高考数学第二轮复习 第24讲 排列、组合应用题导学案
高二数学《排列与组合》组合数学教案
高二数学《排列与组合》组合数学教案一、教学目标：1. 掌握组合数学的基础概念，包括排列、组合以及其计算方法；2. 理解组合数学在实际问题中的应用，并能正确运用于问题求解；3. 提升学生分析和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 概念讲解：排列与组合；计算方法；2. 基础练习：计算排列与组合的数量；3. 真实问题应用：将组合数学应用于实际问题的解决。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如从8个人中选取3位代表参加会议的问题，引发学生对组合数学的思考。
2. 概念讲解（15分钟）教师介绍排列与组合的定义和区别，并通过具体例子对两者进行解释。
在讲解计算方法时，教师可以使用二项式定理进行阐述。
3. 基础练习（20分钟）教师设计一系列基础练习题，要求学生计算给定情境下的排列和组合的数量。
学生可以尝试使用排列公式和组合公式进行计算，提高他们的计算能力。
4. 真实问题应用（20分钟）教师提供一些与生活紧密相关的问题，如选择班级干部、购买彩票等，要求学生运用组合数学的知识进行解决。
这样的应用问题可以培养学生的问题解决能力和创新思维。
5. 拓展练习（15分钟）教师设计一些较难的组合数学题目，提供给有能力的学生进行挑战，激发他们对数学的兴趣并促使他们深入思考。
6. 总结归纳（10分钟）教师对本节课的重点知识进行总结，并提醒学生在课后复习巩固。
四、课堂互动：1. 教师与学生之间的互动，及时解答学生对概念、方法的疑问；2. 学生之间的合作互动，进行组合数学的计算与讨论；3. 学生思考和解答教师提出的实际问题。
五、教学辅助手段：1. 教学PPT：用于呈现概念讲解和例题练习；2. 教学练习册：配合PPT进行基础练习和拓展练习；3. 黑板、彩笔：记录学生的思路和解题过程。
六、教学评价：1. 通过学生课堂表现、课后作业的完成情况，进行总体评价；2. 针对学生的学习情况，提供个别辅导或额外练习。
高中数学排列讲解课教案
高中数学排列讲解课教案
课题：排列
教学目标：
1. 了解排列的概念和性质；
2. 掌握排列的计算方法；
3. 能够应用排列解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：排列的定义和计算方法；
难点：理解排列的概念和性质。
教学准备：
1. 教师准备：课件、黑板、彩色粉笔、教材；
2. 学生准备：笔记本、铅笔、书包。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾组合的内容，指出排列和组合的区别，引出本课主题排列。
二、概念解释（10分钟）
1. 排列的概念：将一定个数的元素按一定顺序排列起来，称为排列。
2. 排列的性质：排列的个数是阶乘的运算。
三、排列的计算方法（15分钟）
1. 已知排列个数，求排列的方法；
2. 已知排列中某些元素的位置，求排列的方法；
3. 排列中元素可以重复的情况。
四、实例分析（15分钟）
教师通过例题引导学生掌握排列的计算方法，解析排列的相关问题。
五、实践演练（15分钟）
学生进行排列的练习题，巩固计算方法。
六、课堂小结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强化学生对排列的概念和计算方法的理解。
七、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，巩固排列的理解和运用。
教学反思：
通过本节课的讲解，学生对排列的概念和计算方法有了更深刻的理解，但是学生在实际运用中还存在一些困难，需要加强练习提高解题能力。
高二数学《排列组合》复习课件
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
*
一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型
江苏省2020年高二数学第24讲 排列(1)导学案
3月11日 排列 导学案
一、尝试解决以下两个问题：
（1）高二(1)班准备从甲乙丙3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的排法？
（2）从1,2,3这3个数字中选出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
(1)(2)(3)(4)35711二、概念辨析：下列哪些问题是排列问题？
某三位数的各位数字均只可能为1,2,3,4其中之一，这样的三位数共有多少个？
从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字组成三位数，这样的三位数共有多少个？
高二(1)班准备从甲、乙、丙3名学生中选出2人参加数学竞赛，有多少种不同的选法？
从、、、四个数中选出两个进行指数运算，可以得到多少个结果？
(1),,,42(2),,,43a b c d a b c d 例1：写出从这个字母中，取出个字母的所有排列？
写出从这个字母中，取出个字母的所有排列？
课堂练习
1．判断下列问题是否是排列问题
(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？
(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
2．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为()
A．3种B．4种
C．6种D．12种
3.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．。
排列与排列数导学案--2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
6.2.1 排列 6.2.2 排列数【课标要求】1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能解一些简单的排列应用题.—————————课前案——————————【知识梳理】知识点1 排列的相关概念1.排列:一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,并按照一定的________排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个___________.2.相同排列:两个排列的______完全相同,且元素的___________也相同.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.( )(2)在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化.( ) (3)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列.( )知识点2 排列数与排列数公式1.排列数的定义:从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的________,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的___________,用符号_________表示.2.排列数公式:A n m =n (n-1)(n-2)…(n-m+1)=n !(n -m )!,这里m ,n ∈N *,并且m ≤n .3.全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有______________________________.也就是说,将n 个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n 的连乘积.正整数1到n 的连乘积,叫做________,用______表示.于是,n 个元素的全排列数公式可以写成___________.另外,我们规定,___________.过关自诊2.判断：(1)排列数m n A (m,n ∈N*,m ≤n)表示共有m 个数相乘.( )(2)若a ∈N*,且a<20,则(27-a)(28-a)…(34-a)可以表示为734a A .( )(3)甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有4种.( )(4)若m A 12=9×10×11×12,则m=4.( )(5)5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有120种.