最小二乘法matlab程序

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最小二乘法matlab程序

最小二乘法（Least Squares Method，LSM）是一种数值计算方法，用于拟合曲线，求解未知参数的值。

它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来拟合曲线，从而求得未知参数的值。

本文将介绍最小二乘法在Matlab中的实现原理及程序编写。

一、最小二乘法的原理最小二乘法是一种数值计算方法，它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来拟合曲线，从而求得未知参数的值。

最小二乘法的基本原理是：给定一组数据点，用直线拟合这组数据点，使得拟合直线与这组数据点的误差的平方和最小。

具体地说，假设有一组数据点，其中每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n，其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。

拟合这组数据点的直线通常用一元线性函数表示，即y=ax+b，其中a和b是未知参数。

最小二乘法的思想是：求出使误差的平方和最小的a和b，即求出最优解。

二、Matlab程序编写1. 准备工作首先，我们需要准备一组数据点，每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n，其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。

例如，我们可以准备一组数据点：x=[1,2,3,4,5];y=[2,4,6,8,10];2. 程序编写接下来，我们就可以开始编写Matlab程序了。

首先，我们需要定义一个一元线性函数，用于拟合这组数据点。

函数的形式为：y=ax+b，其中a和b是未知参数。

%定义函数f=@(a,b,x)a*x+b;然后，我们需要定义一个误差函数，用于计算拟合直线与这组数据点的误差的平方和。

%定义误差函数error=@(a,b)sum((y-f(a,b,x)).^2);最后，我们就可以使用Matlab提供的fminsearch函数，求解最小二乘误差的最优解，即求出最优a和b的值。

%求解最优解[a,b]=fminsearch(error,[1,1]);经过上面的程序编写，我们就可以求得未知参数a和b的最优值。

matlab最小二乘解方程

matlab最小二乘解方程最小二乘法是求解线性方程组的一种有效方法，可以通过最小化误差平方和来得到最优解。

在MATLAB中，我们可以使用“\”操作符或者使用“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。

以下是关于如何在MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组的详细内容:1. 使用“\”操作符使用“\”操作符可以很方便地求解一个线性方程组的最小二乘解。

例如，假设我们有一个由n个方程组成的线性方程组：Ax = b其中，A是一个m ×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。

则它的最小二乘解为：x = (A' A)^(-1) A' b在MATLAB中，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = A \ b;其中，反斜杠符号“\”表示求解线性方程组的最小二乘解。

2. 使用“pinv”函数除了使用“\”操作符，我们也可以使用MATLAB中的“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。

例如，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = pinv(A) * b;其中，pinv函数表示求矩阵A的伪逆矩阵。

