三角形的证明专题总结
三角形全等的证明总结
证明全等三角形的一般方法一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。
例1.如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。
求证：AD＝BEAEB C D图1二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。
求证：AM＝CNM NA CB D图2三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。
求证：△CAB≌DBAD COA B图3四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等例4.如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。
求证：AE＝AFAF ED GB C图4五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形例5.如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。
求证：∠ADB＝∠CDEA图5D CB A F E DC B A 常用证题技巧一、倍长中线（线段）造全等遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.二、截长补短 1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC三、借助角平分线造全等2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：BE=CF四、借旋转造全等三角形例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.五、涉高可用求面积法14．矩形ABCD 的边AD 上有一点P ，PQ ⊥AC 于点Q ，PH ⊥BD 于点H ，AB=6，C D B A ED G FCB AAD=8，则PQ+PH 的______________值；六、巧用角平分线定理及逆定理证题17.如图10，BD=CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB.求证：点D 在∠BAC 的平分线上.18. 已知，如图11，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BD=DF.求证：(1)CF=EB ；七、巧用线段垂直平分线证题：例2. 如图，在△ABC 中，BC=8cm, AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm, 则AC 的长等于（ ）例5.如图，△ABC 中，AB 与AC 的垂直平分线相交于F,且分别交AB 于D ，交AC 于E 。
证明全等三角形黄金总结(初中几何)
证明全等三角形黄金总结全等三角形是初中几何的重点学习内容，学习好初中几何有利于将来学习高中立体几何，更有助于日常的几何关系处理。
这里，结合本人经验，给亲爱的初中同学总结了一下比较典型的证明方法，希望可以帮到学子学习上更上一层楼。
全等三角形指两个三角形的三条边及三个角都对应相等，全等三角形共有5种基本的判定方式：1. SSS（只要两个三角形对应的三条边长度一样，即可证明两个三角形全等，简称：边边边）举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证△ACD与△BDC全等。
证明：AC=BD，AD=BC，CD=CD（SSS）.∴△ACD≌△BDC.2. SAS（只要两个三角形的两条边对应相等，且两条边的夹角也相等，即可证明两个三角形全等，简称：边角边）举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证△ACB≌△ADB全等。
证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.∵AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB（SAS）.∴△ACB≌△ADB.3. ASA（只要两个三角形的两个角对应相等，且两个角夹的边也对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：角边角）举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：∵∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C（ASA）.∴△ABE≌△ACD.4. AAS（只要两个三角形的两个角对应相等，且其中一个相等的角的侧边也对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：角角边）。
注意：不要与ASA（角边角）搞混。
举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证△ABC≌△EDC。
证明：∵∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE （AAS）.∴△ABC≌△EDC.5. HL（只要两个直角三角形的一条斜边和一条直角边对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：斜边、直角边）（Rt：直角三角形）举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证△ADC≌t△BCD.证明：AC=BD，CD=CD（HL）.∴△ADC≌t△BCD.注意事项：SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.注意SSA、AAA不能判定全等三角形.几何题要多加练习，熟练掌握以上5种方法即可破解大部分初中几何难题。
三角形内角和证明方法8种
三角形内角和证明方法8种三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个内角组成。
三角形内角和的性质是我们在研究三角形时经常会遇到的一个重要问题。
在这篇文章中，我们将探讨三角形内角和的证明方法，总结出8种常见的证明方法。
1. 直角三角形内角和为180度的证明，对于直角三角形，我们可以利用直角的性质，即两个直角相加为180度，从而得出直角三角形的内角和为180度的结论。
2. 三角形内角和为180度的证明，通过利用三角形的补角性质，即一个角的补角加上它本身为180度，可以证明三角形的内角和为180度。
3. 外角和等于两个不相邻内角和的证明，利用外角和等于其对应内角的性质，可以得出外角和等于两个不相邻内角和的结论。
4. 三角形内角和与外角和的关系证明，通过利用三角形内角和与外角和的关系，可以得出三角形内角和与外角和的关系式。
5. 三角形内角和与外接圆的关系证明，通过利用三角形内角和与外接圆的关系，可以得出三角形内角和与外接圆的关系式。
6. 三角形内角和与内切圆的关系证明，通过利用三角形内角和与内切圆的关系，可以得出三角形内角和与内切圆的关系式。
7. 三角形内角和与外接矩形的关系证明，通过利用三角形内角和与外接矩形的关系，可以得出三角形内角和与外接矩形的关系式。
8. 三角形内角和与外接正方形的关系证明，通过利用三角形内角和与外接正方形的关系，可以得出三角形内角和与外接正方形的关系式。
通过以上8种证明方法，我们可以全面地了解三角形内角和的性质，并且在解决相关问题时能够灵活运用这些证明方法。
这些证明方法不仅有助于我们理解三角形内角和的性质，也有助于提高我们的数学推理能力。
希望这些证明方法能够对你有所帮助。
全等三角形证明判定方法分类总结【范本模板】
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质:（1）全等图形的形状和大小都相同,对应边相等，对应角相等 （2)全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1）表示方法:两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2)符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同,“="表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．(4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图,ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，=∠BAC 且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠,求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE,BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆（2)AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证:（1)AB DE ⊥；(2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论:①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同;②若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形;④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同,其中正确的是（ )A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点,如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为( ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆,AD=8，BE=2,则AE 等于（ ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是( ） A 、AC=BC ，AD=CE,BD=BE B 、AD=BD,AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE,AC=DC,BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D、点E 和点F 分别是对应点,则AB=，=∠A,AE= ,CE= ,AB//，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆,若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8．