全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法

D

C

B

A

全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法

△ABC 中,AD 是BC 边中线

方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长

1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD

【经典例题】

例1已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线AD 的取值范围是_________.

（提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边）

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF

E

D

A

B

C

F

D

C

B

A N

D

C

B

A

M

E

D

F

C B

A

方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB

方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）

例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ （提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边

方法2：

倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH=EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边）

例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。

_

D _

F _

C _

B _

E _

A _

D _

F _

C _

B _

E _

A

方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？）

例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. （提示：倍长AE至M,连接DM）

D

B

E

D C B

A

B

变式一：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，

求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE 至F ，连结DF,证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）,进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）

变式二：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，

求证：2AE ＝AC 。

（提示：借鉴变式一的方法）

例6：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示：

方法1：倍长AE 至G ，连结DG

_ A _

B _

D _

E _

C _

F

方法2：倍长FE 至H ，连结CH 【练习】

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE 、DF 交于G,证明AB=GC 、AF=GF ，所以AB=AF+FC

2、已知：如图，

ABC 中，

C=90

，CM

AB 于M ，AT 平分

BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB

交BC 于E ，求证：CT=BE.

提示：过T 作TN ⊥AB 于N ， 证明ΔBTN ≌ΔECD

F

E

A

B

C

D

A

B

C

M

T

E

_ A _

B _

D _

E _

C _

F

3、在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，若AB＝AD，求证：2AM＝AC＋AB。

4、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°，

求证：AB=2BC.

5、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM