第1讲二次根式概念性质与计算-尖子
二次根式知识点的相关概念及对应的公式
二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。
本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。
二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。
我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。
$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。
2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。
当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。
$\sqrt{25}=5$。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。
在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。
三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。
这个公式在化简乘法运算时非常有用。
2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。
二次根式ppt
在实际生活中的应用
勾股定理的应用
在实际生活中，勾股定理的应用非常广泛，如测量、建筑、 工程等方面。而二次根式是勾股定理的基础，因此在实际生 活中也经常用到。
数据处理和分析
在数据处理和分析中，二次根式也经常被用到。例如，在计 算一组数据的标准差、方差等统计量时，需要用到二次根式 的运算法则。
THANKS
VS
在数学上，二次根式可以用来解决 一些代数方程的求解问题，而平方 根则可以用来进行一些代数式的化 简问题。
02
二次根式的运算
二次根式的加减法
概念
二次根式的加减法是指根据二次根式的性质，对 二次根式进行合并同类项的过程。
规则
合并同类项时，要将同类项的系数相加，根指数 不变。
注意事项
合并同类项时，不要漏掉系数为1的项。
二次根式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 二次根式的定义和性质 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用
01
二次根式的定义和性质
二次根式的定义
非负性
由于二次根式对实数a的取值没有要求，因此其定义域为全体 实数，即对于任意实数a，都有a≥0。
唯一性
一个正数的二次根式有两个，它们是互为相反数，而0的二次 根式是0本身。
二次根式的性质
变换性质
当一个二次根式的系数是负数时，可以将该二次根式转化为与其相反数的二 次根式。
简化性质
当一个二次根式的被开方数相同或互为相反数时，可以将该二次根式进行合 并或抵消。
二次根式和平方根的区别
二次根式是指一个数的所有二次方 根的集合，其中包含了正负两个方 向的平方根，而平方根则仅指一个 数的正的平方根。
感谢观看
二次根式ppt
运算规则
总结词
掌握二次根式的运算规则是学习二次根式 的核心。
详细描述
二次根式的运算包括加减乘除以及化简求 值等，需要遵循二次根式的运算法则和运 算顺序，同时要掌握常见二次根式的值和 化简技巧。
实际应用
总结词
了解二次根式在实际生活中的应用有助于学 习二次根式。
详细描述
二次根式在现实生活中有着广泛的应用，如 求物体的高度、计算平均数等，通过这些实 例可以更好地理解二次根式的意义和作用。
性质
非负性
$\sqrt{a}≥0(a≥0)$
唯一性
当a>0时，$\sqrt{a}$有两个值；当a=0时，$\sqrt{a}$有一个值；当a<0时 ，$\sqrt{a}$无意义。
02
加减运算
定义
概念
二次根式的加减运算是指将同类二次根式进行合并、抵消或说成是合并同类项。
公式
$\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ = $\sqrt{a \pm b}$ （a≥0，b≥0）
解决实际问题
在解决某些实际问题时， 可以通过二次根式的加减 运算来得到最终的解决方 案或结果。
03
代数应用
根式定义
根式
如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这个数叫 做a的n次方根(或a的n次方根记作√a)，其中a叫做被开方数， n叫做根指数。
二次根式
如果一个非负数a的平方等于b，那么a是b的二次方根(或说b 的二次方根是a)，记作√b，其中a叫做被开方数，叫做二次方 根。
二次根式ppt
2023-11-01
contents
目录
• 定义与性质 • 加减运算 • 代数应用 • 平方根变换 • 二次根式的起源与发展 • 二次根式的挑战与困难
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算在数学的世界里，二次根式是一个重要的概念，它不仅在代数运算中频繁出现，也在解决实际问题中发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入探究二次根式的性质与计算。
二次根式，简单来说，就是形如√a（a≥0）的式子。
其中，“√”称为二次根号，a 称为被开方数。
先来说说二次根式的性质。
性质一：双重非负性。
即二次根式的被开方数a 是非负的（a≥0），同时二次根式的值也是非负的（√a≥0）。