如图，若AB=AC,BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆,︒=∠90C ，则下列说法错误的是( ）D第3题图第4题图第5题图B第6题图第7题图第8题图第9题题图A 、互余与F C ∠∠B 、互补与FC ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠ 10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC,求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一)作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆,AC=7cm ，AB=5cm 。
三角形全等的证明专题
CE O D B A 21C ED B A 2143C O B A GA B F D EC三角形全等的证明专题线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ， 还需添加的条件是（只需填一个）_____．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等， 一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º， AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．O DA CB FC ED B A A O Q MC P B N C ED B A （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． （注意书写格式和书写过程，一定要严谨！）图6评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒练习1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ．求证：AE=CE ．2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC平分∠AOB ．你能说明道理吗？A D C PB H F EG AD C B A OD C B A F C G BE AF D C BE A D C B 4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．7．如图，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．8．如图14，直线AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ．求证：CO=DO ．9．已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ．10．已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ．求证：∠B=∠E ．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）﹒(A )带①和②去 (B )带①去 (C )带②去 (D )带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．。
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
高中数学三角形性质总结与证明
高中数学三角形性质总结与证明三角形是数学中重要的几何形状，它的性质和特点常常在解决几何问题中发挥重要作用。
在高中数学课程中，学生需要掌握并理解三角形的各种性质，并能够运用这些性质解决问题。
本文将对高中数学中常见的三角形性质进行总结，并对其中一些性质进行证明。
1. 三角形的内角和为180度三角形的内角和是一个基本性质，也是三角形独有的性质。
对于任意一个三角形ABC，它的三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
我们可以通过如下证明来证明三角形的内角和为180度。
首先，我们可以在三角形ABC的任意一边BC上取一点D，连接AD。
然后，我们可以利用平行线的性质，得到∠BAD = ∠C。
接下来，我们可以利用三角形内角和的性质，得到∠BAD + ∠B + ∠C = 180度。
由于∠BAD = ∠C，所以可以得到2∠C + ∠B = 180度。
再通过等式两边同时除以2，就可以得到∠C + ∠B = 90度。
同理，我们可以得到∠A + ∠C = 90度和∠A + ∠B = 90度。
将这三个等式相加，就可以得到∠A + ∠B + ∠C = 180度，即三角形的内角和为180度。
2. 三角形的外角和为360度三角形的外角是指一个三角形的一个内角的补角。
对于任意一个三角形ABC，它的三个外角分别为∠D、∠E和∠F。
我们可以通过如下证明来证明三角形的外角和为360度。
首先，我们可以在三角形ABC的一条边上取一点P，然后以P为顶点，分别作∠APB、∠BPC和∠CPA的外角。
根据外角的定义，我们可以得到∠D = ∠APB、∠E = ∠BPC和∠F = ∠CPA。
根据三角形内角和的性质，我们知道∠APB +∠BPC + ∠CPA = 180度。
将这个等式两边同时减去∠D + ∠E + ∠F，就可以得到∠APB + ∠BPC + ∠CPA - (∠D + ∠E + ∠F) = 0。
化简后可得∠APB + ∠BPC +∠CPA - ∠D - ∠E - ∠F = 0。
全等三角形证明判定方式分类总结
全等三角形证明判定方式分类总结全等三角形是指具有完全相同形状和大小的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否全等是一种重要而基础的推理方法。
全等三角形的证明判定方式主要有三种：SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。
接下来我将分别介绍这三种定理的内容及具体应用。
1.SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
SSS全等定理的证明方法主要是通过边的长度作为条件来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的三条边的长度分别相等时，可以直接通过SSS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的三边分别等于3cm、4cm、5cm时，即可判定这两个三角形全等。
2.SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等，则这两个三角形全等。
SAS全等定理的证明方法主要是通过一条边、夹角和另一条边的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个夹角和两条边分别相等时，可以直接通过SAS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个夹角为60度，两个边分别等于4cm和6cm时，即可判定这两个三角形全等。
3.ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等，则这两个三角形全等。
ASA全等定理的证明方法主要是通过一条角、边和另一条角的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个角和两条边分别相等时，可以直接通过ASA全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个角为30度，两个边分别等于5cm和7cm时，即可判定这两个三角形全等。
全等三角形证明判定方法分类总结汇总
全等三角形证明判定方法分类总结汇总第一类：SSS判定法（边边边判定法）SSS判定法是指通过边长的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的三条边长度分别相等时，可以推断这两个三角形全等。
这是最常用的全等三角形的证明方法。
第二类：SAS判定法（边角边判定法）SAS判定法是指通过边长的相等和两边夹角的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两条边长度分别相等，且这两边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。
第三类：ASA判定法（角边角判定法）ASA判定法是指通过角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。
第四类：AAS判定法（角角边判定法）AAS判定法是指通过两个角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的一边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。
第五类：HL判定法（斜边高判定法）HL判定法是指通过边长的相等和一条边上的高线相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的一条边和这条边上的垂线长度分别相等，且这条边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。
第六类：SSA判定法（边边角判定法）SSA判定法是指通过两个边长的相等和这两个边之间的夹角相等来判定两个三角形全等。
但应注意，当只知道两个边的长度和它们之间的夹角时，并不能推断这两个三角形全等。
需要注意的是，以上列举的全等三角形证明判定法是充分条件而不是必要条件。
如果满足了一些判定条件，则可以推断两个三角形全等，但如果不满足判定条件，则并不能推断两个三角形不全等。
因此，在证明中还需要注意辅助线的使用和合理的推理过程。
除了上述分类的判定法，还可以根据题目给出的条件和限制灵活运用相关的定理和性质进行推理。
例如，利用平行线的性质、欧几里得几何的基本定理等进行推理。
综上所述，全等三角形的证明判定方法主要包括SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法、HL判定法和SSA判定法。
专题09 三角形中的相似证明问题(解析版)
专题09 三角形中的相似证明问题1、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．3、如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，点D从点A出发沿A→C方向匀速运动，速度为1cm/s．点E是AC上位于点D右侧的动点，点M是AB上的动点，在运动过程中始终保持MD＝ME，DE＝2cm．过M作MN∥AC交BC于N，当点E与点C重合时点D停止运动．设△MDE的面积为S（cm2），点D的运动时间为t（s），S与t的函数关系如图②所示：（1）AC＝cm，BC＝cm；（2）设四边形MDEN的面积为y，求y的最大值；（3）是否存在t的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与△MDE相似？如果存在，求t的值；如果不存在，说明理由．解：（1）由函数图象知，当t＝4时，AD＝4，点E与点C重合，∵DE＝2，∴AC＝4+2＝6，当t＝0时，S＝2，点A与点D重合，如图1，过M作MH⊥AC于H，∵DE＝2，∴MH＝2，∵MD＝ME，∴AH＝EH＝1，∵∠C＝90°，∴MH∥BC，∴△AHM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴BC＝12故答案为：6，12；（2）如图2，过M作MH⊥AC于H，∵MD＝ME，DE＝2，∴DH＝DE＝1，∴AH＝t+1，∵tan A＝＝2，∴MH＝2t+2，∵MN∥AC，∠ACB＝90°，∴∠MNC＝90°，∵MH⊥DE，∴∠MNC＝∠C＝∠MHC＝90°，∴四边形MHCN是矩形，∴MN＝HC＝AC﹣AH＝6﹣（t+1）＝5﹣t，∴y＝S△MDE+S△MNE＝＝﹣t2+6t+7＝﹣（t﹣3）2+16，由题意得，0≤t≤4，∴当t＝3时，y由最大值是16；（3）假设存在t的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与△MDE相似，∵MN∥AC，∴∠MED＝∠EMN，①当∠MNE＝∠EDN时，△ENM∽△MDE，∴，∴MN＝ED，∴5﹣t＝2，∴t＝3；②当∠MEN＝∠EDM时，△NEM∽△MDE，此时，NE＝NM＝5﹣t，∵∠ACB＝90°，∴EC2+NC2＝EN2，∴（4﹣t）2+（2t+2）2＝（5﹣t）2，解得：t＝（负值舍去），∴存在t的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与△MDE相似，此时，t＝3或．4、如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．（1）求证：∠ABE＝∠EAF；（2）求证：AE2＝EF•EC；（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．（1）证明：∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵AG⊥BD，BG＝GD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，∴∠ABE＝∠DAC，即∠ABE＝∠EAF．（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∴AE2＝EF•EB，∵EB＝EC，∴AE2＝EF•EC．（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．∵AG垂直平分线段BD，∴JB＝JD，∴∠JBD＝∠JDG，∵∠JBD＝∠C，∴∠JDB＝∠C，∴DJ∥AC，∴∠AEF＝∠DJF，∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，∴△AFE≌△DFJ（AAS），∴EF＝FJ，AE＝DJ，∵AF＝DF，∴四边形AJDE是平行四边形，∴DE∥AG，∵AG⊥BC，∴ED⊥BC，∵EB＝EC，∴BD＝DC＝，∴BG＝DG＝，∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，∴JG＝，∵∠JGD＝90°，∴DJ＝＝＝，∴AE＝DJ＝．5、已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE＝90°（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF，①求证：△CAE∽△CBF；②若BE＝2，AE＝4，求EF的长；（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若＝k，BE＝1，AE＝3，CE＝4，求k的值．解：（1）①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∴∠ECF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACE，∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∴CE＝CF，AC＝CB，∴＝，∴，∴△BCF∽△ACE；②由①知，△BCF∽△ACE，∴∠CBF＝∠CAE，＝，∴BF＝AE＝×4＝2，∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，即：∠EBF＝90°，根据勾股定理得，EF＝＝＝2；（2）如图（2），连接BF，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝k，同理，tan∠ECF＝k，∴tan∠ACB＝tan∠ECF，∴∠ACB＝∠ECF，∴∠BCF＝∠ACE，在Rt△ABC中，设BC＝m，则AB＝km，根据勾股定理得，AC＝＝m；在Rt△CEF中，设CF＝n，则EF＝nk，同理，CE＝n ∴，＝，∴，∵∠BCF＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴∠CBF＝∠CAE，∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，即：∠EBF＝90°，∵△BCF∽△ACE，∴，∴BF＝AE＝，∵CE＝4，∴n＝4，∴n＝，∴EF＝，在Rt△EBF中，根据勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，∴12+（）2＝（）2，∴k＝或k＝﹣（舍），即：k的值为．6、如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，AC⊥AB，P是BC上一动点，过P作AP的垂线交CD于E，将△PCE折叠得到△PCF，延长FP交AB于H，连结AE，PE交AC于G．（1）求证PH＝PF；（2）当BP＝3PC时，求AE的长；（3）当AP2＝AH•AB时，求AG的长．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠PCE＝180°，∵∠B＝45°，∴∠PCE＝135°，由折叠知，∠PCF＝∠PCE＝135°，∵AC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴∠ACB+∠PCF＝180°，∴点F在AC的延长线上，∵∠CEG+∠CGE＝90°，∠CGE＝∠PGA，∴∠CEG+∠PGA＝90°，∵∠PAG+∠PGA＝90°，∴∠PEC＝∠PAG，∵∠PEC＝∠F，∴∠PAF＝∠F，∴PA＝PF，∵∠CAP+∠PAH＝90°，∠F+∠PHA＝90°，∴∠PAH＝∠PHA，∴PA＝PH，∴PF＝PH；（2）过点A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，AB＝4，∴BM＝CM＝2，AM＝2，∵BC＝3CP，∴MP＝，∴AP＝，由折叠知，PE＝PF，由（1）知，PA＝PF，∴AP＝PE，∵∠APE＝90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴AE＝2；（3）∵AP2＝AH•AB，∠PAH＝∠PAB，∴△APH∽△ABP，∴∠APH＝∠B＝45°，∴∠PAF＝∠F＝22.5°，∴∠BPA＝∠BAP＝67.5°，∴BP＝AB＝4，∴PC＝4﹣4，∵∠EPC＝∠FPC＝∠ACP﹣∠F＝22.5°，∴∠GPC＝∠PAC，∵∠APC＝∠APC，∴△CPG∽△CAP，∴CP2＝CG•CA，∴CG＝12﹣8，∴AG＝8﹣8．