( )3.你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?—————————课中案——————————探究点一：简单的排列问题【例1】 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?(2)校园歌手大奖赛共有12名选手参加,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?变式训练1考生甲填报某高校专业意向,打算从5个专业中挑选3个,分别作为第一、第二、第三志愿,则不同的填法有( )A.10种B.60种C.125种D.243种探究点二：排列数公式【例2】 (1)计算:4A 84+2A 85A 88-A 95; (2)若A 2n 3=10A n 3,求正整数n.变式训练2(1)解不等式:A 8x <6A 8x -2.(2)求证:A n +1m −A n m =m A n m -1.规律方法应用排列数公式时应注意的三个方面探究点三：“邻”与“不邻”问题【例3】7人站成一排.(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?变式探究对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种?规律方法元素相邻和不相邻问题的解题策略限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列元素不相邻通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中变式训练3五位师傅和五名徒弟站一排.(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法?(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法?(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法?探究点四：定序问题【例4】 五个人排成一排,求满足下列条件的不同排列各有多少种.(1)A,B,C 三人左中右顺序不变(不一定相邻);(2)A 在B 的左边且C 在D 的右边(可以不相邻).变式训练4元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,如图所示,每次取1盏,则不同的取法共有( )A.32种B.70种C.90种D.280种【课堂小结】—————————课后案——————————1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( )A.5B.10C.20D.60 2.设m ∈N*,且m<15,则620m A =( )A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有( )A.24种B.144种C.48种D.96种4.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_____ 条毕业留言.(用数字作答)5.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?(2)这些四位数中大于6 500的有多少个?。
高二数学《排列组合综合应用》名校导学案
排列组合综合应用使用时间:5.5 班级： 姓名教学目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略. 复习之前用过的解题策略：1.特殊元素和特殊位置优先策略2. 二.相邻元素捆绑策略3.不相邻问题插空策略4. 定序问题倍缩或空位插入策略。
新补充的排列组合解题策略：1.排列组合混合问题先选后排策略例1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法?练1：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A ，B ，C ，D ，E5项工作。
一共有多少种分配方案？2. 元素相同问题隔板策略例2.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？练习 2.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？3.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 ？构造模型化归处理例3. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？练习题：4.某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？5.某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？ BA。
高中数学排列课例设计教案
高中数学排列课例设计教案
目标：学生能够理解排列和组合的概念，能够运用排列和组合的知识解决实际问题。
教学重点：排列、重复排列、循环排列、组合、应用题解答。
教学难点：排列与组合的区分，解决应用题的能力。
教学准备：计算器、白板、彩色粉笔、教学PPT、练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 导入排列与组合的概念，通过举例子引起学生的兴趣。
二、讲解排列（15分钟）
1. 解释排列的概念，并讲解排列的计算公式。
2. 通过实例演示计算排列的方法。
三、讲解组合（15分钟）
1. 解释组合的概念，并讲解组合的计算公式。
2. 通过实例演示计算组合的方法。
四、练习与应用（20分钟）
1. 给学生一些练习题让他们运用排列和组合的知识做题。
2. 组织学生进行小组讨论，解决实际问题。
五、总结与反馈（5分钟）
1. 总结今天所学的内容，强调排列与组合的应用。
2. 请学生回答几个问题，检查学生的掌握情况。
教学设计思路：通过讲解排列和组合的概念，以及实例演示和练习题的形式，让学生掌握排列与组合的基本概念和计算方法，培养学生的逻辑思维和解题能力。
扩展活动：让学生自主设计一些排列和组合的问题，并交换解答，提高学生的创造性和交流能力。
教学反思：排列与组合是高中数学中的基础知识，对于学生的逻辑思维和解题能力很有帮助。
在教学中要注重理论和实践相结合，通过实例演示和练习题的形式巩固学生的学习效
果。
同时，也要关注学生的学习兴趣和实际运用能力，引导学生积极参与课堂活动，提高教学效果。
排列组合的经典教案
排列组合的经典教案作为一位杰出的教职工，常常要根据教学需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
如何把教案做到重点突出呢？下面是店铺收集整理的排列组合的经典教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
排列组合的经典教案篇1一、课标要求：1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2.排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3.二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二、命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。
三、要点精讲1.排列、组合、二项式知识相互关系表2.两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3.排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系= =n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列： =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4.组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm= = ；（3）组合数的性质①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；5.二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
人教A版高中数学选修新课程组合应用题导学案新