使用“pinv”函数来求解线性方程组的最小二乘解与使用“\”操作符的结果是等价的。

需要注意的是，在使用最小二乘法来求解线性方程组时，矩阵A的列应该是线性无关的，否则可能会出现唯一最小二乘解不存在的情况。

综上所述，MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组非常简单。

我们可以通过“\”操作符或者“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。

曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

1曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLA程序例7.2.1 给出一组数据点（x j, y i）列入表7 -中，试用线性最小二乘法求拟合曲线,并用（7.2），（7.3 ）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.解 (1)在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];plot(x,y, 'r*'),legend('实验数据(xi,yi)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title('例7.2.1的数据点(xi,yi) 的散点图’)运行后屏幕显示数据的散点图(略)(3)编写下列MATLAB程序计算f (x)在(x i, y i)处的函数值，即输入程序>> syms a1 a2 a3 a4x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];fi=a1.*x.A3+ a2.*x.A2+ a3.*x+ a4运行后屏幕显示关于a1,a2, a3和a4的线性方程组fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4,1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]编写构造误差平方和的MATLAB程序>> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.5068.04];fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4,1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];fy=fi-y; fy2=fy.A2; J=sum(fy.A2)运行后屏幕显示误差平方和如下J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)A2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)A2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10* a3+a4+723/20)A2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)A2+(a4+91/10)A2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)A2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)A2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)A2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)A2为求a1,a2 ,a3, a4使J达到最小，只需利用极值的必要条件一丄0 (k 1,2,3,4),a k运行后屏幕显示 J 分别对a 1, a 2 ,a 3 ,a 4的偏导数如下Ja11=56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+ 23667/250*a4-8442429/625Ja21 =32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625Ja311377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125Ja4123667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25解线性方程组 Ja 11 =0， Ja 21 =0， Ja 31 =0， Ja 41 =0，输入下列程序>>A=[56918107/10000, 32097579/25000,23667/250; 32097579/25000, 1377283/2500, 1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18];B=[8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25]; C=B/A, f=poly2sym(C) 运行后屏幕显示拟合函数 f 及其系数 C 如下C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574f=716503695845759/140737488355328*xA3 -7988544102557579/562949953421312*xA2 +1804307491277693/281474976710656*x -4648521160813215/562949953421312 故所求的拟合曲线为1.52.73.6]; y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.5068.04];n=length(xi);f=5.0911.*xi.A3-14.1905.*xi.A2+6.4102.*xi -8.2574; x=-2.5:0.01: 3.6;F=5.0911.*x.A3-14.1905.*x.A2+6.4102.*x -8.2574; fy=abs(f-y); fy2=fy.A2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n) plot(xi,y, 'r*'), hold on, plot(x,F, 'b-'), hold off legend( '数据点 (xi,yi)' ,'拟合曲线 y=f(x)' ), xlabel( 'x'), ylabel( 'y'), title('例7.2.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据(x^yj 与拟合函数f 的最大误差平均误差 E 和均方根误差 E及其数据点(X j ,yj 和拟合曲线y=f(x)的图形(略).Ew = E1 = E2 =3.105 4 0.903 4 1.240 9得到关于a 1,a 2 ,a 3, a 4的线性方程组，这可以由下面的 MATLAB 程序完成，即输入程序>> syms a1 a2 a3 a4J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)A2+(-4913/1000*a1 + 289/100*a2-17/10*a3+a4...+171/2)A2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11 /10*a3+a4+723/20)A 2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)A 2+(a4+91/10)A 2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)A 2+(27/8*a1+9 /4*a2+3/2*a3+a4+328/25)A2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4 -13/2)A2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)A2;Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja4=diff(J,a4);Ja11=simple(Ja1), Ja41=simple(Ja4),Ja21=simple(Ja2), Ja3=diff(J,a3);Ja31=simple(Ja3),1377283/2500, 23667/250, 67;f (x) 5.0911 ( 4)编写下面的 MATLAB序x 3 14.1905 x 2 程序估计其误差， 8.2574 . 6.4102 x 并作出拟合曲线和数据的图形 .输入程 >> xi=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.17.3函数m (x)的选取及其MATLA 程序例7.3.1 给出一组实验数据点 (x i ,y i )的横坐标向量为x =( -8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6 ) ，纵横坐标向量为 y =( 459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22 ) ，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用( 7.2)，(7.3) 和( 7.4)式估计其误差，作出拟合曲线 .解 (1)在 MATLAB 工作窗口输入程序>>x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6];y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22];plot(x,y, 'r*' ),legend( ' 实验数据 (xi,yi)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y' ),title( ' 例 7.3.1 的数据点 (xi,yi) 的散点图 ' ) 运行后屏幕显示数据的散点图(略) . (3)编写下列MATLAB 程序计算f (x)在(x i , y i )处的函数值，即输入程序>> syms a b x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2 .1,-1.5,-2.7,-3.6]; fi=a.*exp(-b.*x)运行后屏幕显示关于a 和b 的线性方程组fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b), a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b),a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]编写构造误差平方和的 MATLAB 程序如下>>y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37, 13.47,12.87, 11.87, 6.69,14.87,24.22]; fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]; fy=fi-y; fy2=fy.A 2; J=sum(fy.A 2)运行后屏幕显示误差平方和如下J =(a*exp(17/2*b)-22963/50)A2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)A2+( a*exp(71/10*b)-19827/100)A2+(a*exp(34/5*b)-828/5)A2+(a*exp(51/1 0*b)-5917/100)A2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)A2+(a*exp(18/5*b)-648/25 )A2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)A2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)A2+(a*ex p(5/2*b)-1287/100)A2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)A2+(a*exp(3/2*b)- 669/100)A2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)A2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)A 2为求a,b 使J 达到最小，只需利用极值的必要条件，得到关于 a,b 的线性方程组, 这可以由下面的 MATLAB 程序完成，即输入程序>> syms a bJ=(a*exp(17/2*b)-22963/50)A2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)A2 +(a*exp(71/10*b)-19827/100)A2+(a*exp(34/5*b)-828/5)A2+(a*exp(51 /10*b)-5917/100)A2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)A2+(a*exp(18/5*b)-648/ 25)A2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)A2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)A2+(a* exp(5/2*b)-1287/100)A2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)A2+(a*exp(3/2*b )-669/100)A2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)A2+(a*exp(18/5*b)-1211/50 )A 2；Ja=diff(J,a); Jb=diff(J,b);Ja 仁simple(Ja), Jb 仁simple(Jb),运行后屏幕显示J 分别对a, b 的偏导数如下Ja1 =2*a*exp(3*b)+2*a*exp(17*b)+2*a*exp(87/5*b)+2*exp(68/5*b)*a+2*exp(9*b)*a+2*a*exp(34/5*b)-669/50*exp(3/2*b)-1487/50*exp(2 7/10*b)-2507/25*exp(18/5*b)-a*exp(71/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(13/5*b), a*exp(3/2*b),22963/25*exp(17/2*b)-5281/50*exp(87 /10*b)-19827/50*exp(71/10*b)-2237/50*exp(17/5*b)-1656/5*exp(34/ 5*b)-1347/50*exp(13/5*b)-5917/50*exp(51/10*b)-1287/50*exp(5/2*b )-2083/25*exp(9/2*b)-1187/50*exp(21/10*b)+4*a*exp(36/5*b)+2*a*exp(26/5*b)+2*a*exp(71/5*b)+2*a*exp(51/5*b)+2*a*exp(5*b)+2*a*exp (21/5*b)+2*a*exp(27/5*b) Jb1 =1/500*a*(2100*a*exp(21/10*b)A2+8500*a*exp(17/2*b)A2+6800*a*exp(34/5*b)A2-10035*exp(3/2*b)-40149*exp(27/10*b)-180504*exp (18/5*b)-3903710*exp(17/2*b)-459447*exp(87/10*b)-1407717*exp(71/10*b)-76058*exp(17/5*b)-1126080*exp(34/5*b)-35022*exp(13/5*b)-301767*exp(51/10*b)-32175*exp(5/2*b)-187470*exp(9/2*b)-24927*exp(21/10*b)+7100*a*exp(71/10*b)A2+5100*a*exp(51/10*b)A2+4500*a*exp(9/2*b)A2+7200*a*exp(18/5*b)A2+3400*a*exp(17/5*b)A2+2600*a*exp(13/5*b)A2+2500*a*exp(5/2*b)A2+1500*a*exp(3/2*b)A2+2700*a*exp( 27/10*b)A2+8700*a*exp(87 /10*b)A2)用解二元非线性方程组的牛顿法的MATLAB^序求解线性方程组J ai =0, J bi =0,得a = b=2.811 0 0.581 6故所求的拟合曲线(7.13)为0.5816xf (x) 2.811 0 e . (7.14)(4)根据(7.2)，( 7.3)，( 7.4)和(7.14)式编写下面的MATLAB程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-8.5 -8.7 -7.1 -6.8 -5.10 -4.5 -3.6 -3.4 -2.6 -2.5-2.1 -1.5 -2.7 -3.6];y=[459.26 52.81 198.27 165.60 59.17 41.66 25.92 22.3713.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];n=le ngth(xi); f=2.8110.*exp(-0.5816.*xi); x=-9:0.01: -1;F=2.8110.*exp(-0.5816.*x); fy=abs(f-y); fy2=fy.A2;Ew=max(fy),E仁sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y, 'r*' ), hold onplot(x,F, 'b-' ), hold off,legend('数据点(xi,yi)' ，'拟合曲线y=f(x)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'),title( '例7.3.1的数据点(xi,yi) 和拟合曲线y=f(x) 的图形')运行后屏幕显示数据(X i,yj与拟合函数f的最大误差E w = 390.141 5 ，平均误差E1=36.942 2 和均方根误差巳=106.031 7 及其数据点(X i,yj和拟合曲线y=f( x)的图形(略).7.4 多项式拟合及其MATLA程序例7.4.1给出一组数据点（X i, y i ）列入表7 43中，试用线性最小二乘法求拟合曲线, 并用（7.2）, （7.3 ）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.解（1）首先根据表7-3给出的数据点（X i,yj，用下列MATLAB程序画出散点图在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6]; y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88];plot(x,y, 'r*' ), legend( ' 数据点(xi,yi)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y' ),title( ' 例7.4.1 的数据点(xi,yi) 的散点图' ) 运行后屏幕显示数据的散点图(略) .(3 )用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MATLAB程序求待定系数a k (k 1, 2,3).输入程序>> a=polyfit(x,y,2) 运行后输出( 7.16)式的系数a =2.8302 -7.3721 9.1382故拟合多项式为f (x) 2.830 2x27.372 1x 9.138 2.(4)编写下面的MATLA龍序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形•输入程序>> xi=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6]; y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.1219.88];n=le ngth(xi); f= 2.8302 ,*xi.A2 -7.3721 .*xi+ 9.1382x=-2.9:0.001:3.6;F= 2.8302 .*x.A2 -7.3721 .*x+8.79;fy=abs(f-y); fy2=fy.A2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y, 'r*', x,F, 'b-'),legend( ' 数据点(xi,yi)' , ' 拟合曲线y=f(x)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y' ),title( ' 例7.4.1 的数据点(xi,yi) 和拟合曲线y=f(x) 的图形' )运行后屏幕显示数据(X i，yj与拟合函数f的最大误差平均误差E1和均方根误差E 及其数据点(X i,y i)和拟合曲线y=f(x)的图形(略).Ew = E1 = E2 =0.745 7, 0.389 2, 0.436 37.5 拟合曲线的线性变换及其MATLA程序例7.5.1 给出一组实验数据点( x i , y i )的横坐标向量为x=(7.5 6.8 5.10 4.53.