7、如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线AD匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S 与t的函数关系式，并写出t的取值范围．1）证明：∵四边形EFQP是矩形，∴EF∥QP，∴EF∥BC，∴∠AEH＝∠EBQ，∠AFH＝∠FCP，∴△AEF∽△ABC．（2）解：∵∠B＝45°，∴BD＝AD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣4＝1．∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴＝，∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴＝，∴＝，即＝，∴EH＝4HF，已知EF＝x，则EH＝x．∵∠B＝45°，∴EQ＝BQ＝BD﹣QD＝BD﹣EH＝4﹣x．S矩形EFPQ＝EF•EQ＝x•（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣）2+5，∴当x＝时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．（3）解：由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为4﹣×＝2．在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：①当0≤t≤2时，如答图①所示．设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H1，D1．此时DD1＝t，H1D1＝2，∴HD1＝HD﹣DD1＝2﹣t，HH1＝H1D1﹣HD1＝t，AH1＝AH﹣HH1＝2﹣t，．∵KN∥EF，∴＝，即＝，得KN＝（2﹣t）．S＝S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1＝（KN+EF）•HH1+EF•EQ1＝[（2﹣t）+]×t+（2﹣t）＝﹣t2+5；（II）当2＜t≤4时，如答图②所示．设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D2．此时DD2＝t，AD2＝AD﹣DD2＝4﹣t，∵KN∥EF，∴＝，即＝，得KN＝5﹣t．S＝S△AKN＝KN•AD2＝（5﹣t）（4﹣t）＝t2﹣5t+10．综上所述，S与t的函数关系式为：S＝．8、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD的平分线BG交AC于E，交CD于F，且DG⊥BG．（1）求证：BF＝2DG；（2）若BE＝，求BF的长．（1）证明：延长DG、BC交于点H，∵BG平分∠CBD，∴∠1＝∠2，∵DG⊥BG，∴∠BGD＝∠BGH＝90°，又∵BG＝BG，∴△BGD≌△BGH（ASA），∴BD＝BH，∴DH＝2DG，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCH＝90°，又∵∠BGD＝90°，∠3＝∠4，∴∠2＝∠5，∴△BCF≌△DCH（ASA），∴BF＝DH，∴BF＝2DG；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴∠BCE＝∠BDF，又∵∠1＝∠2，∴△BEC∽△BFD，∴，∵BE＝，∴BF＝．9、如图①，正方形ABCD中，点E是BC的中点，过点B作BG⊥AE于点G，过点C作CF垂直BG的延长线于点H，交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）如图②，连接AH并延长交CD于点M，连接ME．①求证：AE2＝AB•AM；②若正方形ABCD的边长为2，求cos∠BAM．（1）证明：如图①中，∵AE⊥BH，CF⊥BH，∴AE∥CF∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∴CE＝AF，∴，∴AF＝FD，∴BE＝DF，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝90°，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）①证明：如图②中连接EH．由（1）得AE∥FC，∵BE＝CE，∴BG＝HG，∵BG⊥AE，∴AB＝AH，∴∠EAB＝∠MAE，∵∠EAB＝∠FCD，∵∠MAE＝∠AHF，∠MHC＝∠AHF，∴∠FCD＝∠MHC，∴MH＝MC，∵，∴EM是CH的垂直平分线，∴EM⊥CF，∴EM⊥AE，∴∠ABE＝∠AEM＝90°，∴△ABE～△AEM，∴＝，∴AE2＝AB•AM．②由①得AH＝AB＝2，MC＝MH，设CM＝x，则HM＝x，∴AD＝2，AM＝2+x，DM＝2﹣x，在Rt△ADM中，则有（x+2）2＝4+（2﹣x）2解得：，∴，∴．10、如图，CM、BN是等腰△ABC两腰上的高，CM、BN相交于点O．（1）求证：OB＝OC；（2）点P在边CB的延长线上，过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F．求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，∠BMC＝∠CNB＝90°，∴△BCM≌△CBN（AAS），∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC；（2）连接OP，∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠PEC＝∠BMC＝90°，∠PFB＝∠CNB＝90°，∵S△BOC＝S△COP﹣S△BOP，∴OC•BM＝OC•PE﹣OB•PF，∵OB＝OC，∴PE﹣PF＝BM，∵∠BMC＝∠ANB＝90°，∠BMO＝∠NBA，∴△BOM∽△BAN，∴，∴OM•BN＝BM•AN＝（PE﹣PF）•AN，∵AB＝AC，BM＝CN，∴AM＝AN，∴OM•BN＝（PE﹣PF）•AM，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．11、如图，⊙O内两条互相垂直的弦AB，CD（不是直径）相交于点E，连接AD，BD，AC，过点O作OF⊥AC于点F．过点A作的切线PA，交CD的延长线于点P．．（1）求证：2OF＝BD．（2）若，BD＝3，PD＝1，求AD的长．证明：（1）如图，连接AO并延长交⊙O于H，连接CH，∵OF⊥AC，∴FC＝AF，又∵AO＝OH，∴OF∥CH，CH＝2OF，∴∠HCA＝∠OFA＝90°，∴∠AHC+∠CAH＝90°，∵AB⊥CD，∴∠ADC+∠BAD＝90°，又∵∠ADC＝∠AHC，∴∠CAH＝∠DAB，∴，∴CH＝BD，∴BD＝2OF；（2）如图，连接BC，∵，∴∠ADC＝∠BCA，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠ACB+∠ADB＝180°，∵∠ADC+∠ADP＝180°，∴∠ADB＝∠ADP，∵PA是⊙O切线，∴∠PAH＝90°，∴∠PAD+∠DAH＝90°，∵∠ACH＝90°＝∠ACD+∠HCD，∠HCD＝∠HAD，∴∠PAD＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠PAD＝∠ABD，∴△ADP∽△BDA，∴，∴AD2＝PD•BD＝3×1＝3，∴AD＝．12、（1）证明推断：如图①，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝．（2）类比探究：如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD 交于点F，若AB＝6，求OF的长；（3）拓展运用：若正方形ABCD变为▱ABCD，如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，求▱ABCD的面积．（1）证明：如图①，连结ED，∵D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝；（2）解：∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝；（3）解：如图③，连接OE，由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2，∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比为＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴S△CEG+S△BEF＝2（S△OEG+S△OEF）＝2×＝1．∴S△BOC＝，∴S▱ABCD＝4×＝6．。
专题14相似三角形判定定理的证明(2个知识点6种题型1种中考考法)解析版-初中数学北师大版9年级上册
【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有 3 对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定 理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM． 【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM． 以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠ BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似． 【变式】（2022 秋·九年级课时练习）如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请证明你写出的两对相似三角形.
