数学 浅谈两点之间线段最短在实际生活的应用
两点之间线段最短 公理-概述说明以及解释
两点之间线段最短公理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:在几何学中，两点之间的线段最短公理是一个基础性原理，它表明在平面几何中，任意两个点之间的直线段是最短的。
这个公理是几何学中最基本的原理之一，也是许多几何性质和定理的基础。
通过这个公理，我们可以得出许多重要的定理和结论，帮助我们解决各种几何问题。
在本文中，我们将探讨两点之间线段最短公理的概念，并详细阐述如何证明这一公理。
我们还将探讨这一公理在实际生活中的应用与意义，以及对几何学习的重要性。
通过深入研究和理解这一公理，我们可以更好地理解几何学中的基本概念，为我们的学习和应用提供更多的帮助和指导。
1.2 文章结构文章结构部分主要包括文章的章节划分和各章节内容的概要描述。
在本篇文章中，结构为引言、正文和结论三个部分。
- 引言部分包括概述、文章结构和目的三小节，首先介绍了问题背景与重要性，然后说明文章将分为哪几部分展开讨论，最后明确了文章的目的和意义。
- 正文部分包括两点之间线段最短的概念、证明两点之间线段最短的公理和实际应用与意义三个章节，分别对概念、公理和应用进行深入的讨论和分析，展示了两点之间线段最短的原理和相关应用。
- 结论部分包括总结、反思和展望三个小节，对文章的主要内容进行总结概括，进行一定的思考和展望未来可能的研究方向。
1.3 目的：本文的目的在于阐述和探讨数学领域中一个重要的公理——两点之间线段最短的公理。
通过对这个公理的定义、证明以及实际应用与意义的分析，可以帮助读者更深入地理解数学中的基本原理和逻辑推理。
同时，通过学习这个公理，我们也可以更好地应用它在解决数学问题和实际生活中的实际问题中。
通过本文的阐述，读者可以了解到两点之间线段最短的公理在几何学中的重要性和作用，进一步提升自己的数学思维能力和解决问题的能力。
此外，通过对这个公理的研究，我们也可以深入了解数学中的逻辑推理和证明方法，从而拓展自己的数学知识和认识。
总的来说，本文的目的在于引导读者深入思考和探索数学中的基本概念和原理，帮助读者更好地理解和运用这些概念，从而提高自己在数学领域的学习和应用能力。
点到直线的距离最短 生活例子
点到直线的距离最短生活例子一、引言生活中，我们经常会遇到一些与点到直线距离相关的问题，比如在找寻最短路径、设计建筑物或者进行测量时。
点到直线的距离是一种重要的数学概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过一些生活例子来解释点到直线的距离。
二、点到直线的定义点到直线的距离是指空间中一点到一条直线的距离。
在数学上，我们可以通过垂直距离或者投影距离来计算点到直线的距离。
三、生活例子一：最短路径在日常生活中，我们经常需要选择最短路径来节省时间和精力。
我们去某个地方旅行，需要选择一条最短的路线；在购物时，我们想要找到离家最近的商店等。
这些都涉及到点到直线的距离的概念。
通过计算点到直线的距离，我们可以找到一条最短路径，从而节省时间和成本。
四、生活例子二：建筑设计在建筑设计中，点到直线的距离也是一个重要的概念。
设计师需要考虑到建筑物与基准线之间的距离，以确保建筑物的稳定性和美观性。
通过计算点到直线的距离，设计师可以确定建筑物与基准线的最佳位置，从而确保建筑物的稳固性和美感。
五、生活例子三：测量在工程测量中，点到直线的距离也是一个重要的概念。
工程师需要通过测量来确定物体与基准线之间的距离，以便进行建筑、施工和维护工作。
通过计算点到直线的距离，工程师可以准确地测量物体与基准线之间的距离，从而确保工程的准确性和安全性。
六、结论点到直线的距禮是一个重要的数学概念，在生活中有着广泛的应用。
通过生活例子的解释，我们可以更加直观地理解点到直线的距离的概念，并了解它在日常生活中的实际应用。
希望大家能够通过本文的介绍，对点到直线的距离有一个更加深入的了解。
七、生活例子四：交通规划交通规划是现代城市发展中不可或缺的一部分。
在设计城市道路和交通系统时，需要考虑点到直线的距离来确定最佳的道路布局和交通流线。
通过计算点到直线的距离，交通规划师可以更好地规划交通设施的位置和道路的走向，以便提高交通效率和减少交通拥堵。
八、生活例子五：地图制作在制作地图的过程中，点到直线的距离也是一个重要的因素。
初三数学复习专题课件：两点之间线段最短的应用
结合图形和数学表达式，将抽象的数学问 题具体化，有助于理解和解答问题。
分类讨论
反证法
对于一些复杂的问题，根据不同的情况进 行分类讨论，可以更全面地考虑所有可能 的情况。
在解题过程中，有时可以通过反证法来证 明某个结论，这种方法可以有效地解决一 些难以直接证明的问题。
解题策略分享
01
02
03
04
理解题意
在开始解题之前，首先要仔细 阅读题目，理解题目的要求和
条件，明确问题的目标。
分析问题
对题目进行分析，找出关键信 息，并尝试将问题分解为更小
的部分，以便逐一解决。
寻找规律
在解题过程中，要注意寻找规 律，这有助于发现更有效的解
题方法。
归纳总结
在解决问题后，要对解题过程 进行归E的五个顶点分别为 A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)、D(7,5)、E(9,8)，点F是 直线DE外一点，连接AF、BF、CF、DF、EF，其 中哪条线段最短？为什么？
题目1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(1,3)、B(3,1)、C(5,4)、D(2,6)，点E是直线CD 外一点，连接AE、BE、CE、DE，其中哪条线段 最短？为什么？
复习目标
掌握两点之间线段最 短定理的基本概念和 证明方法。
培养学生的逻辑思维 和问题解决能力。
能够运用这个定理解 决实际问题，如最短 路径问题、时间最少 问题等。
02 两点之间线段最短的定义 与性质
定义解释
两点之间线段最短
在平面上，任意两点A和B之间的 所有连线中，线段AB是最短的。
定义证明
根据欧几里得几何，任意两点之 间的线段是两点之间所有连线中 最短的。
深入理解概念
趣谈两点之间线段最短
“两点之间线段最短”这个定理妇孺皆知，但现实生活中的一些做法却往往反其道而行之，下面
根据自己的观察例举如下。
1 旅游景区门：
一些旅游景点本来只有一米的门，却设计成几十米的超市，让游客穿市而过，刺激消费，搞活
经济。
所以旅游景区门不走最短距离。
2旅游景点线
纵观各地方的景点，旅游线路本来是很短的路程，却设计成崎岖蜿蜒的小路，以达曲径通幽
之功效，让你在时间的消磨中感知旅游的快乐，加深印象。
所以旅游景点线不走最短距离。
3高速公路线
一些高速公路的设计在原则上是遵循两点之间线段最短，但在施工时却要专门设计一些弯道，防止驾驶员驾驶疲劳、发困而分心。
所以高速公路线有时不走最短距离。
4移动通话
本来两个人的距离很近，却要打手机让信息传到卫星上再返回来，最近的你通的最远的话。
所以通话交流不走最短的距离。
5 传授知识
教师在传授知识的时候，不是直接将知识和盘托出，而是要经过迂回曲折，旁征博引，最后
才让学生识得庐山真面目。
所以，知识传授不走最短距离。
两点之间线段最短PPT
线段的计算
长度计算
线段的长度等于两点之间的水平或垂直距离。
斜率计算
线段具有固定的斜率，斜率等于线段两端点之间 的高度差除以水平距离。
角度计算
线段与水平线之间的角度等于tan-1(斜率)，或者 使用三角函数计算。
线段的作图方法
确定端点
确定线段起止的两个点，可以是坐标系中的任意位置。
连接两点
使用直线或曲线工具连接两个端点，形成线段。
微积分
在微积分中，可以利用两 点之间的线段性质来研究 函数的增减性和极值问题。
理论证明中的应用
欧几里得几何
变分法
在欧几里得几何中，两点之间的线段 是唯一最短的路径，这是欧几里得几 何的基本公理之一。
在变分法中，可以利用两点之间的线 段性质来推导和证明最小作用量原理 和Euler-Lagrange方程等重要结论。
推论
如果存在一条曲线连接A和B，使 得曲线的长度小于线段AB的长度， 那么这条曲线是不存在的。
03
证明两点之间线段最短
证明方法一：几何证明
总结词：直观明了
详细描述：通过几何图形，利用两点之间的直线段最短，可以直观地证明两点之 间线段最短。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：利用代数方法，通过建立坐标系，设两点坐标，然后计算两点之间各种路径的距离，最终推导出两点之间线段最 短。
两点之间线段最短
目录
• 引言 • 两点之间线段最短的定义 • 证明两点之间线段最短 • 两点之间线段最短的应用 • 两点之间线段最短的扩展知识
01
引言
主题引入
01
两点之间线段最短是几何学中的 基本定理之一，也是日常生活中 经常遇到的现象。
2点之间线段最短的例子
2点之间线段最短的例子
1. 你看啊，从家到学校，走直线肯定是最快的呀，如果你非要绕几个弯，那不是浪费时间嘛！就像你明明可以直接走过去跟朋友说话，却非要绕一大圈，这不就跟两点之间线段最短背道而驰了嘛！
2. 想想去超市买东西，你肯定会选择最近的路直达货架呀，难道还会七拐八拐地走远路吗？这就跟两点之间线段最短一个道理呀！
3. 哎呀，运动员在赛场上跑步，肯定也是找最短的路线去冲向终点呀，要是乱拐弯，那还怎么拿好成绩，这不是明摆着两点之间线段最短嘛！
4. 你和小伙伴约好见面，肯定是想着直接过去找他，而不是绕来绕去的吧，这多简单的道理，两点之间线段最短啊！
5. 比如说送快递的小哥，他们都是选择最直接的路去送包裹呀，这样才能最快送到客户手里呀，不就是因为两点之间线段最短嘛！
6. 工作中完成一个任务，也会找最快捷的方法吧，就像从起点到终点，肯定是直着走最快呀，这就是两点之间线段最短在生活中的体现呀！
我的观点结论就是：两点之间线段最短这个道理在我们生活中无处不在呀，我们做很多事其实都在遵循这个道理呢！。
生活中的线段应用
A B C第5题图生活中的线段应用两点之间，线段最短是线段的基本的性质，它在生活中有着广泛的应用．例1、如图，A 、B 是两个车站，若要在公路l 上修建一个加油站，如何使它到车站A 、B 的距离和最小，请在公路l 上标出点P 的位置，并说明理由．分析：根据连接两点的线中，线段最短，只需在A 、B 间作一条线段与直线l 的相交，交点就是到A 、B 两点距离和最小的点．解：连接A 、B ，与l 交于点P ，即为所建加油站的位置，因为两点之间线段最短．例2、在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学住在A 、B 、C 三个住宅区，如图2所示，A 、B 、C 三点共线，且AB ＝60米，BC ＝100米，他们打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在此之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在______．分析：本题是在线段AC 上找一点P ，使总路程S=AP+BP+CP 最小．可分点P 在AB 间、BC 间和P 与B 重合三种情况分类计算S ，再进行比较，找出符合要求的点。