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.7 3.6 )，纵横坐标向量为y=(359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22 )，试用线性变换和线性最小二乘法求拟合曲线，并用( 7.2)，(7.3)和( 7.4)式估计其误差，作出拟合曲线.解(1)首先根据给出的数据点(X i，yj，用下列MATLAB^序画出散点图.在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.8711.87 6.69 14.87 24.22];plot(x,y, 'r*' ), legend( ' 数据点(xi,yi)' )xlabel( 'x' ), ylabel( 'y' ),title( ' 例7.5.1 的数据点(xi,yi) 的散点图' )运行后屏幕显示数据的散点图(略) .(2) 根据数据散点图，取拟合曲线为bxy a e bx(a 0,b 0) , (7.19)其中a,b是待定系数.令Y In y, A In a, B b，则(7.19)化为丫 A Bx .在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];Y=log(y); a=polyfit(x,Y,1); B=a(1);A=a(2); b=B,a=exp(A)n=length(x); X=8:-0.01:1; Y=a*exp(b.*X); f=a*exp(b.*x);plot(x,y, 'r*' ,X,Y, 'b-' ), xlabel( 'x' ),ylabel( 'y' ) legend( ' 数据点(xi,yi)' , ' 拟合曲线y=f(x)' )title( ' 例7.5.1 的数据点(xi,yi) 和拟合曲线y=f(x) 的图形' )fy=abs(f-y); fy2=fy.A2; Ew=max(fy), E仁sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)运行后屏幕显示y a e bx的系数 b =0.624 1 , a =2.703 9,数据(x i, y i )与拟合函数f的最大误差Ew =67.641 9 ，平均误差E1=8.677 6 和均方根误差E2=20.711 3 及其数据点(x i, y i)和拟合曲线f(x) 2.703 9e0624 1x的图形(略).7.6 函数逼近及其MATLA程序最佳均方逼近的MATLAB程序function [yy1,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,xx) m=size(f);n=length(X);m=m(1);b=zeros(m,m);c=zeros(m,1); if n~=length(Y)error( 'X和Y的维数应该相同')endfor j=1:mfor k=1:mb(j,k)=0;for i=1:nb(j,k)=b(j,k)+feval(f(j,:),X(i))*feval(f(k,:),X(i));endendc(j)=0;for i=1:nc(j)=c(j)+feval(f(j,:),X(i))*Y(i);endenda=b\c;WE=0;for i=1:nff=0;for j=1:mff=ff+a(j)*feval(f(j,:),X(i));endWE=WE+(Y(i)-ff)*(Y(i)-ff);endif nargin==3return ;endyy=[];for i=1:ml=[];for j=1:length(xx)l=[l,feval(f(i,:),xx(j))];endyy=[yy l'];endyy=yy*a; yy1=yy'; a=a';WE;例7.6.1 对数据X和Y,用函数y 1, y x, y X2进行逼近，用所得到的逼近函数计算在x 6.5处的函数值，并估计误差•其中X=(1 3 4 5 6 7 8 9); Y=(-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29).解在MATLA工作窗口输入程序>> X=[ 1 3 4 5 6 7 8 9]; Y=[-11 -13 -11 -7 -1 7 1729];f=['funO';'fun1';'fun2']; [yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,6.5)运行后屏幕显示如下yy =2.75000000000003a =-7.00000000000010 -4.99999999999995 1.00000000000000WE =7.172323350269439e-0272 x例7.6.2 对数据X 和Y,用函数y 1, y x, y x , y cosx, y e ,y si nx进行逼近，其中X=( 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 )，Y=( 0 0.4794 0.8415 0.98150.9126 0.5985 0.1645 ).解在MATLA工作窗口输入程序>> X=[ 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00];Y=[0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645];f=['fu n0';'fu n1';'fu n2';'fu n3';'fu n4';'fu n5'];xx=0:0.2:3;[yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y, xx), plot(X,Y,'ro',xx,yy,'b-')运行后屏幕显示如下(图略)yy = Columns 1 through 7-0.0005 0.2037 0.3939 0.5656 0.7141 0.83480.9236Colu mns 8 through 140.9771 0.9926 0.9691 0.9069 0.8080 0.67660.5191Colu mns 15 through 160.3444 0.1642a = 0.3828 0.4070 -0.3901 0.0765 -0.4598 0.5653WE = 1.5769e-004即，最佳逼近函数为y=0.3828+0.4070*x-0.3901*x A2+0.0765*exp(x) -0.4598*cos(x) +0.5653*si n(x)7.7 三角多项式逼近及其MATLA程序计算三角多项式的MATLA吐程序fun ction [A,B,Y1,Rm]=sanjiao(X,Y,X1,m)n= len gth(X)-1;max1=fix(( n-1)/2);if m > max1m=max1;endA=zeros(1,m+1);B=zeros(1,m+1);Ym=(Y(1)+Y( n+1))/2; Y(1)=Ym; Y(n+1)=Ym; A(1)=2*sum(Y)/n;for i=1:mB(i+1)=s in (i*X)*Y'; A(i+1)=cos(i*X)*Y';endA=2*A/n; B=2*B/n; A(1)=A(1)/2;Y 1=A(1);for k=1:m丫仁 Y1+A(k+1)*cos(k*X1)+ B(k+1)*s in (k*X1);Tm=A(1)+A(k+1).*cos(k*X)+ B(k+1).*si n( k*X); k=k+1;endY;Tm; Rm=(sum(Y-Tm).A2)/n;例7.7.1 根据[,]上的n 13,60,350个等距横坐标点x i，2—x(i 0,1,2,,n)和函数 f(x) 2sin .3(1 )求f(x)的6阶三角多项式逼近，计算均方误差183 ni n(1) 2 si nnxn i 9n 1的前6项进行比较(3) 利用三角多项式分别计算 X i = -2, 2.5的值；(4)在同一坐标系中，画出函数 f (x)，n 13,60,350的三角多项式和数据点的图形• 解(1 )输入程序>> X 仁-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);X1i=[-2,2.5]; [A1,B1,Y11,Rm1] =sanjiao(X1,Y1,X1i,6),X2=-pi:2*pi/60:pi;Y2=2*si n(X2/3); [A2,B2,Y12,Rm2]=sanjiao(X2,Y2,X1i,6)X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*si n(X3/3); [A3,B3,Y13,Rm3]=sanjiao(X3,Y3,X1i,6) X1i=[-2,2.5];Y1=2*si n(X1i/3) for n=1:6bi=(-1)A ( n+1)*18*sqrt(3)* n/(pi*(9* n A 2-1)) end(2)画图，输入程序>>X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*si n(X1/3);Xi=-pi:0.001:pi; f=2*si n(Xi/3); [A1,B1,Y1i,R1m]=sanjiao(X1,Y1,Xi,6);X2=-pi:2*pi/60:pi; Y2=2*si n(X2/3); X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*s in (X3/3); [A2,B2,Y2i,R2m]=sanjiao(X2,Y2,Xi,6); [A3,B3,Y3i,R3m]=sanjiao(X3,Y3,Xi,6); plot(X1,Y1, 'r*' , Xi, Y1i, 'b-' ,Xi, Y2i, 'g--' , Xi, Y3i, 'm:',Xi, f, 'k-.' )xlabel( 'x' ),ylabel( 'y')lege nd('数据点(xi,yi)' , ' n=13的三角多项式’，’n=60的三角多项式','n=350 的三角多项式','函数f(x)')title( '例7.7.1 的数据点(xi,yi) 、n=13，60，350的三角多项式 T3和函数f(x)的图形’) 运行后图形(略).7.8 随机数据点上的二元拟合及其 MATLA 程序2 2随机数，Z 是函数Z=7-3 x 3e -x -y 在(X,Y )的值，拟合点(X I ,Y I )中的X I =-3:023, Y I =-2.5:0.2:3.5. 分别用二元拟合方法中最近邻内插法、三角基线性内插法、三角基三次内插法和 MATLAB 4网格化坐标方法计算在 (X I ,Y I )处的值，作出它们的图形，并与被拟和曲面进行比较.解 (1)最近邻内插法.输入程序>> x=ra nd(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数 x 和y , x ，y . X=-3+(3-(-3))*x; %利用x 生成的随机变量. Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成的随机变量. Z=7-3* X.A3 .* exp(-X.A2 - 丫.人2); %在每个随机点(X,Y )处计算 Z的值.X1=-3:0.2:3;(2)将这三个三角多项式分别与 f (x)的傅里叶级数f(x) 例 7.8.1 设节点(X,Y,Z )中的X 和Y 分别是在区间［3,3]和[2.5, 3.5]上的 50 个Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 处的插值ZI.title('用最近邻内插法拟合函数z =7-3 x A3 exp(-x A2 - y A2)和节点的图形' )%legend( ' 拟合曲面',' 节点(xi,yi,zi)' )输入程序>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x和y , x , y .X=-3+(3-(-3))*x; %利用x生成上的随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y生成上的随机变量.Z=7-3* X.A3 .* exp(-X.A2 - 丫人2); %在每个随机点(X,Y )处计算Z 的值.%legend( ' 拟合曲面',' 节点(xi,yi,zi)' )hold on plot3(X,Y,Z, 'bo' ) hold of 运行后屏幕显示用三角基线性内插法拟合函数和节点的图形及其插值Z I (略).( 3)三角基三次内插法.输入程序%在当前图形上添加新图形.%用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). %结束在当前图形上添加新图形.22Z=7-3 x3e -x -y在两组不同节点处的曲面>> x=rand(50,1);y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x和y , x，y .X=-3+(3-(-3))*x; %利用x生成上的随机变量.Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y;Z=7-3* X.A3 .* exp(-X.A2 - Y.A2); 的值.X1=-3:0.2:3;Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 处的插值ZI.mesh(XI,YI, ZI)xlabel( 'x' ), ylabel( 'y'%将坐标( XI,YI )网格化.'nearest' ) %计算在每个插值点( XI,YI )mesh(XI,YI, ZI) xlabel( 'x' ), ylabel( %作二元拟合图形'y' ), zlabel( 'z' ),的曲面hold on plot3(X,Y,Z, 'bo' )hold of运行后屏幕显示用最近邻内插法拟合函数插值乙(略).( 2)三角基线性内插法.%在当前图形上添加新图形.%用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z) %结束在当前图形上添加新图形.22Z=7-3 x3e -x -y在两组不同节点处的曲面及其X1=-3:0.2:3;Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1);ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 处的插值ZI.mesh(XI,YI, ZI)xlabel( 'x' ), ylabel(%将坐标( XI,YI )网格化.'linear' ) %计算在每个插值点( XI,YI )%作二元拟合图形'y' ), zlabel( 'z' ),title(曲面和节点的图形用三角基线性内插法拟合函数)z =7-3 xA3 exp(-xA2 - yA2)%利用y生成上的随机变量.%在每个随机点( X,Y )处计算Z%将坐标( XI,YI )网格化.'cubic' ) %计算在每个插值点( XI,YI )%作二元拟合图形.), zlabel( 'z' ),2title( ' 用三角基三次内插法拟合函数 z =7-3 xA3 exp(-xA2 - yA2) 曲面和节点的图形 ' ) %legend( ' 拟合曲面 ',' 节点 (xi,yi,zi)' hold on plot3(X,Y,Z, hold of 'bo' ) 运行后屏幕显示用三角基三次内插法拟合函数和节点的图形及其插值 Z I (略). ( 4 ) MATLAB 4网格化坐标方法 . 输入程序 >> x=rand(50,1);y=rand(50,1); X=-3+(3-(-3))*x; Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; )%在当前图形上添加新图形 . %用兰色小圆圈画出每个节点 (X,Y,Z). %结束在当前图形上添加新图形 .22 Z=7-3 x 3e -x2-y2 在两组不同节点处的曲面 Z=7-3* X.A3 .* exp(-X.A2 - Y.A2); 的值.X1=-3:0.2:3; Y1=-2.5:0.2:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 插值 ZI. mesh(XI,YI, ZI)xlabel( title( ' 的曲面和节点的图形%legend( hold on %生成50个一元均匀分布随机数 x 和y , x , y . %利用x 生成上的随机变量. %利用y 生成上的随机变量•%在每个随机点( X,Y )处计算 Z %将坐标( XI,YI )网格化 . 'v4' ) %计算在每个插值点( XI,YI )处的%作二元拟合图形 . 'y' ), zlabel( 'z' ), 'x' ), ylabel(用 MATLAB 4 网格化坐标方法拟合函数 z =7-3 xA3 exp(-xA2 - yA2) ') ' 拟合曲面 ',' 节点 (xi,yi,zi)' )%在当前图形上添加新图形 . %用兰色小圆圈画出每个节点 (X,Y,Z). %结束在当前图形上添加新图形 .22 plot3(X,Y,Z, hold of 'bo' ) 运行后屏幕显示用 MATLAB 4网格化坐标方法拟合函数 Z=7-3 x 3e -x -y 在两组不同节点处的曲面和节点的图形及其插值 ZI (略). 3 -x 2 -y 2(5)作被拟合曲面 Z =7-3x 3e -x -y 和节点的图形 . 输入程序 >> x=rand(50,1);y=rand(50,1); X=-3+(3-(-3))*x; Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y;Z=7-3* X.A3 .* exp(-X.A2 - Y.A2);%生成50个一元均匀分布随机数 x 和y , x , y . %利用x 生成随机变量. %利用 y 生成随机变量 .%在每个随机点( X,Y )处计算 Z的值. X1=-3.:0.1:3.; Y1=-2.5:0.1:3.5;[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); ZI=7-3* XI.A 3 .* exp(-XI42 - YI.A2); mesh(XI,YI, ZI) xlabel( title(%将坐标( XI,YI )网格化 . %作二元拟合图形 . 'x' ), ylabel( 'y' ), zlabel( 'z' ), 被拟合函数 z =7-3xA3 exp(-xA2 - yA2)的曲面和节点的图形 ') %legend( h old onplot3(X,Y,Z,hold of' 被拟合函数曲面 ',' 'bo' ) 2 运行后屏幕显示被拟合函数 Z=7-3 x 3e -x -y节点 (xi,yi,zi)' )%在当前图形上添加新图形 .%用兰色小圆圈画出每个节点 (X,Y,Z). %结束在当前图形上添加新图形 .的曲面和节点的图形及其函数值 ZI (略) .7.9 随机数据点上的n元拟合及其MATLA程序例7.9.1 首先利用MATLAB函数rand产生随机数据X i,Y i,Z i,然后用线性变换u at b ( 其中a 5,b 5 )将随机数据X1,Y1 ,Z 1 变换为节点坐标( X,Y,Z ), 再用函数222w 7 3x3y(z 1)e x y z生成数据W用三元最近邻内插法方法计算函数w在插值点x i 3:0.5:10, y i 2:0.5:13, z i=y i处拟合数据的值，并作其图形解输入程序>> X1=-5+5*ra nd(10,1);Y1=-5+5*rand(10,1);Z1=Y1;[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);W=7-3* X.A3 .* Y.*(Z+1).* exp(-X.A2 - Y.A2- Z.A2);xi=-3:0.5:10;yi=-2:0.5:13;zi=yi;[XI,YI,ZI] = meshgrid(xi,yi,zi);W1=griddata3(X, Y, Z, W, XI, YI, ZI, 'nearest' );slice(XI,YI,ZI,W1,[-2 4 9.5],9,[-2 2 9]),%shading flat%lighting flatxlabel( 'x' ), ylabel( 'y' ), zlabel( 'z' ),title( ' 被拟合函数W=7-3XA3Y(Z+1)exp(-XA2 - YA2- ZA2) ' );hold oncolorbar( 'horiz' )view([-30 45])运行后屏幕显示三元线性拟合值及其图形(略) .例7.9.2 设节点(X,Y,Z,W )中的X,Y和Z分别是在区间[3, 3]和[2.5, 3.5], Y=Z222上的15个随机数，W是函数W 2 x e x y z在(X,Y,Z )的值，拟合点(X i,y i ,z i)中的x i=-3:0.2:3 ，y i =-2.5:0.235 ，z i =y i，用'li near'方法计算拟合数据的值，并作其图形.解输入程序>> x=rand(15,1); y=rand(15,1);X1=-3+(3-(-3))*x;Y1=-2.5+(3.5-(-2.5))*y;Z1=Y1;[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);W=2+X.* exp(-X.A2 - Y.A2- Z.A2);xi=-3:0.2:3; yi=-2.5:0.2:3.5; zi=yi;[X2,Y2,Z2]=meshgrid(xi,yi,zi);W1=griddata3(X, Y, Z, W, X2,Y2,Z2, 'linear' );slice(X2,Y2,Z2,W1,[-1 0 1.5],2,[-2 3]), shading flat,lighting flat,xlabel( 'x' ), ylabel( 'y' ), zlabel( 'z' ),title( ' 被拟合函数W=2+X exp(-XA2 - YA2- ZA2)' );hold on,colorbar( 'horiz' ), view([-3 5])运行后屏幕显示三元线性拟合值及其图形(略) .。