1.2.4组合应用题课前预习学案一、预习目标预习：（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题二、预习内容1．组合的定义：mA= = =n3. 课本几个组合应用题，并将24页的探究写在下面课内探究学案一、学习目标（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题学习重难点：解决一些简单的组合典型问题二、学习过程问题探究情境问题一：高一（1）班有30名男生，20名女生，现要抽取6人参加一次有意义的活动，问一下条件下有多少种不同的抽法？⑴只在男生中抽取⑵男女生各一半⑶女生至少一人问题二：10个不同的小球，装入3个不同的盒子中，每盒至少一个，共有多少种装法？合作探究：完成问题一问题二的方法总结①②典例分析例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端. 变式练习1.、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.例2．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。
求：这些直线所交成的点的个数变式练习2、a, b是异面直线；a上有6个点，b上有7个点，求这13个点可确定平面的个数三、反思总结方法：①②③四、当堂检测1、从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（）A．140 B．120 C．35 D．342、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种B．420种 C．630种D．840种3、(07重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种4、（09天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种课后练习与提高1、从1，2，3，4，5中任取两个数分别作为底数和真数，则所有不同的对数值的个数是A ，20 B，16 C，13 D，122、已知x，y ∈N 且C n x = C n y ，则A ，x = yB ，x + y = n C，x = y 或x + y = n D，不确定3．从平面α内取5点，平面β内取4点，这些点最多能组成的三棱锥的个数是A，C53C41B，C94C，C94– C54D，C53C41+C43C51+C52C424．在3000与8000之间有个无重复数字的奇数。
排列与排列数(2)导学案 高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
学科数学年级高二时间年月日课题 3.1.2排列与排列数（2）课型新授课课时第2课时主备教师学习目标1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)一、知识填空1.排列数的定义从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号表示.A n m=n(n-1)…[n-(m-1)]⏟m个数=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).2.排列数公式的阶乘表示全排列数公式的阶乘表示:A n n= = .规定：1!= ，0!= ，A n0= .排列数公式的阶乘表示:A n m= .二、预习自测1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120 C．720 D．2402．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) A．8 B．12 C．16 D．243．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．三、典例探究题型一：无限制条件的排列问题例3.某地区足球比赛共有12个队伍参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？例4.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不同时，都表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？题型二：数字排列问题例5. 用0,1,2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？例6. 用0,1,2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？题型三：排队问题角度一元素“相邻”与“不相邻”问题例7.有3位男生和2位女生，要做某风景点前站成一排照合影，要求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？例8.某晚会要安排3个歌唱节目（记为A、B、C）和2个舞蹈节目（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？变式：3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．角度二元素“在”与“不在”问题例9.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．角度三定序问题例10.将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？四、知识测评1．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有()A．280种B．240种C．180种D．96种2．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有()A．4种B．6种C．8种D．12种3．数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的所有排列中，任意两个数字都不相邻的排列种数是.4．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．五、小结1．解排列应用题的基本思想实际问题――→化归(建模)排列问题――――――――→求数学模型的解求排列数――――――――→得实际问题的解实际问题2．排数字问题常见的解题方法（1）“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排首位.（2）“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.（3）“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.（4）“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.3.排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可采用位置分析法或元素分析法进行排列.应记住相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法.4元素相邻和不相邻问题的解题策略限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列元素不相邻通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法。
高考数学复习知识点讲解教案第24讲 简单的三角恒等变换
1
cos
2
3
∘
10 − sin
2
10∘
=
sin 20∘
4sin 30∘ −10∘
=
1
，故选B.
4
[总结反思]
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,
或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题（1）
cos 20∘
计算：
cos 35∘ 1−sin 20∘
− sin
∘
10
［思路点拨］（1）利用正弦、余弦的二倍角公式化简即可.
[解析] 原式=
∘
1+cos 20∘
2
∘
+ 1 − sin
∘
∘
20
∘
=
1+ 2cos2 10∘ −1
2
∘
cos 10 + cos 10 − sin 10 = 2cos 10 − sin 10 .故选D.
+ 1 − 2sin
∘
10 cos
2
（2）
2
2
sin ± cos
2
