111x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩. 4. 解:设X ={在取出合格品以前,已取出不合格品数}. 则X 的所有可能的取值为0,1,2,3.7{0}10P x ==; 377{1}10930P x ==⋅=;3277{2}1098120P x ==⋅⋅=; 32171{3}10987120P x ==⋅⋅⋅=. 所以X 的概率分布为:5.解:设X ={其中黑桃张数}.则X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.0513395522109{0}0.22159520C C P x C ===≈; 14133955227417{1}0.411466640C C P x C ===≈; 23133955227417{2}0.274399960C C P x C ===≈; 32133955216302{3}0.0815199920C C P x C ===≈; 411339552429{4}0.010739984C C P x C ===≈; 50133955233{5}0.000566640C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为:6.解:由已知,()XG p所以()(1),0,1,2iP X i p p i ==-=.7.解:X 的所有可能的取值为0,1,2,3. 且1{0}2P X ==; 111{1}224P X ==⨯=;1111{2}2228P X ==⨯⨯=;1111{3}2228P X ==⨯⨯=;8. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训,据以前的培训情况,估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求:(1)恰有6个人不能完成培训的概率; (2)不多于4个的概率. 解:设X ={不能完成培训的人数}.则(100,0.04)XB ,(1)6694100{6}0.040.960.1052P X C ==⋅=;(2)4100100{4}0.040.960.629k k k k P X C-=≤=⋅=∑.9. 一批产品的接收者称为使用方,使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p 接受一批产品的概率. 假设你是使用方,允许次品率不超过05.0=p ,你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验,若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少?(假设这批产品实际次品率为0. 06).解:设X ={100个产品中的次品数},则(100,0.06)X B ,所求概率为1001003{3}(0.06)(0.94)0.1430k k k k P X C-≤≤==∑.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元,以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面,则甲赢10元,乙输10元;如果出现反面,则甲输10元,乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解:设甲X ={投掷一次后甲的赌本},乙X ={投掷一次后乙的赌本}. 则甲X 的取值为20,40,且1{20}{40}2P X P X ====甲甲,1{10}{30}2P X P X ====乙乙,所以甲X 与乙X 的分布律分别为:0,201,204021,40X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩甲(), 0,101,103021,30X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩乙() 11. 设离散型随机变量X 的概率分布为:(1){}2,1,2,,100k P X k a k ===;(2){}2,1,2,k P X k a k -===,分别求(1)、(2)中常数a 的值.解:(1)因为{}1001001121,kk k P X k a =====∑∑即 1002(12)112a -⋅=-,所以)12(21100-=a . (2) 因为{}1121,kk k P X k a ∞∞-=====∑∑即121112a ⋅=-,所以 1=a .12. 已知一电话交换台服从4=λ的泊松分布,求:(1)每分钟恰有8次传唤的概率;(2)每分钟传唤次数大于8次的概率.解:设X ={每分钟接到的传唤次数},则()XP λ,查泊松分布表得(1){8}{8}{9}0.05110.02140.0297P X P X P X ==≥-≥=-=; (2){8}0.02136P X ≥=.13. 一口袋中有5个乒乓球,编号分别为1、2、3、4、5,从中任取3个,以示3个球中最小号码,写出X 的概率分布.解:X 的所有可能的取值为1,2,3.243563{1}105C P x C ====;23353{2}10C P x C ===;22351{3}10C P x C ===.所以X 的概率分布为:14. 已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)λλ>的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)p p <<,且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X 的概率分布.解:设Y ={每天去图书馆的人数},则()YP λ,{},0,1,2,!iP Y i e i i λλ-===当{}Y i =时,(,)XB i p ,{}{}(1)k k i k i i kP X k P Y i C p p +∞-====⋅-∑!(1)(1)!!!()!iik k i kk i k ii k i ki e C p p e p p i i k i k λλλλ+∞+∞----===⋅-=-⋅-∑∑!(1)(1)!!()!!()!ik k i k k i ki k i ki k i p ep p e p i k i k k i k λλλλλ-+∞+∞----===-=-⋅--∑∑(1)()(1)e !