等腰直角三角形存在性问题
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等腰直角三角形存在性问题
一、复习回顾
二次函数存在性问题中等腰三角形的存在性、直角三角形存在性问题,等腰三角形的存在性问题有两种思路:①两圆一线确定点的位置,结合图形特点解决问题;②不考虑点的位置,利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解;直角三角形的存在性问题有两种思路:①两线一圆构图,“改斜归正”转化横平竖直线段长,②不考虑点的位置,利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解。
二、特殊三角形之等腰直角三角形存在性问题
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点,点Q在直线x=-3上,是否存在以点P为顶点的等腰直角三角形△PBQ,若存在,求出点P的横坐标,若不存在说明理由。
解法分析:
通过读题,不难求得A、B、C三点坐标,点P、Q是两个动点,位置不确定,如何确定它们的位置是解决问题的一个难点。此时不妨通过草图分析,大体分两种情况:①直角顶点在BQ下方,②直角点P在BQ上方,结合上辑课讲到的直角三角形存在性问题的处理思路,容易考虑使用“改斜归正”的处理办法结合等腰直角三角形的特点构造一线三等角全等模型,从而顺利转化线段长建立等量。
三、练习
1.(本小题25分)如图,抛物线y=x2-4x+3交x轴于A,C两点(点A在点C的右侧),交y 轴于点B.点D的坐标为(-1,0),若在直线AB上存在点P,使得以A,D,P为顶点的三角形是等腰直角三角形,则点P的坐标为()
A.(-1,4) 或(1/2,5/2)
B. (-1,3)或(1,2)
C. (-1,4)或(1,2)
D. (-1,4),(1,2)或(5,-2)
2.如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.P是线段AC上的一个动点(不与点A,C重合),过点P作平行于x轴的直线l,交BC于点Q,若在x轴上存在点R,使得△PQR是等腰直角三角形,则点R的坐标为() A.(1,4/3)或(3/2,1) B.(-1/3,4/3)或(-1/2,1) C.(1,0)或(-1/3,0)或(1/2,0) D.(1,0)或(-1/3,0)或(4/3,0)
3.如图,二次函数的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),以
AB为边在x轴上方作正方形ABCD,P是x轴上的一动点(不与点A重合),连接DP,过点P作PE⊥DP交y轴于点E.当△PED是等腰直角三角形时,点P的横坐标为()
A. -4
B. -3
C. -3或-4
D. -4或4
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,D为线段AB上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为点C,CD的延长线交抛物线y=-x2-3x+4于点E,连接BE.若△DBE为等腰直角三角形,则点D的坐标为()
A. (-2,2)
B. (-2,6)
C. (-3,4)或(-2,6)
D. (-3,1)或(-2,2)
5.如图,抛物线y=-x2+4x经过A(4,0),B(1,3)两点,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH△x轴于点H,点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,若存在,求出点M坐标,若不存在说明理由。
6. 在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2-ax-2经过点B.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.