多元函数求导

f v′ u f v′ v + x f v′ + x y[ + ] u y v y
2 2
y ′′ ′′ = f u′ + 3 x f v′ f uu + x 3 yf vv x
2
12
具有连续导数， 例6 设z = f ( xy )，y = g( x )，且f、g具有连续导数， dz 求 。 dx
xy
+ e [xsin( x + y) + cos(x + y) ]d y
xy
16
习题8 3 P24
A : 1(5),2(6),4(3,4) B : 1(5,6),4
17
14
二. 复合函数的全微分 设函数 z = f (u, v) , u = φ (x, y) , v =ψ (x, y) 都可微,
则复合函数 z = f (φ (x, y) , ψ (x, y)) 的全微分为 z z dz = dx + d y x y
z u z v z u z v + )d y = ( + ) dx +( u y v y u x v x z u u v z v = ( dx + d y) + ( dx + d y) u x y y v x z z du + dv = u v
10
y 例5 设z = x f ( , xy ), 其中f具有二阶连续偏导 , x 2z f . 求 x y u v y 解 : 令u = , v = xy , x x yx y
2
∴ z = x f ( u, v )
2
z f u f v 2 = 2 xf + x [ + ] x u x v x
z z u z v o( ρ ) + = + t t u t v t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ρ = (u) + (v) )
2 2
令 t → 0 ,则有 u →0, v →0,
z
v
u du → , dt t
o ( ρ ) o( ρ ) = t ρ
u v dv → t dt t u 2 v 2 ( ) + ( ) →0 t t
z = f (u, v) , u = φ (x, y) , v =ψ (x, y)
z
′ ′ f1′φ2 + f 2′ψ2
u v
x
y x 4
y
又如 z = f (x, v) , v =ψ (x, y) 当它们都具有可微条件时， 当它们都具有可微条件时，则有 z f f v ′ = = f1′ + f 2′ψ1 + x x v x z f v ′ = f 2′ψ2 = y v y z f 与 不同 注意: 注意 这里 x x z 表示固定 表示固定 y 对 x 求导
y = 2 xf + x f u′ ( 2 ) + x 2 f v′ y x
2
11
= 2 xf yf u′ + x yf v′
2
f u′ ( f v′)
u
v
x y x
z 2 = 2 x ( f ) ( yf u′ ) + x ( yf v′) y y y xy
2
y
f u f v f u′ u f u′ v = 2 x[ + ] f u′ y[ + ] u y v y u y v y
t
（t < 0 时,根式前加“–”号) 根式前加“ 号
d z z du z d v = + dt u dt v dt
( 全导数公式 )
3
推广: ）中间变量多于两个的情形。 推广 1）中间变量多于两个的情形。例如 z = f (u, v, w) , u = φ (t) , v =ψ (t) , w = ω (t)
dz z z dy 解 = + dx x y dx
z
x
y
x
= f ′( xy ) y + f ′( xy ) x g ′( x )
= yf ′ + xf ′ g ′
13
x y 例7: 已知 Z = f ( x y, ) + g 其中 f , g 二阶连续可导 y x 2
解: z = x f ′ x f2 + 1 g′ ′ 1 2 y x y
u
u
= e [sin( x + y)d(x y) + cos(x + y)d(x + y)]
= e [sin( x + y) ( ydx + xd y) + cos(x + y)(d x + d y)]
xy
xy
= e [ y sin( x + y) + cos(x + y)]dx
z = ex y[ y sin( x + y) + cos(x + y)] 所以 x z xy = e [x sin( x + y) + cos(x + y)] y
f 表示固定 v 对 x 求导 x
z= f
x v
x y
x
连线相乘, 分线相加。 口诀 : 连线相乘 分线相加。
5
解：z = z u + z v
例1. 设 z = e sin v , u = x y , v = x + y z z , 求 . x y
u
z
u v
x
= e sin v y + e cos v 1
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表 15 达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 . 全微分形式不变性
z z , . 例8. z = e sin v , u = xy , v = x + y , 求 x y u 解: d z = d ( e sin v )
u
= e sin v du + e cos v dv
记
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .
w
u v
同理有 f 2′,
w f u f v + = = f1′ + yzf 2′; x u x v x
x y z x y z
9
f1′ f 2′ w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = z z xz z ′ f1′ , f2 f1′ f1′ u f1′ v ′′ ′′ + = f11 + xyf12 ; = u v u z v z z
一. 复合函数求导的链式法则 可导,函数 定理 如果函数 u = φ (t) , v =ψ(t) 都在点 t可导 函数 z = f (u, v) 在点 (u, v) 处可微 则复合函数 处可微, z
u v
t t
证: 设 t 取增量 t , 则相应中间变量有增量 u , v
z z z = u + v+ o ( ρ ) ( ρ = (u)2 + (v)2 ) u v z z u z v o ( ρ ) = + + t u t v t t 2
x2 + y2 +z2
, z = x2sin y ,
u
x y z
x2 + y2 +z2 2 xsin y +2z e 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
= 2 xe = 2 x (1+ 2 x2 sin y) e u f f z = + y y z y
= 2ye
x2 + y2 +z2 4
则在它们都可微的条件下 d z z du z d v z d w = + + dt u dt v dt w dt
z
u v w
t t t
= f1′φ′ + f 2′ψ ′ + f3′ω′
2）中间变量是多元函数的情形。例如 ）中间变量是多元函数的情形。 则在它们都可微的条件下 z z u z v = + x u x v x z z u z v = + = y u y v y
x2 + y2 +z2
x y
+2ze
x2 + y2 +z2 x2 cos y x2 + y2 +x4 sin2 y
7
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
例 3. 设 z = u v + sin t , u = e ,
t
dz 求全导数 . dt
解:
z
t t
d z z du z d v z = + + dt u dt v dt t
z 求 y x
x 1 1 z 1 ′′ ′′ ′′ ′′ = f1′ + x[ y f11 + f12] 2 f2′ 2 [ yf 21 + f 22 ] y y y y yx 1 y 2 g′ 3 g′′ x x
2
1 y 1 x ′′ ′′ = f1′ + x y f11 2 f2′ 3 f22 2 g′ 3 g′′ x x y y
= ve usin t + cost
t
= e (cos t sin t) + cos t
t
8
例4
设 w = f ( x + y + z , xyz ) ， f 具有二阶
2
w w 连续偏导数， 连续偏导数，求 和 . x xz 解 令 u = x + y + z , v = xyz; w = f ( u, v )
2
x y z x y z f 2′ f 2′ u f 2′ v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; + = u z v z z 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 xz
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
xy
u x u
v x u
x
y x
y
= e [ y sin( x + y) + cos(x + y)]
z z u z v + = y u y v y u = eu sin v
x + e cos v 1
6
= ex y[x sin( x + y) + cos(x + y)]
例2. u = f (x, y, z) = e u u , 求 x y u f f z = + 解: x x z x
第三节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 y = f (u), u = (x) 求导法则 微分法则
d y d y du = dx du dx
dy = f ′(u) du= f ′(u)′ (x) dx
推广
（1）多元复合函数求导的链式法则 ） （2）多元复合函数的全微分 ）
1
可导, 可导 且有链式法则 z = f (φ (t), ψ (t)) 在点 t d z z du z d v = + dt u dt v dt