选列主元的高斯消去法实验报告2

选列主元的高斯消去法实验报告

令狐烈

一，实验目的：

（1）掌握gauss消去法的基本算法思想和学会编写其MATLAB代码。

（2）掌握选列主元的gauss消去法的基本算法思想和学会编写其MATLAB代码。（3）分析选列主元的gauss消去法相比于gauss消去法的优点。

（4）对选列主元的gauss消去法和gauss消去法进行误差分析

二，实验原理

对于非奇异矩阵A，求解线性方程组Ax=b可以使用gauss消去法进行。但是，gauss消去法要求系数矩阵A的顺序主子式非奇异。

为此做出改进：每次消元之前，首先选出第i列（i<=k）中最大的作为列主元，这样，就能保证消元乘数

不仅不被系数矩阵A的顺序主子式非奇异的限制，还这样就能有效的防止误差的传播与放大。

算法：

（1）对增广矩阵[a b]进行第i次消元，首先选取列主元a(i,k)=Max|a(I,i:n),交换第i行与第k行；

（2）以列主元进行消元，计算公式为

a(k,i)= a(k,i)/a(i,i); (k=i+1:n)

a(k,j)=a(k,j)-a(k,i)*a(i,j); (j=i:n)

(3)回代法计算结果，计算公式为：

x(n)=b(n)/a(n,n);

x(p)=[b(p)-∑a(p,j)x(j)]/a(p,p) (j=p+1:n)

注：gauss（a,b）为选取列主元gauss消去法，gauss2（a,b）为gauss消去法。三，实验MATLAB程序代码

实验的MATLAB程序代码如下

四，实验结果与分析

1，两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果分析

实验结果（如图一）对于顺序主子式奇异的系数矩阵，使用gauss消去法（gauss2（a,b））不能解出，而使用选列主元的gauss消去法（gauss（a,b））能够解出。主要是选列主元的gauss消去法每次都选出最大的列主元，从而保证了每次用作除数的a(I,i)≠0.

图一：两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果

2，两种算法对舍入误差的放大效应分析

用随机生成函数random('Normal',1,7,10,10)生成10*10矩阵，分别gauss消

去法和选列主元的高斯消去法解出，并用公式er(x)=||x−x∗||

||x||≤cond(a)∗||r||

||b||

估计其误差，

结果如下图。

图二：两种算法对舍入误差的放大效应分析

可以看到，对同一个方程组，选列主元的高斯消去法得到的结果中范数norm(r=a*ans'-b,inf)= 6.6613e-016<高斯消去法得到的结果中范数norm(r=a*ans'-

b,inf)= 7.6605e-015,两者相差一个数量级，由公式 er(x)=||x−x∗||

||x||≤cond(a)∗||r||

||b||

可知，

对应的误差也就相差一个数量级。

选列主元的高斯消去法因为每次消元之前，首先选出第i列（i<=k）中最大的作为列主元，这样，就能保证消元乘数小于1，因此选列主元的高斯消去法能有效的防止误差的传播与放大。

3，对于恶性矩阵：希尔伯特矩阵，选列主元的高斯消去法的表现:

由以下代码生成希尔伯特矩阵：

for i=1:n

for j=1:n

a(i,j)=1/(i+j-1);

end

end

取方程组Hx=ones(n,1)；

当n=5, 结果为：

norm(a*ans'-b,inf)= 8.7311e-011；

er(x)=||x−x∗||

||x||≤cond(a)∗||r||

||b||

= (4.7661e+005*1.4211e-014)/ 2.2361=3.0290*-09；

可见误差比较小；结果还可以接受。当n=10, 结果为：

norm(a*ans'-b,inf)=8.7311e-011；

er(x)=||x−x∗||

||x||≤cond(a)∗||r||

||b||

= (1.6025e+013*8.7311e-011)/ 3.1623=4.4720*+02；

此时，误差已经大到无法接受。

对于这样的情况，需要用以下方法改进：

（1）算出残余矩阵r= b -a*x;

（2）解出a*y=r;

（3）X’=x+y;

但是这种改进只对病态不是很严重的矩阵有帮助，对病态严重的矩阵，比如对于H10,我们有：

改进后，解得：

x=(x+y) = 1.0e+006 *[ -0.0000 0.0010 -0.0238 0.2402 -1.2611 3.7834 -6.7260 7.0006 -3.9379 0.9237],

对应误差为

er(x)=||x−x∗||

||x||≤cond(a)∗||r||

||b||

= (1.6025e+013* 8.0036e-011)/

3.1623=

4.0558*+02,

可见改进并无很好效果。

五，实验心得

（1）通过具体的实验，我真正明白了gauss消去法的原理，而且明白了选列主元的gauss消去法对于减小系数矩阵的要求和减少舍入误差的传

播方面的优点。

（2）由于MATLAB我是才开始接触，因此在编程的时候碰到了许多问题，花了不少时间，但是也让我对MATLAB的使用有了进一步的了解。