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，作出辅助线，证明△ADE≌△A′B′C′，是解题的关键．
【例 3】（2022 秋·九年级课时练习）已知：在△ABC 和△A′B′C′中，
AB AB
BC BC
AC AC
等边三角形证明专题
等边三角形证明专题一、定义与性质等边三角形是指三边相等的三角形。
我们可以通过以下性质来证明一个三角形是等边三角形：1. 三条边相等；2. 三个内角均为60度。
二、证明方法方法一：边长相等证明法如果一个三角形的三条边相等，那么它就是一个等边三角形。
证明：假设有一个三角形ABC，已知AB=AC=BC。
要证明ABC是等边三角形。
首先，连接AB、AC和BC三条边。
由于AB=AC，可以得出△ABC为等腰三角形，∠BAC=∠BCA。
再由于AB=BC，可以得出△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
由于∠BAC=∠BCA和∠ABC=∠ACB，可以得出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60度。
因此，△ABC为三边相等且内角均为60度的三角形，即ABC 是等边三角形。
方法二：边长均相等证明法如果一个三角形的边长均相等，那么它就是一个等边三角形。
证明：假设有一个三角形ABC，已知AB=BC=CA。
要证明ABC是等边三角形。
首先，连接AB、AC和BC三条边。
根据边长相等的定义，可以得出△ABC的三条边相等。
因此，△ABC为三边相等的三角形，即ABC是等边三角形。
三、相关性质性质一：等边三角形的内角均为60度等边三角形的三个内角都是60度。
证明：由等边三角形的定义可得。
性质二：等边三角形的高、中线、角平分线等边三角形的高、中线、角平分线是重合的。
证明：略。
性质三：等边三角形的面积等边三角形的面积可以通过边长求解。
证明：略。
四、示例题目1. 若一个三角形的三个内角均为60度，那么这个三角形是等边三角形吗？为什么？答：是的。
根据等边三角形的定义和性质一可得。
2. 如果一个三角形的两边相等，且这两边都与其中一边成60度的角，那么这个三角形是等边三角形吗？为什么？答：是的。
根据等边三角形的定义和方法一可得。
五、总结等边三角形是三边相等且内角均为60度的三角形。
我们可以通过边长相等或边长均相等的证明方法来证明一个三角形是等边三角形。
专题01三角形的证明(考点清单)(解析版)-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲(北师大版)
专题01三角形的证明（考点清单）【考点1等腰三角形的性质】【考点2等腰三角形的判定】【考点3等腰三角形的性质和判定综合】【考点4等边三角形的性质】【考点5等边三角形的性质与判定】【考点6含30°的直角三角形】【考点7直角三角形的性质】【考点8直角三角形的判定】【考点9勾股定理的性质和应用】【考点10勾股定理的证明】【考点11勾股定理的逆定理】【考点12四种命题及其关系】【考点13垂直平分线的性质】【考点14角平分线的性质】【考点1等腰三角形的性质】1．（2023秋•章贡区期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（）A．7cm B．9cmC．12cm或者9cm D．12cm【答案】D【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是12cm．故选：D．2．（2023秋•广安期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．3．（2021秋•射阳县校级期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°【答案】D【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：D．4．（2023秋•龙岗区期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝108°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（）A．36°B．50°C．54°D．72°【答案】C【解答】解：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠BOD＝108°，∴∠BOD＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝108°，∴∠ODC＝54°，故选：C．5．（2022秋•新乡期末）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），则∠α的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解答】解：如图：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝＝40°，∵∠DEF＝30°，∠D＝30°，∴∠DFE＝90°﹣∠D＝60°，∵∠DFE是△ACF的一个外角，∴∠α＝∠DFE﹣∠C＝20°，故选：B．6．（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°，故选：C．7．（2023秋•利辛县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（）A．∠1+2∠2＝90°B．∠1＝2∠2C．2∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝45°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．∵∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，∴∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理得∠1＝2∠2．故选：B．8．（2023秋•怀仁市期末）如果等腰三角形的底边长4cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（）A．x＞2cm B．2cm＜x＜4cm C．4cm＜x＜8cm D．x＞4cm【答案】A【解答】解：∵等腰三角形的底边长4cm，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边∴2x＞4cm∴x＞2cm故选：A．【考点2等腰三角形的判定】9．（2023秋•隆阳区期末）如图，已知点A（1，0）和点M（0，1），在x轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解答】解：∵点A（1，0），点M（0，1），∴OA＝OM＝1，AM＝，∵点P在x轴上，△AMP为等腰三角形，∴有以下三种情况：①当AM为底边时，则PA＝PM，∵OA＝OM＝1，∴当点P与点O重合时，△PAM为等腰三角形；∴点P的坐标为（0，0）；②当AM为腰，点A为顶点时，以点A为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P1，P2，则P1A＝P2A＝AM＝，如图1所示：此时△P1AM和△P2AM均为等腰三角形，点P1的坐标为（﹣+1，0），点P2的坐标为（+1，0）；③当AM为腰，点M为顶点时，以点M为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P，则PM＝AM＝，如图2所示：此时△PAM为等腰三角形，点P的坐标为（﹣1，0）．综上所述：使得△AMP为等腰三角形时，则满足条件的点P共有4个．故选：B．10．（2023秋•和平区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为（）A．8个B．9个C．10个D．11个【答案】A【解答】解：如图，AB＝＝，∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，故选：A．11．（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解答】解：如图，由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个．则点C的个数是7．故选：D．12．（2023秋•新兴县期末）如图，C为两个直角三角板的公共顶点，∠A＝∠B＝30°，则图中等腰三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠A＝∠B＝30°∴∠AEC＝∠ACE﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCE＝∠AEC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°．同理，可求得∠BDC＝60°，∠ACD＝30°．综上，∠A＝∠ACD＝30°，∠CDE＝∠CED＝60°，∠B＝∠BCE，∠A＝∠B，∴△ACD、△CDE、△BCE和△ABC都是等腰三角形．故选：D．13．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．14．（2023秋•临高县期末）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（）A．16B．17C．18D．19【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝8，AC＝9，∴△AEF的周长为AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+9＝17．故选：B．15．（2023秋•隆回县期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则图中等腰三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴BC＝BE，∴图中的等腰三角形有：△ABC，△ABE，△BEC，共有3个，故选：C．16．（2023秋•冠县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B 出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是4秒．【答案】见试题解答内容【解答】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．17．（2023秋•环江县期末）（1）如图1，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证：AB＝AC．证明：（2）如图2，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AB＝AC．求证：AD∥BC．证明：【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠1+∠2＝∠B+∠C，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠1，∴AD∥BC．18．（2023秋•历下区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．19．（2023秋•怀集县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC ＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代数式表示）．（2）当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形．（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是等腰三角形？【答案】（1）（16﹣t）cm；（2）；（3）当t为11或12或时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；故答案为：；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12；③当△BCQ是以CQ为底边的等腰三角形时：BQ＝BC，如图2所示，∵，∴，∴BD＝，∴CD＝＝，∴CQ＝2CD＝，BC+CQ＝12+＝，t＝÷2＝，综上所述：当t为11或12或时，△BCQ是等腰三角形．【考点3等腰三角形的性质和判定综合】20．（2023秋•和田地区期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．（1）求证：△DFC是等腰三角形；（2）求△AEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）14cm．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠DCB，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形；（2）∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵AC＝6cm，AB＝8cm，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+6＝14（cm）．21．（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），15÷15＝1（小时）．故还要经过1小时长时间，小船与灯塔C的距离最短．22．（2023秋•秦安县校级期末）如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解答；（2）DE＝BD﹣CE，理由见解答．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．