函数的最值与值域知识梳理

函数的最值与值域考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值知识网络】考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，存在x0 D ，使得f(x) f(x0)成立，则称f(x0)是函数f (x) 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，都有f(x) M ，则称M 是函数f(x)的最大值．2. 最小值的定义同学们自己给出．考点二、函数最值的常用求法1. 可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2. 判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0(要注意二次项系数为0 的情况)求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3. 换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4. 不等式法：利用均值不等式求最值．5. 利用函数的性质求函数的最值6. 含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7. 利用导数求函数的最值。

要点诠释：(1) 求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；(2) 一些能转化为最值问题的问题:f (x) A在区间D上恒成立函数f(x)min A(x D)f (x) B 在区间D上恒成立函数f(x)max B(x D)在区间D上存在实数x使f(x) B 函数f (x)min B(x D)在区间D上存在实数x使f(x) A 函数f (x)max A(x D)典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值例 1. 求函数 f (x) e2x me x e2x me x的最值．【解析】 f (x) e2x e2x m(e x e x)x x 2 x x(e e ) m(e e ) 2令t e x e x(注意t 的范围)，这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现x2 x 2和x x 1时，都可以化为二次式．举一反三：【变式】求函数y 1 x x 3 的值域．解：平方再开方，得y 4 2 (1 x)(3 x),x [ 3,1] y [2,2 2] 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值例 2. 求下列函数值域：2x-1(1) y ；1)x ∈[5 ，10] ；2)x ∈(-3 ，-2) ∪(-2 ，1)；x22(2)y=x 2-2x+3 ；1)x ∈[-1 ，1]；2)x ∈[-2 ，2].【解析】(1) Q y2(x 2)-5 -5 +2可看作是由y-5左移 2 个单位，x 2 x 2 x再上移 2 个单位得到，如图9 191)f(x) 在［5 ，10］上单增，y ［ f (5), f (10)］即［ , ］；7 122) y (- , f (1)) ( f (-3), )即(- ，3) (7，)；(2) 画出草图即[2 ，6] ；2) y [ f (1), f (-2)]即[2,11] . 举一反三：1 3x 【变式】已知函数 f (x)1 3x.1 3x(1) 判断函数 f(x) 的单调区间； (2) 当 x ∈[1 ，3]时，求函数 f(x) 的值域 .【解析】(1) f (x)1 3x1 3x1f(x) 在(- ， )上单调递增，在 ( , 33 1(2) [1,3] (3, )故函数 f(x) 在[1 ， 3 ∴ x=1 时 f(x) 有最小值， f(1)=-25x=3 时 f(x) 有最大值 f(3)4( 3x 1) 21 3x1 ∴x ∈[1，3]时 f(x) 的值域为 [ 2, 54]类型三、含参类函数的最值与值域问题 例 3. ( 2015 保定模拟)若函数 mn 【答案】 解析】 gx 2x1 2x gx 2x1 2xsin 12 1 2xsin xgx +g x2x 12x 1sin x123x 1 ) 上单调递增；3] 上单调递增2x1x xsinx 在区间 2x1k,k k 0 上的值域为 m,n ，则sinx2x1 2xsinx 1 0gx gxg x 为奇函数，函数图像关于原点对称 函数 x 在区间 k,k 0 上的最大值记为 a,(a>0),则函数 g x 在区间 k,k k 0 上的最小 值为 -a 2 a 即 2 m2a,n 2 am 4 故选D.