考研数据结构图的必背算法及知识点
数据结构高分笔记
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本书特点：
作者 qq：39826407
（1）精心挑选出适合考研的习题，并配上通俗易懂的答案供你自测和练习。
（2）总结出考研必备知识点，并且帮你把其中过于专业过于严谨的表述翻译成通俗易 懂的语言。
（3）针对于近年数据结构大题的出题风格（比如算法设计题目中的三段式题目：1.表 述算法思想。2.写出算法描述。3.计算算法的时间和空间复杂度），设计了独特的真题仿 造部分，让你在复习的过程中逐渐养成适合解决考研类型题目的习惯。
第三章 栈、队列和数组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..54
3．1 栈和队列的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..54 3．1．1 栈的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...54 3．1．2 队列的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
接下来我详细讲解一下这本辅导书书的写作过程，请看下图：
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数据结构考研笔记整理(全)
数据结构考研笔记整理(全)数据结构考研笔记整理数据结构是计算机科学中非常重要的一门课程，对于计算机专业的学生来说，考研复习过程中对数据结构的准备非常关键。
因此，我们需要系统地整理数据结构的相关知识点，以便更好地理解和掌握。
一、线性表线性表是数据结构中最基本的一种数据结构，它是一种有序的数据元素的集合。
常见的线性表有顺序表和链表。
1. 顺序表顺序表是将数据元素存放在一块连续的存储空间中，通过元素的下标来访问。
具有随机访问的特点，但插入和删除操作比较麻烦。
适用于查找操作频繁的场景。
2. 链表链表是将数据元素存放在任意的存储空间中，通过指针来连接各个元素。
具有插入和删除操作方便的特点，但不支持随机访问。
适用于插入和删除操作频繁的场景。
二、栈和队列栈和队列是特殊的线性表，它们都具有先进先出的特点。
1. 栈栈是一种特殊的线性表，只能在表的一端进行插入和删除操作，即“先进后出”。
常见的应用有函数调用的过程中的参数传递、表达式求值等。
2. 队列队列也是一种特殊的线性表，只能在表的一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作，即“先进先出”。
常见的应用有任务调度、缓冲区管理等。
三、树树是一种非常重要的非线性数据结构，它由节点和边组成。
树具有层次结构，常见的树结构有二叉树、二叉搜索树和平衡二叉树等。
1. 二叉树二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，包括左子树和右子树。
二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
2. 二叉搜索树二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的左子树中的所有节点都小于根节点，右子树中的所有节点都大于根节点。
具有快速查找和插入的特点。
3. 平衡二叉树平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
通过旋转操作可以保持树的平衡性。
四、图图是一种非常复杂的非线性数据结构，它由顶点和边组成。
图可以分为有向图和无向图，常见的图算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
1. 深度优先搜索深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图和树的算法，它从一个节点开始，尽可能深地访问每个节点的所有子节点，直到没有子节点为止。
计算机考研数据结构的复习要点
计算机考研数据结构的复习要点计算机考研数据结构的复习要点考生们在进行计算机考研的复习阶段时，需要把数据结构的复习要点了解清楚。
店铺为大家精心准备了计算机考研数据结构的复习重点，欢迎大家前来阅读。
计算机考研数据结构重点：二叉树二叉树是数据结构中的重点内容，在这两年的考试中也将二叉树作为重点内容来考查。
二叉树这部分内容要求大家掌握二叉树的定义、性质、存储结构、遍历、线索化、森林和二叉树的转换等内容。
算法的重点是二叉树的遍历及其应用，这也是二叉树这部分的重点和难点。
遍历是二叉树各种操作的基础，可以在遍历过程中对结点进行各种操作。
例如：求二叉树结点总数，建立二叉树，建立二叉树的存储结构等。
二叉树的很多算法是在遍历算法基础上改造完成的，这就要求大家在复习时，熟练掌握二叉树遍历的递归和非递归算法。
下面为大家介绍一下二叉树的几种遍历方法：由二叉树的定义可知，一颗二叉树由根节点及左、右子树三个基本部分组成，因此，只要依次遍历这三部分，就可以遍历整个二叉树。
1.先序遍历先序遍历的递归过程为：若二叉树为空，遍历结束。
(1)访问根节点;(2)先序遍历根节点的左子树;(3)先序遍历根节点的右子树。