∴DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∴DO+OE＝BD+CE，即DE＝BD+CE；（2）DE＝BD﹣CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO，∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．∴DO∥BF，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∵DE＝DO﹣OE，∴DE＝BD﹣CE．23．（2022秋•封开县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【考点4等边三角形的性质】24．（2023秋•老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（）A．5B．10C．15D．20【答案】B【解答】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴BE＝cos60°•BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝．故选：B．25．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．26．（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．27．（2023秋•莱西市期末）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（）A．142°B．128°C．98°D．92°【答案】C【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：∵∠1＝38°，∴∠ADE＝∠1＝38°，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠AEF为△ADE的一个外角，∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠AEF＝98°．故选：C．28．（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON 上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（）A．32B．64C．128D．256【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，…∴△A n B n A n+1的边长为2n﹣1，∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256．故选：D．29．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC 的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴CD＝AC，∵AC＝AB＝4，∴CD＝2，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2，∵BC＝AB＝4，∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．故选：C．【考点5等边三角形的性质与判定】30．（2023秋•崆峒区期末）如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．【答案】△APQ是等边三角形，理由见解析．【解答】解：△APQ是等边三角形，理由如下：∵△ACB是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABP与△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（ASA），∴AP＝AQ，∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等边三角形．31．（2023秋•新抚区期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE＝BE，∴∠BCE＝30°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°．∵∠ABC＝∠D+∠BED，∴∠BED＝30°，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE．∴AE＝DB．（2）解：AE＝DB；理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等边三角形．∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF．在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴DB＝EF，∴AE＝BD．32．（2023秋•太和县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．33．（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）当时，△PBQ为等边三角形；（2）当t为或时，△PBQ为直角三角形．【解答】解：（1）由题意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，当△PBQ为等边三角形时，则有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得，即当时，△PBQ为等边三角形；（2）当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得；当∠BPQ＝90°时，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得，综上可知当t为或时，△PBQ为直角三角形．34.（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【考点6含30°的直角三角形】35．（2023秋•阜平县期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米B．9米C．12米D．15米【答案】B【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），∴3+6＝9（米）．故选：B．36．（2023秋•虞城县期末）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，∠BCD＝30°，BD＝2，则AB的长为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠BCD＝30°，BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∠B＝90°﹣∠BCD＝60°，∵∠BCA＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴AB＝2BC＝8，故选：C．37．（2023秋•斗门区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠B＝2∠A，BD＝1，则AD＝（）A．2B．3C．2.5D．1.5【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，∴∠A＝30°，∠B＝60°．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ADC＝90°．在Rt△DBC中，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝30°，又∵BD＝1，∴BC＝2BD＝2，在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3．故选：B．【考点7直角三角形的性质】38．（2023秋•东阳市期末）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠CC．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C【答案】C【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C，∴∠A+∠C＝90°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；B、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，设∠A＝x，∴∠B＝x，∠C＝x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+x+x＝180°，解得x＝（）°＞90°，∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；D、∵∠A＝∠B＝∠C，设∠A＝∠B＝x，∴∠C＝2x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+x+2x＝180°，解得x＝45°，∴∠C＝2x＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意．故选：C．39．（2023秋•衡山县期末）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B 落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【答案】C【解答】解：如图，作CK∥a．∵a∥b，CK∥a，∴CK∥b，∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，∵∠CAB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，故选：C．40.（2023秋•淅川县期末）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为4cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，＝S△BEP，AP＝PE，∴S△ABP∴△APC和△CPE等底同高，＝S△PCE，∴S△APC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，∴S△PBC故答案为：4．41．（2023秋•武城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝70°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，∵∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣25°＝65°，∴∠CED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，故答案为：70°．【考点8直角三角形的判定】42．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．【答案】见解答．【解答】证明：∵CB⊥AB，∴∠ABC＝∠FBC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝CB，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．43．（2023春•平江县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF 交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．44．（2023秋•乾安县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）【考点9勾股定理的性质和应用】45．（2023秋•二道区期末）一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（）A．10B．13C．7D．14【答案】A【解答】解：由勾股定理可得，斜边长为：＝10，故选：A．46．（2023秋•和平县期末）三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形B的面积为（）A．9B．144C．81D．12【答案】B【解答】解：如图，由正方形的性质可知，CD2＝81，CE2＝225，∵∠CDE＝90°，∴DE＝CE2﹣CD2＝225﹣81＝144，即正方形B的面积为144，故选：B．47．（2023秋•化州市期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．故选：C．48．（2023秋•榆阳区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（）A．45B．49C．50D．53【答案】D【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得，AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2＝AD2+BC2＝22+72＝53，故选：D．49．（2023秋•成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是斜边的高，则CD的长为（）A．B．C．5D．10【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴△ABC的面积为×6×8＝×10×CD，∴CD＝．故选：A．【考点10勾股定理的证明】50．（2023秋•乌当区期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（）A．B．2C．D．