这就好比一个房子，里面住的人数（被开方数）不能是负数，而且从这个房子走出来的人（二次根式的值）也不能是负数。
性质二：（√a）²＝ a（a≥0）。
这个性质可以理解为，一个数先开平方再平方，就等于它本身。
就像一个人先出门再回家，还是原来那个人。
性质三：√（a²）＝｜a|。
当a≥0 时，√（a²）＝ a；当 a＜0 时，√（a²）＝ a。
这就好像一个人的正面和背面，虽然看起来不一样，但都是这个人。
性质四：√ab ＝√a×√b（a≥0，b≥0）。
这个性质告诉我们，两个非负实数的乘积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的乘积。
比如说，计算√12，我们可以把 12 分解为 4×3，那么√12 ＝√4×√3 ＝2√3。
性质五：√a÷√b ＝√（a÷b）（a≥0，b＞0）。
这就像是把一个大蛋糕（a）按照一定比例（b）切开，得到的每一份的大小（√（a÷b）），和先分别计算每一份蛋糕的大小（√a 和√b）再相除是一样的。
了解了这些性质，我们再来看看二次根式的计算。
二次根式的加减法，首先要把二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如√8，就不是最简二次根式，因为 8 可以分解为 4×2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
在进行二次根式的加减运算时，只有同类二次根式才能合并。
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
《二次根式和它的性质》PPT课件
二次根式和它的性质
我国自主研制的第一艘载人航 天飞船“神舟5号”于2003年10月15 日发射成功．
（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的 速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行 的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的 计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半 径.你能求出第一宇宙速度吗？
( 双重非负性)
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ≥0，（x+2）2+ y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的 轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度 为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 ，丁苗圃的边长是多少？ p 米
p
（4）你发现上面各题的答案有什么共同特点？与学过的算术平方根等相比有什 么共同点？与同学交流．
式子 S+25 ， 2S ，
s
二次根式和它的性质 PPT优秀课件
80
2
(3)( 3.6 ) ; 3.6
(4)( x2+ 1 )
x2+1
知识点3.性质公式 的逆用 ( a ) 2 = a(a≥ 0)
把式子 ( a ) 2 = a(a≥ 0) 反过来，就得到
a = ( a ) (a≥ 0).
利用这个式子，可以把任何一个非负数写 成一个数的平方的形式。
2
小试牛刀
把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 ( 5 ) 2 （2）3.4 ( 3.4 ) 2
(1)( 16 ) 2 =16；
(2)(3 7 ) 2 = 32× ( 7 ) 2 = 9× 7 = 63; (3)( 0.85 ) 2 = (
0.85 ) 2 =2 =a＋5 (a≥ 5) .
快速抢答
(1)( 12 ) 2 ;
2
12
(2)(4 5 ) 2 ;
1 2 2 2 ( y 0 ) ， x + y 7， ， x y 2
√
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (m≤0), (5) xy (x,y 异号) (4) m ， (6) a +1 ,
2
(7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
思考：
若 x + 2 是二次根式，则字母x需要满足 什么条件呢？
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x + 3 （2 ）
3 2x
1 x2
（3） 1 + x 2
（5） x
+
（4）
x
因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根， 所以 a (a ≥ 0)总是一个非负数,
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
5.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念及性质
第1课时 二次根式的概念及性质 [解析] 利用 a2＝a(a≥0)进行化简．
第1课时 二次根式的概念及性质
解：(1) 64＝ 82＝8. (2) （－57）2＝－57＝57. (3)－ （－6）2＝－|－6|＝－6. (4) 10－4＝ （10－2）2＝10－2＝1100.
(5)∵π＞3.14， ∴π－3.14＞0， ∴ （π－3.14）2＝π－3.14.