2.中序遍历中序遍历的递归过程为：若二叉树为空，遍历结束。
否则，(1)中序遍历根节点的左子树;(2)访问根节点;(3)中序遍历根节点的右子树。
3.后序遍历后序遍历的递归过程为：若二叉树为空，遍历结束。
否则，同济大学四平路(1)后序遍历根节点的左子树;(2)后序遍历根节点的右子树;(3)访问根节点。
层次遍历二叉树的层次遍历，是指从二叉树的第一层(根结点)开始，从上至下逐层遍历，在同一层中，则按从左到右的顺序对结点逐个访问。
在进行层次遍历时，对一层结点访问完后，再按照它们的访问次序对各个结点的左孩子和右孩子顺序访问，这样一层一层进行，先遇到的结点先访问，这与队列的操作原则比较吻合。
因此，在进行层次遍历时，可设置一个队列结构，遍历从二叉树的根结点开始，首先将根结点指针入队列，然后从对头取出一个元素，每取一个元素，执行下面两个操作：(1)访问该元素所指结点;(2)若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，则将该元素所指结点的左孩子指针和右孩子指针顺序入队。
数据结构考研复习重点归纳
数据结构考研复习重点归纳数据结构是计算机科学中非常重要的一门基础课程，考研复习数据结构时，需要重点掌握的内容有以下几个方面。
1.线性表：线性表是数据结构中最基本的一种结构，常见的线性表有数组、链表和栈等。
考生需要掌握线性表的定义、插入、删除、查找等基本操作，并能够分析它们的时间复杂度。
2.树：树是一种非常重要且常见的数据结构，它具有分层结构和层次关系。
其中，二叉树是最简单也是最基本的一种树结构，树的遍历（如前序遍历、中序遍历和后序遍历）是树算法中的重要内容。
此外，还要了解一些特殊的树结构，如平衡树和B树等。
3.图：图是由节点和边组成的一种数据结构，它是一种非常灵活的结构，常用来表示各种实际问题中的关系。
在考研复习中，需要掌握图的基本概念（如顶点和边）、图的存储结构（如邻接矩阵和邻接表）以及图的遍历算法（如深度优先和广度优先）等。
4.查找和排序：在实际问题中，经常需要查找和排序数据。
查找算法（如顺序查找、二分查找和哈希查找）和排序算法（如冒泡排序、插入排序和快速排序）是数据结构中常见的算法，考生需要熟练掌握这些算法的原理和实现方法。
此外，还要了解一些高级的查找和排序算法，如二叉查找树和归并排序等。
5.散列表：散列表（也称哈希表）是一种特殊的数据结构，它利用散列函数将数据映射到一个固定大小的数组中。
散列表具有快速的查找和插入操作，常用于实现字典和数据库等应用。
在考研复习中，需要了解散列表的原理和实现方法，以及处理冲突的方法，如链地址法和开放地址法。
6.动态规划：动态规划是一种解决问题的数学方法，也是一种重要的算法思想。
在考研复习中，需要掌握动态规划的基本原理和解题思路，以及常见的动态规划算法，如背包问题和最长公共子序列等。
7.算法复杂度分析：在考研复习中，需要有一定的算法分析能力，能够对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析和估算。
此外，还要能够比较不同算法的效率，并选择合适的算法来解决实际问题。
除了以上重点内容，考生还要注意掌握一些基本的编程知识，如指针、递归和动态内存分配等。
数据结构复习资料复习提纲知识要点归纳
数据结构复习资料复习提纲知识要点归纳数据结构复习资料：复习提纲知识要点归纳一、数据结构概述1. 数据结构的定义和作用2. 常见的数据结构类型3. 数据结构与算法的关系二、线性结构1. 数组的概念及其特点2. 链表的概念及其分类3. 栈的定义和基本操作4. 队列的定义和基本操作三、树结构1. 树的基本概念及定义2. 二叉树的性质和遍历方式3. 平衡二叉树的概念及应用4. 堆的定义和基本操作四、图结构1. 图的基本概念及表示方法2. 图的遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索3. 最短路径算法及其应用4. 最小生成树算法及其应用五、查找与排序1. 查找算法的分类及其特点2. 顺序查找和二分查找算法3. 哈希查找算法及其应用4. 常见的排序算法：冒泡排序、插入排序、选择排序、归并排序、快速排序六、高级数据结构1. 图的高级算法：拓扑排序和关键路径2. 并查集的定义和操作3. 线段树的概念及其应用4. Trie树的概念及其应用七、应用案例1. 使用数据结构解决实际问题的案例介绍2. 如何选择适合的数据结构和算法八、复杂度分析1. 时间复杂度和空间复杂度的定义2. 如何进行复杂度分析3. 常见算法的复杂度比较九、常见问题及解决方法1. 数据结构相关的常见问题解答2. 如何优化算法的性能十、总结与展望1. 数据结构学习的重要性和难点2. 对未来数据结构的发展趋势的展望以上是数据结构复习资料的复习提纲知识要点归纳。
希望能够帮助你进行复习和回顾，加深对数据结构的理解和掌握。
在学习过程中，要注重理论与实践相结合，多进行编程练习和实际应用，提高数据结构的实际运用能力。
祝你复习顺利，取得好成绩！。
数据结构考研复习要点
考研题型包括：简答题；方法选择（分析）；构造题；算法题。
第一章绪论1. 数据结构的基本概念：数据、数据元素、数据对象、数据结构2. 抽象数据类型：数据对象、逻辑关系、一组操作。
ADT的特点：数据抽象、信息隐蔽3. 数据结构三要素：数据元素间的逻辑关系、物理存储和一组操作。