2
1 ± sin =___________________.（升幂公式）
2tan
2
2
1+tan
2
2
1−tan
2
2
1+tan
=_________,tan
2
2tan
2
2
1−tan
=_________.（万能公式）
2
（3）
sin =
第六章 考点24 排列、组合的应用题
不满足限制条件的排列数
，
然后再从中减去
．
2．几种典型的排列问题及其处理方法 (1)元素相邻问题，一般用 捆绑法 ，即将必须相邻的元素“ 捆”在一起当作一个元素进行排列． (2)元素不相邻问题：一般用 插空法 ，即把可相邻的两个元 素之间各留出一个空位，将不能相邻的元素插入空位中进行排列 ．
3．组合问题 组合问题可分为两类：一类是不含限制条件的组合问题， 可直接利用公式求解；另一类是含有限制条件的组合问题．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例2】现有0～9这十个数字． (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【思路点拨】 (1)①位置分析法：先确定千位上的数字，由 于千位数字不能为0，故有9种排法；再用剩余的9个数字排剩 余的三位数字，有 P93 种排法，由分步计数原理可得没有重复 数字的四位数的个数是 9P93 ．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【变式训练2】 (1)若用0～9这十个数字组成没有重复数字的三位数，则共 有 648 个； (2)若用0，1，2，3，4，5组成能被5整除且没有重复数字的三 位数，则共有 36 个．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
(1)【提示】∵首位选择的方法有9种，其他数位选择的方法有 P92 种，∴共有 9P92 ＝9×9×8＝648(个)． (2)【提示】N＝P52＋ P41P41 ＝36(个)．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
(3)①位置分析法：由于两端不能站女生，故两端只站男生，有 P32 种站法；剩余5名学生站5个位置，有 P55 种站法．由分步计 数原理可得，共有P32P55 种不同的站法． ②元素分析法：由于女生不能站两端，故4名女生只能站中间 的5个位置，有 P54 种站法；剩余3个位置站3名男生，有 P33 种站 法．由分步计数原理可得，共有P54 P33 种不同的站法．
2024年高考数学 二轮复习第24讲 蒙日圆结论
第24讲 蒙日圆结论蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下：结论一：曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆：2222x y a b +=+．证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或㪷率为0时，可得点P 的坐标是( )a b ±，或( )a b ±−，． 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是()(000 , x y x a ≠±，且)0y b ≠±，∴可设由线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k −=−≠．联立()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪−=−⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +−−+−−=．由判别式0∆=得()(2222220000020xa k x y k yb x −−+−=−)20a ≠．∵ PA PB k k ，是这个关于k 的一元二线方程的两个根，220221. PA PB y b k k x a−∴==−−∴222200x y a b +=−，进而可得证明成立．结论二：双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2x +222y a b =−．结论三：抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．【例1】若动点()00 P x y ，为椭圆32:94x y C +=1外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】(1)当切线斜率存在时，设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x −=−，即()00y kx y kx =+−．设从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率分别为12 k k ，，则121k k =−． 将直线()00y kx y kx =+−的方程代入椭圆C 的方程并化简得()(2209418kx k y ++−)()20009360kx x y kx +−−=，()()()222000018494[9360k y kx k y kx ⎤⎡⎤∆=−−⨯+⋅−−=⎣⎦⎦，化简得()2200940y kx k −−−=，即()()22200009240x k x y k y −−+−=，则12 k k ，是关于k 的一元二次方程(20x −9)()22000240k x y k y −+−=的两根，则12k k =2020419y x −=−−，化简得220013x y +=． (2)当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为( 3 2)±±，，此时，点P 也在圆2213x y +=上．综上所述，点P 的轨的方程为2x +213y =．【例】过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆22:13x C y +=的两条切线 m n ，，求证：m n ⊥．【解析】证明：设()00 P x y ，．(1)当0x =时，01y =±，其中一条切线斜率不存在，另一条切线平行于x 轴，∴m n ⊥．(2)设0x ≠，则两条切线斜率都存在．设直线m 的斜率为k ，则其方程为()00y y k x x −=−．把00y kx y kx =+−代入2213x y +=并整理得()()2200136k x k y kx x ++−+()200330y kx −−=，由0∆=可得，()22200003210x k x y k y −++−=．注意到直线n 的斜率也适合这个关系，∴ m n ，的㸯率12 k k ，就是上述方程的两根，由韦达定理，2122013y k k x −=−．由于点P 在圆22:4O x y +=上，()220031x y −=−−，∴121k k =−．这就证明m n ⊥． 综上所述，在圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线 m n ，，总有m n ⊥．【例3】已知椭圆2222:1(x y C a b a b+=>>0)圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F 0)，，其短轴上的一个端点到F的距离为(1)求椭圆C 的方程及其“准圆”方程．(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12 l l ，交“准圆”于点 M N ，．①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12 l l ，的方程并证明12l l ⊥． ②求证：线段MN 的长为定值．【解析】(1)依题意可得c a =，2221b a c =−=，∴22 1 23x y r +===，．22:4O x y +=． (2)证明：①由(1)题可得(0 2)P ，，设切线方程为：2y kx =+．联立22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得223(2)3x kx ++=，整理可得()22311290k x kx +++=． ∴()2221443631036k k k ∆=−+=⇒−360=，解得1k =±．∴设直线PM ：2y x =+，直线:PN y =2x −+．∴PM PN ⊥，即12l l ⊥． ②设()00 P x y ，，直线0:PM y y −=()10k x x −．