()!!!k ki kk kk i kp pi kp p p ep e ek i k k k λλλλλλλλ-+∞-----==-=⋅=-∑即X 的概率分布为(){}e ,0,1,2,!k pp P X k k k λλ-===.15. 设随机变量X 的密度函数为 ,010,⎩⎨⎧<<+= x b ax f(x)其它, 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<3131X P X P ,试求常数a 和b . 解:1301()3183a b P X ax b dx ⎧⎫<=+=+⎨⎬⎩⎭⎰; 113142()393a b P X ax b dx ⎧⎫>=+=+⎨⎬⎩⎭⎰,由421183932a b a b +=+=得,71.5,.4a b =-= 16. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B x arctan , 求常数A , B ;{1}P X <以及概率密度f (x ).解:由()lim (arctan )02()lim (arctan )12x x F A B x A B F A B x A B ππ→-∞→+∞⎧-∞=+=-=⎪⎪⎨⎪+∞=+=+=⎪⎩得121A B π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11()arctan 2F x x π=+; {1}{11}(1)(1)0.5P X P x F F <=-<<=--=; 211()'()1f x F x x π==⋅+.17. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求:(1)常数A 的值;(2)X 的概率密度函数)(x f ;(3){}2≤X P .解:(1)由()F x 的连续性得(10)(10)(1)1F F F -=+==即21lim 1x Ax -→=,所以1A =,20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩;(2)2,01()'()0,x x f x F x <<⎧==⎨⎩其他;(3){2}(2)1P X F ≤==.18. 设随机变量X 的分布密度函数为 , 01 , 1)(2⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它当x xAx f 试求:(1)系数A ;(2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221X P ;(3)X 的分布函数)(x F . 解:(1)因为1111()arcsin f x dx A x A π+∞--∞-====⎰⎰所以1A π=,1() 0 ,x f x <=⎩其它; (2)12111221112()arcsin 23P X f x dx x π⎧⎫<<====⎨⎬⎩⎭⎰;(3) 当1x <-时,(){}0f x P X x =≤=, 当01x ≤<时,11(){}arcsin 2xf x P X x x π-=≤==+⎰, 当1x ≥时,1(){}1f x P X x -=≤==⎰,所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,arcsin 1211,0x x x x x F π)( 19. 假设你要参加在11层召开的会议,在会议开始前5 min 你正好到达10层电梯口,已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s ,从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯,则你能准时到达会场的概率是多少?解:设X ={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)XU ,由题意,若能准时到达会场,则在10等电梯的时间不能超过4.5 min , 所求概率为 4.50{ 4.5}0.45100P X -≤==-.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X (min )服从51=λ的指数分布. 某顾客在窗口等待服务,若超过10 min ,他就离开. 若他一个月到银行5次,求: (1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y 的分布; (2) 求{}1≥Y P . 解:(1)由已知,1(),(5,)5XE Y B p其中10{10}1{10}1()p P X P X f x dx -∞=>=-≤=-⎰110250115e dx e --=-=⎰所以Y 的分布为55{}(1)k k k P Y k C p p -==-2255()(1),(0,1,2,3,4,5)k k k C e e k ---=-=;(2){}02025511{0}1()(1)0.5167P Y P Y C e e --≥=-==--=.21. 设随机变量)4,5(~N X ,求α使:(1){}903.0=<αX P ;(2){}01.05=>-αX P .解:由)4,5(~N X 得5~(0,1)2X N - (1){}555()0.903222X P X P ααα---⎧⎫<=<=Φ=⎨⎬⎩⎭ 查标准正态分布表得:51.32α-=,所以6.7=α;(2)由{}01.05=>-αX P 得,{}50.99P X α-<=所以{}{}55PX P X ααα-<=-<-<5()()2()10.99222222X P ααααα-⎧⎫=-<<=Φ-Φ=Φ-=⎨⎬⎩⎭即()0.9952αΦ=,查标准正态分布表得2.582α=,所以16.5=α22. 设)2,10(~2N X ,求{}{}210 , 1310<-<<X P X P . 解:由)2,10(~2N X 得10~(0,1)2X N - {}101013=P 0 1.5(1.5)(0)0.99320.50.49322X P X -⎧⎫<<<<=Φ-Φ=-=⎨⎬⎩⎭;{}102{2102}P X P X -<=-<-< 10{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262X P -=-<<=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=. 23. 某地8月份的降水量服从185mm,28mm μσ==的正态分布,求该地区8月份降水量超过250 mm 的概率.