3【答案】C【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×10＝5，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣20＝5，∵a﹣b＞0，∴a﹣b＝．故选：C．51．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，以上公式为完全平方公式，∴A选项不能说明勾股定理；B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b），整理得a2+b2＝c2，∴B选项可以证明勾股定理；C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，∴4×ab+c2＝（a+b）2，整理得a2+b2＝c2，∴C选项可以证明勾股定理；D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，∴b2+a2+2×ab＝c2+2×ab，整理得a2+b2＝c2，∴D选项可以证明勾股定理，故选：A．52．（2023秋•如皋市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，标上必要的字母，∵AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，∴AD＝AC＝2，CD＝2AC＝4，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＝BC2+CD2＝12+42＝17，所以BD＝，所以“数学风车”的外围周长是：（2+）×4＝8+4．故选：B．【考点11勾股定理的逆定理】53．（2023秋•泗阳县期末）下列各组线段，能组成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2B．a＝2，b＝3，c＝5C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝5【答案】D【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵22+32≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵22+42≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．54．（2023秋•衡南县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AC＝＝5，又∵CD＝12，AD＝13，∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．则S四边形ABCD故四边形ABCD的面积是36．55．（2023秋•新安县期末）如图，每个小正方形的边长为1．（1）求四边形ABCD的面积和各边边长．（2）∠BCD是直角吗？说明理由．【答案】（1）17.5，AB＝5，BC＝2，CD＝，AD＝5；（2））∠BCD是直角，理由见解答．【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB2＝32+32＝18，则AB＝＝5，∵BC2＝42+22＝20，∴BC＝2，∵CD2＝22+12＝5，∴CD＝，∵AD2＝32+42＝25，∴AD＝5，四边形ABCD的面积为：7×5﹣（1×7+4×2+2×1+4×3）﹣3＝35﹣17.5＝17.5；（2）∠BCD是直角，理由如下：由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而BD2＝32+42＝25，故DC2+BC2＝BD2，则∠BCD＝90°．【考点12四种命题及其关系】56．（2023秋•渌口区期末）命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为同旁内角互补，两直线平行．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．故应填：同旁内角互补，两直线平行．57．（2023秋•杭州期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题（填“真”或“假”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，故答案为：真．【考点13垂直平分线的性质】58．（2013秋•钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长是15，∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，则，解得，AC＝9，BC＝6，故选：D．59．（2023秋•定陶区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）A．三个角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点【答案】B【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：B．60．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（）A．100°B．90°C．80°D．70°【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝40°，∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．故选：A．【考点14角平分线的性质】61．（2023秋•广州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，即点D到AB的距离DE是4cm．故选：C．62．（2023秋•东胜区校级期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点【答案】A【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，∴点P到射线OB，OA的距离相等，∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．故选：A．63．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB 于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE 的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm【答案】A【解答】解：∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴，∴，解得DE＝4cm，故选：A．64．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【答案】B【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，＝S△OAB+S△OBC+S△OAC∴S△ABC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，＝×18＝27（cm2）．∴S△ABC故选：B．65．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【答案】D【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．66．（2023秋•梨树县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴DC＝DE，∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．67．（2023秋•金山区期末）如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA 交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．（1）求证：EG＝EF；（2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解答】证明：（1）如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，∴EG＝EH，∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，∴EF＝EH，∴EG＝EF．（2）∵EG⊥BA，EF⊥AC，∴∠AGE＝90°＝∠AFE，再Rt△AEG和Rt△AEF中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEF（HL），∴∠AEG＝∠AEF．。
全等三角形证明技巧总结
全等三角形证明技巧总结证明全等三角形的方法有很多，下面是一些常用的证明技巧总结。
1.SSS法（边边边全等法）：利用三角形的三条边分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的对应边分别相等，并证明它们分别对应相等的角相等。
（2）然后证明这两个相等的角所对应的边也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
2.SAS法（边角边全等法）：利用三角形的两条边和夹角分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一些角相等，并证明它们的对应边相等。
（2）然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
3.ASA法（角边角全等法）：利用三角形的两个角和夹边分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的两个角相等，并证明它们的夹边相等。
（2）然后证明这两个夹边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
4.AAS法（角角边全等法）：利用三角形的两个角和一个非夹边的相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的两个角相等，并证明它们的非夹边相等。
（2）然后证明这两个非夹边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
5.RHS法（直角边-斜边-直角相等法）：利用三角形的直角边和斜边分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一个直角边和斜边相等，并证明它们的斜边相等。
（2）然后证明这两个相等的斜边所对应的直角边也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
6.共边法：若两个三角形的其中两边相等，并且这两边的一端相连，且对应的角也相等，那么这两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一个边和它的一端与另一个边共线，并且这两边相等。
（2）然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
7.旋转法：利用三角形的旋转操作来证明两个三角形全等。
全等三角形证明方法总结-关于全等三角形的证明方法
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结 为：“延分垂，等腰归”。
5
例题 3：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD 于 D，H 是 BC 中点。 求证：DH= （AB-AC） 提示：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边 图中有角平分线，沿它对折 角平分线加垂线，“三线合 角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
8、线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等
9、两全等三角形的对应边相等
10、等于同一线段的两线段相等
数形结合找条件【规律总结】
■已知两边
找另一边→SSS 找夹角→SAS 找直角→HL
■已知两角
找夹边→ASA 找除夹边外的任一边→AAS
■已知一边一角
找与边相邻的另一角A、OB 作垂线，垂足为 E、F，连接 DE、DF。 则有：DE=DF，△OED≌△OFD。
例题 2：如上右图所示，已知 AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180。
（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形。 如下左图所示，从角的一边 OB 上的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF，使之与角的另一边 OA 相交，则截
三角形的证明专题复习与角平分线有关的常见模型+课件+-2023-2024学年人教版数学八年级下册+
A
B
C
A P
三个角平分线夹角 之间有什么关系？
D
P
E
B
C
D
练习提高
如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相交于点 O， ∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．
解：因为∠C AB＝50°，∠C ＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为 AD 是高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为 AE，BF 是角平分线， 所以∠C BF ＝∠ABF ＝35°，∠E AF ＝∠E AB＝25°. 所以∠DAE ＝∠DAC －∠E AF ＝5°， ∠BOA＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°.
