高分必会系列之函数零点个数问题总结完美

零点个数问题

该问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用.

一、 分段函数的零点问题

【例1】（2020•漳州一模）已知函数21,1()43,1x e x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩

，若y kx =与()f x 有三个公共点，则实数k 的取

值范围是( )

A

．4,1)e -B

．4,0)

(0,1)e -C

．4,1)(1,1)e - D

．4,0)(0,1)(1,1)e -

解：如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象． 1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-．

1x <时，()1x f x e =-，()x f x e '=．

1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，()24f x x '=-．

假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==．

结合图形可得：11k e <<-时y kx =与()f x 有三个公共点．

设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，2

043)x x -+， 则

2

0000

4324x x x x -+=-，化为：2

03x =，

解得：0x =

4k =．

结合图形可得：41k <<时，y kx =与()f x 有三个公共点．

综上可得：41k <<，或11k e <<-时，y kx =与()f x 有三个公共点．故选：C ．

【例2】(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

e x －a ，x ≤0，

2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数

a 的取值范围是( )

A ．(0,1]

B ．[1，＋∞)

C ．(0,1)

D ．(－∞，1]

【解析】画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需00时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0

【变式训练】（2020•泉州一模）已知函数1,(0),

()2,(0)x xe x f x x lnx x ⎧+=⎨-->⎩

若函数()y f x a =-至多有2个零点，则a

的取值范围是( ) A ．1(,1)e -∞-B ．1

(,1)

(1,)e

-∞-+∞C ．1

(1,1)e

-- D ．[1，1]e + 解：当0x 时，()1x f x xe =+，则()(1)0x f x x e '=+=时，1x =-，

则()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，且当x →-∞时，()1f x →，1

(1)1f e

-=-；

当0x >时，()2f x x lnx =--，则1

()10f x x

'=-

=时，1x =，则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且f （1）1=-，函数()y f x a =-至多有2个零点等价于函数()f x 的图象与直线y a =的图象至多2个零点，作出图象如下：

由图可知，1a >时，图象有2个交点，满足； 1

11a e

-

时，图象有3个或4个交点，不满足； 1

1a e

<-时，图象有2个或1个或0个交点，满足，故(a ∈-∞，11)(1e -⋃，)+∞，

故选：B ．

二、复合函数零点问题

【例3】（2020•郑州一模）2|21|,1()log (1),1

x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，32515

()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零

点，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)

B ．(0,3)

C ．5

(1,)3

D ．5(,3)3

解：令()t g x =，32515()244g x x x m =

-++，2215151515

()(2)(2)4244

g x x x x x x x '=-=-=-， 当(,0)x ∈-∞，(2,)+∞时，函数()g x 递增，当(0,2)x ∈时，函数()g x 递减， 函数()g x 有极大值(0)2g m =+，极小值g （2）3m =-， 若(())y f g x m =-有9个零点，

画出图象如下：观察函数()y f t =与y m =的交点，

当0m <时，1t >，此时函数()y f t =与y m =最多有3个交点，故不成立，

当0m =时，11

2

t =-，22t =，(0)2g =，g （2）3=-，1()g x t =，有三个解，()2g x =有2个解，共5个

解不成立；

当3m >时，显然不成立；

故要使函数有9个零点，03m <<，根据图象，每个y t =最多与()y g x =有三个交点，要有9个交点，只能每个t 都要有3个交点，

当03m <<，()y f t =与y m =的交点，1122t -<<-，21

12

t -<<，329t <<，

(0)2(2g m =+∈，5)，g （2）3(3,0)m =-∈-，

当322t m <<+时，由233(1),21m log t m t -==+，

即2212m m <+<+时，得01m <<时，323t <<时3()x t =，有三个解， 2()g x t =，要有三个解132m -<-，即5

2

m <，