元素间的逻辑关系：集合、线性、树、图元素在计算机内存中的存储结构：顺序、非顺序4. 算法的定义：规则的有限集合，为了解决某个特定问题而规定的一系列基本操作。
算法特性：有限性、确定性、可行性、输入、输出算法设计目标：正确性、可读性、鲁棒性、高效率低存储5. 算法性能评价：时间和空间算法时间复杂度：T(n)=O(f(n))。
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。
其中f(n)是问题规模n的某个函数。
求解算法的时间复杂度的具体步骤是：⑴找出算法中的基本语句；⑵计算基本语句的执行次数的数量级；保留基本语句执行次数的函数中的最高次幂，忽略所有低次幂和最高次幂的系数。
⑶用大Ο记号表示算法的时间性能。
将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < { O(2^n) < O(n!) < O(n^n) }【例】分析下面各算法的时间复杂度算法1：int fact(int n){ if (n<=1) return 1;return n*fact(n-1);}算法2：i=l;while (i<n){for(j=l;j<=n;j++)x=x+l;i=i*2;}算法3：for(i=l;i<=n;i++){ j=l;while (j<=i){x+=l; j++;}}算法:4void sort(int b[]，int n){ int i, j, k;for (i=0; i<n-1; i++){ k = i;for (j=i+1; j<n; j++)if (b[k] > b[j]) k = j;x = b[i]; b[i] = b[k]; b[k] = x;}}算法5void add(int n){ int i = 0, s = 0;while (s<n){ i++;s = s + i;}}设while循环语句执行次数为T(n),则算法6void hanoi(int n, char a, char b, char c){ if (n==1) printf("move %d disk from %c to %c \n", n, a, c);else{ hanoi(n-1, a, c, b);printf("move %d disk from %c to %c \n", n, a, c);hanoi(n-1, b, a, c);}}算法7：void PreOrder(BiTree T){ if (T){ v isit(T->daata)PreOrder(T->lchild);PreOrder(T->rchild);}}算法空间复杂度：空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
数据结构考研知识点总结
数据结构考研知识点总结数据结构是计算机科学中一门重要的课程，其是计算机科学的核心基础之一、在考研中，数据结构也是一个必考的科目，对于应试者来说，掌握数据结构的知识点是非常重要的。
下面是对数据结构考研知识点的总结。
1.数据结构的基本概念和分类。
数据结构是指一组数据的存储方式和相应的操作方法。
常见的数据结构包括线性结构、树形结构、图结构等。
线性结构包括数组、链表、栈、队列等；树形结构包括二叉树、堆、哈希树等；图结构包括有向图、无向图等。
2.线性结构。
线性结构是数据元素之间存在一对一的关系的数据结构。
常用的线性结构有数组、链表、栈和队列。
-数组是一种连续存储的线性结构，可以通过下标直接访问元素。
-链表是一种离散存储的线性结构，有单向链表、双向链表和循环链表等。
-栈是一种特殊的线性结构，只能在一端进行插入和删除操作，遵循后进先出（LIFO）的原则。
-队列也是一种特殊的线性结构，只能在一端进行插入操作，另一端进行删除操作，遵循先进先出（FIFO）的原则。
3.树形结构。
树形结构是一种非线性的数据结构，具有层次关系的集合。
常用的树形结构包括二叉树、AVL树、B树和哈夫曼树等。
-二叉树是一种每个节点最多有两个子节点的树形结构，包括满二叉树、完全二叉树和二叉树等。
-AVL树是一种自平衡的二叉树，通过维护平衡因子来保证树的平衡。
-B树是一种多路平衡查找树，用于大规模数据存储和文件系统等。
-哈夫曼树是一种用于数据压缩的最优二叉树。
4.图结构。
图结构是由顶点和边组成的一种数据结构。
常用的图结构包括有向图、无向图、带权图和图的遍历等。
-有向图是边有方向的图结构，边具有指向关系。
-无向图是边无方向的图结构，边没有指向关系。
-带权图是边具有权值的图结构。
-图的遍历有深度优先（DFS）和广度优先（BFS）两种常见方法。
5.排序算法。
排序算法是数据结构中重要的应用之一、常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序、快速排序和堆排序等。
考研数据结构图的必背算法及知识点
考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。
最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。
数据结构考研笔记整理(全)
