(完整版)概率论高等数学习题解答

习 题 二

（A ）

三、解答题

1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．

解: (1)

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次

中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里1

2C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为61

2⨯C 多

算了一次）或151

2

+⨯C 种，故{}36

11

3615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.

(2)

⎪⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6

165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 3632

43 3627

323620

2136111 0 x x x x x x x ，

，，，，，，

2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．

解：

注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}126

1

299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!

}{>===λλΛk k a

k X P k

为常数，试求常数a ．

解：因为1!

==-∞

=∑λλae k a

k k

，所以λ-=e a .

4．设随机变量X 的分布律为

(1) 求X 的分布函数；

(2) 求}21{≤X P ，}2

5

23{≤

解：

(1) ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13

2432141-1x 03

x 132}2{}1{21}1{-1

x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x F ，

(2) {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤

X p X P 、 {}212252

3

===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤

3

323232=

=+=====≤≤X P X P X X P X P Y . 5．设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,21

}{===k k X P k

求： (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3的倍数}

解：(1) {}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i i

X P ΛΛ偶数， (2) {}{}16116151212121

211415432=-=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+++-=≤-=≥X P X P ，

(3) {}712

1121121lim 21

33

33

1

3=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞

→∞

=∑i i i i X P 的倍数

.

6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）

(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：

(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .

7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概

率．

解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，

B X , {}{}∑=--=≤-=≥1

0400400,98.002.01112k k k k

C X P X P

由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X 近似服从泊松分布P (λ)（其中λ=400×0.02），所以

P {X ≥2}∑=--≈1

8

!81k k e k ， 查表泊松分布函数表得：

P {X ≥2}9972.028.01=-≈

8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．

解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，

B X 则指示灯发出信号的概率

{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********

55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=

1631.08369.01=-=.

9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}． 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则5

1)(x

e

x F --=，{}2

)10(110-=-=>e F X P ，

()

25~-e B Y ，,

则50,1,k ,)1()(}{5225Λ=-==---k

k k e e C k Y P .

0.516711}0{-1}1{5

2=--

===≥-）（e Y P Y P 10．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨

⎧

>≤=2

||,02||,cos )(π

πx x x a x f ，试求： (1) 系数a ； (2) X 落在区间)4

,

0(π

内的概率．

解：(1) 由归一性知：⎰⎰

-∞

+∞

-===22

2cos )(1π

πa xdx a dx x f ，所以2

1

=

a .