03-频率特性法——奈氏图和伯德图画法
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第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法
4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此 有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应 为
4.2频率特性的图示法——奈氏图 和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在 数学上，频率特性可以用直角坐标式表 示，；也可以用幅相式（指数式）表示， 即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率 高的输入信号，系统来不及响应。 （3）系统的频率特性是系统的固有特性，取 决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性 时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出： 随着输入信号频率的变化，输出、输入信号 的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生 变化。 因此，可以利用这一特性，保持输入信号的 幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究 系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规 律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称 为频率响应。
▪ 另外一种表达： 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出响应的稳态分量是与输入同频率的 正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所 有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图 形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性
如何绘制伯德图PPT课件
G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
如何绘制伯德图.ppt
j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0
03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法
i=1 n-ι Sv∏(TjS+1) j=1
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
如何绘制伯德图
20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据
分析开环系统 G(s)H(s)的零点 都在S左半平面
一、开环频率特性与闭环频率 特性的关系
开环频率特性
G(s)H(s)
闭环频率特性
G( s ) ( s) 1 G( s ) H ( s )
F(s)=1+G(s)H(s)
二、奈斯判据
奈斯判据： s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从 -∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆 时针包围（-1，j0）点R圈。 若 R=P （右半平面极点个数即正 实部极点分析系统稳定性。
Im
P0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
(a)
(b)
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故
Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。 (b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个 根在虚轴上，闭环系统不稳定。
R=2N=2(N+-N-)=P
注意：
正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时从下向上穿越－180°线； 负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时，从上向下穿越－180°线。
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1
如何绘制伯德图讲诉
0.7
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
自动控制原理之伯德图
系统开环频率特性的绘制
画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特开环系统对数幅频特性图
01
L
02
5.4 系统开环频率特性的绘制
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐近线斜率。 每当遇到 环节的交接频率时，渐近线斜率
增加-20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，斜率增加
+20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，
通过A点作一条-20NdB/十倍频的直线，其中N为系统的无差阶数，直到第一个交接频率w1。如果w1<1，则低频渐近线的延长线经过A点。
确定交接频率w1、w2、w3……，标在角频率w轴上。
在w＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。(在图中标出相应的字母，如A点)
二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤
斜率增加-40dB/十倍频。
系统开环频率特性的绘制
5
⑤ 绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需修正交接频率处以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB； 在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式 求出。
5.4 系统开环频率特性的绘制
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即 时的频率 称为穿越频率。穿越频率 是开环对数相频特性的一个很重要的参量。
01
02
03
绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。
画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特开环系统对数幅频特性图
01
L
02
5.4 系统开环频率特性的绘制
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐近线斜率。 每当遇到 环节的交接频率时，渐近线斜率
增加-20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，斜率增加
+20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，
通过A点作一条-20NdB/十倍频的直线，其中N为系统的无差阶数，直到第一个交接频率w1。如果w1<1，则低频渐近线的延长线经过A点。
确定交接频率w1、w2、w3……，标在角频率w轴上。
在w＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。(在图中标出相应的字母，如A点)