解：设停靠点应该建在P 点处，设PB=x 米，则当P 点在AB 间时，S=AP+BP+CP=（60-x ）+x+（100+x ）=（160+x ）；当P 点在BC 间时，S=AP+BP+CP=（60+x ）+x+（100-x ）=（160+x ）；当P 点与B 点重合时，S=AP+BP+CP=60+0+100=160。
综合上述，停靠点设在B 点时，S 最小，并且是固定值160米． 说明：本题把实际问题转化为几何问题，然后根据所学的几何知识进行解决．例3、先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n （n ＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形：如果直线上有2台机床A1、A2时，很明显供应站P 设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离．如果直线上有3台机床A1、A2、A3时，不难判断，供应站P 设在中间一台机床A2处最合适，因为如果设在A2处，甲、乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，若把设到别处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P 这多出来的一段，故供应站P 设在A2处是最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P 应设在第3台的位置．提出问题：如果有n 台机床时，供应站P 应设在何处？分析：本题要求我们通过阅读理解，提炼出题目中隐含的规律，再用规律来解题．阅读本题可得出，当机床台数为偶数时，点P 应在最中间两点之间的任何地方；当机床台数为奇数时，供应站P 应与最中间的那一台机床的位置重合．解：当n 为偶数时，供应站P 应设在第12n 台和（12n +1）台之间的任何地方；当n 为奇数时，供应站p 应设在第1(1)2n 台的位置．。
生活中的数学(六)路径最短问题的策略(2)
生活中的数学（六）-----初中数学中路径最短问题的策略（2）随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。
利用展开图求立体图形表面上小虫的最短路线问题。
通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。
1.台阶问题（1）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB=1312522=+cm（2）如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米． 于是最短路径为：=2.60米．2.圆柱问题 、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程（1）如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B．C．D．5分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将圆柱体展开，连接A、C，∵==•π•=4，BC=3，根据两点之间线段最短，AC==5．故选D．（2）有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：展开图如图所示，AB=1312522=+m变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？分析：展开图如图所示，AB=1312522=+m变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离ABABc桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。
【哲理故事】两点之间,曲线最短
【哲理故事】两点之间，曲线最短从数学角度来看，两点之间的最短路径是一条直线。
生活中的路径往往并不是笔直的线段，而是曲线或弯曲的。
在生活的角落里，有一个小故事可以为我们解释这个道理。
故事发生在一个小村庄，村子的东南角有一座高山，山腰处有一座清澈见底的湖泊，湖的另一侧是一个迷人的花园。
花园里花草繁茂，美不胜收。
每年春天，人们都会前往花园游玩，特别是摄影爱好者，他们喜欢从花园的奇特角度拍摄湖泊和山脉的美景。
有一个年轻人特别喜欢从山腰处的湖泊游泳到花园。
他认为这样最有趣、最刺激，而且可以欣赏到湖泊和山脉的美景。
每次游泳，他都会选择一条不同的路径，经过各种曲线和弯道。
有一天，年轻人遇到了一个老人，老人看着他辛苦地游到湖对岸后，微笑着对他说：“孩子，你知道吗？其实，从湖的这一侧到花园有一条曲线最短的路径。
”年轻人有些疑惑，他认为直线应该是最短的路径。
“老人，您是不是弄错了？直线不是最短吗？”年轻人问道。
老人摇了摇头，笑着说：“孩子，我说的是从湖的这一侧到花园的最短路径，并不是直线。
”他话音刚落，就开始讲述了这个故事。
“很久很久以前，一个迷路的旅行者来到了我们小村庄。
他想从湖的这一边到达花园，但是迷失了方向。
他询问了村民，大家都给了他不同的建议，有的人说沿着湖边走是最近的，有的人说绕过一座小山是最短的，还有的人说要沿着一条小溪走。
迷路的旅行者非常困惑，不知道该相信谁。
”“后来，他见到了一个老奶奶，老奶奶非常友好地告诉他，其实从湖这一边到花园有一条曲线最短的路径。
