函数的最值与值域知识梳理

函数的最值与值域

考纲要求】

1. 会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义；

3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．

4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值

知识网络】

考点梳理】

考点一、函数最值的定义

1.最大值：如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，存在x0 D ，使得f(x) f(x0)成

立，则称f(x0)是函数f (x) 的最大值．

注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．

如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个自变量x，都有f(x) M ，则称M 是函数f(x)的最大值．

2. 最小值的定义同学们自己给出．

考点二、函数最值的常用求法

1. 可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．

2. 判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0(要注意二次项系数为0 的情况)求出

函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．

3. 换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．

4. 不等式法：利用均值不等式求最值．

5. 利用函数的性质求函数的最值

6. 含绝对值的函数或分段函数的最值的求法

7. 利用导数求函数的最值。

要点诠释：

(1) 求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；

(2) 一些能转化为最值问题的问题:

f (x) A在区间D上恒成立函数f(x)min A(x D)

f (x) B 在区间D上恒成立函数f(x)max B(x D)

在区间D上存在实数x使f(x) B 函数f (x)min B(x D)

在区间D上存在实数x使f(x) A 函数f (x)max A(x D)

典型例题】

类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值例 1. 求函数 f (x) e2x me x e2x me x的最值．【解析】 f (x) e2x e2x m(e x e x)

x x 2 x x

(e e ) m(e e ) 2

令t e x e x(注意t 的范围)，这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现x2 x 2和x x 1时，都可以化为二次式．

举一反三：

【变式】求函数y 1 x x 3 的值域．解：平方再开方，得y 4 2 (1 x)(3 x),x [ 3,1] y [2,2 2] 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值例 2. 求下列函数值域：

2x-1

(1) y ；1)x ∈[5 ，10] ；2)x ∈(-3 ，-2) ∪(-2 ，1)；x2

2

(2)y=x 2-2x+3 ；1)x ∈[-1 ，1]；2)x ∈[-2 ，2].

【解析】(1) Q y2(x 2)-5 -5 +2可看作是由y-5左移 2 个单位，x 2 x 2 x

再上移 2 个单位得到，如图

9 19

1)f(x) 在［5 ，10］上单增，y ［ f (5), f (10)］即［ , ］；

7 12

2) y (- , f (1)) ( f (-3), )即(- ，3) (7，)；

(2) 画出草图

即[2 ，6] ；

2) y [ f (1), f (-2)]即

[2,11] . 举一反三：

1 3x 【变式】

已知函数 f (x)

1 3x

.

1 3x

(1) 判断函数 f(x) 的单调区间； (2) 当 x ∈[1 ，3]时，求函数 f(x) 的值域 .

【解析】

(1) f (x)

1 3x

1 3x

1

f(x) 在(- ， )上单调递增，在 ( , 33 1

(2) [1,3] (3, )故函数 f(x) 在[1 ， 3 ∴ x=1 时 f(x) 有最小值， f(1)=-2

5

x=3 时 f(x) 有最大值 f(3)

4

( 3x 1) 2

1 3x

1 ∴x ∈[1，3]时 f(x) 的值域为 [ 2, 5

4

]

类型三、含参类函数的最值与值域问题 例 3. ( 2015 保定模拟)若函数 mn 【答案】 解析】 gx 2x1 2x gx 2x1 2x

sin 1

2 1 2x

sin x

gx +g x

2x 1

2

x 1

sin x

1

2

3x 1 ) 上单调递

增；

3] 上单调递

增

2x1

x x

sinx 在区间 2x

1

k,k k 0 上的值域为 m,n ，则

sinx

2

x

1 2

x

sinx 1 0

gx gx

g x 为奇函数，函数图像关于原点对称 函数 x 在区间 k,k 0 上的最大值记为 a,(a>0),则函数 g x 在区间 k,k k 0 上的最小 值为 -a 2 a 即 2 m2

a,n 2 am 4 故选

D.

举一反三：

变式】已知函数 f (x) 2

x

,x 2

x

(x 1)3,x

若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k 的

取值范围是 2 解析】 f(x) (x x k 有两个不同的实根，则实数 2) 单调递减且值域 3 (0,1]， f (x) (x 1)3

(x 2) 单调递增且值域为 ( ,1)， 由图象知，若 f (x)

类型四、抽象函数的最值与值域问

题 k 的取值范围是( 0,1 ). 例 4. 若函数 y

1 f (x) 的值域是 [ 1

,3] ，则函数 2 F(x) f(x) f (x) 1 的值域是( 1 A ．[1 ,3] 2 【答案】 B

B ．[2,130]

C ． [52,130]

D ．[3,130] 解析】令 t f(x) ，

则t

[ 12 ,3]

， F(x) t

1

[2, 10] t [2, 3 ]

举一反三：

变式】设函数 f

(x)

2

x

， x ≤ 1，

x 2

2

，

1

，

f(

f(2) 1

1

)

的值为( 15 A ．

16

【答案】

B ．

27 16

C

．

D ． 18

解析】 2

∵ f (2) 22

2 2 4，

f(

1 1

2 f (2)) f(41) 1 (14)2 15 16

类型五： 函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用

例 5.

