求几何体体积.

a 0
4 ab2
3
8
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4
3
a3
.
9
例
求由椭圆面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
所围立体（椭球）的体积。(如上图）
解法：画出草图，关键是求出用垂直于 x 轴（其它轴也可）的平面
y
Vx
2 a y2 dx
0
y
o
a 2 a x
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
利用对称性
2
a3 0
(1 cos t)3 d t
16
a3 sin6 0
t 2
dt
(令 u
t) 2
32
a3
2
0
sin 6
u
du
32
a3
5 6
3 4
1 2
2
5 2a3
11
绕 y 轴旋转而成的体积为
例7. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
的体积.
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
b2
y2 (1
x2 a2
)
c2
z2 (1
x2 a2
)
1
它的面积为
c
xo
14
2
2
0
a(t
sin
来自百度文库t)
a2
(1
cos
t)2
d
t
8 a3 2 (t sin t)sin4 t d t
0
2
令u t 2
16
a
3
0
(2u
sin
2u)
sin
4
u
d
u
令v u
2
16
a3
2
2
(2v
sin 2v) cos4 v d v
偶函数
奇函数
15
例3 求由圆 x2 ( y b)2 a2 (0 a b)绕x轴旋转 一周所得环状立体体积。 解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：y1 b a2 x2 , y2 b a2 x2 , x a则环体体积是由上、 下两个半圆绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积之差 (如下图所示）：
4
该立体 （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为
正方形, 所以截面面积 A(x) R2 x。2
R2 x2 的
故两圆柱面所围成的立体体积
R
V 8
R2 x2
dx 16 R3
0
3
5
2、旋转体体积公式
设f 是[a, b]上的连续函数， 是由平面图形：0 y f (x) , x [a, b（ ] 右图阴影部分）绕 x轴旋转一周所得的旋转体， 那么易知截面面积函数为
i 1
i 1
由此可得:
b
V A(x)dx.
a
这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x) , 常用的方法先 画出草图，分析图象求出A(x).
3
例 1 求两圆柱: x2 y 2 R2 z 2 x2 R2 所围的立体体积 .
解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体 积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？ 下图就是其在第一卦限部分立体：
§ 3 求几何体体积
1
1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式
现在我们看右图一个空
A(x)
间立体，假设我们知道它
在x 处截面面积为A(x)，
求出它的体积？
x
2
如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似 看作直柱体，其体积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积
n
n
V Vi A(x) xi
A（x） f (x)2 , x [a, b]，
由已知平行截面面积求体积的 公式可知，旋转体的体积公式为：
b
V f (x)2dx. a
y
y f (x)
o a
y
y f (x)
oa
x
x b
b
x
6
yy
y f (x)
oo aa x bb xx
当考虑连续曲线段
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
r
y
o
r
x
上半圆：y1 b a2 x2
a
o
y
a
下半圆：y2 b a2 x2
a
o
y
a
x
x
16
即环体体积：
V
a
y12dx
a
y22dx
a
b
a
a
a
a
4 b a2 x2 dx 2 2a2b. a
2
a2 x2 dx b
a2 x2
2 dx
17
例5. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
有
V d [( y)]2dy c
y
d y x (y) c
ox
7
例1. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
y
2a
x x2 ( y)
o
a 2 a x
x x1( y)
2a
2
(t
sin t)2 a sin
0
a
2
(t
tdt sin t)2
a
sin
注意上下限
tdt
!
a3 2 (t sin t)2 sin td t 0
注
12
说明:
y
x xdx
柱面面积
柱壳体积
2 a(t sin t) a (1 cost)
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:
证: 利用柱壳法
y f (x)
dV 2 (t x) f (x) d x
则
V
(t
)
t
0
2
(t
x)
f
(
x)
d
x
o
xt
x
2
t
t0
f
( x) d
x
2
t
0
x
f
( x) d
x
xdx
V
(t)
2
t
0
f
( x) d
x
2
t
f
(t)
2
t
f
(t)
故 V (t) 2 f (t)
02
2 tan R2x 1 x3 R
30
y
ox
R x
19
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
y
o
R (x, y) x
20
截立体所得截面面积函数 A(x) 的具体表达式。
利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达
式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计
算。
z c
x0
by
-a
0
ax
-b
-c
10
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
18
例6. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,
并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x