matlab最小二乘法拟合

matlab最小二乘法拟合matlab最小二乘法拟合是一种常用的拟合方法，它属于非线性最小二乘拟合，其可以用来拟合任意数据。

matlab最小二乘法拟合主要包括以下几个步骤：一、准备数据1、准备数据阶段：包括收集数据，整理数据，观察数据；2、设计拟合模型：根据观察到的特性确定拟合模型方程；3、计算函数参数：根据拟合模型对原始数据进行曲线拟合，计算出模型参数；二、参数估计1、最小二乘法拟合：将所有点拟合到曲线上，使每个点到曲线上的距离之和最小；2、非线性最小二乘拟合：根据多元非线性模型参数的变化范围，构造最小二乘拟合的曲线，应用非线性拟合和最小二乘法拟合找出最佳拟合曲线；3、外推预测：根据拟合后的参数预测特定值。

三、评价拟合结果1、残差平方和：根据拟合模型和所得数据，计算拟合结果和拟合误差；2、自由度：自由度 = 总数据点数- 拟合模型参数的个数；3、复杂度检验：考虑拟合模型的复杂度对拟合效果的影响；4、对数校正残差：考虑拟合结果的稳定性，比较数据的分布与真实数据的分布；5、误差统计检验：通过统计分析评估拟合结果的可靠性。

四、模型预测1、均方根误差（RMSE）：评估预测模型拟合准确性，值越小，模型越有效；2、均方误差（MSE）：反映预测值与真实值之间的平均差异；3、绝对均差（MAE）：反映预测值与真实值之间的绝对均值差异；4、平均绝对平方偏差（MAHAPE）：反映模型拟合精度平均差距，值越接近0，模型越精确；5、杰拉德系数（R）：反映预测值与真实值之间的线性联系，值越接近1，模型越有效。

以上是matlab最小二乘法拟合的原理和应用，它不仅可以拟合任意数据，而且具有较强的适用性和准确性。

此外，matlab最小二乘法拟合还可以用来评估拟合结果的准确性，方便对数据进行分析处理。

最小二乘法及matlab程序

最小二乘法及matlab 程序最小二乘法简介：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法的矩阵形式：Ax b = 若未知量的个数大于方程的个数，则方程无解，但在数值计算领域，我们通常是计算min ||||Ax b - ，解出其中的x 。

比较直观的做法是求解T T A Ax A b = ，但通常比较低效。

其中一种常见的解法是对 A 进行QR 分解（A=QR ），其中Q 是n k ⨯正交矩阵（Orthonormal Matrix ），R 是n k ⨯上三角矩阵（Upper Triangular Matrix ），则有：1min min min Ax b QRx b Rx Q b --=-=-。

Matlab 命令：一次函数线性拟合使用polyfit （x,y,1）；多项式函数线性拟合使用 polyfit （x,y,n ），n 为次数；例如：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.5:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560然后可以使用polyval在t处预测：y_hat=polyval(p,t)非线性函数使用：lsqcurvefit、nlinfit格式:lsqcurvefit(f,a,x,y)、nlinfit(x,y,f,a)f:符号函数句柄,如果是以m文件的形式调用的时候,别忘记加@.这里需要注意,f函数的返回值是和y匹对的,即拟合参数的标准是(f-y)^2取最小值,具体看下面的例子a:最开始预估的值(预拟合的未知参数的估计值)。

最小二乘法matlab程序

最小二乘法matlab程序最小二乘法是一种统计模型，它可以被用来拟合一元函数数据，或者拟合非线性曲线。

它的基本思想是找到一组参数，使得拟合的曲线与实际数据的差距最小。

本文将介绍如何使用Matlab实现一个最小二乘法的程序，并与现有的一些现成的最小二乘法的matlab程序进行比较，找出其优缺点。

首先，要使用最小二乘法拟合曲线，需要准备一组输入数据，一般可以将其表示为两个向量，分别是自变量x和因变量y。

这些数据可以是由测量和实验得到的，也可以是由人工输入的，但无论如何都要确保它们的准确性。

接下来，就可以使用Matlab输入数据进行处理，用最小二乘法计算出最拟合的曲线及其参数。

具体步骤主要分为三步：第一步是计算输入数据的均值和方差，包括自变量x和因变量y的均值和方差；第二步是计算自变量x和因变量y的关系，即最小二乘拟合曲线的系数；第三步是验证拟合的曲线的准确性，如果不满意，可以重新调整参数，以获得较好的拟合效果。

此外，Matlab除了提供自带的最小二乘法函数外，还支持第三方开发者开发现成的matlab程序，用于解决最小二乘法的问题。

这些程序中有一些是开源的，另一些则是出售的。

其中开源的有LEAST，CURVEFIT，CURVEFITTOOL等，而出售的有MATLAB Curve Fitting Toolbox，Optimization Toolbox和Statistics Toolbox等。

它们的突出特点是速度快，代码简洁，容易上手，适用于多种拟合类型。

然而，各种matlab程序也有自身的缺点，最明显的就是当输入数据非常庞大时，它们的计算能力就无法跟上，速度就会变慢。

此外，使用出售的matlab程序可能相对昂贵，而且有时需要安装某些复杂的库文件，这也是一种麻烦。

因此，使用最小二乘法拟合曲线时，可以参考现有的matlab程序，也可以自己编写matlab代码，同时要考虑到程序的可靠性、效率和可行性。

本文介绍的matlab程序的最大优势是它不需要依赖第三方的软件，而且能够满足大多数用户的需求，使得最小二乘法可以在短时间内被成功运用。

最小二乘法matlab程序

文件说明1、使用说明1）加载P .m 文件至matlab2）命令行使用P 可以得到线性拟合参数，最终定价，最大利润和线性拟合对比图，蓝色为按照价格升序后的每个销量点连接的直线，绿色为拟合后的直线。

0.40.50.60.70.80.91 1.1010002000300040005000600070002、代码说明采用先线性拟合价格和销量直线方程，再代入利润函数，进行微分求极大值，即为最终定价，最后代回利润函数得到最大利润。

function P()%函数使用>>P%0.59,0.80,0.95,0.45,0.79,0.99,0.90,0.65,0.79,0.69,0.79,%0.49,1.09,0.95,0.79,0.65,0.45,0.60,0.89,0.79,0.99,0.85%3980,2200,1850,6100,2100,1700,2000,4200,2440,3300,2300,%6000,1190,1960,2760,4330,6960,4160,1990,2860,1920,2160%将价格和销量分别对应列入2行22列矩阵TEMP=[0.59,0.80,0.95,0.45,0.79,0.99,0.90,0.65,0.79,0.69,0.79,0.49,1.09,0.95,0.79,0. 65,0.45,0.60,0.89,0.79,0.99,0.85;3980,2200,1850,6100,2100,1700,2000,4200,2440,3 300,2300,6000,1190,1960,2760,4330,6960,4160,1990,2860,1920,2160];%将TEMP矩阵按照第一行的数进行从小到大的排列TEMP_T=sortrows(TEMP');TEMP=TEMP_T';Price=TEMP(1,:); %取第一行的数为价格Sales=TEMP(2,:); %取第二行的数为销量Cost=0.23; %成本L=polyfit(Price,Sales,1); %得到一阶最小二乘的2个拟合参数Sales_P=L(1)*Price+L(2); %得到拟合出的相应销量点disp('L(1)=');disp(L(1));disp('L(2)=');disp(L(2));plot(Price,Sales,Price,Sales_P); %做出对比图大概看下是否基本符合syms x; %定义变量xf(x)=L(1).*x+L(2); %写出拟合函数z(x)=f(x).*(x-Cost); %写利润函数明显利润函数为二次上凸抛物线dz(x)=diff(z(x)); %对利润函数求导Pricing=solve(dz(x),x); %极大值点即为最终定价Profit=subs(z(x),'x',Pricing); %计算最大利润Pricing=double(Pricing); %转换为双精度型Profit=double(Profit);disp('Pricing=');disp(Pricing);disp('Profit=');disp(Profit);end。

matlab最小二乘法拟合直线

matlab最小二乘法拟合直线【导言】直线拟合是数据分析和数学建模中常用的方法之一，而最小二乘法则是在直线拟合中最常用的方法之一。

在本文中，将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的步骤和原理，并就此主题进行深入的探讨。

【正文】一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和来寻找函数与观测数据之间的最佳拟合。

在直线拟合中，最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有观测数据点到直线的距离之和最小。

1. 确定拟合的模型在直线拟合中，我们的模型可以表示为：Y = a*X + b，其中a和b为待求参数，X为自变量，Y为因变量。

2. 计算误差对于每一个观测数据点(x_i, y_i)，计算其到直线的垂直距离d_i，即误差。

误差可以表示为：d_i = y_i - (a*x_i + b)。

3. 求解最小二乘法问题最小二乘法的目标是最小化所有观测数据点到直线的距离之和，即最小化误差的平方和：min Σ(d_i^2) = min Σ(y_i - (a*x_i + b))^2。

通过求解该最小化问题，可以得到最佳拟合的直线斜率a和截距b的值。

二、Matlab实现最小二乘法拟合直线的步骤下面将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的基本步骤。

1. 导入数据需要将实验数据导入Matlab。

可以使用matlab自带的readtable函数从文件中读取数据，也可以使用xlsread函数直接从Excel文件中读取数据。

2. 数据预处理在进行最小二乘法拟合直线之前，先对数据进行预处理。

一般情况下，可以对数据进行去除异常值、归一化等操作，以确保数据的准确性和可靠性。

3. 拟合直线使用Matlab的polyfit函数可以实现直线拟合。

polyfit函数可以拟合输入数据的曲线或平面，并返回拟合参数。

在拟合直线时，需要指定拟合的阶数，对于直线拟合，阶数为1。

4. 绘制拟合直线使用Matlab的plot函数可以将拟合的直线绘制出来，以便于观察拟合效果。

matlab 最小二乘拟合直线并输出直线方程

在Matlab中，最小二乘法是一种常见的数学拟合技术，可以用来拟合直线，曲线甚至更复杂的函数。

通过最小二乘法，可以找到最适合数据点的直线方程，从而能够更好地分析和预测数据之间的关系。

在本文中，我将详细介绍如何在Matlab中使用最小二乘法来拟合直线，并输出直线方程。

我们需要准备一组数据点。

假设我们有一组横坐标和纵坐标的数据点，分别用变量x和y表示。

接下来，我们可以使用Matlab中的polyfit函数来进行最小二乘拟合。

该函数的语法如下：```matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中，x和y分别代表数据点的横坐标和纵坐标，而1代表要拟合的直线的次数，即一次函数。

