线面垂直面面垂直及二面角专题练习

线面垂直专题练习
一、定理填空： 1.直线和平面垂直
如果一条直线和 ，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理
线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直
于这个平面.
判定定理1：如果两条平行线中的一条 于一个平面，那么 判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 . 二、精选习题：
1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①
M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭
⎬⎫
⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )
A.DP ⊥平面PEF
B.DM ⊥平面PEF
C.PM ⊥平面DEF
D.PF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交
B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直
C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直
D.过a 一定可以作一个平面与b 平行
4.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )
A.α⊥γ且l ⊥m
B.α⊥γ且m ∥β
C.m ∥β且l ⊥m
D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直
其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2
D.3
第3题图
6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，
其中真命题
．．．的序号是( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.
求证:VC⊥AB;
8.如图所示，P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面P AD.
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
(1)求证：NP⊥平面ABCD.
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
面面垂直专题练习
一、定理填空
面面垂直的判定定理： 二、精选习题
1、正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，AB 与CD 所成的角等于____________
2、三棱锥P ABC -的三条侧棱相等，则点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的____心.
3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________
4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________
5、已知l αβ--是直二面角，,,A B A B l αβ∈∈∉、，设直线AB 与α成30
角，AB=2，B
到A 在l 上的射影N
，则AB 与β所成角为______________. 6、在直二面角βα--AB 棱AB 上取一点P ，过P 分别在βα,平面内作与棱成 45°角的斜线PC 、PD ，则∠CPD 的大小是_____________
7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________. 二、解答题：
8. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中. 求证：平面ACD 1 ⊥ 平面BB 1D 1D
D 1C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
10、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．
11、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．问△ABC 是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．
A B C P A B C P
二面角练习1210
1.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,二面角A －BD 1－C 的大小是（ ） A.
65π B.32π C.2π D.3
π 2.边长为a 的正三角形中，AD ⊥BC 于D,沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC=
a 2
1
，这时二面角B －AD －C 的大小为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°
3.以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高为折痕，将△ABC 折起，若折起后的三角形ABC 为等边三角形，则二面角C －AD －B 的大小为（ ）
A. 30° B . 60° C. 90° D. 120°
4在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别 是AC 、AD 、CA 的中点。

求证：BEF
BEG 平面平面^。

性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。

二面角的基本求法
(1)定义法：在棱上取点，
B
A
直。

9．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，，
（1）求证：SB BC ^；（2）求二面角S-BC-A 和C SA B --的大小；
（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

10.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求（1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。

11.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点， 求二面角1A BD P --的大小。

(2)．三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影
垂直。

12．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是 矩形且AF=
1
2
AD=a ，G 是EF AGC BGC ^平面平面；（2）求GB
C
角的正弦值；
（3）求二面角B AC G --的大小。

13．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，ABC
?PAB 是正三角形，
PA BC ^。

（1）求证：^平面PA B 平面A （2）求二面角P AC B --的大小。

（3）．垂面法
14.将一副三角板如图拼接，并沿BC 折起成直二面角，设AB=AC=a , ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B －AD －C 的大小 及二面角C －AB －D 的正切值。