第1课时 二次根式的概念及性质
【归纳总结】
( a)2＝a(a≥0)的应用： (1)应用( a)2＝a 时需注意成立的条件 a≥0；
(2)可直接应用性质进行化简或计算； (3)逆用此性质可以将一个非负数写成一个数的平方的形式．
第1课时 二次根式的概念及性质
例 4 [教材例 3 针对训练]化简： (1) 64；(2) （－57）2；(3)－ （－6）2； (4) 10－4；(5) （π－3.14）2；(6) （ 5－ 7）2.
即当 a≥13时，
3a－1 a－3 在实数范围内有意义．
以上解答错在哪里？并给出正确的解答过程．
第1课时 二次根式的概念及性质
2．学完本节后，老师留了一道题： 化简： （ 3－2）2＝________． 小明是这样考虑的：
因为 a2＝a，所以 （ 3－2）2＝ 3－2.
你认为他的解法正确吗？若不正确，请说明理由，并改正．
围内有意义？
(1) 10－3a；(2) －（a－2）2；(3) a－1 2； (4) a＋3＋ 3－a.
第1课时 二次根式的概念及性质
[解析] 利用二次根式在实数范围内有意义的条件，可把问 题转化为解相应的不等式或不等式组．
第1课时 二次根式的概念及性质
解：(1)由题意，得 10－3a≥0，解得 a≤130， 即当 a≤130时，式子 10－3a在实数范围内有意义． (2)由题意，得－(a－2)2≥0， 即(a－2)2≤0. 又因为(a－2)2≥0， 所以 a－2＝0，所以 a＝2， 即当 a＝2 时，式子 －（a－2）2在实数范围内有意义．
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq0)＼）的式子叫做二次根式。
其中，＼（a\）叫做被开方数。
需要注意的是，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）都是二次根式。
而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数，不符合定义。
二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a<0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。
2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq0\））这一性质表明，先开方再平方，结果就是被开方数本身，但前提是被开方数必须是非负的。
比如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq0\））这意味着，两个非负实数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。
例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4 ＼times 3} ＝＼sqrt{4} ＼times ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）4、＼（＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＝＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq0\），＼（b>0\））这表示，非负实数的商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。
比如，＼（＼sqrt{＼frac{8}｛2}｝＝＼frac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼frac{2\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 2\）三、二次根式的化简1、把被开方数分解质因数，将能开得尽方的因数移到根号外。
度北师大版八年级数学上册.1二次根式的概念及性质课件
(
a 0, b 0
)及
从而将二次根式化简.
a
2
=a( a
ab = a •
b
0 )将这些因数(式)开出来,
巩固练习
化简
8
125
（1） 45;(2) ;(3)
9
16
解：
（1） 45 9 5 3 5 3 5
8
8
4 2
2 2
2 2
（2）
a a 0
的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.
• 强调条件:a≥0.
新知探究
(1)计算下列各式,你能得到什么猜想?
49
4
9
25
49
6
2
3
5
7
4 9
2
3
9
5
25
7
49
4
6
新知探究
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借
助计算器验证,并与同伴进行交流（精确到0.001）.
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7 ＝ 6.480 ；
6
7
＝ 0.926 ，
6
＝ 0.926
7
．
新知探究
问题1
视察上面的结果,你得出什么结论?
问题2
•
从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表
示这个规律吗?
新知探究
ab
a b a 0,b 0 ,
a
b
a
a 0,b 0
b
积的算数平方根,等于算数平方根的积;
商的算数平方根,等于算数平方根的商.