这条路径可以避开山脉和险峻的地形，而且可以欣赏到湖泊和山脉的美景。
听到老奶奶的建议，迷路的旅行者感到振奋，他决定相信老奶奶，尝试走这条路径。
”“果然，迷路的旅行者成功地走到了花园，他看到了美丽的花草和迷人的景色。
而且，这条路径并没有让他走得更远或花费更多的时间。
相反，他沿着这条路径走得很轻松，欣赏到了独特的美景，也学会了相信自己的直觉和判断。
”故事讲完后，老人又补充道：“孩子，生活就像这条路径，有时候，直线并不是我们要去的目的地的最短路径。
垂线段最短的生活实例
垂线段最短的生活实例标题：探索垂线段最短的生活实例导言：在日常生活中，我们常常遇到需要寻找最短路径的情况。
而垂线段最短则是一个经常出现的几何问题。
垂线段最短的生活实例不仅有助于理解这一概念，还能启发我们运用最短路径原理解决实际问题。
本文将从几何概念入手，结合实际生活场景，探索垂线段最短的生活实例。
第一部分：垂线段最短的几何概念解析1. 定义：垂线段最短是指从一条直线外一点到直线上某点的连线中，与直线垂直的那条连线最短。
2. 直角三角形定理：垂线段最短的概念与直角三角形定理密切相关，这一定理指出：在一个直角三角形中，斜边上的垂线段是最短的。
第二部分：探索垂线段最短的实际生活实例在日常生活中，我们可以通过以下场景来探索和理解垂线段最短的概念。
1. 骑车选择最短路径：a. 场景描述：假设你需要骑自行车从家中到达某个目的地，而这个目的地位于一条笔直的道路上。
b. 运用垂线段最短的思考方式：通过绘制从自行车起点到道路上某个特定位置的连线，再将连线与道路上的某点连线绘制为垂线段。
我们可以通过观察发现，垂线段是最短的路径，从而选择最优的骑车路线。
2. 钟摆振动最短路径：a. 场景描述：考虑一个钟摆，钟摆线的一端固定不动，另一端悬挂着钟摆球。
b. 运用垂线段最短的思考方式：无论钟摆球在何处，它的运动路径总是沿着垂直线，这是因为钟摆的振动是垂线段最短的路径。
这种垂线段最短的性质使得钟摆运动更加高效和平稳。
3. 闪电直击建筑物的最短路径：a. 场景描述：想象一幢高楼大厦，当闪电发生时，它可能会被直接击中。
b. 运用垂线段最短的思考方式：如果我们在建筑物四周建立一个雷击杆，并确保所有的杆子都高于建筑物，那么闪电将会选择最短路径（垂直的路径）被吸引到杆子上，从而保护了建筑物的安全。
第三部分：垂线段最短的实用意义垂线段最短不仅仅是一个几何问题，它在实际生活中具有重要的实用意义。
1. 最短路径规划：交通规划、导航软件和物流配送中心等领域需要找到最短路径，而垂线段最短的概念可以为这些领域提供有效的解决方案。
例谈两点之间线段最短
例谈两点之间线段最短作者：丰志胜来源：《考试周刊》2012年第47期在数学问题中，有一类问题是求距离最短或周长最小的问题，许多同学望而生畏、一筹莫展.实际上，解此类问题的关键是将问题转化为平面上两点之间线段最短的问题来解决，下面举例说明.例1：如图1，要在河边（直线l）修建一个水泵站，分别向A村、B村送水，问修在河边什么地方可使所用的水管最短？解析：如图2，作出点A关于河边所在直线的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时点P到点A点A′距离相等，根据两点之间线段最短可知A′B最短，所以PA+PB有最小值，即水泵站应建在P处，才能使水泵站到A村B村距离之和最小.将直线同侧两点转化到异侧，构造出两点之间的线段，这对于以下几题都具有直接的思想指导作用.例2：如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB 上的一动点，求PA+PC的最小值.解析：如图3，延长AO交⊙O于D，则A、D关于OB所在直线对称，连接CD交OB于P，此时，由例1可知PA+PC最小.因为∠AOC=60°，所以∠COD=120°，作OE⊥CD，由垂径定理可求出CD=2，即PA+PC的最小值为2.归纳：在圆内，利用圆的轴对称性质寻找对称点快捷独特，具有典型性.例3：如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值.解析：如图5，分别作P点关于OB，OA的对称点P，P，连接PP交OB、OA于点R、Q，则PR=PR， PQ=PQ，△PQR的周长就等于PP的长，此时周长最小.连接OP，OP，则OP=OP=OP=10，∠POP=2∠AOB=90°，所以可求得PP＝10，即△PQR周长的最小值为10.归纳：本题作点P关于角的两边的对称点，将三角形的周长转化为线段的长，同时利用对称的性质构造等腰直角三角形，构思巧妙.例4：如图6，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM.（1）当M点在何处时，AM+CM的值最小？（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？解析：如图7：（1）显然M点在BD的中点时，A、M、C三点在同一条直线上，AM+CM的值最小.（2）由题意可知，连接CE交BD于M点，在CE上取N点使∠MBN=60°，可证△ABM≌△EBN，得EN=AM；△BMN为等边三角形，得BN=BM=MN，可得AM+BM+CM＝CE，此时AM+BM+CM的值最小.归纳：本题利用旋转作为内在的变换，将（2）中的三条线段构造为一条线段，从而形成两点之间线段最短解题.例5（2010天津）：在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B 分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标.