执行该语句后，变量p将会存储拟合出的直线的系数，即直线方程y = ax + b中的a和b。

在接下来的内容中，我将详细讨论如何通过最小二乘法拟合直线，并输出直线方程。

具体而言，我们将从如何准备数据、使用polyfit函数进行拟合、得到直线方程以及如何应用和解释直线拟合结果等方面进行全面分析。

一、数据准备在使用最小二乘法拟合直线之前，首先要准备一组数据点。

这些数据点应该是具有一定规律性的，从而能够通过直线拟合来揭示数据之间的关系。

在这一部分，我将详细介绍如何准备数据，并重点关注数据的合理性和可靠性。

1.1 数据收集要拟合直线，首先需要收集一组数据点。

这些数据点可以来源于实验观测、实际测量或者模拟计算等方式。

在收集数据时，需要保证数据的准确性和完整性。

还需要考虑数据的分布范围和密度，以便更好地反映数据之间的关系。

1.2 数据预处理在拟合直线之前，通常需要对数据进行一定的预处理。

这可能包括去除异常值、处理缺失数据，甚至进行数据变换等操作。

在这一步中，我将介绍如何进行数据预处理，并强调预处理对最终拟合结果的影响。

二、最小二乘拟合当数据准备工作完成后，就可以使用polyfit函数进行最小二乘拟合了。

在这一部分，我将详细介绍polyfit函数的使用方法，并解释其背后的数学原理。

曲线拟合的最小二乘法matlab举例

学院：光电信息学院姓名：赵海峰学号：1001一、曲线拟合的最小二乘法原理：由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线)(...)()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=称为曲线拟合的最小二乘法。

若记),()()(),(0i k i j mi i k j x x x ϕϕωϕϕ∑==k i k i mi i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0ϕωϕ上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j noj j k -=∑=ϕϕ这个方程成为法方程，可写成距阵形式d Ga =其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a ==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),()(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕΛM M M ΛΛ。

它的平方误差为：.)]()([)(||||2022i i mi i x f x S x -=∑=ωδ二、数值实例：下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。

下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合三、Matlab程序代码：x=[1:1:30];y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1 ];a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合%a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合%b1=polyval(a1,x)b2=polyval(a2,x)b3=polyval(a3,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和%r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%hold onplot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像%hold onplot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像%四、数值结果：不同次数多项式拟和误差平方和为：r1 =r2 =r3 =r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。

matlab加权最小二乘法拟合编程

一、概述最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数学优化方法，通过最小化残差的平方和来拟合实际数据与理论模型之间的关系。

在实际应用中，我们常常需要对数据进行加权处理，以提高拟合效果和准确度。

而Matlab作为一种强大的数学建模和仿真软件，提供了丰富的函数和工具来实现加权最小二乘法的拟合编程。

二、加权最小二乘法原理1. 最小二乘法原理最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测值和理论值之间的误差来寻找最佳拟合曲线或曲面。

其数学表达为：minimize ||Ax - b||^2其中A为设计矩阵，x为拟合参数，b为观测值向量。

最小二乘法可以看作是一种优化问题，通过求解参数x的最优值来实现最佳拟合。

2. 加权最小二乘法原理在实际情况下，我们往往会遇到观测值有不同的权重或方差的情况，此时可以使用加权最小二乘法来提高拟合效果。

加权最小二乘法的数学表达为：minimize ||W^(1/2)(Ax - b)||^2其中W为权重矩阵，将不同观测值的权重考虑在内，通过加权的方式来优化拟合效果。

三、Matlab实现加权最小二乘法1. 数据准备在进行加权最小二乘法的拟合编程前，首先需要准备实际观测数据和设计矩阵A。

还需要考虑观测值的权重矩阵W，根据实际情况来确定不同观测值的权重。

2. 加权最小二乘法函数Matlab提供了丰富的函数和工具来实现加权最小二乘法的拟合。

其中，可以使用lsqcurvefit或lsqnonlin等函数来进行加权最小二乘法的拟合计算。

通过传入设计矩阵A、观测值向量b和权重矩阵W，以及拟合参数的初始值，来实现加权最小二乘法的拟合计算。

3. 拟合结果评估完成加权最小二乘法的拟合计算后，我们需要对拟合结果进行评估。

主要包括残差分析、拟合效果的可视化等方面。

通过分析残差的分布和拟合曲线与实际观测值的符合程度，来评估拟合效果的优劣。

四、实例分析1. 示例一：线性模型拟合假设我们有一组线性关系的实际观测数据，且各观测值具有不同的权重。

最小二乘法曲线拟合的Matlab程序

最⼩⼆乘法曲线拟合的Matlab程序⽅便⼤家使⽤的最⼩⼆乘法曲线拟合的Matlab程序⾮常⽅便⽤户使⽤,直接按提⽰操作即可;这⾥我演⽰⼀个例⼦:(红⾊部分为⽤户输⼊部分,其余为程序运⾏的结果,结果图为Untitled.fig,Untitled2.fig) 请以向量的形式输⼊x,y.x=[1,2,3,4]y=[3,4,5,6]通过下⾯的交互式图形，你可以事先估计⼀下你要拟合的多项式的阶数，⽅便下⾯的计算.polytool()是交互式函数,在图形上⽅[Degree]框中输⼊阶数,右击左下⾓的[Export]输出图形回车打开polytool交互式界⾯回车继续进⾏拟合输⼊多项式拟合的阶数m = 4Warning: Polynomial is not unique; degree >= number of data points. > In polyfit at 72In zxecf at 64输出多项式的各项系数a = 0.0200000000000001a = -0.2000000000000008a = 0.7000000000000022a = 0.0000000000000000a = 2.4799999999999973输出多项式的有关信息 SR: [4x5 double]df: 0normr: 2.3915e-015Warning: Zero degrees of freedom implies infinite error bounds.> In polyval at 104In polyconf at 92In zxecf at 69观测数据拟合数据x y yh1.0000 3.0000 3.00002.0000 4.0000 4.00003 5 54.0000 6.0000 6.0000剩余平⽅和 Q = 0.000000相关指数 RR = 1.000000请输⼊你所需要拟合的数据点，若没有请按回车键结束程序.输⼊插值点x0 = 3输出插值点拟合函数值 y0 = 5.0000>>结果：untitled.figuntitled2.fig⼀些matlab优化算法代码的分享代码的⽬录如下：欢迎讨论1.约束优化问题：minRosen(Rosen梯度法求解约束多维函数的极值)(算法还有bug) minPF(外点罚函数法解线性等式约束) minGeneralPF(外点罚函数法解⼀般等式约束)minNF(内点罚函数法)minMixFun(混合罚函数法)minJSMixFun(混合罚函数加速法)minFactor(乘⼦法)minconPS(坐标轮换法)(算法还有bug)minconSimpSearch(复合形法)2.⾮线性最⼩⼆乘优化问题minMGN(修正G-N法)3.线性规划：CmpSimpleMthd(完整单纯形法)4.整数规划(含0-1规划)DividePlane(割平⾯法)ZeroOneprog(枚举法)5.⼆次规划QuadLagR(拉格朗⽇法)ActivedeSet(起作⽤集法)6.辅助函数(在⼀些函数中会调⽤)minNT(⽜顿法求多元函数的极值)minMNT(修正的⽜顿法求多元函数极值)minHJ(黄⾦分割法求⼀维函数的极值)7.⾼级优化算法1）粒⼦群优化算法(求解⽆约束优化问题)1>PSO(基本粒⼦群算法)2>YSPSO(待压缩因⼦的粒⼦群算法)3>LinWPSO(线性递减权重粒⼦群优化算法)4>SAPSO(⾃适应权重粒⼦群优化算法)5>RandWSPO(随机权重粒⼦群优化算法)6>LnCPSO(同步变化的学习因⼦)7>AsyLnCPSO(异步变化的学习因⼦)(算法还有bug)8>SecPSO(⽤⼆阶粒⼦群优化算法求解⽆约束优化问题)9>SecVibratPSO(⽤⼆阶振荡粒⼦群优化算法求解五约束优化问题)10>CLSPSO(⽤混沌群粒⼦优化算法求解⽆约束优化问题)11>SelPSO(基于选择的粒⼦群优化算法)12>BreedPSO(基于交叉遗传的粒⼦群优化算法)13>SimuAPSO(基于模拟退⽕的粒⼦群优化算法)2)遗传算法1>myGA(基本遗传算法解决⼀维约束规划问题)2>SBOGA(顺序选择遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)3>NormFitGA(动态线性标定适应值的遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)4>GMGA(⼤变异遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)5>AdapGA(⾃适应遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)6>DblGEGA(双切点遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)7>MMAdapGA(多变异位⾃适应遗传算法求解⼀维⽆约束优化问题)⾃⼰编写的马尔科夫链程序A 代表⼀组数据序列⼀维数组本程序的操作对象也是如此t=length(A); % 计算序列“A”的总状态数B=unique(A); % 序列“A”的独⽴状态数顺序，“E”E=sort(B,'ascend');a=0;b=0;c=0;d=0;Localization=find(A==E(j)); % 序列“A”中找到其独⽴状态“E”的位置for i=1:1:length(Localization)if Localization(i)+1>tbreak; % 范围限定elseif A(Localization(i)+1)== E(1)a=a+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(2)b=b+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(3)c=c+1;% 依此类推，取决于独⽴状态“E”的个数elsed=d+1;endendT(j,1:tt)=[a,b,c,d]; % “T”为占位矩阵endTT=T;for u=2:1:ttTT(u,:)= T(u,:)- T(u-1,:);endTT; % ⾄此，得到转移频数矩阵Y=sum(TT,2);for uu=1:1:ttTR(uu,:)= TT(uu,:)./Y(uu,1);endTR % 最终得到马尔科夫转移频率/概率矩阵% 观测序列马尔科夫性质的检验：N=numel(TT);uuu=1;Col=sum(TT,2); % 对列求和Row=sum(TT,1); % 对⾏求和Total=sum(Row); % 频数总和for i=1:1:ttxx(uuu,1)=sum((TT(i,j)-(Row(i)*Col(j))./Total).^2./( (Row(i)*Col(j)). /Total)); uuu=uuu+1; % 计算统计量x2endendxx=sum(xx)。