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【例 1】把下列二次根式 32, 27, 125, 4 45, 2 8, 18, 12, 15 化简后，与 2 的被开方数相
同的有
；
与 3 的被开方数相同的有
；
与 5 的被开方数相同的有
．
【例 2】 （1）若最简二次根式 3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ ． （2）若最简二次根式 2 3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
【例 1】（1）当 x 是多少时，
2
x
3
x
1
1
在实数范围内有意义？
【例 2】（1）解答下列题目若 a 1 b 1 0 ，求 a2011 b2011 的值．
（2）已知实数 x ， y ， z 满足 4x 4 y 1 1 2 y z z 2 z 1 0 ，求 (x z) y2 的值
x
x y
（2）下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A． 7
B． 3 8
C． x
D．x
模块二 二次根式的性质
二次根式的基本性质： （1） a 0 （ a 0 ）双重非负性；（2） ( a)2 a （ a 0 ）；
（3）
a2
a
a a
(a 0) ． (a 0)
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二次根式的乘除运算 1、二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） a a 2、二次根式的除法法则： b b （ a 0 ， b 0 ）
2 3a 4 6ab ；
48 2 1 ； 2
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（2）观察规律： 1 2 1, 1 3 2, 1 2 3 ，……，求值．
2 1
3 2
2 3
①
1 ＝______；② 1 ＝______；③
1
＝______．
2 2 7
11 10
n1 n
【巩固】（1）把下列各式分母有理化：
3
模块五 计算
【例 1】（1）计算： 2 8 1 18 1 32
2
4
12 4 1 3 48 27
6 3 0.12 48
ab 1 8a3b 1 18ab3
2a
b
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（2）计算（根据学生情况选做或全做）： (2 3 5)2 (2 3 5)2
(3 8)2011(3 8)2012
1
3 52 3
2 1
3 52 3
ab a b
ab a 1 b
(a b) 5(a b) ( a b 0 ) 8(a b)
模块四 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根 式． 合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并.
．
5x 4 4 5x
课后作业
【题 1】 已知
x
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
是二次根式，则
x
应满足的条件是（
）．
A． x＞0
B． x≤0
C． x≥－3
【题 2】 计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
D． x＞－3
（1） 1 ＝______；（2） 1 ______；（3） 2 ＝______；（4） x ＝______．
20 5 1 12
5
3
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（3）解方程或不等式:
（1） 6 x 1 7 x 1
（2） 2 x 1 2 2 x
3
3
【例 2】（1）已知 a 2 2 a 18a 10 ，求 a 的值． a2
（2）已知 y x 2 2 x 2 2 2 ，则 x 2 y 2 =
3
4
（3）已知 a b a2 2ac c2 a b c 3 0 ，求 3 abc 的值．
【巩固】（1）若-3≤x≤2 时，试化简 x 2 (x 3)2 x 2 10x 25 ．
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（2）如果 x x 3 x(x 3) ，那么（
A． x 0
（3）已知
9x x6
9 x ，且 x 为偶数，求 (1 x) x6
x2 5x 4 的值． x2 1
【例 5】（1）计算： 1 21 3 12 35 5
② 12 21 12 3 35
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模块三 最简二次根式
1、最简二次根式：
二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简
二次根式的概念性质与计算
模块一 二次根式的概念
二次根式的概念：形如 a （ a 0 ）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
【例 1】 （1）判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2 、 4 、 3 3 、 1 、 x (x 0) 、 0 、 4 2 、 1 、 x y （x≥0，y≥0）．
说这两个代数式互为有理化因式． a b 与 a b 互为有理化因式，原理是平方差
公式 (a b)(a b) a 2 b2 ；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为 0．
【例 1】（2）把下列各式化成最简二次根式：
（1） 2 3
（2） 5 1 2
（3） a3b5
（4） 1 1 23
【例 2】（1） 18 24 60 ；
二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式
注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
2、分母有理化： 把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
B． x 3
）． C． 0 x 3
D． x 为任意实数
【例 3】（1）计算 ( 3 )2 4
(3 4)2
( a2 2a 1)2
( 4x2 12x 9)2
【例 4】（1）把下列各式中根号外的因式移到根号里面：
a 1; a
( y 1) 1 y 1
（2）已知 8 a ， 80 b ，求 6.4 的值．
(2 3 3 2 6)(2 3 3 2 6)
( a3b 3ab ab3 ) ab （ a 0,b 0 ）
(4 3 3 2)( 50 27)
(2 a 3 b)(6 b)
( 3 2 6)( 6 2 3)
( 48 1 6) 27 4
18 1 8 1 3 2 1 2