（2）若E、F为OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F 的坐标.解析：（1）如图8，作D点关于x轴的对称点Q，连接CQ交x轴于E，由例1可知：此时△CDE的周长最小.CQ的解析式为：y=2x-2，可求得E（1，0）.（2）如图9，作D点关于x轴的对称点Q，在线段BC上取点M，使CM=EF=2，连接QM，交x轴于E点，过C点作QM的平行线交x轴于F点，可知四边形EFCM为平行四边形，ME=CF，在四边形CDEF中，边CD、EF为定值，此时QE+ME=DE+CF最小，所以四边形CDEF的周长最小.MQ的解析式为y=6x-2，可求得E（，0），F（，0）.归纳：本题坐标系中的对称性确定对称点，特别是第二问中构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等性质来寻找E、F两点的位置，立意巧妙.以上问题都是在平面图形中的两点之间线段最短问题，另外还有一些讨论立体图形中两点之间线段最短问题，以下列举两例做简要分析.例6：如图10，一长方体的长、宽、高分别为4、3、5，一只蚂蚁要从A点沿表面爬到C 点寻找食物，则蚂蚁爬行的最短路径为?摇?摇 ?摇?摇.解析：我们要把立体图形展开为平面图形，转化为两点之间线段最短的问题.但是，该长方体的长宽高不等，则有以下三种展开方式：经比较发现最小值为.归纳：长方体的长宽高分别为：a、b、c，则异面两顶点之间的距离根据不同的展开图为：，，，然后经比较确定最小值.例7：如图11，一个圆锥形的粮堆，母线长4米，底面圆半径为1米，一只老鼠在底面圆上的某点A处，该老鼠要绕粮堆爬一周回到原处的最短路程是?摇?摇 ?摇?摇.解析：如图11，沿圆锥的母线OA将圆锥的侧面展开，得扇形OAA′，则最短路径为线段AA′，可求得扇形圆心角的度数为90°，在直角△OAA′中，AA′=4米，即老鼠爬行一周的最短路程为4米.。
两点之间线段最短在生活中的应用
两点之间线段最短在生活中的应用在生活中，我们经常会遇到需要找到两点之间最短路径的问题，这个问题的解决方法之一就是找到两点之间的线段最短路径。
尽管这个问题听起来可能有些抽象，但实际上，在我们的日常生活中，有许多实际的应用场景可以与之对应。
本文将介绍一些常见的生活应用场景，并说明在这些场景中如何使用两点之间线段最短来解决问题。
第一个应用场景是旅行规划。
当我们计划旅行时，通常会有多个目的地需要考虑。
而我们希望在有限的时间内尽可能多地游览这些目的地。
这时，我们就可以使用两点之间线段最短的概念来帮助我们规划路线。
以一个城市为例，我们可以将每个景点看作一个点，而景点之间的路径看作线段。
通过计算出所有景点之间的线段最短路径，我们可以找到游览所有景点所需的最短路线。
这样，我们就可以在有限的时间内尽可能多地游览景点，提高旅行的效率。
第二个应用场景是物流配送。
在物流配送过程中，我们常常需要将货物从一个地方运送到另一个地方。
而我们希望在最短的时间内完成配送任务，以提高效率。
这时，我们就可以使用两点之间线段最短的概念来帮助我们确定最佳的配送路线。
以一个城市为例，我们可以将每个配送点看作一个点，而配送点之间的路径看作线段。
通过计算出所有配送点之间的线段最短路径，我们可以找到最佳的配送路线，从而在最短的时间内完成配送任务。
第三个应用场景是交通规划。
在城市交通规划中，我们常常需要考虑如何设计道路网络，以提高交通的效率。
而在道路网络的设计中，我们希望能够找到最短的路径连接各个重要节点，以缩短人们的出行时间。
这时，我们就可以使用两点之间线段最短的概念来帮助我们确定道路网络的布局。
通过计算出各个重要节点之间的线段最短路径，我们可以确定最佳的道路布局，从而提高交通的效率。
第四个应用场景是电子设备布线。
在电子设备布线中，我们常常需要将各个设备连接起来，以实现数据传输或信号传输。
而我们希望在布线过程中尽可能减少线缆的长度，以降低成本和功耗。
数学浅谈两点之间线段最短在实际生活的应用
浅谈”两点之间,线段最短”在实际生活中的应用摘要:数学往往以它的抽象性著称,也正是抽象性,使得数学在实际生活的应用很广.本文以"两点之间，线段最短"这个基本的数学原理为例,通过建立数学模型,运用数形结合的思想来解决实际生活的一些问题,从而让读者体会数学来源于实际生活,生活中处处有数学的道理.关键词:两点之间,线段最短;数学建模;数学结合引言:"两点之间,线段最短"来源这样一个实际生活的经验事实:一个人在一个平面内从起点到终点,在所有的路线中,从起点到终点连接的线段路程最短.数学家把它总结为一个数学原理,于是数学一个重要原理从实际生活中产生了,下面举例说明这个原理怎样应用于实际生活.例1《将军饮马》古希腊有一位数学家,名叫海伦,有一天,一位将军向他请教了一个问题:从A地出发到河边饮马,然后再回到B地,如何确定饮马的地点P,才能使得路程最短?分析:首先建立如左图的数学模型，A、B两点分别代表A、B两地，直线l代表河岸，则上述问题转化为在直线l上找一点P（饮马点）使得PA+PB的长度最小。
解：过点A作关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l与点P，则点P即为我们要找的点，这是因为AP=A’P，所以AP+PB=A’P+PB，而A’P+PB表示点A’到B点的所有路径的长度，而根据数学原理“两点之间，线段最短”，则可知道点A’到B点的线段A’B的长度最短，从而验证了上面作法的合理性。
