(优选)第四次习题空间基本理论

平衡微分方程：
r
r
zr
z
r
r
Kr
0,
z rz rz Z 0。
z r r
几何方程：
r
ur r
,
ur r
,
z
w , z
zr
ur z
w r
。
物理方程：
（1）应变用应力表示：
r
1 E
r
z ,
1 E
r
z ,
z
1 E
z
r
,
zr
1 G
zr
2(1 E
) zr
。
全应力在坐标轴上的投影
XN YN
l x l yx
m m
xy y
n xz n yz
Z
N
l zx
m zy
n z
全应力在斜截面上的法向、切向投影
N lX N mYN nZN
l2x m2 y n2z 2lmxy 2nlxz 2mn yz
2 N
X
2 N
YN2
Z
2 N
显然， a3 b3 c3 0, 于是：
f1 y, z a0 b1y a2z, f2 x, z b0 c2z b1x, f3 x, y c0 a2x c2 y,
将上述表达式代入式(b)，并将任意常数 a0 , b0 , c0 , c2 , a2 , b1 改为 u0 , v0 , w0 , wx , wy , wz
f1 y, z u0 wy z wz y,
f2 x, z v0 wz x wx z,
(d)
f3 x, y w0 wx y wy x
分析：式(d)所给的应变分量为零时的位移，即与形变无关的位移，为刚体位移。其中 u0 , v0 , w0
分别为沿着三个正交坐标轴的刚体平移； wx , wy , wz 分别为绕三个坐标轴的刚体转动。
对式(a)的前三式积分，得：
u f1 y, z,v f2 x, z, w f3 x, y
f1, f2 , f3 为任意函数，代入式(a)的后三式，得
(b)
f2
x,
x
z
f1
y,
y
z
0,
f3
x,
y
y
f2
x,
z
z
0,
(c)
f3
x,
y
f1
y,
z
0,
x
z
为求函数 f1 y, z ，将上式中的第一、三式分别对 y,z 求一阶导数。因此，可从微分方程中
2
12
2 3
1 3
y x
z y
x z
2 yz
2 xz
2 yx
3
123
x y z
x
2 yz
2
y xz
z
2 yx
2
yz xy xz
3. 最大、最小应力
三个主应力中，代数值最大的就是该点的最大正应力，代数值最小的就是该点的最小主应力。
最大、最小的切应力为
1
3 2
1
2
3
5、柱坐标（r，θ，z）中的空间轴对称问题。
（优选）第四次习题空间基本 理论
2、边界条件
空间问题有三类边界条件。其中， S 表示受面力作用的边界面； Su 表示物体给定了约束位 移的边界。 l, m, n 为边界面的方向余弦。
应力边界条件
在 S 上
l x m xy n xz l yx m y n yz
S S
X Y
l zx m zy n z
2 1
R
2 r
,
r
1 E
1
r
R 。
r
Leabharlann Baidu
1
E
1
2
r
R
。
1、试求对应于无应力状态，即 x y z yz xz xy 0 时的位移分量。
解：将已知条件代入几何方程，得：
u x
0, v y
0, w z
0 yz
w y
v , z
u
v
0,
w
v
0,
u
w
0,
(a)
y x y z z x
2、已知物体内某点的应力分量为 x 20MPa, y 0, z 10MPa, xy 0, yz 10MPa, zx 20MPa 。试求经过此点的平面 2x y z 1 上沿 坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪应力。
解：(1) 平面的法向量为｛2,-1,1｝,先求平面 2x y z 1 的法线方向余弦为：
2 N
4、主应力，最大与最小的应力
1. 经过任一点 P 的剪应力等于零的斜截面称为应力主面，其法线方向称为应力主方向，该
方向的正应力称为主应力，用 表示，有 X N l ,YN m , ZN n
2. 主应力的求解方程
yx
x
l
l
y
xy
m m
xz n yz n
0 0
zxl zym z n 0
（2）应力用应变表示：
r
E
1
1 2
e
r
,
E
1
1
2
e
,
z
E
1
1
2
e
z
,
zr
E 2(1
)
zr
。
6、球对称问题的基本方程
平衡微分方程
d R
dR
2 R
R
r
KR
0。
几何方程
R
duR dR
,
r
uR R
物理方程
（1）应变用应力表示： （2）应力用应变表示：
R
1 E
R
2 r
,
R
1
E
1
方向余弦的关系式 l2 m2 n2 1，关于 l, m, n 的三个齐次线性方程，系数行列式应该等
于 0，展开得 的三次方程： 3 2 2 3 0
方程有三个实根；1, 2 , 3 是过任一点的三个垂直应力主面的三个主应力。系数 , 2 , 3
分别是应力状态的第一、二、三不变量；
1 2 3 x y z
消去 f2 x, z, f3 x, y ，得：
2
f1 y,
y2
z
0,
2
f1 y,
z2
z
0,
f1 y, z 中应含有常数项、y 项、z 项、yz 项，可设
f1 y, z a0 a1y a2z a3 yz
其中， a0 , a1, a2 , a3 为任意常数。
同理，可设 f2 x, z b0 b1x b2z b3xz, f3 x, y c0 c1x c2 y c3xy,
将 f1, f2 , f3 代入式(c)，得：
a1 b1 a3 b3 z 0, b2 c2 b3 c3 x 0, a2 c1 a3 c3 y 0,
若对任意的 x,y,z 值，以上三式均成立，必有：
a1 b1 0,a3 b3 0,b2 c2 0, b3 c3 0,a2 c1 0,a3 c3 0,
Z
S
位移边界条件
在 Su上
u u
S
v S
v
wS w
混合边界条件
在S上
在 Su上
3、一点的应力状态
X N ,YN , ZN 为过一点任意斜截面上的全应力在坐标轴上的投影； N , N 则是全应力在斜
截面法向、切向的投影分量。这五个投影分量可以由三个坐标面上六个独立的应力分量
x , y , z , xy , yz , xz 确定。