2018届广东六校联考理数试卷及答案

（二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
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已知直线 l 的参数方程为
x m t cos (t 为参数， 0 ) ，以坐标原点为极点， x 轴的 y t sin
10．从 2 个不同的红球、2 个不同的黄球、2 个不同的蓝球共六个球中任取 2 个，放入红、黄、蓝色 的 三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有 A． 42 种 B． 36 种 C． 72 种 D． 46 种
11．已知点 F 为双曲线 E :
x2 y2 1( a, b 0) 的右焦点，直线 y kx ( k 0) 与 E 交于 M ， N 两 a 2 b2
Hale Waihona Puke Baidu
所以
关于 的函数解析式为
．……………………3 分
（Ⅱ）（i） 并且
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 的最大值为 0，则称函数 f ( x) 是“柯西函数”．
给出下列函数： ① f ( x ) ln x (0 x 3) ； ② f ( x) x
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1 ( x 0) ； x
③ f ( x)
绝密★启用前
2018 届广东省六校第三次联考
理科数学
满分：150 分 命题学校：深圳实验学校
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用 2B 铅笔将 试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不 按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 M {( x , y ) | x , y 为实数，且 x y 2} ， N {( x , y ) | x , y 为实数，且 x y 2} ， 则 M N 的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．3
2 2
考试时间：120 分钟 命题人：魏英城 审题人：喻秋生
2．设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 S3 9 ， S5 30 ，则 a7 a8 a9 A． 63 B． 45 C． 36 D．
27 y 0 3．若变量 x, y 满足约束条件 x 2 y 1 0 ，则 z 3 x 5 y 的取值范围是 x 4 y 3 0
2 *
（Ⅰ）求 a1 , a2 , a3 的值； （Ⅱ）求数列 an 的通项公式．
18.（12 分） 某小店每天以每份 5 元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份 10 元的价格出售．如果当 天卖不完，剩下的食品还可以每份 1 元的价格退回食品厂处理． （Ⅰ）若小店一天购进 16 份，求当天的利润 y (单位：元)关于当天需求量 n (单位：份， n N ) 的函数解析式； （Ⅱ）小店记录了 100 天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表： 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ，求 X 的分布列及数学期 （i）小店一天购进 16 份这种食品， X 表示当天的利润（单位：元） 望； （ii）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品 16 份还是 17 份？
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19.（12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形， AB BC 1 ， BAD 120 ，
3 6
B． D．
5 6
2 3
6．执行右面的程序框图，如果输入的 a ， b ， k 分别为 1 ，2， 3 ， 输出的 M A． n k B． n k C． n k 1 D． n k 1 7．已知 ( 1 i) n b0 ( 2 i) 0 b1 ( 2 i) b2 ( 2 i) 2 bn (2 i) n （ n 2 ，i 为虚数单位） ，
ln x k 与 g ( x) 2 图 象 的 两 个 不 同 的 交 点 ， 则 x x
f x1 x2 的
取值范围是 A．
e 2 ln , 2 e
B．
e 2 1 ln , 2 e e
C． 0,

1 e
D．
e 2 ln ,0 2 e
2 又数列 { an } 满足：当 n 1 时， a1 2 ；当 n 2 ， an 为 b2 ( 2 i) 的虚部．若数列 {
15 ，那么，判断框中应填入的条件为 8
2 } an
的前 n 项和为 S n ，则 S 2018
4035 2018 8．如图，在同一个平面内，三个单位向量 OA ， OB ， OC 满足条件： OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan =7， OB 与 OC 与的夹角为 45°． 若 OC mOA nOB （ m, n R ） ，则 m n 的值为