例2，有一个养鱼专业户，在如下图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地？解：过点P 分别作AC 、AB 边的对称点P ’、P ’’，连接P ’、P ’’，则P ’P ’’与射线AB 、AC 交于M 、N 两点，鱼户先从P 点出发沿MP 方向前往M 点，再从M 点沿MN 前往N 点，再由N 点沿NP 方向回到住处P 点，则上述路径为最短的路径，这是因为PM=P ’’M,PN=P ’N,所以PM+MN+NP=P ’’M+MN+NP ’,而P ’’M+MN+NP ’表示点P ’’到点P ’路径的长度，而根据“两点之间，线段最短”可知，线段P ’P ”是点P ’到点P ”距离最短的路径，从而上述所说的路线是鱼户前往两个鱼塘并返回住处的最短路径。
线段性质在生活中的应用教学案例
线段性质在生活中的应用教学案例一、案例背景学习是学生主动建构知识的过程。
学生不是简单被动的接受信息，而是对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得知识的意义。
学生原有的知识经验是学习的基础，学生走进教室不是空着脑袋在那儿等着老师往头脑里灌知识，而是在原有的知识和经验上自我建构知识。
线段性质在生活中的应用这节课我是根据“两点之间线段最短” 设计的，把生活中实实在在的道理展现在学生面前。
学生要学习“两点之间线段最短”，而学生原有的知识是两点确定一条直线，那么什么样的线最短，这就激活了学生原有的知识，然后引导学生通过实践总结规律。
这个过程就引导学生在原有知识——两点确定一条直线的基础上，自我建构两点之间线段最短二、教学过程活动1生1:我们可以拿尺测量，桥可以看作一条直线生2:我们可先画图，然后再测量，利用比例尺实际的桥长就能得出1•修桥问题汉沽区政府为响应市委市政府的号召加强市民的文化娱乐活动”为方便行人，要在河东世纪广场与河西公园之间修一座桥梁。
果你们是一名工程师，如何设计方案，使桥梁的距离最短。
(■:(师：我们今天上一节活动课看看生活当中的数学道理。
只要我们细心观察，数学来源于生活又为生活服务。
来。
师：生2说的非常好，先画图，在测量，那如何测量。
（学生开始讨论：有的说找点连线，有的算比例。
）我为了正确引导我出示了幻灯片，为下一个活动作了前提准备幻灯片演示完后，有的学生 小声提出为什么AC+CB 最短。
但是有的学生我通过眼神看出 已经知道答案了。
师：哪位同学知道答案?生1 :我拿尺测量AD+DB>AC+CB 师：还有没有别的想法? 生2:老师我们学过三角形两边之和大于第三边生2说完之后所有的人都露出了喜悦的表情。
（我给与很高的评 价，激励学生在探索中前进，讨论气氛更加浓厚。
）影响学习的唯一 最重要的因素就是学生已经知道了生么， 要探明这一点，并应就此进 行教学，学生原有的知识和经验是教学活动的起点 活动2同学们结 合图片， 联系自己 的生活经 验，你能 解释植物 生长的这 种现象吗 透光通风 有没有数 学道理呢实验建模:我们可以把河流看成一条直线 m, 分别把公园和广场看成点 A 与点B ,也 就是在直线m 上找一点C （桥梁），是 线段AC+CB 的距离最小。
两点之间线段最短
最短路线一在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：（1）连结两点的所有线中，直线段是最短的；（2）直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短．利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短路线的问题．例1甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了．所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C 点，如图13—2，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题．解：如图13—2．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB 是两村的最短路线．例2如图13—3，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法．解：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如图13—4，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短．为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短．例3如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．分析：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图．解：过A分别作河岸、公路的对称点A′、A″，如图13—7，连结A′A″，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线A′A″的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短．例4如图13—8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程．分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题．