解:设随机变量X ={该地8月份的降水量}, 则2(185,28)XN ,从而185(0,1)28X N -所求概率为185250185{250}{}1(2.32)10.98980.01022828X P X P --≥=>=-Φ=-= 24. 测量某一目标的距离时,产生的随机误差(cm)X 服从正态分布)400,0(N ,求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm 的概率.解:由(0,400)X N 得(0,1)20X N设Y ={在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm 的次数},则(3,)Y B p其中{30}{3030}{1.5 1.5}p P X P X P X =<=-<<=-<<(1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=所以P {3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm }={1}P Y ≥00331{0}10.86640.13320.9976P Y C =-==-⋅=25. 已知测量误差2~(7.5,10)X N ,X 的单位是mm ,问必须进行多少次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.解:设必须进行n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.由已知2~(7.5,10)X N ,7.5~(0,1)10X N - 设Y ={n 次测量中,绝对误差不超过10mm 的次数},则(,)Y B n p其中7.5{10}{0.25}(0.25)0.598710X p P X P -=≤=≤=Φ= 所求概率为{1}0.9P Y ≥>,即{0}0.1P Y =≤000.59870.40130.1n n C ⋅≤,解之得,3n ≥必须进行3次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9. 26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分)(~2σμ,N X ,某教授根据得分X 将学生分成五个等级:A 级:得分)(σμ+≥X ;B 级:)(σμμ+<≤X ;C 级:μσμ<≤-X )(;D 级:)()2(σμσμ-<≤-X ;F 级:)2(σμ-<X . 已知A 级和C 级的最低得分分别为448分和352分,则: (1)μ和σ是多少?(2)多少个学生得B 级?解:(1)由已知,448352μσμσ+=⎧⎨-=⎩,解之得40048μσ=⎧⎨=⎩(2){}{01}X P X P μμμσσ-≤<+=≤<(1)(0)0.84130.50.3413=Φ-Φ=-=由于0.3413×380=129.66,故应有130名学生得B 级。
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同步练习参考答案练习 1-11. (1)是;(2)是;(3)是.练习1-21. (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =, 其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =,246{,,}A e e e =;(2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =;(3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)};{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =; (4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------.(5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===.2. (1)ABC ; (2)AB ACBC 或ABCABC ABC ABC ;(3)AB C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (4)ABC ABCABC ;(5)AB ACBC 或ABCABCABCABC .3. (1)123A A A ;(2)123A A A ;(3)123123123A A A A A A A A A ;(4)121323A A A A A A .4.(C)5. 甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中. 6.,,.ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC C BC ABC ++++++++ 7. 略. 8. 略.练习1-31. 0.3.2. 2. 30%.3. 3. 5/8.4. 4. )()(AB P A P -.5. 5.0,,q p +,p ).(1q p +- 6 .0.6, 0.1. 7. 0.3,0.6. 8. 1.p -9.,1.p q r p r +-+- 10.0.1,0.1.练习1-41. 0.054.2. (1 )0.662; (2) 0.0354.3.(1) 112;(2)1.204.(1) 365;365rrP (2) 41.965. 0.01107.6.1.12607. 7147,,1515308.2!.(2)!n n n ⋅9. 797.9A10. 491.10⎛⎫- ⎪⎝⎭11.3.1012.(1) 0.41; (2) 0.00061;(3) 0.0073. 13. 0.0602.练习1-51. 3.52. 0.121.3. 0.25.4. (1)1;3 (2) 1.25. 0.2.练习1-61.2.3 2.76. 3. 0.6148.4.(1) 0.862; (2)0.058; (3)0.8286.5. (1)1;1n k -+ (2) 1.n6. 0.645.7. 0.64.8. (1) 0.0125; (2) 0.24: 0.64: 0.12 或 6:16:3. 9. (1)5;12(2)24.75 10. (1) 0.10034; (2) 0.0038. 11. (C).练习1-71.0.5,0.5.2.证明略.3. 0.902.4. (1) 0.5; (2) 0.4.5.(1)0.84;(2)6.6. (1)0.0168;(2) 0.1557; (3) 0.8587. 7.