则()0102233y y k x x x y ⎧−=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2210033x k x x y ⎡⎤+−+=⎣⎦． 即()()222110103166k x k x k y x +−−+22210100036330k x k y x y −+−=． ∴()()()222222101011010003643136330k x k y k k x k y x y ∆=−−+⋅−+−=．整理得()222100103210x kx y k y −++−=．同理，设切线PN 的斜率为2k ，则有()2220200203210x k x y k y −++−=．∴20122013y k k x −=−．∴||MN 在“准圆”上．∴22220000413x y y x +=⇒−=−，∴121k k =−．∴ PM PN MN ⊥∴，为“准圆”的直径．∴||MN 为定值，||4MN =．评注：此题的准圆方程其实就是蒙旦圆方程，那看到蒙日圆方程，我们自然就知道PM PN MN ⊥，为“蒙日圆”的直径这个题其本就解出夹了．双切线模型的解题方法所谓双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构式，同构式的含义是结构相同变量不同的式子，比如()11A x y ，满足110Ax By C ++=，()22B x y ，满足220Ax By C ++=，这两个式子就是同构式，则可知点A B 、在直线0Ax By C ++=上，这个同构式其实就是整体代换的思想，也是我们解决双切线问题的核心和关键． 双切线问题的解题步骤：①根据曲线外一点()00P x y ，设出切线方程()00y y k x x −=−． ②和曲线方程联立，求出判别式0∆=． ③整理出关于双切线斜率12k k 、的同构方程． ④写出关于12k k 、的韦达定理，并解题．双切线定值问题【例1】如下图所示，已知拋物线2:C y =4x ，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA MB 、分别与拋物线C 相切于点A B 、，设直线MA MB 、的斜率分别为12k k 、．证明：12k k ⋅为定值．【解析】证明：抛物线C 的准线方程为1x =−．设点()1M t −，， 设过点()1M t −，的直线方程为()1y k x t =++． 联立()214y k x t y x ⎧=++⎨=⎩，消去x 得24440ky y k t −++=． 其判别式()1616k k t ∆=−+，令0∆=， 得210k tk +−=．由韦达定理知121k k =−， 故121k k =−(定值)．【例2】为抛物线2:4C y x =的准线上任一点，过点P 作抛物线C 在其上点处的切线PA PB 、，切点分别为A B 、，直线0x =与直线PA PB 、分别交于M N 、两点，点M N、的纵坐标分别为m n 、，求mn 的值．【解析】设点P 的坐标为()01y −，，直线AP 的方程为()101y k x y =++，直线BP 的方程为()201y k x y =++．联立()21041y x y k x y ⎧=⎪⎨=++⎪⎩，得21104440k y y k y −++=．∴()110164440k k y ∆=−+=，得21k +0110y k −=．同理可得220210k y k +−=，∴120121k k y k k +=−⎧⎨=−⎩．分别令0x =，得10m k y =+，20n k y =+， ∴()()1020mn k y k y =++()2012012y k k y k k =+++22001y y =−−1=−∴mn 为定值1−．【例3】设M 是圆2212x y +=上任意一点，由M 引椭圆22:184x y C +=的两条切线MA MB 、．当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值．【解析】证明:设点()00M x y ，，且220012x y +=．由题意知，过点M 引椭圆C 的切线方程可设为()00y y k x x −=−，联立()0022184y y k x x x y ⎧⎪⎨⎪=−+=⎩−化简得：()()()2220000124280k x k y kx x y kx ++−+−−=∵直线与椭圆相切，∴()()()22200004412280k y kx ky kx ⎡⎤∆=⎡−⎤−+⋅−−=⎣⎦⎣⎦，化简得()22200008240x k x y k y −−+−=．∴22200012222000444181284y y y k k x y y −−−====−−−−−． ∴两条切线斜率的积为定值1−．双切线斜率引申问题【例1】过椭圆223:144x y C +=上的任意一点P ，向圆()222:0O x y r r b +=<<引两条切线12l l 、．若12l l 、的斜率乘积恒为定值，求圆O 的面积．【解析】设点()00P x y ，，则22003144x y +=，2200433x y =−设切线方程为()00y y k x x −=−，000kx y y kx −+−=，∴r =．两边平方得()22222000020x r k x y k y r −−+−=，则2202212222200433x r y r k k x r x r−+−−==−−， ∴22433r r −=，解得21r =． ∴圆O 的面积为π．【例2】P 是22:12x C y +=外的一点，过P 的直线12l l 、均与C 相切，且12l l 、的斜率之积为112m m ⎛⎫−≤≤− ⎪⎝⎭，记u 为PO 的最小值，求u 的取值范围．【解析】由题意可知，直线12l l 、的斜率存在且不为零． 设过点()00P x y ，的切线()00:l y y k x x −=−，联立()002212y y k x x x y ⎧−=−⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 可得()()()2220000214220k x k y kx x y kx ++−+−−=，由于直线l 与椭圆C 相切， 则()()()2222000016421220ky kx k y kx ⎡⎤∆=−−+⋅−−=⎣⎦，化简并整理得()220021y kx k −=+，整理成关于k 的二次方程得()22200002210x k x y k y −−+−=(易知0x ≠)，设直线12l l 、的斜率分别为12k k 、，∴20122012y k k m x −==−．∴220012y mx m =+−．∴()22200112x y m x m +=++−．∴PO ==．易知当00x =时，有min u PO == ∵112m −≤≤−，∴u ≤即u的取值范围是．【例3】如下图所示，设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A B 、，若点P 为圆()2221x y ++=上的点，记两切线PA PB 、的斜率分别为12k k 、，求1211k k −的取值范围．【解析】设点()00P x y ，，则直线PA 的方程为1100y k x k x y =−+，直线PB 的方程为2200y k x k x y =−+．由11002y k x k x y y x=−+⎧⎨=⎩，可得211000k y y k x y −−+=． ∵直线PA 与拋物线Γ相切，∴()211000101144410k k x y x k y k ∆=−−+=−+=．同理可得202024410x k y k −+=．∴12k k 、是方程2004410x k y k −+=的两根． ∴0120y k k x +=，12014k k x =，则12k k −=．又∵()220021x y ++=，则031x −≤≤−，∴121212114k k k k k k −⎡−====⎣，．双切线交点弦问题所谓双切线交点弦问题指的是由一点引出一个曲线的两条切线和另外的曲线有交点时引申出来的问题，解题时通常需要用12k k 、来凑韦达定理． 题型一：双切线交点弦过定点问题【例1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为2，点A 为椭圆C 的左顶点． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设圆()()222:202M x y rr +−=<<，过点A 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于点B 和D ，求证：直线BD 过定点．(1)【解析】由题意得24a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩2221b a c =−=． ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)证明)设切线AB AD 、的方程为()2y k x =+，则r =，即()2224840r k k r −−+−=．设两切线AB AD 、的斜率为12k k 、，则121k k =．联立()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++−=，设点()11B x y ，，点()22D x y ，，则211212814k x k −=+，1121414k y k =+， 同理2221222212828144k k x k k −−==++，212222144144k k y k k ==++， 则()11221112221112211444143282841414BDk k k k k k k k k k k −++==−−+−++．∴直线BD 的方程为()21112221114328141441k k k y x k k k ⎛⎫−−=− ⎪+++⎝⎭，整理得()121310341k y x k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，故直线BD 过定点1003⎛⎫− ⎪⎝⎭，． 题型二：双切线交点弦定值问题【例1】若直线l 过拋物线2:2C x y =的焦点F 且与拋物线C 相交于M N 、两点，过点M N 、分别作抛物线C 的切线12l l 、，切线1l 与2l 相交于点P ，求2PF MF NF −⋅的值．【解析】抛物线C 的方程可化为212y x =，求导可得y x '=． 设点M N 、的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，．设直线l 的方程为12y kx =+(直线l 的斜率显然存在)．联立21212y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y 整理得2210x kx −−=，可得121221x x k x x +=⎧⎨=−⎩．有()21212121y y k x x k +=++=+，2212121144y y x x == 可得直线1l 的方程为2111(2y x x x −=−)1x ，整理为21112y x x x =−． 同理直线2l 的方程为22212y x x x =−．联立方程2112221212y x x x y x x x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，解得121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点P 的坐标为12k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，． 由拋物线的几何性质知112MF y =+，212NF y =+，PF ==()()221212********* 2112224424MF NF y y y y y y k k ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++=+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴20PF MF NF −⋅=．【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412x y C +=，设点()00R x y ，为椭圆上任意一点．过原点作圆()()2200:8R x x y y −+−=的两条切线，分别交椭圆于P Q 、两点． (1)若直线OP OQ 、相互垂直，求R 的方程．(2)若直线OP OQ 、斜率存在，并记为12k k 、，求证：12k k ⋅是一个定值． (3)22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值．若不是，请说明理由． 【解析】(1)由()()2200:8R x x y y −+−=，可得r =∵OP OQ ⊥，∴4OR ==，即220016x y +=，联立22000220001241216x y x y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=−⎪⎪⎩+=⎩或00x y ⎧=−⎪⎨=−⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=−⎪⎨=⎪⎩． ∴R的方程为：((228x y +++=或((228x y ++−=或((228x y −++=或((228x y −+−=．(2)证明；设12:,:OP y k x OQ y k x ==． ∵OP 与R 相切，∴R OP d r −===．()()22100181k x y k ⇒−=+．化简可得()222010*******x k x y k y −−+−=．对于直线2:OQ y k x =，同理可得()2220200208280x k x y k y −−+−=． ∴12k k 、为()22200008280x k x y k y −−+−=的两根．∴20122088y k k x −=−∵220012412x y += ∴2200242x y =− ∴2012208124282y k k y −==−−−． (3)当P Q 、不在坐标轴上时，设点()11P x y ，，点()22Q x y ，．∴联立122222122412412y k x x k x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩．∴21212421x k =+，2211212421k y k =+． 同理可得22222421x k =+，2222222421k y k =+． ∴()()222212222212112222222211221224124124242424212121212121k k k k x y x y k k k k k k +++++=+++=+++++++ ()22211122211111362121243621211212k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+− ⎪++⎢⎥⎝⎭=+==⎢⎥++⎛⎫⎢⎥−+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 若P Q 、在坐标轴上(不妨设P 在x 轴)上，则点()0P，点(0Q ，． ∴2236OP OQ +=．综上所述，22OP OQ +为定值36．【例3】如下图所示，过椭圆22:12x C y +=上且位于y 轴左侧的一点P ，作圆()22:11E x y −+=的两条切线，分别交y 轴于点M N 、．是否存在点P，使3MN =？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【解析】设点()()0000P x y x <，，()0M m ，，()0N n ，． 直线PM 的方程为00y my x m x −=+，即()0000y m x x y mx −−+=．∵圆心()10E ，到直线PM 的距离为11=，()()()222220000002y m x y m x m y m x m −+=−+−+，()2000220x m y m x −+−=．同理()2000220x n y n x −+−=．由此可知，m n 、为方程()202x x −+0020y x x −=的两个实根， ∴0022y m n x +=−−，002x mn x =−−．MN m n =−===． ∵点()00P x y ，在椭圆C 上，则220012x y +=即220012x y =−，则MN ==令3=，则()2029x −=． ∵00x <，则01x =−，22001122x y=−=，即02y=±， ∴存在点12P ⎛−± ⎝⎭，满足题设条件． 题型三：双切线交点弦最值问题【例1】如下图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12F F 、点,A B 在椭圆上，且1F 在AB 边上，2ABF ∆的周长等于．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M N 、，求PMN ∆面积的最大值．【解析】(1)∵2ABF ∆的周长等于，点A B 、在椭圆上，且1F 在AB边上．∴4a =即a ．又∵离心率3c e a ==，∴c 222321b a c =−=−=． ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=．(2)设点()P P P x y ，，则224P P x y +=．①当两条切线中有一条切线的斜率不存在时，即P x =1P y =±， 则另一条切线的斜率为0，从而PM PN ⊥．11222PMN S PM PN ∆=⋅=⨯⨯= (2)当切线斜率都存在，即P x ≠P 的椭圆的切线方程为()P P y y k x x −=−，联立()2213P P y y k x x x y ⎧−=−⎪⎨+=⎪⎩，得()()()222316330P P P P k x k y kx x y kx ++−+−−=，则()()()2226431330P P P P k y kx k y kx ⎡⎤∆=⎡−⎤−+⋅−−=⎣⎦⎣⎦， 即()2223210P P P P x k x y k y −++−=．设切线PM 和PN 的斜率分别是12k k 、．∴()2221222214131333P PP P P Px y x k k x x x −−−−+====−−−−． 从而PM PN ⊥，则线段MN 为圆O 直径，4MN =．()2222111114422244PMN S PM PN PM PN MN ∆⎡⎤=⋅≤+==⨯=⎢⎦⎣．当且仅当PM PN =时，等号成立，PMN S ∆取得最大值为4．综上所述，PMN S ∆的最大值为4．【例2】设()G m n ，是椭圆22:14x E y +=上的动点，过原点O 作圆()()224:5G x m y n −+−=的两条斜率存在的切线分别与椭圆E 交于点A B 、，求OA OB +的最大值．【解析】设圆()()2245x m y n −+−=的切线()OA OB 的方程为y kx ==整理得()222541054m k mnk n −−+−=0，其两根12k k 、满足21225454n k k m −=−①，这里1OA k k =，2OB k k =，且2214m n +=②，由①②得1214k k =−． 设点()11A x kx ，，点()22B x kx ，，则1OA =，2OB =，又∵22211114x k x +=，22222214x k x +=，∴()()22122112141114k OA kxk +=+=+，()()22222222241114k OB kxk +=+=+，则()222212222222121212324433225141414416k k OA OB k k k k k k +++=++=+=+++++． ∵()()222002a b a b a b +≤+>>，，当且仅当a b =时，取等号，∴OA OB +≤=OA OB =时，取等号，即()maxOA OB+=题型四：双切线交点弦范围问题 【例1】如下图所示，已知圆()224:9T x t y −+=，过椭圆22:143x y C +=的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E F 、两点，当圆T 的圆心在x 轴上移动且()01t ∈，时，求EF 的斜率的取值范围．【解析】椭圆的上顶点为(0M ，设过点M 与圆T相切的直线方程为y kx =．由直线y kx =+T23=，()2294230t k −++=，∴12k k +=1222394k k t =−联立122143y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2211340k x x ++=，∴1E x =2F x =，((()12121212334E F E F E F EFE F E F E F k x k x k k y y k x k x k x x x x x x k k +−+−−=====−−−−，当01t <<时，()210427f t t =−为增函数，故EF的斜率的范围为0⎛ ⎝⎭． 【例2】经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆22:14x C y +=的两条切线，切点分别记为A B 、，直线PA PB 、分别与圆O 相交于异于点P 的M N 、两点．(1)求证：0OM ON +=．(2)求OAB ∆的面积的取值范围．【解析】(1)证明：设点()00P x y ，．(1)当直线PA PB 、的斜率都存在时，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为(y k x =−)00x y +．联立()0022440y k x x y x y ⎧=−+⎨+−=⎩，消去y 得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++−+⋅−−=． ()())(222200006441444k y kx k y kx ⎡⎤∆=−−+−−⎣⎦．令0∆=，整理得：()22200004210x k x y k y −++−=．设直线PA PB 、的斜率分别为12k k 、．∴212214y k k x −=−． 又22005x y +=．∴()220012220154144x x k k x x −−−===−−−． ∴PM PN ⊥，即MN 为圆O 的直径， ∴0OM ON +=．②当直线PA 或PB 的斜率不存在时，不妨设()21P ，， 则直线PA 的方程为2x =．∴点()21M −，，点()21N −，，也满足0OM ON +=． 综上，有0OM ON +=． (2)设点()11A x y ，，点()22B x y ，．当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =−+． 联立()11122440y k x x y x y ⎧=−+⎨+−=⎩，消去y 得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++−+−−= ()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=−−+⋅−−⎣⎦．令0∆=，整理得()221111142x k x y k −++2110y −=．则11111122111444x y x y x k x y y −−=−==−． ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y −=−+． 化简可得22111144x x y y y x +=+，即14x x+11y y =． 经验证，当直线PA 的斜率不存在时， 直线PA 的方程为2x =或2x =−，也满足1114x xy y +=． 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=． ∵()00P x y ，在直线PA PB 、上， ∴101014x x y y +=，202014x xy y +=．。
高二数学教案：排列与组合导
高二数学教课设计：摆列与组合导1.2 摆列与组合 (一)学习目标明确摆列与组合的联系与差异，能判断一个问题是摆列问题仍是组合问题 ;能运用所学的摆列组合知识，正确地解决的实际问题 .学习过程一、学前准备复习：1.(课本 P28A13) 填空：(1)有三张观光卷，要在 5 人中确立 3 人去观光，不一样方法的种数是;(2)要从 5 件不一样的礼品中选出 3 件分送 3 为同学，不一样方法的种数是;(3)5 名工人要在 3 天中各自选择 1 天歇息，不一样方法的种数是 ;(4)会合 A 有个元素，会合 B 有个元素，从两个会合中各取 1 个元素，不一样方法的种数是;二、新课导学◆研究新知 (复习教材 P14～ P25，找出迷惑之处)问题 1：判断以下问题哪个是摆列问题，哪个是组合问题：(1)从 4 个景色点中选出 2 个安排旅行，有多少种不一样的方法 ?(2)从 4 个景色点中选出 2 个，并确立这 2 个景色点的旅行顺序，有多少种不一样的方法?◆应用示例例 1.从 10 个不一样的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目必定不可以排在第二个节目的地点上，则共有多少种不一样的排法 ?例 2.7 位同学站成一排，分别求出切合以下要求的不一样排法的种数 .(1) 甲站在中间 ;(2)甲、乙一定相邻 ;(3)甲在乙的左侧 (但不必定相邻 );(4)甲、乙一定相邻，且丙不可以站在排头和排尾;(5)甲、乙、丙相邻 ;(6)甲、乙不相邻 ;(7)甲、乙、丙两两不相邻。