matlab最小二乘法实现三参数拟合

matlab最小二乘法实现三参数拟合
在MATLAB中，你可以使用`polyfit`函数来实现三参数的最小二乘拟合。

以下是一个示例，其中我们试图拟合一个三次多项式：
```matlab
% 创建一些示例数据
x = linspace(-10,10,100);
y = 3x.^3 + 2x.^2 + x + randn(size(x));
% 使用polyfit进行三参数拟合
p = polyfit(x, y, 3);
% 绘制原始数据和拟合曲线
plot(x, y, 'o');
hold on;
plot(x, polyval(p, x), '-');
hold off;
```
在这个例子中，`polyfit(x, y, 3)`函数试图找到一个三次多项式，该多项式能最小化所有`(xi, yi)`的平方和。

返回的`p`是一个包含三个系数的向量，这些系数对应于多项式的最高次项，即`p(1)x^3 + p(2)x^2 + p(3)x + p(4)`。

在这个例子中，我们没有提供第四个系数，所以它默认为0。

请注意，由于MATLAB中的`polyfit`函数默认使用最小二乘法进行拟合，因此我们不需要做任何额外的最小二乘法计算。

最小二乘法MATLAB程序及结果

最小二乘递推算法的MATLAB仿真针对辨识模型，有z(k)-+a1*z(k-1)+a2*z(k-2)=b1*u(k-1)+b2*u(k-2)+v(k)模型结构，对其进行最小二乘递推算法的MATLAB仿真，对比真值与估计值。

更改a1、a2、b1、b2参数，观察结果。

仿真对象：z(k)-1.5*z(k-1)+0.7*z(k-2)=u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)程序如下：L=15;y1=1;y2=1;y3=1;y4=0; %四个移位寄存器的初始值for i=1:L; %移位循环x1=xor(y3,y4);x2=y1;x3=y2;x4=y3;y(i)=y4; %取出作为输出信号，即M序列if y(i)>0.5,u(i)=-0.03; %输入信号else u(i)=0.03;endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;endfigure(1);stem(u),grid onz(2)=0;z(1)=0;for k=3:15;z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2); %输出采样信号endc0=[0.001 0.001 0.001 0.001]'; %直接给出被识别参数的初始值p0=10^6*eye(4,4); %直接给出初始状态P0E=0.000000005;c=[c0,zeros(4,14)];e=zeros(4,15);for k=3:15; %开始求kh1=[-z(k-1),-z(k-2),u(k-1),u(k-2)]';x=h1'*p0*h1+1;x1=inv(x);k1=p0*h1*x1; %开始求k的值d1=z(k)-h1'*c0;c1=c0+k1*d1;e1=c1-c0;e2=e1./c0; %求参数的相对变化e(:,k)=e2;c0=c1;c(:,k)=c1;p1=p0-k1*k1'*[h1'*p0*h1+1]; %求出P(k)的值p0=p1;if e2<=E break;endendc,e %显示被辨识参数及其误差情况a1=c(1,:);a2=c(2,:);b1=c(3,:);b2=c(4,:);ea1=e(1,:);ea2=e(2,:);eb1=e(3,:);eb2=e(4,:);figure(2);i=1:15;plot(i,a1,'r',i,a2,':',i,b1,'g',i,b2,':')title('Parameter Identification with Recursive Least Squares Method')figure(3);i=1:15;plot(i,ea1,'r',i,ea2,'g',i,eb1,'b',i,eb2,'r:')title('Identification Precision')程序运行结果：p0 =1000000 0 0 00 1000000 0 00 0 1000000 00 0 0 1000000c =Columns 1 through 90.0010 0 0.0010 -0.4984 -1.2325 -1.4951 -1.4962 -1.4991 -1.49980.0001 0 0.0001 0.0001 -0.2358 0.6912 0.6941 0.6990 0.69980.0010 0 0.2509 1.2497 1.0665 1.0017 1.0020 1.0002 0.99990.0010 0 -0.2489 0.7500 0.5668 0.5020 0.5016 0.5008 0.5002Columns 10 through 15-1.4999 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.4999 -1.49990.6999 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.70000.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99990.5002 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000e =1.0e+003 *Columns 1 through 90 0 0 -0.4994 0.0015 0.0002 0.0000 0.0000 0.00000 0 0 0 -2.3592 -0.0039 0.0000 0.0000 0.00000 0 0.2499 0.0040 -0.0001 -0.0001 0.0000 -0.0000 -0.00000 0 -0.2499 -0.0040 -0.0002 -0.0001 -0.0000 -0.0000 -0.0000Columns 10 through 150.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.00000.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000-0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000-0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000程序运行曲线：图1.输入信号图2.a1,a2,b1,b2辨识仿真结果图3. a1,a2,b1,b2各次辨识结果收敛情况分析：由运行结果可看出，输出观测值没有任何噪声成分时，辨识结果最大相对误差达到3位数。

