相似三角形预备定理

AB AC BC DE DF EF
F
△ ABC∽ △DEF
相似三角形的—对——应—角——相—等, 各对应边—。比相等

相似比:
AB DE

BC EF

AC DF
=k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
D
l1
E l2
F l3
形象记忆
....
上上 下下
下下 全 全
左左 右右
....
已知：如图，l1//l2 //l3，AB 3,DE 2,EF 4.
求：BC.
AD
l1
解：Q l1//l2 //l3
\
AB BC

DE EF
（平行线分线段成比例定理）
即
3 BC

2 4
3
B
?
C
2
E l2
4
F l3
\ BC 6
[例一]
已
知
：
如
图
，
l1/
/
l2
/
/
l3，BA
B C

m. n
A
D
l1
求 证 ：D E DF

m
m
n
.
E
B
l2
证明 ：Q l1//l2 //l3 ,
\
AB BC

DE EF

m n
（平行线分线段成比例定理）
F
C l3
注意观察：
此图与前面图形有何不同？
\
EF DE

n m
A
D
E
B
C
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
？ 思考
如图,在△ABC 中,DE//BC, DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
LA5 L4 DE
LE5 LD4
L1
A
L2
L1 L2
B
C
B
C
数学符号语言 L3 数学符号语言 L3
∵ DE∥BC
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
∵
AD AB
=
AE AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的
延长线），所得的对应线段的比相等
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
AB BC CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
对应角___相__等__, 对应边 比—相—等————的两个三
角形,
叫做相似三角形 A
.
D
B
CE
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
A
B
D
C
11.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
AE AG AB AD
A
G
C
E
G
E
F
A
B
B
F D
D
C
12.已知DE∥BC,EF∥CD,
求证:
AD AB AF AD
A
F D
B
E
C
B
E
D
A
F C
13:如图，E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上的一点，连结AE交CD于F， 则图中共有相似三角形（ ）
ΔOEF∽ΔOCD
3.AB∥CD
ΔOAB∽ΔOCD
三角形相似具有
传递性!
或：ΔOEF∽ΔOAB ΔOEF∽ΔOCD
ΔOAB∽ΔOCD
练习：
A
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请
尽可能多地找出图中的相似三角形， D
E
并说明理由。
1. DE∥BC
ΔADE∽ΔABC
B
F
C
2.DF∥AC
ΔDBF∽ΔABC
EF DE DE

n m
m ，
即
DF DE
\
DE DF

mmmmnn..
[例二]
A B
C
D E
F
练习： 如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段.
l1
A D
B
l2
l3
E
l4
C
l5
l1 l2
D
E
l3
A
l4
B
C
l5
l1
A D
B
l2
l3
E
l4
C
l5
l1 l2
D
E
l3
A
l4
B
C
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
=
25，求
EC AC
的值。
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC
BD BM 2
∴
==
BA BC 5
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE= CA
CM CB
3 =
5
B MC 3 ，= BC 5
A
D
E
2份 M
3份 C
5份
再见
A
D B
E ∵ DE∥BC C ∴△ADE∽△ABC
\ AD AE DE AB AC BC
A A, ADE B, AED C
如图，△ABC 中，DE∥BC，
GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则
图中与△ABC相似的三角形共有多
少个?请你写出来.
A
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
“X”型
A
D
E
D
E
O
B （图1）
C
B
（图2）
C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
练习：1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可
能多地找出图中的相似三角形，并
说明理由。
O
E
F
1. EF∥AB
ΔOEF∽ΔOAB
C
D
A
B
2.EF∥CD
A
1.5
∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6
∵DF∥AC
D
2
E
6
6
∴△BDF∽△BAC
B
3
F2 C
BF
∴BC

DF AC
3
∴3
2

6 AC
∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
练习： 2、 如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB，
若 BD AB
27.2相似三角形的判定1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵ A A, B B, C C
任意平移l5，再度量 AB,BC，DE,EF的长 度.
l1
A B
l2
D
l3
E
l4
AB 与 DE 相等吗？
C
BC EF
F l5
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A B
D E
L3
AB BC
=
DE EF
C
L4 F L5
(平行线分线段成比例定理)
A B C
三角形相似具有
3. ΔADE∽ΔABC
ΔADE∽ΔDBF
传递性!
ΔDBF∽ΔABC
这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“XA ” 型
A
A
DE
D
E
B
C
l l
B
C
D
E
B
C
B
E
D
l
A
AC
D
B
C
E
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你
可要认真噢！
相似三角形判定的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交。所构成的三角形与原 三角形相似。
则
ACI CIFI
2 3
A B C D
E F
BI CI DI EI
FI
探究： 如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、
l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在
l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条 线段DE,EF的长度.
AB 与 DE 相等吗？
BC EF
BE:AD=_3_:_5__，BF:FD=_3_:_5__。 A
D
F
B
E
C
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB
于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 AD:DB=3:2，则EC:BC=___3_:_5_。
B
D
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
拓展提高：
9.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC，
E,F为中点.
求证：（1）△EDM∽△FBM；
(2) BD=9，求BM的长
D
C
F
M
A
E
B
10.已知EF∥BC,求证:
BD EG
DC GF
A
E
F
G
B
D
C
F
GE
Q DE / / BC, EF / / AB, \ AD AE , BF AE
AB AC BC AC Q 四边形DEFB是平行四边形， \ DE=BF \ DE AE
BC AC \ AD AE DE
AB AC BC
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
A1对 B2对 C3对 D4对
相似三角形判定方法
1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他 两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。
练习：
1、若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度
吗？ 解：∵DE∥BC,DF∥AC
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。
DE//BC △ADE∽△ABC
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
E
D
A
B
C
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）
平行于三角形一边的直线和其他两边
A
A
D
E
D
E
F
G
B
F
CB
C
2.如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BC交对角线AC于E，交AD于F，则： (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，
且 BE:EC=3:2பைடு நூலகம்， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则
△AＤＥ
G D
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
O
E
B
C
F
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=__1_：__4。
A
D E F B
G H I
C
练一练1
1如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明 理由。