数据结构考研笔记整理（全）一、第二章线性表●考纲内容●一、线性表的基本概念●线性表是具有相同数据结构类型的n个数据元素的有限序列；线性表为逻辑结构，实现线性表的存储结构为顺序表或者链表●二、线性表的实现●1、顺序表●定义(静态分配)●#define MaxSize 50 \\ typedef struct{ \\ ElemType data[MaxSize];\\ intlength;\\ }SqList;●定义(动态分配)●#define MaxSize 50\\ typedef strcut{\\ EleType *data; //指示动态非配数组的指针\\ int MaxSize,length;\\ }SqList;●c的动态分配语句为L.data=(ElemType*)malloc(sizeof(ElemType)*InitSize);●c++动态分配语句为L.data=new ElemType[InitSize];●插入操作●删除操作●按值寻找●2、链表●单链表●单链表的定义●●头插法建立单链表●●尾插法建立单链表●●按序号查找getElem(LinkList L,int i)和按值查找locateElem(LinkListL,ElemType e)●插入结点（后插）●p=getElem(L,i-1); //查找插入位置的前驱结点\\ s.next=p.next;\\p.next=s;●将前插操作转化为后插操作,即先将s插入的p的后面然后调换s和p的数据域●s.next=p.next;\\ p.next=s.next;\\ temp=p.data;\\ p.data=s.data;\\s.data=temp;●删除结点●p.getElem(L,i-1);\\ q=p.next;\\ p.next=q.next;\\ free(q);●双链表（结点中有prior指针和next指针）●循环链表●静态链表●借助数组来描述线性表的链式存储结构，结点中的指针域next为下一个元素的数组下标●三、线性表的应用●使用的时候如何选择链表还是顺序表？●表长难以估计，经常需要增加、删除操作——链表;表长可以估计，查询比较多——顺序表●链表的头插法，尾插法，逆置法，归并法，双指针法；顺序表结合排序算法和查找算法的应用●小知识点（选择题）二、第三章栈，队列和数组●考纲内容●一、栈和队列的基本概念●栈：后进先出，LIFO，逻辑结构上是一种操作受限的线性表●队列：先进先出，FIFO，逻辑结构上也是一种操作受限的线性表●二、栈和队列的顺序存储结构●栈的顺序存储●●队列的顺序存储●进队：队不满时，送值到队尾元素，再将队尾指针加一●出队：队不空时，取队头元素值，再将队头指针加一●判断队空：Q.front==Q.rear==0;●循环队列（牺牲一个单元来区分队空和队满，尾指针指向队尾元素的后一个位置，也就是即将要插入的位置）●初始：Q.front==Q.rear●队满：(Q.rear+1)%MaxSize=Q.front●出队，队首指针进1:Q.front=(Q.front+1)%MaxSize●入队，队尾指针进1:Q.rear=(Q.rear+1)%MaxSize●队列长度：(Q.rear+MaxSize-Q.front)%MaxSize●三、栈和队列的链式存储结构●栈的链式存储●●队列的链式存储●实际是上一个同时带有头指针和尾指针的单链表，尾指针指向单链表的最后一个结点，与顺序存储不同,通常带有头结点●四、多维数组的存储●行优先：00，01，02，10，11，12●列优先：00，10，01，11，02，12●五、特殊矩阵的压缩存储●对称矩阵●三角矩阵●三对角矩阵（带状矩阵）●稀疏矩阵●将非零元素及其相应的行和列构成一个三元组存储●十字链表法●六、栈、队列、数组的应用●栈在括号匹配中的应用●栈在递归中的应用●函数在递归调用过程中的特点：最后被调用的函数最先执行结束●队列在层次遍历中的应用●二叉树的层次遍历●1跟结点入队●2若队空，则结束遍历，否则重复3操作●3队列中的第一个结点出队并访问，若有左孩子，则左孩子入队；若有右孩子，则右孩子入队●重点为栈的(出入栈过程、出栈序列的合法性)和队列的操作及其特征●小知识点(选择题)●n个不同元素进栈，出栈元素不同排列的个数为{2n\choose n }/(n+1)●共享栈是指让两个顺序栈共享一个存储空间，将两个栈的栈底分别设置在共享空间的两端，两个栈顶向共享空间的中间延伸，可以更有效的利用存储空间，同时对存储效率没有什么影响●双端队列是指允许两端都可以进行入队和出队操作的队列●输出受限的双端队列：允许两端插入，只允许一端删除●输入受限的双端队列：允许两端删除，只允许一端插入三、第四章串●考纲内容●字符串模式匹配●暴力算法●注意指针回退时的操作是i=i-j+2;j=j+1;●kmp算法●手工求next数组时，next[j]=s的最长相等前后缀长度+1，其中s为1到j-1个字符组成的串●在实际kmp算法中，为了使公式更简洁、计算简单，如果串的位序是从1开始的，则next数组需要整体加一；如果串的位序是从0开始的，则next数组不需要加一●根据next数组求解nextval数组：如果p[j]==p[next[j]]，则nextval[j]=nextval[next[j]]，否则nextval[j]=next[j];●小知识点●串和线性表的区别：1线性表的数据元素可以不同，但串的数据元素一般是字符；2串的操作对象通常是子串而不是某一个字符四、第五章树与二叉树●考纲内容●一、树的基本概念●定义●树是一种递归的数据结构，是一种逻辑结构●树的性质●结点数为n，则边的数量为n-1●树中的结点数等于所有结点的度数之和加1（一个结点的孩子个数称为该结点的度，树中结点的最大度数称为树的度，每一条边表示一个结点，对应一个度，只有根结点上面无边，故结点树=度数之和+1）●度为m的树中第i层至多有m^{i-1}个结点（i\geq1）（m叉树的第i层最多有m^{i-1}个结点）●高度为h的m叉树至多有(m^h-1)/(m-1)个结点（假设每一个结点都有m个孩子，则由等比数列的求和公式可以推导出该式子）●具有n个结点的m叉树的最小高度是\lceil