ESPRIT算法(最小二乘法)matlab程序

%基本ESPRIT算法,第二种方法最小二乘法clear all;close all;clc;c=3*10^8;f=3*10^9;%% 求得信号的波长lamda=c/f;%%阵元的间距d=lamda/2;%% （n-1）为子阵列的个数即阵元数n=10;%% 信号的数目signal_number=3;%% 三个信号的角度值thita1=-25;thita2=30;thita3=65;%% 三个信号的中心频率f1=40;f2=20;f3=70;%% 在时域来说，是快拍数（一段时间内对阵列数据采样的个数）；在频域来说，是DFT的时间子段的个数。

snapshot=1:2000;%% S是信号空间，有三个信号组成S1=2.72*exp(j*2*pi*f1*snapshot/length(snapshot));S2=4.48*exp(j*2*pi*f2*snapshot/length(snapshot));S3=7.37*exp(j*2*pi*f3*snapshot/length(snapshot));S=[S1;S2;S3];%% 子阵1A1=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita1*pi/180)/lamda).';A2=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita2*pi/180)/lamda).';A3=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita3*pi/180)/lamda).';A=[A1,A2,A3];%% 噪声假设为高斯白噪声，均值为零的N= wgn(10,2000,3);%% 求信噪比的S1,S2,S3信噪比依次是10 20 30s_power1=10*log(2.72^2/2);s_power2=10*log(4.48^2/2);s_power3=10*log(7.37^2/2);snr1=s_power1-3;snr2=s_power2-3;snr3=s_power3-3;%% 整个阵列接收到的数据0-n-1为阵列1；1-n为阵列2的X=A*S+N;%% 协方差矩阵Rxx=X*X'/length(snapshot);%% 对整个数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到特征值向量D和特征向量V[V,D]=eig(Rxx);%[Y,I]=sort(diag(D));Us=V(:,n-signal_number+1:n);%% 两个方阵张成的两个子空间U1=Us(1:n-1,:);U2=Us(2:n,:);%% 利用最小二乘法求得旋转不变关系矩阵，然后进行特征分解[p,q]=eig(inv(U1'*U1)*U1'*U2); %张贤达《矩阵分析与应用》第528页%% 利用上面求得的矩阵来获得角度for i=1:signal_number;alpha(i)=real(asin(-j*(log(q(i,i)))*lamda/(-2*pi*d))*180/pi);end;%% 作图stem(alpha,ones(1,signal_number),'r--');grid;axis([-90 90 0 2]);text(alpha(1)-4,1.1,num2str(alpha(1)));text(alpha(1)-15,1.4,'信号1，信噪比为10'); text(alpha(2)-4,1.1,num2str(alpha(2)));text(alpha(2)-15,1.4,'信号2，信噪比为20'); text(alpha(3)-4,1.1,num2str(alpha(3)));text(alpha(3)-15,1.4,'信号3，信噪比为30'); ylabel('DOA估计的角度值');xlabel('角度');title('ESPRIT算法DOA估计');。

用MatLab画图（最小二乘法做曲线拟合）

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 用MatLab画图(最小二乘法做曲线拟合) 用 MatLab 画图(最小二乘法做曲线拟合) 帮朋友利用实验数据画图时，发现 MatLab 的确是画图的好工具，用它画的图比Excel光滑、精确。

利用一组数据要计算出这组数据对应的函数表达式从而得到相应图像，MatLab 的程序如下：x=[1 5 10 20 30 40 60 80] y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 556 62. 7 72 81. 1] plot(x, y, ‘ r*’ ) ; legend(‘ 实验数据(xi, yi) ‘ ) xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 数据点(xi, yi) 的散点图’ ) syms a1 a2 a3 x=[15 10 20 30 40 60 80]; fi=a1. *x. +a2. *x+a3 y=[15. 4 33.9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1] fi =[a1+a2+a3,25*a1+5*a2+a2+(400*a1+20*a2+a3-101/2) +(900*a1+30*a2+a3-56) +(1600*a1+40*a2+a3-627/10) +(3600*a1+60*a2+a3-72)+(6400*a1+80*a2+a3-811/10) ; Ja1=diff(J, a1) ;Ja2=diff(J, a2) ; Ja3=diff(J, a3) ; Ja11=simple(Ja1) ,Ja21=simple(Ja2) , Ja31=simple(Ja3) A=[114921252, 1656252, 26052; 1656252, 26052, 492; 26052, 492, 16]; B=[9542429/5, 166129/5, 4138/5]; C=B/A, f=poly2sym(C) xi=[1 5 10 20 3040 60 80] ; y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1]; n=length(xi) ; f=-0. 0086. *xi. +1. 3876. *xi+23. 1078;1 / 6x=1: 1/10: 80; F=-0. 0086. *x. +1. 3876. *x+23. 1078; fy=abs(f-y) ; fy2=fy. ; Ew=max(fy) , E1=sum(fy) /n,E2=sqrt((sum(fy2) ) /n) plot(xi, y, ‘ r*’ ) , hold on, plot(x, F, ‘ b-’ ) , hold off legend(‘ 数据点(xi, yi) ‘ , ‘ 拟合曲线f(x) = -0. 0086x +1. 3876x+23. 1078’ ) , xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 实验数据点(xi, yi) 及拟合曲线f(x) ‘ ) 下图是程序运行后得到的：Su7Tw8VxaW ybXAcZB d#Cf!Eg%FhGj*Ik(Jl-Kn+M o0Np2Or3Ps4R t6Sv7Tw8VxaWzbXAcZBe#Cf! Eg%Fi Gj*Ik)Jl-Kn+Mo1Np2Or3Qs4Rt6Sv7 Uw8Vx aWzbYAc ZBe#Df!Eg%FiHj*Ik) Jm-Kn +Mo1Nq2Or3Qs 5Rt6Sv7Uw9VxaWzbYAdZBe#D f$Eg%F iHj(I k) Jm-Ln+Mo1Nq2Pr3Qs5Ru6S v7Uw9V yaWzbY AdZCe#Df$Eh%FiHj(Il) Jm-Ln0Mo1Nq2Pr4 Qs5Ru6Tv8Uw9VyaXzbYAdZCe !Df$Eh %GiHj (Il) Km-Ln0Mp1Nq2Pr4Qt5Ru 6Tv8U x9VyaXz cYAdZCe! Dg$Eh%Gi*Hj(Il) Km+Ln0M p1Oq2P r4Qt5Su6Tv8Ux9WyaXzcYBdZ Ce!Dg$Fh%Gi* Hk(Il) Km+Lo0Mp1Oq3Pr4Qt5 Su7Tv8Ux9Wyb XzcYBd#Ce!Dg$FhGi*Hk(Jl ) Km+L o0Np1Oq 3Ps4Rt 5Su7Tw8Ux9WybXAcY Bd#Cf!Dg$FhGj*Hk(Jl-Km+Lo0Np2Oq3Ps4 Rt6Su7Tw8Vx9 WybXAcZBd#Cf!Eg$FhGj*Ik (Jl-Kn +Lo0Np2Or3Ps4Rt6Sv7Tw8VxaWybXA cZBe#Cf!Eg%F hGj*Ik) Jl-K n+Mo0Np2Or3Q s4Rt6Sv 7Uw8V xaWzbXAcZBe# D f! Eg%FiGj* Ik) Jm- Kn+Mo1 Nq2Or3Qs5Rt6Sv7Uw9VxaWzb YAcZBe#Df$Eg %FiHj*Ik)---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ Jm-Ln+Mo1Nq2Pr 3Qs5Ru 6Sv7Uw 9VyaWzbYAdZBe#Df$Eh%FiH j(Ik) J m-Ln0M o1Nq2Pr4Qs5Ru6Tv7Uw9VyaX zbYAdZC e#Df$ Eh%GiHj(Il) Jm-Ln0Mp1Nq2 Pr4Qt5Ru6Tv8 Uw9VyaXzcYAdZCe!Df$Eh%Gi *Hj(Il) Km+Ln 0Mp1Oq2Pr4Qt5Su6Tv8Ux9Vy aXzcYB dZCe!D g$Eh%Gi*Hk(Il) Km+Lo0Mp1O q3Pr4Qt5Su7Tv8Ux9WyaXzc Y Bd#Ce!Dg$Fh %Gi*Hk( Jl) Km +Lo0Np1Oq3Ps 4 Qt5Su7Tw8Ux 9WybXzcYBd#C f!Dg$FhGi*H k (Jl-Km+Lo0N p2Oq3Ps4Rt5S u7Tw8Vx9WybX AcYBd#Cf! Eg$ FhGj*Ik (Jl- Kn+Lo0Np2Or3 P s4Rt6Su7Tw8 VxaWybXA cZBd #Cf!Eg%FhGj * Ik) Jl-Kn+Mo 0Np2Or3Qs4Rt 6Sv7Tw8VxaWz bXAcZBe#Cf!E g%FiGj*Ik) J m-Kn+Mo1Np2O r 3Qs5Rt6Sv7U w8VxaWzbYAcZ Be#Df! Eg%Fi H j*Ik) Jm-Ln+ Mo1Nq2O r3Qs5 Ru6Sv7Uw9Vxa W zbYAdZBe#Df $Eh%Fi Hj(Ik ) Jm-Ln0Mo1Nq 2Pr3Qs5Ru6Tv 7Uw9Vya WzbYA dZCe#Df$Eh%G iHj(Il) Jm-L n0Mp1Nq2Pr4Q s5Ru6Tv8Uw9V ya XzbYAdZCe! 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