(1) 0.3087;(2)0.371.8.(1)0.9;(2)0.887.9. 0.542.练习2-1, 2-21.X2.{}2.3125,100.32.c P X X =<≠= 3.分布列为{}1112P X -<≤=, {}5116P X -≤<=. 4.(1) 12a =; (2)2023(31)a =⋅-; (3) 14a =. 5.1927. 6. 0.9972. 7. 0120.80.80.80.810.04740!1!2!e-⎛⎫-++≈ ⎪⎝⎭. 8. 2λ=, {}42240.09024!P X e -==≈.练习2-31. 6k =, 0, 0.784.2. 2a π=3. 12c =, 11e-.4. 0.578125.5. 100a =, {}21503P X >=, 3280.296327P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 6.45. 7. 0.268.8. 0.60.5488e -≈.练习2-41. A.2. B.3. C.4. (1) 0.2; (2) {}0.5P X >={}050.5P X <≤=; (3) 0, 1,0.5, 11,()0.7, 12,1 2.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 分布函数()F x 的图像略.5. 0.5.6. ,0,2()1,0.2xxe x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 7.220, 0,, 01,2()21, 12,21,2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩8. (1) 1A =; (2) 11124P x ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭, 18239P x ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎭;(3) 2,01,()0,.x x f x ≤<⎧=⎨⎩其他 9. (1) 11,2A B π==; (2) 1122P x ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭; (3) 22()14f x x =+.10. 0.682.练习2-5(2) 2Y X =2. (1) 3A =; (2) 23(1),11,()80,Y y y f y ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其他;(3) 01,()0,Y y f y ≤≤=⎪⎩其他.3. (1) ()21ln 2,0,()0,0;y Y y f y y -⎧>=≤⎩(2) 14,1,()0,1;y Y y f y y -->=≤⎩(3) 22,0,()0,0.yY y f y y ->=≤⎩练习4-14.2435;32;31.5.0;2. 6.3;2.7.121;31;31-. 8.18.4.练习4-24.8;0.2. 5.2;41. 67.4.练习4-38. (1) 21221)(x ex f -=π22221)(y ey f -=πp =0 (2) 不独立.9.181 10. (1)(2) 151512. (Ⅰ)n 1-; (Ⅱ)n-; (Ⅲ)213. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y ),c o v (Y X =32 )4,21(-F练习5-14.221d t xt --⎰; 0.5.5.≤94. 6.0.983 8. 7. 0.997 7. 8. 0.952 5.练习6-34. 0.829 3.5. (1) 0.2628;(2) 0.2923;(3) 0.5785.6. 0;n31. 7.0.6744. 8.20,()00y n Y y f y y σ-⎧>=⎪⎪<⎩. 9.λ;nλ;λ.10. (1) 0.99;(2) 4152σ. 11. 35. 12.(1)1n n -;(2)1n-.练习7-11.A .2.矩估计值:ˆx θ=,极大似然估计值:ˆx θ=. 3.矩估计量:ˆln X θ=,极大似然估计量:12ˆmin{,,,}n X X X θ=.4.矩估计值:ˆ0.67θ=,极大似然估计值:9ˆ13θ=. 5.1XX -;1ln nii nX=∑;12min{,,,}n X X X .6.ˆ3X θ=. 7.(1) 2ˆXλ=;(2) 2ˆXλ=. 8.(1) ˆx x c θ=+,ˆX X cθ=+;(2) 1ˆln ln nii nx n cθ==-∑,1ˆln ln nii nXn cθ==-∑.9.(1) ˆX μ=,ˆθ= (2) 12ˆmin{,,,}n X X X μ=,ˆˆX θμ=-. 10.(1) ˆ2X θ=,(2) 2ˆ().5D nθθ=练习7-21.D . 2.2. 3.2σ 4.A5.215ˆ()9D μσ=,225ˆ()8D μσ=,231ˆ()2D μσ= 6.1n X + 7.112n a n n =+,212n b n n =+8.(1) 1ˆ22X θ=-;(2) 不是无偏估计量,因为22(4)E X θ≠.练习7-31.C . 2.C .3.(992.16, 1007.84). 4.(2818.54, 3295.46). 5.22224()u n Lασ≥.6. (1) (68.11, 85.089);(2) (190.33, 702.01). 7.(1)(5.608,6.392);(2)(5.558,6.442). 8.(4.098,9.108). 9.(-0.002,0.006). 10.(0.45,2.79).练习8-11. A2. 第一类错误(弃真错误);第二类错误(取伪错误). 3. ˆXT =,t 分布,自由度1n -. 4. C5. 可以认为包装机不正常工作. 6. 接受.7. 厂家的声称属实. 8. 可以认为无系统误差. 9. 可以.10.认为电池的寿命不比该公司宣称的短. 11.可以认为其平均电阻有明显的提高. 12.拒绝.13.可以认为无显著差异.练习8-21.2220(1)ˆn S χσ-=;221/2/2(0,(1)][(1),)n n ααχχ---+∞.2.D3.不正常.4.与通常无显著差异. 5.不能.6.可以认为溶液水分含量不合格.练习8-31.(1) 接受0H ;(2) 接受0H . 2.无显著差异. 3.接受. 4.接受.5.认为X Y 和的方差无明显差异. 6.未达到公布的疗效. 7.接受H 0.。