log_m(n(m-1)+1)\rceil（由高度为h的m叉树的最大结点树公式有，n满足式子(m^{h-1}-1)/(m-1) \leq n\leq (m^h-1)/(m-1)）●高度为h的m叉树至少有h个结点；高为h，度为m的树至少有h+m-1个结点（m叉树并不等于度为m的树，m叉树可以为空树，要求所有结点的度小于等于m，而度为m的树一定有一个结点的度数为m）●二、二叉树●二叉树的定义及其主要特征●定义●特点●每个结点至多只有两颗子树●二叉树是有序树，其子树有左右之分，次序不能颠倒，否则将成为另一颗二叉树，即使树中结点只有一颗子树，也要区分他是左子树还是右子树●特殊的二叉树●满二叉树：高度为h，结点数为2^h-1，所有叶子结点都集中在二叉树的最下面一层，除叶子结点外的所有结点度数都为2，从根结点为1开始编号，对于编号为i的结点，其父结点为\lfloor i/2 \rfloor，左孩子(若有)编号为2i，右孩子(若有)编号为2i+1，所以编号为偶数的结点只可能是左孩子，编号为奇数的结点只可能是右孩子●完全二叉树：删除了满二叉树中编号更大的结点，高为h，结点数为n的完全二叉树的每个结点的编号都与高度为h的满二叉树中编号为1到n的结点相同。
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第1章绪论内容提要：◆数据结构研究的内容。
针对非数值计算的程序设计问题，研究计算机的操作对象以及它们之间的关系和操作。
数据结构涵盖的内容：◆基本概念：数据、数据元素、数据对象、数据结构、数据类型、抽象数据类型。
数据——所有能被计算机识别、存储和处理的符号的集合。
数据元素——是数据的基本单位，具有完整确定的实际意义。
数据对象——具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。
数据结构——是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合，表示为：Data_Structure=（D, R）数据类型——是一个值的集合和定义在该值上的一组操作的总称。
抽象数据类型——由用户定义的一个数学模型与定义在该模型上的一组操作，它由基本的数据类型构成。
◆算法的定义及五个特征。
算法——是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，是一系列输入转换为输出的计算步骤。
算法的基本特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性◆算法设计要求。
①正确性、②可读性、③健壮性、④效率与低存储量需求◆算法分析。
时间复杂度、空间复杂度、稳定性学习重点：◆数据结构的“三要素”：逻辑结构、物理（存储）结构及在这种结构上所定义的操作（运算）。
◆用计算语句频度来估算算法的时间复杂度。
第二章线性表内容提要：◆线性表的逻辑结构定义，对线性表定义的操作。
线性表的定义：用数据元素的有限序列表示◆线性表的存储结构：顺序存储结构和链式存储结构。
顺序存储定义：把逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元中的存储结构。
链式存储结构: 其结点在存储器中的位置是随意的，即逻辑上相邻的数据元素在物理上不一定相邻。
通过指针来实现！◆线性表的操作在两种存储结构中的实现。
数据结构的基本运算：修改、插入、删除、查找、排序1)修改——通过数组的下标便可访问某个特定元素并修改之。
核心语句:V[i]=x;顺序表修改操作的时间效率是O(1)2) 插入——在线性表的第i个位置前插入一个元素实现步骤：①将第n至第i 位的元素向后移动一个位置；②将要插入的元素写到第i个位置；③表长加1。
考研866数据结构
考研866数据结构摘要：1.考研866 数据结构简介2.数据结构的重要性3.数据结构知识点梳理4.备考建议与策略正文：考研866 数据结构是我国研究生入学考试中的一门科目，主要考察学生对数据结构的理解和应用能力。
数据结构是计算机科学与技术专业的基础课程，对于程序设计和软件开发具有重要意义。
掌握数据结构知识不仅有助于提高编程水平，还能为以后的研究和工作奠定基础。
数据结构知识点梳理：1.线性表：包括栈、队列、链表等基本数据结构，以及它们的操作和应用。
2.栈与队列：涉及进栈、出栈、入队、出队等基本操作，以及栈与队列的应用，如广度优先搜索、深度优先搜索等。
3.树与二叉树：包括树的定义、性质、遍历、存储结构等，以及二叉树的相关概念和操作，如插入、删除、遍历等。
4.图：图的基本概念、存储结构、遍历方法、最短路径算法、最小生成树算法等。
5.排序算法：冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等常用排序算法及其时间复杂度分析。
6.查找算法：顺序查找、二分查找、哈希查找等常用查找算法及其应用。