将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图13—9，在展开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较．解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图13—9（1），AB是直角三角形ABC 的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（3），得AB2=（2+4）2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米．例5如图13—10，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图13—11，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B′，这就可以用B′代替B，从而找出最短路线．解：如图13—11，将圆柱体侧面展成平面图形．作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′，AB′是A、B′两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线．延长AC到E，使CE＝B′D，因为△AEB′是直角三角形，AB′是斜边，EB′=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：AB′2=AE2+EB′2=242+72=625所以AB′=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是25厘米．。
勾股定理在最短路径问题中的应用
『勾股定理在最短路径问题中的应用』一、引言在数学和实际生活中，勾股定理是一个被广泛应用的基本定理，它不仅仅是一个几何定理，还在诸多领域中有着重要的应用，其中就包括最短路径问题。
本文将探讨勾股定理在最短路径问题中的应用，从而帮助我们更深入地理解这一数学原理在实际生活中的作用。
二、最短路径问题概述最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的最短路径，通常以距离或权重来衡量路径的长度。
这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在网络传输中寻找最短路径可以提高传输效率，在交通规划中寻找最短路径可以节省时间和成本等等。
寻找最短路径是一个被广泛关注的问题。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用1. 从原理上来看，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离，这在寻找最短路径时是至关重要的。
通过勾股定理，我们可以准确地计算出两点之间的距离，从而找到最短路径。
2. 勾股定理还可以帮助我们理解和推导其他寻找最短路径的算法，比如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
这些算法都是建立在对距离的准确计算基础上的，而勾股定理为我们提供了这样的基础知识。
3. 在实际的地图导航中，勾股定理也被广泛应用。
通过勾股定理，地图导航可以准确计算出最短路径，并为我们提供最优的导航方案，从而节省时间和成本。
四、结论和回顾通过本文的探讨，我们更加深入地了解了勾股定理在最短路径问题中的重要应用。
勾股定理不仅仅是一个单纯的数学定理，它还在实际生活中发挥着重要作用，特别是在寻找最短路径这样的实际问题中。
我们应该重视和深入理解勾股定理这一基础数学原理，从而更好地应用它解决现实生活中的问题。
五、个人观点在我看来，数学定理和实际问题之间的联系总是让人感到惊讶和敬畏。
勾股定理作为一个古老的数学定理，竟然在现代的最短路径问题中发挥着如此重要的作用，这让我对数学的普适性有了更深刻的理解。
我相信，随着数学和现实生活的更加深入的结合，我们将能够更好地解决各种实际问题，提高生活质量和效率。
“两点之间线段最短”的应用
“两点之间线段最短”的应用作者：傅兴亮来源：《新课程·中旬》2015年第12期在欧氏平面几何体系中，几何公理：“两点之间线段最短”的应用非常广泛。
从该公理出发，能证明出耳熟能详的、应用十分广泛的三角形三边边长关系定理“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之和小于第三边”，同时该公理在几何求极值或者最大、最小值也有着举足轻重的地位。
本文意在对该公理在初中数学中的应用和地位进行阐述和探讨。
一、从数学角度认识该公理公理“两点之间线段最短”在数学中是不用证明的，因为这是人们从大量的实践中总结出来的“正确”的经验，而且本公理看上去十分“完美、正确”，但是公理本身是不太好证明的。
二、从物理学角度认识该公理物理学中费马原理（Fermat’s principle）：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
根据费马原理：光在同一种物质中沿直线传播，而光在同一种物质中的传播速度是定值，而这样传播所花的时间最小，这就解释了为什么两点之间线段是最短的。
三、该公理可以加强平面几何知识的严谨性在初中平面几何教学中，考虑到学生的接受能力，往往把平面几何学中的定理当作公理，从而跳过定理的证明过程，而让学生直接接受一些事实，这就导致了数学知识体系的逻辑性和严谨性遭到严重破坏，同时也失去了训练学生逻辑思维的题材。