举一反三：变式】已知函数 f (x) 2x,x 2x(x 1)3,x若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 2 解析】 f(x) (x x k 有两个不同的实根，则实数 2) 单调递减且值域 3 (0,1]， f (x) (x 1)3(x 2) 单调递增且值域为 ( ,1)， 由图象知，若 f (x)类型四、抽象函数的最值与值域问题 k 的取值范围是( 0,1 ). 例 4. 若函数 y1 f (x) 的值域是 [ 1,3] ，则函数 2 F(x) f(x) f (x) 1 的值域是( 1 A ．[1 ,3] 2 【答案】 BB ．[2,130]C ． [52,130]D ．[3,130] 解析】令 t f(x) ，则t[ 12 ,3]， F(x) t1[2, 10] t [2, 3 ]举一反三：变式】设函数 f(x)2x， x ≤ 1，x 22，1，f(f(2) 11)的值为( 15 A ．16【答案】B ．27 16C．D ． 18解析】 2∵ f (2) 222 2 4，f(1 12 f (2)) f(41) 1 (14)2 15 16类型五： 函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用例 5.2016 全国新课标Ⅱ) ( Ⅰ ) 讨论函数 f(x)x 2e x 的单调性，并证明当 x 0 时， x2x(x 2)e x( Ⅱ ) 证明：当 ax[0,1) 时，函数 g ( x )= e a 2x a (x x 20)有最小值 .设 g(x)的最 小值为 h(a)，求函数 h(a) 的值域．解析】(Ⅰ) f(x) 的定义域为 ( , 2) ( 2, ).f '(x) (x 1)(x 2)e x(x2x2)e x2xxe 20,(x 2)2(x 2)2且仅当 x 0时， f '(x) 0 ， 所以 f(x) 在 (, 2),( 2, ) 单调递增，因此当 x (0, )时， f(x) f (0) 1,所以 (x 2)e x(x 2),(x2)e xx 20(x 2)e x a(x 2) 3x因此。

存在唯一x 0(0，2]，使得f(x 0)+a 0，即g (x 0) 0，当0 x x 0时， f (x) a 0,g (x) 0, g(x)单调递减； 当x x 0时，f (x) a 0,g '(x) 0,g(x)单调递增。

因此g(x)在x x处取得最小值，最小值为1 e 2使得 h(a) ,所以 h(a) 的值域是 (1,e【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的 综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力 .(Ⅱ)g '(x)x23 (f(x) a) x由(Ⅰ)知，f (x) a 单调递增，对任意 a [0 ，1), f(0)+ aa 1 0, f (2) a a 0,g(x 0)e x0 a(x 0 1) e x0f ( x 0 )( x 0 1) 2x022x02 e x 0x 0 2h(a) x e 2,由(x e 2)x 0 2 由x 2(x 1)e x(x 2)2xe 0,x 2 单调递增，所以， 1由 x 0 (0 ，2] 得， 2 0e 02 h(a)e x 0x 0 222ee 2 24因为 x xe 单调递增，对任意21 e 2(12 , e 4 ],存在唯一的 x 0(0, 2], a f(x 0) [0,1),综上，当 a [0,1) 时， g(x)有h(a)，h(a) 的值域是e 2 (12, 4].举一反三：e2【变式】设函数 f x 2 k lnx ( k 为常数， e 2.71828L 是自然对数的底数) xx(I)当 k 0时，求函数 f x 的单调区间；(II )若函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点，求 k 的取值范围 .【解析】 (I) f x 的定义域为 0, ，'x 2 e x kx f 'x3x 0x 3当 k 0 时， kx 0 ，e x kx 0令f ' x 0则 x 2，当 0 x 2 时， f 'x 0 ， f x 单调递减 . 当x 2时， f 'x 0， f x 单调递增 .f x 的单调递减区间为 0,2 ， f x 的单调递增区间为 2, (II )由(I)知， k 0 时，函数 f x 在 0,2内单调递减，故 f x 在 0,2 内不存在极值点函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点Q g'x e xkx lnkee当 0 k 1 时，当 x 0,2 时， g 'xe x k 0 ， y g x 单调递增，故f x 在 0,2 个极值点 .