备考建议与策略：1.制定学习计划：根据个人基础和时间安排制定合理的复习计划，确保每个知识点都能得到充分的复习。
2.理解为主，记忆为辅：数据结构的学习重点在于理解概念和原理，而不仅仅是死记硬背。
通过大量练习加深对知识点的理解。
3.动手实践：编程实现各种数据结构和算法，加深对知识点的理解，提高实际应用能力。
4.总结与反思：定期对学习过程进行总结和反思，找出自己的不足之处，及时调整学习方法。
5.模拟考试：参加模拟考试，熟悉考试环境，检验自己的学习成果，查漏补缺。
总之，考研866 数据结构是一门需要投入时间和精力去学习的科目。
数据结构常考的5个算法
数据结构常考的5个算法1. 递归算法递归是一种将问题分解为相同或相似的子问题解决的方法。
在递归算法中，一个函数可以调用自己来解决更小规模的问题，直到遇到基本情况，然后递归返回并解决整个问题。
递归算法通常用于解决需要重复执行相同操作的问题，例如计算斐波那契数列、计算阶乘、树和图的遍历等。
递归算法的主要特点是简洁、易理解，但在大规模问题上可能效率较低。
以下是一个使用递归算法计算斐波那契数列的示例代码：def fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)2. 排序算法排序算法用于将一组数据按照一定顺序进行排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。
•冒泡排序逐渐交换相邻的元素，将较大的元素逐渐“冒泡”到最后的位置。
•选择排序每次选择最小（或最大）的元素，并将其放置在已排序部分的末尾。
•插入排序通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。
•快速排序通过选择一个基准元素，将数组分割为左右两部分，对左右两部分分别递归地进行快速排序。
•归并排序将数组分成两个子数组，分别对两个子数组进行排序，然后将两个有序子数组合并为一个有序数组。
以下是一个使用快速排序算法对数组进行排序的示例代码：def quick_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrpivot = arr[len(arr)//2]left = [x for x in arr if x < pivot]middle = [x for x in arr if x == pivot]right = [x for x in arr if x > pivot]return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)3. 查找算法查找算法用于在数据集合中查找特定元素的位置或存在性。
数据结构(公式及要点汇总)
数据结构(公式及要点汇总)数据结构（公式及要点汇总）在计算机科学中，数据结构是指一种组织数据的方式。
它涉及到各种算法和操作，以及与之相关的存储结构。
数据结构对于解决实际问题非常重要，因为它可以帮助我们高效地存储和访问数据。
下面是一些常见的数据结构及其相关要点和公式的汇总：一、数组（Array）- 数组是一种线性数据结构，用于存储相同类型的元素。
- 数组的长度在创建时确定，并且在运行时不能更改。
- 元素可以通过索引访问，索引从0开始。
- 相关公式：1. 访问元素：arr[i]2. 插入元素：arr[index] = value3. 删除元素：arr[index] = null二、链表（Linked List）- 链表也是一种线性数据结构，但与数组不同，它的元素没有连续的存储空间。
- 每个元素包含数据和指向下一个元素的指针。
- 相关公式：1. 访问元素：node.value2. 插入元素：newNode.next = currentNode.next; currentNode.next = newNode3. 删除元素：prevNode.next = currentNode.next三、栈（Stack）- 栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构。
- 只允许在栈的顶部进行插入和删除操作。
- 相关公式：1. 入栈：push(element)2. 出栈：pop()3. 取栈顶元素：top()四、队列（Queue）- 队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构。
- 只允许在队列的一端插入元素（入队列），在另一端删除元素（出队列）。
- 相关公式：1. 入队列：enqueue(element)2. 出队列：dequeue()3. 取队首元素：front()五、树（Tree）- 树是一种非线性数据结构，由节点和边组成。
- 每个节点可以有零个或多个子节点。
- 相关公式：1. 遍历方式：前序遍历、中序遍历、后序遍历2. 计算节点数：countNodes(node)3. 计算树的高度：height(node)六、图（Graph）- 图是一种由节点和边组成的非线性数据结构。
考研图论知识点精讲
考研图论知识点精讲图论是计算机科学和数学中的重要分支，研究图的性质以及与之相关的各种问题。
在考研中，图论是一个必备的知识点，掌握图论的基本概念和算法对于顺利通过考试至关重要。
本文将对考研图论知识点进行精讲，以帮助考生更好地准备考试。