二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤
斜率增加-40dB/十倍频。
系统开环频率特性的绘制
5
⑤ 绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需修正交接频率处以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB； 在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式 求出。
5.4 系统开环频率特性的绘制
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即 时的频率 称为穿越频率。穿越频率 是开环对数相频特性的一个很重要的参量。
01
02
03
绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。
4.2.14.2频率特性的几何表示法
对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性 横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特 性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相 乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上， 简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率 特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点： 以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法： 取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在 幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图
4第四节开环系统频率特性的绘制
KT1 Q ( ) 1 T12 2 当 0时，A( ) K， ( ) 0，P( ) K，Q( ) 0 当 时，A( ) 0， ( ) ，P( ) 0，Q ( ) 0
Wednesday, January 23, 2019
Wednesday, January 23, 2019
17
Im
0
n=3 1 n=0 n=1
0
0
Im
n=2
0
n=3
-1
n=2
0
n=4
Re
n=0 n=1
0
Re
0 0
0
n=4
0
结论：假如G(s)乘上因子1/sn，则G(j)的极坐标图顺时针转过 n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在=0的幅 值为无穷大。 Wednesday, January 23, 18 2019
K 的极坐标图 n s ( s 1)
K 的极坐标图 n 2 s ( s 1)
⒊ 增加有限零点 K G ( s ) 设 5 s(T1s 1)(T2 s 1)
1 T12 2 1 T22 2 ( ) 90 tg 1T1 tg 1T2
K (T1 T2 ) P( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K (1 T1T2 2 ) Q( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j ( ) 将开环系统的频率特性写成P( ) jQ( ) 或 A( )e 的形 式，根据不同的算出 P( ),Q( )或 A( ), ( )可在复平面上得到不 同的点并连之为曲线。（手工画法）。
如何绘制伯德图
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T 1，o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
T可uesd以ay,用Mar这ch 3两1, 2段020渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。 4
惯性环节的Bode图
10 渐近线
0
-10
20dB / Dec
-20
0°
-45°
T T T 20T 10T 5T
112 2T T T
5 10 20 TTT
一阶微分环节的波德图
惯性环节的波德图
Tuesday, March 31, 2020
17
二阶微分环节的频率特性
③ 二阶微分环节： G(s) T 2s2 2Ts 1
幅频和相频特性为：
A()
(1
T
2
2
)2
(2T
)2，
(
)
tg 1
第三节 典型环节的频率特性 之一 波德图
Tuesday, March 31, 2020
1
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节：G(s) K, (K 0),G( j) K 幅频特性：A() K；相频特性：() 0
L() / dB
20log K
20log K
20log K
()
频率特性分别为：
G( j) j G( j) 1 jT G( j) 1 T 2 2 j2T
Tuesday, March 31, 2020
14
纯微分环节的波德图
① 纯微分： A( )
L( )(dB)
20
L( ) 20 log A( ) 20 log
04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据解析
二、奈斯判据：
详解见附件五
二、奈斯判据思路总结
Nyquist稳定判据： 当ω由0变化到+∞时，Nyquist曲线在(-1, j0 ) 点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时( P为 系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则， 闭环系统不稳定。
重点 掌握
R=2N=2(N+-N-)=P
注意：若有积分环节，则需要补偿曲线。
三、对数频率稳定判据
1. Bode图与Nyquist图之间的对应关系
Nyquist图上的负实轴 Bode图相频特性上的φ(ω)=－1800线
奈氏图上的(-1, j0) 点便和伯德图上的0 dB线及-180°线对应起来。
(-1, j0) 点以左实轴的穿越点 Bode图L(ω)>0范围内
的与－180°线的穿越点。
即奈氏判据中找（-1，j0）点的左侧，即为 Bode图中 L(ω)>0与φ(ω)=－180°线的穿越点。
Nyquist图与Bode图的对应关系
c
c
三、对数频率稳定判据
Bode图上的稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是：当ω 由0变到 +∞ 时，在开环 对数幅频特性 L(ω)≥0 的频段内，相频特性φ(ω) 穿越-π线的次 数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开 环极点数。
R=2N=2(N+-N-)=P
例：两系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知其开环极点在s右半平 面的分布情况，试判别系统的稳定性。
P=0 P=2
解：
N N N 0
N N N 2 1 1
R 2N 0 P
闭环稳定
R 2N 2 P
闭环稳定
频率特性及其图示法
幅
值 比
r=sinωt
1
R(s)
0.5s 1 Y(s)
ω=0.2π ω=1π
ω=5π
考
ω=0.2π
察
相
位
差
ω=1π
ω=5π
结论 推广到一般，得出以下
：
1、对稳定的线性系统作用正弦信号，其稳态输出
仍是一正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。
2、幅值比 B 和相位差Φ都是输入信号频率ω的函数，
A
2
整理：U
2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
A是幅值，ω是角频率.
稳态响应
，是频率的函数。
利用频率特性研究的系统必须是稳定的系统。
一阶线性系统
r=Asinωt
K
R(s)
Ts 1
Y(s)
当输入
r Asint时， R(s)
A s2 2
Y (s) G(s)R(s)
K A Ts 1 s2 2
K
A
b a a
Ts 1 (s j )(s j ) Ts 1 s j s j
A
∴ G( j) 是频率特性函数。
关于频率特性的总结：
1、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳 态后输出也是正弦信号，频率相同，幅值和相位 都发生变化，而且它们都是频率的函数。
2、将传递函数 G(s)中的s 用 j 代替得 G( j) , G( j)
即为频率特性。 G( j) 为幅值比，又称幅频特性。 G( j) 为相位差，又称相频特性。
频率特性法-奈氏图和伯德图画法
基本原理
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
课件：频域：极坐标图
T 2
G(j) 0 -180
12
5.2.2 典型环节的奈氏图
G(j0) 1 0
G j 1 1 90
T 2
G(j) 0 -180
Im
0 • n
1 • n 2
1 0 Re
•n 3
奈氏曲线相位从0°到 – 180°变化，频率特性与 虚轴交点处的频率是无 阻尼自然振荡频率ωn (1/T) ，ζ越小，对应 的幅值越大。说明频率 特性与ω、ζ均有关。
5.2.2 典型环节的奈氏G图 j 1 290
二阶微分环节
T
G(s)=T2s2+2ζTs+1
G(j) 180
Im
G(jω)= -T2ω2+j2ζTω+1 =(1-T2ω2)+j2ζTω
0
Gjω (1 2T 2 )2 4 2 2T 2
0
1
Re
Gjω
arctan
2T 1 T 2 2
系统的奈氏曲线与传递函数有一定的关系， 绘制系统奈氏曲线的一些规律概括如下：
17
5.2.2 典型环节的奈氏图
（1）奈氏曲线的起点（ω＝0）决定于系统的类 型及系统的增益K,即
G
j0
K ωv
v是 系 统 在 原 点 的 极 点 数
0 v 90
例5－1 v=0,故|G(j0)|=K,φ(0)=0°, 例5－2 v=1,故|G(j0)|=∞,φ(0)=-90°,
18
5.2.2 典型环节的奈氏图
（2）奈氏曲线的终点（ω＝∞）,对极点数n＞零点 数m的系统有
Gj 0
(n m)90
例5－1 n=1,m=0,故|G(j∞)|=0,φ(∞)=-90°, 例5－2 n=2,m=0, v=1,故|G(j∞)|=0,φ(∞)=-180°,
G(j) 0 -180
12
5.2.2 典型环节的奈氏图
G(j0) 1 0
G j 1 1 90
T 2
G(j) 0 -180
Im
0 • n
1 • n 2
1 0 Re
•n 3
奈氏曲线相位从0°到 – 180°变化，频率特性与 虚轴交点处的频率是无 阻尼自然振荡频率ωn (1/T) ，ζ越小，对应 的幅值越大。说明频率 特性与ω、ζ均有关。
5.2.2 典型环节的奈氏G图 j 1 290
二阶微分环节
T
G(s)=T2s2+2ζTs+1
G(j) 180
Im
G(jω)= -T2ω2+j2ζTω+1 =(1-T2ω2)+j2ζTω
0
Gjω (1 2T 2 )2 4 2 2T 2
0
1
Re
Gjω
arctan
2T 1 T 2 2
系统的奈氏曲线与传递函数有一定的关系， 绘制系统奈氏曲线的一些规律概括如下：
17
5.2.2 典型环节的奈氏图
（1）奈氏曲线的起点（ω＝0）决定于系统的类 型及系统的增益K,即
G
j0
K ωv
v是 系 统 在 原 点 的 极 点 数
0 v 90
例5－1 v=0,故|G(j0)|=K,φ(0)=0°, 例5－2 v=1,故|G(j0)|=∞,φ(0)=-90°,
18
5.2.2 典型环节的奈氏图
（2）奈氏曲线的终点（ω＝∞）,对极点数n＞零点 数m的系统有
Gj 0
(n m)90
例5－1 n=1,m=0,故|G(j∞)|=0,φ(∞)=-90°, 例5－2 n=2,m=0, v=1,故|G(j∞)|=0,φ(∞)=-180°,
自动控制原理 (25)
k (T1 + T2 )ω = P(ω ) + jQ(ω ) (1 + T12ω 2 )(1 + T2 2ω 2 ) 1 − 5ω 2 −6ω , Q(ω ) = 2 2 2 (1 + ω )(1 + 25ω ) (1 + ω )(1 + 25ω 2 )
当 k = 1, T1 = 1, T2 = 5 时 P(ω ) =
A(ω ) = 0 ， ϕ (ω ) = −(n − m )
Im ω→+∞
π ，若 n-m=4， ϕ (ω ) = −2π ； 2
Re 0 R→∞ ω=0
ω=0+
Ⅰ型系统幅相频率特性 第 4 页
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（2）Ⅱ型系统。 已知单位反馈开环传递函数为 Wk (s ) = 解： 由于 N=2，有起点
（波德图）；非最小相位系统的频率特性
2、重点内容： 如何绘制开环系统的奈氏图和波德图 3、难点内容：如何绘制开环系统的奈氏图和波德图 内
5.4 系统开环频率特性的绘制 一、系统开环幅相频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论 那种形式，都可由下面的方法绘制。 将开环系统的频率特性写成 P(ω ) + jQ(ω ) 或 A(ω )e jφ (ω ) 的形式，根据不同的 ω 算出 P(ω ), Q(ω ) 或 A(ω ), φ (ω ) 可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。 W ( jω ) = 例：设开环系统的频率特性为： k (1 + jT1ω )(1 + jT2ω )
起点 ω → 0 + ： A(ω ) =
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由于奈奎斯特曲线可以确定起点和终点，只是一个粗略图。
2
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
G n阶j系统 b a 0 0 jK jjj m n j 1T b a 1 1 1 1 jj 1 j m n j 1 1 2 T 21 1b a m n 1 1 jj