A
A
A
B
D E 图1
C
B(D)
E 图2
CD
BE
C
图3
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ ACB的角平分线BP、CP交于点P，
若∠A=60°， ∠P =____？
若∠A=100°，∠P =____？
探索∠A与∠P的关系
A
P
B
C
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
解：能．理由： A
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C．
因为 AE 平分∠BAC，
B
DE
C
所以∠BAE＝21∠BAC＝21(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)．
因为 AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－21(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝
相似三角形证明技巧_专题
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题b)己知两边对应成比c)己知一个直角d)有等腰关a)已知一对等例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BAAC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。
全等三角形证明方法总结
全等三角形证明方法总结1.SSS全等法（边边边法）：当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
2.SAS全等法（边角边法）：当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
3.ASA全等法（角边角法）：当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
4.RHS全等法（斜边直角边法）：当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
5.AAS全等法（角角边法）：当两个三角形的两对边分别成比例，且夹角相等时，可以判定这两个三角形全等。
以下将分别对这几种全等三角形证明方法进行详细说明：1.SSS全等法（边边边法）：SSS全等法是利用三角形的边长进行全等判断的方法。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
证明方法如下：（1）已知ABC和DEF有AB=DE,BC=EF,CA=FD。
（2）连接AC和DF。
（3）由已知条件可知△ABC≌△DEF，即三边相等，因此两个三角形全等。
2.SAS全等法（边角边法）：SAS全等法是利用三角形的两条边和夹角进行全等判断的方法。
当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
证明方法如下：（1）已知ABC和DEF有AB=DE,∠B=∠E,BC=EF。
（2）连接AC和DF。
（3）由已知条件可以得出∠BAC=∠EDF，通过AB=DE可以得出△ABC≌△DEF，即两个三角形全等。
3.ASA全等法（角边角法）：ASA全等法是利用三角形的两个角和夹边进行全等判断的方法。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
证明方法如下：（1）已知ABC和DEF有∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E。
（2）连接AC和DF。
（3）根据已知条件可得出∠ACB=∠DFE，由AB=DE可以得出△ABC≌△DEF，即两个三角形全等。
4.RHS全等法（斜边直角边法）：RHS全等法是利用两个直角三角形的斜边和一个直角边相等进行全等判断的方法。
专题 三角形的有关计算与证明
专题三角形的有关计算与证明三角形是几何学中的基本图形之一，它的计算与证明在数学中具有重要的地位。
本文将探讨三角形的有关计算与证明，包括角度、边长、面积等方面的内容。
在文章中，我们将使用数学符号和图表来清晰地表达计算过程和证明推理。
1. 三角形的角度计算三角形的内角和总是等于180度。
因此，已知两个角的情况下，可以通过减法得到第三个角的大小。
例如，若已知一个三角形有两个角分别为60度和80度，那么第三角的角度就是180度减去已知两个角的和，即40度。
2. 三角形的边长计算三角形的边长可以通过三角函数（例如正弦、余弦、正切等）来计算。
根据不同的已知条件，我们可以使用正弦定理、余弦定理和正切定理进行计算。
- 正弦定理：在一个三角形中，三个角的正弦比例与对应的边长的比例相等。
即 a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的三个角度。
通过已知两个角度和一个边长，可以通过正弦定理计算出三角形的其它边长。
- 余弦定理：在一个三角形中，两边的平方和减去它们的二倍乘积的余弦等于第三边的平方。
即 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA，可用于已知两边和夹角，计算第三边的长度。
- 正切定理：在一个直角三角形中，两个非直角角度的正切值相等。
若已知一个角和一个边长，可以通过正切定理求出其它边的长度。
3. 三角形的面积计算三角形的面积可以通过不同的方法求解，其中最常用的是利用三角形的底边和高。
假设三角形的底边长度为b，高为h，则三角形的面积S等于底边乘以高的一半，即S = (1/2)bh。
另外，如果已知三角形的三个边长a、b、c，则可以使用海伦公式来计算面积。
海伦公式定义为S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为半周长，即p = (a+b+c)/2。
该公式适用于任意三角形，不仅仅局限于直角三角形。
4. 三角形的证明在数学中，三角形的证明是非常重要的。
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三角形的证明专题总结
1、如图，分别过点C 、B 作△ABC 中线AD 及延长线的垂线，垂足分别为点E 、F 。
求证：BF ＝CE.
2、如图，已知.ABD BAC ∠=∠
（1）要使OC ＝OD ，可以添加条件： ；（写出2个符合题意的条件即可） （2）请选择（1）中你所添加的一个条件，证明OC ＝OD.
3、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC ＝8，AE 平BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE,则△BDE 的周长是？
4、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD 于点E ，交BC 的延长线与点F,求证：∠B=∠CAF.
5、如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①DN AC CN CM DCB ACE ==∆≅∆；③；②.其中正确的结论有（ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 、0个
6、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC 边的垂直平分线MN 交于点M ，过点M 作MD ⊥AB ，ME ⊥BC ，垂足分别为D 、E ，求证：AD ＝CE.
7、如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝
CE.
8、（1）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形.
（2）在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系.
9、如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，求证：AB＝AD.
10、等腰三角形的两角之差为30°，求该三角形各内角的度数. 11、已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则.
D E F
A B C∆
≅
∆
判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.。