1. 图的基本概念图是由节点和边组成的一种数据结构，可以用来描述现实生活中各种关系。
图论中的图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边没有方向。
2. 图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系。
邻接表是一种链表的数据结构，每个节点存储其相邻节点的信息。
3. 图的遍历图的遍历是指从图的某个节点出发，访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索是通过递归或者栈来实现的，而广度优先搜索则是通过队列来实现的。
4. 最小生成树最小生成树是指连接图中所有节点的一棵树，并且边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是从一个节点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到覆盖所有的节点。
Kruskal算法则是把所有的边按照权值排序，然后逐个添加到最小生成树中，直到覆盖所有的节点。
5. 最短路径最短路径是指连接图中两个节点之间的路径中，边的权值之和最小的路径。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是从一个节点开始，逐步找到到其他节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法则是通过动态规划的方式来计算任意两个节点之间的最短路径。
6. 拓扑排序拓扑排序是指对有向无环图进行排序，使得所有的顶点按照依赖关系排列。
拓扑排序常用于解决任务调度、编译顺序等问题。
常用的拓扑排序算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
7. 图的匹配图的匹配是指在一个二分图中找到一些边，使得每个节点都恰好与一条边相连。
《数据结构与算法》知识点整理
《数据结构与算法》知识点整理《数据结构与算法》知识点整理1：数据结构概述1.1 什么是数据结构1.2 数据结构的作用1.3 数据结构的分类1.4 数据结构的存储方式2：线性表2.1 顺序表2.1.1 顺序表的定义2.1.2 顺序表的基本操作2.2 链表2.2.1 链表的定义2.2.2 链表的基本操作2.3 栈2.3.1 栈的定义2.3.2 栈的基本操作2.4 队列2.4.1 队列的定义2.4.2 队列的基本操作3：树3.1 树的基本概念3.1.1 结点3.1.2 父节点、子节点、兄弟节点 3.2 二叉树3.2.1 二叉树的定义3.2.2 二叉树的遍历方式3.3 平衡二叉树3.3.1 平衡二叉树的定义3.3.2 平衡二叉树的实现4：图4.1 图的基本概念4.1.1 顶点4.1.2 边4.1.3 权重4.2 图的表示方式4.2.1 邻接矩阵4.2.2 邻接表4.3 图的搜索算法4.3.1 深度优先搜索 4.3.2 广度优先搜索5：排序算法5.1 冒泡排序5.2 插入排序5.3 选择排序5.4 快速排序5.5 归并排序6：查找算法6.1 顺序查找6.2 二分查找6.3 哈希查找7：字符串匹配算法7.1 暴力匹配算法7.2 KMP算法7.3 Boyer-Moore算法8：动态规划算法8.1 动态规划的基本概念8.2 0-1背包问题8.3 最长公共子序列问题9：附件9.1 Examples：docx - 包含各章节示例代码的附件文件10：法律名词及注释10：1 数据结构 - 在计算机科学中，数据结构是计算机中存储、组织数据的方式。
10：2 线性表 - 线性表是数据元素的有限序列，元素之间具有线性关系。
10：3 顺序表 - 顺序表是用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的元素。
10：4 链表 - 链表是一种数据元素按照顺序存放，元素之间通过指针进行关联的数据结构。
10：5 栈 - 栈是一种特殊的线性表，只能在一端进行插入和删除操作。
数据结构与算法的哪些知识点最容易考察
数据结构与算法的哪些知识点最容易考察在计算机科学领域，数据结构与算法是至关重要的基础知识。
无论是在学术研究还是实际的软件开发中，对于数据结构和算法的理解与掌握程度都有着很高的要求。
当我们面临各种考试或者技术面试时，了解哪些知识点最容易被考察，能够帮助我们更有针对性地进行学习和准备。
首先，链表（Linked List）是经常被考察的一个重要知识点。
链表是一种常见的数据结构，它由一系列节点组成，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。
对于链表的操作，如链表的创建、遍历、插入、删除节点等，都是常见的考察点。
特别是在处理链表的循环、链表的反转等问题时，需要我们对指针的操作有清晰的理解和熟练的运用能力。
栈（Stack）和队列（Queue）也是容易考察的内容。
栈遵循后进先出（Last In First Out，LIFO）的原则，而队列遵循先进先出（First In First Out，FIFO）的原则。
理解这两种数据结构的特点以及它们的基本操作，如入栈、出栈、入队、出队等，是很关键的。
此外，利用栈来解决表达式求值、括号匹配等问题，以及使用队列来实现广度优先搜索（BreadthFirst Search，BFS）等算法，也是常见的考察形式。