(3) 过ω＝1 rad/s，20lgK这个点，作斜率等于 -20v dB/dec 的低频段的渐近线。
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
10
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
遇到惯性环节的转折频率，斜率减小20dB/dec 遇到一阶微分环节的转折频率，斜率增加20dB/dec 遇到二阶微分环节的转折频率，斜率增加40dB/dec 遇到振荡环节的转折频率，斜率减小40dB/dec
频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。
7
例G已1(s知)=开10环传递函数，试画出系统
解GG：G34((s2s)()=s=)0的=.12开SSS11++环11G对(s数)=频-S(422率S0(0002+特S1+0-性21)0)Ld0曲2B.5\线de1c。-40Ld4BL/d1 ec
L3 10
ω
-20dB/dec
1)将式子标准化解 3）将各环节的曲
90
φ1
φ3
G线(s相)=加1，0S(即(02.1S为S++开11) 环)
0 -90
φ2
φ4
ω
系统的对数频率特 -180
性曲线。
8
伯德图画法详解
通过上例可知： 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频 率即可确定系统的对数频率特性曲线。
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
13
L(ω)
[-20] 40db
20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
14
例：已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s) 100(s2) s(s1)(s20)
b m a n
m n
0 0型系统 1 I型 系 统
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
2 II型 系 统
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为 －(n－m)×90°。
3
伯德图画法详解
重点 掌握
u 系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联 的形式， 即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
试绘制开环对数频率特性曲线。 解：典型环节传递函数表示的标准形式
G(s) 10(0.5s1) s(s1)(0.05s1)
其对应的频率特性表达式为
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
k10, v1
15
直接绘制系统开环 对数幅频特性的步骤
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
(1) 转折频率为： 1 1 , 2 1 /0 . 5 2 , 3 2 0
(2) 在 1 时： L () 2 0 l g K 2 0 l g 1 0 2 0 ( d B )
30
惯性环节
转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，12
L(ω)
Hale Waihona Puke [-20] 40db20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
4
伯德图画法详解 重点 掌握
系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lgA()
20lgG1( j)G2(j)Gn( j)
20lgG1(j) 20lgG2(j) 20lgGn(j)
L1()L2()Ln()
n
Li ()
i1
n
() G 1 (j) G 2 (j) G n (j) ()
u 系统的开环频率特性为
G(j)H()G1(j)G2(j)Gn(j)
n
n
Ai(
j i()
)e i1
A(
)ej()
i1
L ( ) 2 0 l g A ( ) 2 0 l g A 1 ( ) 2 0 l g A 2 ( ) . . . 2 0 l g A n ( )
( ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( )
i 1
5
伯德图画法详解 重点 掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节 的对数幅频特性之代数和。 相频特性 = 组成系统的各典型环节 的相频特性之代数和。
6
伯德图画法详解 重点 掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相
低频段幅频特性近似表示为： L(ω)≈20lgK-20lgωυ
低频段曲线的斜率
-20υdB/dec
低频段曲线的高度
L(1)=20lgK
9
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
(2) 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。 转折频率1/Ti， 若T1>T2>T3>..., 则有ω1<ω2<ω3<...。
11
例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为
G(s)H (s) 300 (s 2) s(s 0.5)(s 30)
解： 典型环节传递函数表示的标准形式
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
其对应的频率特性表达式为
G(j)H(j)j(24j0(0.5 1)j(11j ) 1)
二、控制系统开环频率特性
频率特性法的最大特点是根据系统的开环 频率特性曲线分析系统的闭环性能 ，这样可以 简化分析过程。
所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得 尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性 曲线和对数频率特性曲线的绘制.