◆反应练习1.(课本 P40A4) 某学生邀请 10 位同学中的 6 位参加一项活动，此中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法 ?2.5 男 5 女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间 ;(2) 女生按指定次序摆列3.马路上有 12 盏灯，为了节俭用电，能够熄灭此中 3 盏灯，第2页/共5页但两头的灯不可以熄灭，也不可以熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有 ______种.当堂检测1.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中，那么不一样插法的种数为 ( )A.42B.30C.20D.122.(课本 P40A7) 书架上有 4 本不一样的数学书， 5 本不一样的物理书， 3 本不一样的化学书，所有排在同一层，假如不使同类的书分开，一共有多少种排法 ?语文课本中的文章都是优选的比较优异的文章,还有许多名家名篇。
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高考数学第二轮复习第24讲排列、组合应用
题导学案
一、复习目标掌握分类计数原理和分步计数原理的实质，理解并掌握排列、组合的有关问题，能用它们计算和论证一些简单问题。
二、课前热身1 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）
A、56
B、52
C、48
D、402、如果三位数的位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（）
A、240个
B、285个
C、231个
D、243个
3、如图, 闭合一些开关能够接通电路的不同方法共有种、
4、现有6人分乘两辆不同的出租车, 每辆车最多乘4人, 则不同的乘车方案数为 ( )
A、70
B、60
C、50
D、405、“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为
三、例题探究例
1、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。
（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例
2、现有4 个不同的球与4个不同的盒子，把球全部放入盒内，（1）共有多少种放法？（2）恰有1 个盒子不放球，共有多少种不同的放法？（3）恰有1 个盒子内有2球，共有多少种不同的放法？（4）恰有2 个盒子不放球，共有多少种不同的放法？654321例3 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。
现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有种？备用题
规定，其中是正整数且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广。
（1）（文）求的值；（理）求的值；（2）（文）设，当为何值时，取最小值？（理）组合数的两个性质：①②是否都能推广到（）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；
若不能，则说明理由；（3）（文）同（2）（理）（理）已知组合数是正整数，证明当是正整数时，
四、方法点拔
1、要注重排列组合问题的常规解法的应用：如例1（1）有限制条件的问题，可以从特殊位置或从特殊元素考虑；例1（2）不相邻的问题，用插空法；例2排列组合混合问题，先选后排；
2、注意几何问题中的排列组合，并注意间接法的应用；
3、体会分类讨论思想在解题中的应用，如例3；
4、要熟练地运用排列数、组合数的计算公式来计算、证明有关问题；
5、在处理图形的染色问题时，要注重“整体思想”的应用，如例3。
冲刺强化训练（24）班级＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿日期＿＿月＿＿日
1、五人站成一排，甲、乙均不与丙相邻的不同排法种数
是、（用数字作答）
2、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有( )
(A)
144 (B)
96 (C)
72 (D)
3、如图，在一个田字形区域
A、
B、
C、D中栽种观赏植物，要求同一区域中种同一种植物、相邻两区域中种不同的植物(A与
D、B与C不为相邻)现有4种不同的植物可供选择，则不同的种植方案有 ( )
(A)24种 (B)36种
(C)
48种 (D)
84种
4、设{an}为等差数列，从{a1，a2，a3，a10}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有（）(A)90个 (B)120个 (C)180个 (D)200个
5、为配制某种染色剂, 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂, 其中有机染料的添加顺序不能相邻、现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响, 总共要进行的试验次数为、(用数字作答)
6、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=1，-9}的“同族函数”共有（）
B、8个
C、9个
D、10个
7、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴方向跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过7次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，求质点不同的运动方法种数（用数字作答）。
8、将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字填入右图的空格中，要求每行从左到右，每列从上到下都依次增大，且4已经固定，求所有不同的填入方法数。
4C6C5C4C3C2C1D4D3D2D1BA
9、如图，以AB为直径的半圆周上有异于
A、B的6个点。
线段AB上有异于
A、B的4个点。
问：（1）以这10 个点（不包括
A、B）中的3个点为顶点可作几个三角形？其中含点的三角形有几个？（2）以图中的12个点中的4 个点为顶点可作多少个四边形？第24讲排列、组合应用题
【课前热身】
1、C
2、A
3、21
4、C
5、76542
【例题探究】
例
1、(1)第一节排数学时，共有种排法，第一节不排数学时，有种排法，故所有的排法共有种。
另解：所有的排法共有种，体育排在第一节的排法有种，数学排在最后一节的排法有种，体育排在第一节且数学排在最后一节的排法有种，故满足条件的所有的排法共有种。
(2)
〖教学建议〗引导学生从不同的角度来处理问题。
例
2、（1）每个球均有4种不同的放法，故所有的放法有
4444=256种，（2）恰有一个盒子不放球，也即有一个盒子放两个球，另两个盒子各放一个球的放法有种，（3）恰有一个盒子放两个球，也即有一个盒子不放球，另两个盒子各放一个球的放法有种，（4）分两类，一类是一个盒子放3个球，另一个盒子放1个球，共种放法，另一类是两个盒子均放两个球，共有种放法，故所有的不同放法共有种。
例
3、先选3种颜色的花分别栽种在区域
1、2、3上，然后对区域5与区域
2、3的颜色是否相同进行讨论：（1）区域5与区域2相同，区域4 只有一种栽法，区域6有2种栽法，共有432112=48种不同的栽法；（2）区域5与区域3相同，区域6 只有一种栽法，区
域4有2种栽法，共有432112=48种不同的栽法；（3）区域5与区域
2、3均不相同，共有432111=24种不同的栽法；故所有不同的栽种方法共有48+48+24=120种。
备用题、（1）解：（2）解：（3）解：性质①不能推广。
例如当时，有意义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是是正整数。
事实上，当时，有；当时，冲刺强化训练（24）
1、36
2、A
3、C
4、B
5、1440
6、C
7、经过7次跳动，质点落在点（3，0），说明质点向轴正方向跳动5次，向轴负方向跳动2次，将2次负方向跳动“插入”5次正方向跳动之中，有种不同的运动方法。
8、显然1只能填入左上角空格，9只能填入右下角空格，2，3只能填入“1”的右边或下边空格，有2种不同的填法；再从5，6，7，8四个数中任取2个，有种取法，填入右面两个空格，只有一种填法，其余2个数填入剩下的两个空格中，也只有一种填法，则所有不同的填入方法共有2=12种。
9、（1）因为四点共线，所以以这10 个点（不包括
A、B）中的3个点为顶点可作三角形的个数为；其中含点的三角形有个（2）以图中的12个点中的4 个点为顶点可作个四边形。