当 k 1 时，得：x 0,lnk 时， g ' x 0 ，函数 y g x 单调递减 ,当 k 0时，设函数 g x e x kx,x 0,x lnk,时， g 'x 0 ，函数 y g x 单调递增 ,内不存在两y g x 的最小值为 g lnk k 1 lnkg ln k 0 g 2 0 0 ln k 22解得 e k e2e 2综上所述函数 f x 在 0,2内存在两个极值点时， k 的取值范围为： e,2类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例 6. 设数列 Sn *a n 的前n 项和为 S n ，点(n, n )(n N * )均在函数 y 3x 2的图像上 . n (Ⅰ)求数列a n 的通项公式；数 m .1 2)求证： f(13) 1．Ⅱ)设 b n3，T n 是数列 b n 的前 n 项和， an an 1求使得 T nm*对所有 n N *都成立的最小正整20解析】( I )依题意得， Sn3n n22, 即 S n 3n 22n当n 2 时， a n S n S n (3n 2 2n) 3n 2(n 1)6n 5;当n 1 时， a 1 S 1 3 1221615.所以 a n 6n5(nII )由(I ) 得b na n a n 1(6n 5) 6(n 1)12(6n6n 1) ，故Tn(11117)(1 1 ) ... ( 7 13 6n 56n 11)12(16n 1) .m1 n N 成立的 m 必须满足20 2故满足要求的最小整数 m 为 10.【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式 , 解题时往往以不等式和数列知识结合为工具 , 结合函 数知识 , 通过计算和推理来解决问题 .举一反三：2 n * 2 【变式 1】已知函数 f(x)=a 1x+a 2x 2+⋯+a n x n (n ∈N *) ，且 a 1，a 2，a 3，⋯， a n 构成数列 {a n }，又 f(1)=n 2．(1)求数列 {a n }的通项公式；因此，使得 112(11) 6n 1) 20，即 m 10,1110，解析】2*1)由题意： f(1)=a 1+a 2+⋯+a n =n 2，(n ∈N *)n=1 时， a 1=1 n ≥2时， a n =(a 1+a 2+⋯+a n )-(a 1+a 2+⋯+a n-1 )=n 2 -(n-1) 2=2n-1∴对 n ∈N 总有 a n =2n-1, 即数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n-1. 1 (2) f (13) f(13) 13 3 1 32 1 32 L (2n 1) 1 (2n 3)31n1 3n(2n 1)3n 11 21 23f(13)11 3112(32 33L(2n1)3n 1113n 1 1131(2n 1)3n 111 f (13) 13 n3n2n 23n1 11变式 2】已知数列 {a n } 的首项 a 1an 13an2a n 11，2，L ．Ⅰ）求 {a n } 的通项公式； Ⅱ）证明：对任意的0， a n ≥(11 x)22 3n x ）， n 1，2，Ⅲ）证明： a1 a 2an解析】Ⅰ)Q a n 13a n 2a nan 1n 213a n11an 1又1an1 { 1}an是以2 为首项，31为公比的等比数列．3an13n23n，3n 3n2Ⅱ）由（Ⅰ）an3n3n 21 1x 2(1 x)23( 2n x)1 1x1 (12x)2 3( 2n 1 1 x)1 1x11 1 [ 1 (1an(1 x)2 x)] an1 (1 x)2原不等式成立．另解】设 f(x)1 1x则f (x)1 (1 x)2Qx，1a n (1 x2(1 x)23( 2n x) ，2a n ) a n ≤ a n ，(1 x)2(32n(1 x)2当 x 2n 时， f (x)3x 32n 时， f （x ） 取得最大值x) 2(1 x) x) (1 x)220 ；当 xn时， f312 a n．3nf(32n )(x) 0，原不等式成立．由（Ⅱ）知，对任意的 x 0 ，有a1 a2L a n ≥1 1x1 (12 x)2(3 1x) 11x (1 12x)2(32x) 12(1 x)2 (3n x)1x(11x)2 2 (23 2322L3nnx) ．32323nnx 0，则xn(2323223(1 31n ) n(1 13)1n(1 n31n)，a 1a 2 La n ≥1xn11 1 (1 n ) n3n 2 n 131nn 2n1原不等式成立． 类型五：解析几何在最值方面的综合应用 例 7．设 A （ 0，0）， B （4， 0）， C （t+4 ，4），D （t ，4）（t 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 ∈R ）． A ．{9 ，10，11} B ．{9，10，12} C ．{9 ， 11， 12} D ．{10， N （t ）为平行四边形 N （ t ）的值域为（ 11， 12}ABCD)t t 3分别与直线 y=1，y=2，y=3交于点 M 1( ,1)，M 2( ,2) M 3( t,3) 。