PB PC 2 ， PA 2 ， E ， F 分别是 AD ， PD 的中点．
（Ⅰ）证明：平面 EFC 平面 PBC ； （Ⅱ）求二面角 A BC P 的余弦值．
20.（12 分） 已知椭圆 C : 点， 点 P (2, 1) 满足 PA1 PA2 1 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l 经过点 P 且与 C 交于不同的两点 M 、 N ，试问：在 x 轴上是否存在点 Q ，使得 直线 QM 与直线 QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明 理由．
说明：本参考答案给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分. 三、解答题：共 70 分． 17.（12 分）解：（Ⅰ）∵ ∵ ∵ （Ⅱ）∵ ∴①-②得， ∴ …④， . ∵ 故 ，∴ . …③ ， … ① ，∴ ，∴ ， ，∵ . ， ，∴ . ……………1 分
…………………………………………………2 分 . ……………………………………………4 分 …②， ， ……………………6 分
1
3
1
________．
x) f ( x) ， 4 4
恒过定点___
__．
15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形， 则该几何体的表面积为 ．
16．若函数 f ( x ) 的图象上存在不同的两点 A( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，其中 x1 , y1 , x2 , y2 使得
A． B． C． A． 3 B．
2017 2018
2018 2017
D．
4033 2017
3 2 2
C． 3 2
D．
2 2
9．四面体 S ABC 中，三组对棱的长分别相等，依次为 5，4， x ，则 x 的取值范围是
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A． ( 2, 41)
B． (3,9)
C． (3, 41)
D． ( 2,9)
点，若 MF NF ，设 MNF ，且 [ A． [ 2 , 2
, ] ，则该双曲线的离心率的取值范围是 12 6
C． [2, 2
6]
B． [2, 3 1]
6]
D． [ 2, 3 1]
12 ． 已 知 Ax1 , y1 、Bx2 , y2 是 函 数 f ( x )
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4 cos ，射线 (
) ， 4 4

， 分别与曲线 C 交于 A、B、C 三点(不包括极点 O )． 4 4
2 OA ；
（Ⅰ）求证： OB OC （Ⅱ）当
A． 3, B． 8,3 C． ,9 D．
8,9
4．函数 y
1 ln x sin x 的部分图象大致为 1 ln x
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A．
B．
C．
D．
5． 设函数 f ( x ) cos( 3 x ) ，其中常数 满足 0 ．若函数 g ( x ) f ( x ) f ( x ) （其 中 f ( x) 是函数 f ( x ) 的导数）是偶函数，则 等于 A． C．
时，若 B、C 两点在直线 l 上，求 m 与 的值． 12
23. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f x 2 x a 2 x 2 a ． （Ⅰ）若 f 1 3 ，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式 f x 2 恒成立，求实数 a 的取值范围．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 y f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，则 14．已知函数 f ( x ) a sin x b cos x ，若 f ( 则函数 y 3
ax b 1
[ f ( x 2) x ] dx __
x2 y2 3 2 1 (a b 0) 的 离 心 率 为 ， A1 、 A2 分 别 为 椭 圆 C 的 左 、 右 顶 2 a b 2

21.（12 分） 已知函数 f ( x ) ( x 1)e
x
a 2 x ，其中 a R ． 2
（Ⅰ）函数 f ( x ) 的图象能否与 x 轴相切？若能，求出实数 a，若不能，请说明理由； （Ⅱ） 求最大的整数 a ， 使得对任意 x1 R , x2 (0, ) ， 不等式 f ( x1 x2 ) f ( x1 x2 ) 2 x2 恒成立．
… …………………………………………………8 分 ，
③-④得，
……………………………………………………………………10 分 是首项 3 公比 的等比数列， ，
……………………………………………………………………12 分 时，利润 ， ，…………………………1 分 …………………………2 分
18.（12 分）解：（Ⅰ）当日需求量 当日需求量 时，利润
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理科数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分． 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 A 6 C 7 C 8 B 9 C 10 A 11 D 12 D
二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． ； 14． ； 15． ； 16．① ④
2x 2 8 ；
④ f ( x)
2x 2 8 .
其中是“柯西函数”的为
（填上所有 正确答案的序号） ．．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 设数列 an 的前 n 项和为 S n ，数列 Sn 的前 n 项和为 Tn ，满足 Tn 2 S n n ，n N ．