2016 全国新课标Ⅱ) ( Ⅰ ) 讨论函数 f(x)

x 2

e x 的单调性，并证明当 x 0 时， x2

x

(x 2)e x

( Ⅱ ) 证明：

当 a

x

[0,1) 时，函数 g ( x )= e a 2x a (x x 2

0)有最小值 .设 g(x)的最 小值为 h(a)，求

函

数 h(a) 的值域．

解析】(Ⅰ) f(x) 的定义域为 ( , 2) ( 2, ).

f '(x) (x 1)(x 2)e x

(x

2

x

2)e x

2x

xe 2

0,

(x 2)2

(x 2)2

且仅当 x 0时， f '(x) 0 ， 所以 f(x) 在 (

, 2),( 2, ) 单调递

增，

因此当 x (0, )

时， f(x) f (0) 1,

所以 (x 2)e x

(x 2),(x

2)e x

x 20

(x 2)e x a(x 2) 3

x

因此。存在唯一

x 0

(0，2]

，使得

f(x 0)+a 0

，即

g (x 0

) 0

，

当0 x x 0时， f (x) a 0,g (x) 0, g(x)单调递减； 当

x x 0

时，

f (x) a 0,

g '(x) 0,g(x)

单调递增。

因此

g(x)

在

x x

处取得最小值，最小值为

1 e 2

使得 h(a) ,所以 h(a) 的值域是 (1,e

【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的 综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力 .

(Ⅱ)g '

(x)

x2

3 (f(x) a) x

由(Ⅰ)知，

f (x) a 单调递增，对任意 a [0 ，1), f(0)+ a

a 1 0, f (2) a a 0,

g(x 0)

e x0 a(x 0 1) e x0

f ( x 0 )( x 0 1) 2

x

02

2

x

02 e x 0

x 0 2

h(a) x e 2,由(x e 2)

x 0 2 由

x 2

(x 1)e x

(x 2)2

x

e 0,

x 2 单调递增，

所以， 1

由 x 0 (0 ，

2] 得， 2 0

e 0

2 h(a)

e x 0

x 0 2

22

ee 2 24

因为 x x

e 单调递增，对任意

2

1 e 2

(12 , e 4 ],存在唯一的 x 0

(0, 2], a f(x 0) [0,1),

综上，当 a [0,1) 时， g(x)有h(a)，h(a) 的值域是

e 2 (1

2, 4].

举一反三：

e2

【变式】设函数 f x 2 k lnx ( k 为常数， e 2.71828L 是自然对数的底数) xx

(I)当 k 0时，求函数 f x 的单调区间；

(II )若函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点，求 k 的取值范围 .

【解析】 (I) f x 的定义域为 0, ，

'

x 2 e x kx f '

x

3

x 0

x 3

当 k 0 时， kx 0 ，

e x kx 0令

f ' x 0则 x 2，

当 0 x 2 时， f '

x 0 ， f x 单调递减 . 当x 2时， f '

x 0， f x 单调递增 .

f x 的单调递减区间为 0,2 ， f x 的单调递增区间为 2, (II )由(I)知， k 0 时，函数 f x 在 0,2

内单调递减，

故 f x 在 0,2 内不存在极值点

函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点

Q g

'

x e x

k

x lnk

ee

当 0 k 1 时，当 x 0,2 时， g '

x

e x k 0 ， y g x 单调递增，故

f x 在 0,2 个极值点 .

当 k 1 时，得：

x 0,lnk 时， g ' x 0 ，函数 y g x 单调递减 ,

当 k 0时，设函数 g x e x kx,x 0,

x lnk,

时， g '

x 0 ，函数 y g x 单调递增 ,

内不存在

两

y g x 的最小值为 g lnk k 1 lnk

g ln k 0 g 2 0 0 ln k 2

2

解得 e k e

2

e 2

综上所述函数 f x 在 0,2

内存在两个极值点时， k 的取值范围为： e,

2

类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例 6. 设数列 S

n *

a n 的前n 项和为 S n ，点(n, n )(n N * )均在函数 y 3x 2的图像上 . n (Ⅰ)求数列

a n 的通项公式；

数 m .

1 2)求证： f(1

3) 1．

Ⅱ)设 b n

3

，T n 是数列 b n 的前 n 项和， a

n a

n 1

求使得 T n

m

*

对所有 n N *

都成立的最小正整

20

解析】( I )依题意得， Sn

3n n

2

2, 即 S n 3n 2

2n

当n 2 时， a n S n S n (3n 2 2n) 3n 2(n 1)

6n 5;

当n 1 时， a 1 S 1 3 12

21

61

5.

所以 a n 6n

5(n

II )由(

I ) 得

b n

a n a n 1

(6n 5) 6(n 1)

12(

6n

6n 1) ，

故

T

n

(1

11

17)

(1 1 ) ... ( 7 13 6n 5

6n 11)

1

2(1

6n 1

) .

m1 n N 成立的 m 必须满足

20 2

故满足要求的最小整数 m 为 10.

【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式 , 解题时往往以不等式和数列知识结合为工具 , 结合函 数知识 , 通过计算和推理来解决问题 .

举一反三：

2 n * 2 【变式 1】已知函数 f(x)=a 1x+a 2x 2+?+a n x n (n ∈N *

) ，且 a 1，a 2，a 3，?， a n 构成数列 {a n }，又 f(1)=n 2

．

(1)求数列 {a n }的通项公式；

因此，使得 1

1

2(1

1

) 6n 1) 20

，即 m 10,