教师在教学中，也乐于这样去做，好像这样做，学生和老师都“轻松、愉快”了。
最典型的例子是：“垂线段最短”这个命题。
很多老师会把这个命题当公理，学生也乐于接受。
这样的做法，其实是缺乏思考，丧失了训练学生思维的好机会。
其实这个命题的证明是十分容易的，证明如下：已知：点P是直线AB外一点，PM⊥AB，垂直为M，点N在直线AB上，连接PN。
求证：PM≤PN证明：延长PM到C，连接NC，利用对称性或者全等三角形知识，容易证明出：PN=CN，由于PC是直线段，而PNC是折线段或者直线段，由公理“两点之间线段最短”，就得出：PC≤PN+CN，即2PM≤2PN，所以：PM≤PN。
两点之间线段最短的应用
两点之间线段最短的应用------多题归一辛村九年一贯制学校李玉芬一．学习目标1.了解“两点之间线段最短”的事实。
2.运用这一事实解决实际问题。
3.培养学生多题归一的能力。
二．重点难点1.重点：两点之间线段最短的应用2.难点：培养学生多题归一的能力。
三．教学过程（一）复习回顾(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
（二）情景引入一头牛从B点出发，先到河边喝水，再到A处去吃草，它应该怎样走才能使路程最短？请同学们帮它想一想，并画出最短的路线。
（吸引学生注意力，调动学习积极性，本题难度不大，学生通过独立思考能够解答）（三）探究活动活动1.在△ＡＢＣ中，点Ｅ是ＢＣ上一点，点Ｐ是角平分线ＢＤ上的一个动点，问Ｐ在何处时，ＰＥ＋ＰＣ的值最小。
（引发学生思考）活动2.正方形ABCD的周长为8,点E是线段BC的中点,点P是对角线AC 上的一个动点,求PB+PE的最小值。
活动3如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，OC=1，点D在圆上，AD=2DC，点P是半径OC上的一个动点，问P在何处时，PA+PD的值最小。
（以上三个背景:三角形、四边形、圆，是初中几何部分的三大块。
）（四）直击中考在反比例函数y=6/x上有两点A(3,2),B(6,1)，现有一动点P,那么当PA+PB最小时，求P点的坐标.（1）P在x轴上时（2）P在y轴上时(3) P在y=-x上时1、体现在动点在x,y轴上时，难度等价；在y=-x的直线上时，难度提升2、与前三个活动比较，本题还需确定P的坐标，难度加大。
3、所以第三问可灵活机动。
（有层次，有梯度，以满足不同学生的需求）（五）小结１、以上问题背景各不相同，但是都可以抽象为同一类型，即两点之间线段最短问题。
２、解决此类问题的关键是找到对称轴和三个点，当三点共线时就是最短路线。
3、在教学中不但要培养学生一题多解的能力，还应积极培养学生多题归一的能力（六）、作业：整理本节内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈”两点之间,线段最短”在实际生活中的应用
摘要:数学往往以它的抽象性著称,也正是抽象性,使得数学在实际生活的应用很广.本文以"两点之间，线段最短"这个基本的数学原理为例,通过建立数学模型,运用数形结合的思想来解决实际生活的一些问题,从而让读者体会数学来源于实际生活,生活中处处有数学的道理.
关键词:两点之间,线段最短;数学建模;数学结合
引言:"两点之间,线段最短"来源这样一个实际生活的经验事实:一个人在一个平面内从起点到终点,在所有的路线中,从起点到终点连接的线段路程最短.数学家把它总结为一个数学原理,于是数学一个重要原理从实际生活中产生了,下面举例说明这个原理怎样应用于实际生活.
例1《将军饮马》古希腊有一位数学家,名叫海伦,有一天,一位将军向他请教了一个问题:从A 地出发到河边饮马,然后再回到B 地,如何确定饮马的地点P,才能使得路程最短?
解：过点A 作关于直线l 的对称点A ’，连接A ’B 交直线l 与点P ，则点P 即为我们要找的点，这是因为AP=A ’P ，所以AP+PB=A ’P+PB ，而A ’P+PB 表示点A ’到B 点的所有路径的长度，而根据数学原理“两点之间，线段最短”，则可知道 点A ’到B 点的线段A ’B 的长度最短，从而验证了上面作法的合理性。
例2，有一个养鱼专业户，在如下图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上从住处P 分别前往两个池塘投放鱼食，
试问他怎样走才能以最短距离回到住地？
分析：点P表示养鱼户的住处，射线AB
以及射线AC表示两池塘的边缘，则上述
问题表示分别在射线AB与射线AC上找
亮点M、N（当然M、N两点必须在池塘
附近），使得PM+MN+NP的长度最短。
解：过点P分别作AC、AB边的对称点P’、P’’，连接P’、P’’，则P’P’’与射线AB、AC交于M、N两点，鱼户先从P点出发沿MP方向前往M点，再从M点沿MN前往N点，再由N点沿NP方向回到住处P点，则上述路径为最短的路径，这是因为PM=P’’M,PN=P’N,所以PM+MN+NP=P’’M+MN+NP’,而P’’M+MN+NP’表示点P’’到点P’路径的长度，而根据“两点之间，线段最短”可知，线段P’P”是点P’到点P”距离最短的路径，从而上述所说的路线是鱼户前往两个鱼塘并返回住处的最短路径。
通过上述两道例题都是先将实际问题抽象化，然后根据数形结合的思想，将路径最短问题转化为数学中两点之间的距离问题，最后根据“两点之间，线段最短”数学原理，求出最短路径问题。
参考文献：袁宏喜，张华，周大明等著.义务教育教课书数学（八年级上册）.长沙：湖南教育出版社，2017.7。