1
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
（1）W=0+的点 （2）W=∞的点 （3）开环幅相曲线与实轴的交点
2
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
G n阶j系统 b a 0 0 jK jjj m n j 1T b a 1 1 1 1 jj 1 j m n j 1 1 2 T 21 1b a m n 1 1 jj
(3) 过ω＝1 rad/s，20lgK这个点，作斜率等于 -20v dB/dec 的低频段的渐近线。
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
10
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
遇到惯性环节的转折频率，斜率减小20dB/dec 遇到一阶微分环节的转折频率，斜率增加20dB/dec 遇到二阶微分环节的转折频率，斜率增加40dB/dec 遇到振荡环节的转折频率，斜率减小40dB/dec
频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。
7
例G已1(s知)=开10环传递函数，试画出系统
解GG：G34((s2s)()=s=)0的=.12开SSS11++环11G对(s数)=频-S(422率S0(0002+特S1+0-性21)0)Ld0曲2B.5\线de1c。-40Ld4BL/d1 ec
L3 10
ω
-20dB/dec
1)将式子标准化解 3）将各环节的曲
90
φ1
φ3
G线(s相)=加1，0S(即(02.1S为S++开11) 环)
0 -90
φ2
φ4
ω
系统的对数频率特 -180
性曲线。
8
伯德图画法详解
通过上例可知： 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频 率即可确定系统的对数频率特性曲线。
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
13
L(ω)
[-20] 40db
20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
14
例：已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s) 100(s2) s(s1)(s20)
b m a n
m n
0 0型系统 1 I型 系 统
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
2 II型 系 统
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为 －(n－m)×90°。
3
伯德图画法详解
重点 掌握
u 系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联 的形式， 即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
试绘制开环对数频率特性曲线。 解：典型环节传递函数表示的标准形式
G(s) 10(0.5s1) s(s1)(0.05s1)
其对应的频率特性表达式为
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
k10, v1
15
直接绘制系统开环 对数幅频特性的步骤
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
(1) 转折频率为： 1 1 , 2 1 /0 . 5 2 , 3 2 0
(2) 在 1 时： L () 2 0 l g K 2 0 l g 1 0 2 0 ( d B )
30
惯性环节
转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，12
L(ω)
Hale Waihona Puke [-20] 40db20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
4
伯德图画法详解 重点 掌握
系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lgA()
20lgG1( j)G2(j)Gn( j)
20lgG1(j) 20lgG2(j) 20lgGn(j)
L1()L2()Ln()
n
Li ()
i1
n
() G 1 (j) G 2 (j) G n (j) ()
u 系统的开环频率特性为
G(j)H()G1(j)G2(j)Gn(j)
n
n
Ai(
j i()
)e i1
A(
)ej()
i1
L ( ) 2 0 l g A ( ) 2 0 l g A 1 ( ) 2 0 l g A 2 ( ) . . . 2 0 l g A n ( )
( ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( )
i 1
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伯德图画法详解 重点 掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节 的对数幅频特性之代数和。 相频特性 = 组成系统的各典型环节 的相频特性之代数和。
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伯德图画法详解 重点 掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相
低频段幅频特性近似表示为： L(ω)≈20lgK-20lgωυ
低频段曲线的斜率
-20υdB/dec
低频段曲线的高度
L(1)=20lgK
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伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
(2) 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。 转折频率1/Ti， 若T1>T2>T3>..., 则有ω1<ω2<ω3<...。
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例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为
G(s)H (s) 300 (s 2) s(s 0.5)(s 30)
解： 典型环节传递函数表示的标准形式
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
其对应的频率特性表达式为
G(j)H(j)j(24j0(0.5 1)j(11j ) 1)
二、控制系统开环频率特性
频率特性法的最大特点是根据系统的开环 频率特性曲线分析系统的闭环性能 ，这样可以 简化分析过程。
所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得 尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性 曲线和对数频率特性曲线的绘制.
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二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
（1）W=0+的点 （2）W=∞的点 （3）开环幅相曲线与实轴的交点