树（Tree）结构在数据结构与算法中占据着重要地位。
二叉树（Binary Tree）是其中的基础，包括二叉树的遍历（前序、中序、后序遍历）、二叉搜索树（Binary Search Tree）的特性和操作，以及平衡二叉树（如 AVL 树、红黑树）的概念和调整算法等，都是容易被考察的知识点。
此外，树的层次遍历、构建二叉树等问题也经常出现在考题中。
图（Graph）的相关知识也是考察的重点之一。
图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）、图的遍历算法（深度优先搜索（DepthFirst Search，DFS）和广度优先搜索（BreadthFirst Search，BFS））、最短路径算法（如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和弗洛伊德算法（FloydWarshall Algorithm））以及最小生成树算法（如普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm））等，都是需要我们熟练掌握的内容。
408-数据结构考研知识点整理
408-数据结构考研知识点整理一.绪论(一)数据结构1.基本概念a)数据●信息的载体b)数据元素●描述一个个体●是数据的基本单位c)组合项●构成数据元素的单位d)数据项●构成数据元素或组合项的不可分割的最小单位e)数据对象●具有相同性质的数据元素的集合f)数据类型●一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称●原子类型●不可再分的数据类型●结构类型●其值可以再分解的数据类型●抽象数据类型●抽象数据组织及与之相关的操作●定义了数据结构的逻辑结构和运算g)数据结构●相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的的集合2.逻辑结构a)定义：数据元素之间的逻辑关系b)线性结构●线性表c)非线性结构●集合●树形结构●网状结构3.存储结构a)定义：数据结构在计算机中的表示（又称映像），也称物理结构b)顺序存储●逻辑上相邻的元素存储在物理位置也相邻的存储单元中●优点：可以实现随机存储，每个元素占用最少的存储空间●缺点：只能使用相邻的一整块的存储单元，可能产生较多的外部碎片c)链式存储●不要求物理位置相邻，借助指示元素存储位置的指针来表示元素之间的逻辑关系●优点：不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元●缺点：因存储位置指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存储d)索引存储●在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表●优点：检索速度快●缺点：附加的索引表额外占用存储空间，增加和删除数据时因修改索引表而耗时较长e)散列存储●根据元素关键字直接计算出元素的存储位置，又称哈希（Hash）存储●优点：检索、增加、删除结点速度都很快●缺点：可能出现元素单元冲突，处理冲突会增加时间和空间开销4.运算a)运算的定义●针对逻辑结构，指出运算的功能b)运算的实现●针对物理结构，指出运算的具体操作步骤(二)算法与算法评价1.基本概念出入穷定行a)定义：对特定问题求解步骤的一种描述b)5个特性●有穷性●一个算法可以在有穷时间内完成●确定性●算法中每条指令有其确定的含义，对于相同的输入有相同的输出●可行性●算法可以实现●输入●一个算法有0个或多个输入●输出●一个算法有1个或多个输出c)好的算法应达到的目标●正确性●正确求解问题●可读性●可读性高，易于理解●健壮性●合理处理非法输入，不易崩溃●效率和低存储量需求●时间复杂度低●空间复杂度低2.算法效率评价a)时间复杂度●一般不考虑最好时间复杂度●两个复杂度相加即取高阶●两个复杂度相乘即相乘●常见时间复杂度：常对幂指阶b)空间复杂度●算法所需的辅助空间，不包括指令、常数、变量和输入数据占用空间，即局部变量●算法原地工作指的是算法所需的辅助空间为常量二.线性表(一)逻辑结构1.具有相同数据类型的n (n≥0)个数据元素的有限序列2.表中元素具有逻辑上的顺序性，表中元素有其先后次序即线性有序3.次序从1开始，数组下标从0开始(二)线性表的顺序表示（顺序表）1.定义a)用一组地址连续的存储单元一次存储线性表中的数据元素，一个变量存储当前线性表长度b)支持随机存储的存储结构c)特点：表中元素的逻辑顺序与物理顺序相同d)静态分配●一旦空间占满，再加入新的数据就会产生溢出e)动态分配●一旦空间占满，就另外开辟一块更大的存储空间，用以替换原来的存储空间f)优点：支持随机存取，存储密度高g)缺点：插入删除操作需要大量移动元素2.实现a)插入●在顺序表L第i个位置插入新元素，第i个元素及其后所有元素依次往后移动一个位置●平均时间复杂度O(n)b)删除●删除顺序表L中第i个位置的元素，第i个元素之后的所有元素依次往前移动一个位置●平均时间复杂度O(n)c)查找●依次遍历所有值●平均时间复杂度O(n)(三)线性表的链式表示（链表）1.单链表a)定义●结点结构分为数据域和指针域●分为带头结点的单链表和不带头结点的单链表●头结点不存储数据b)操作●利用头插法建立单链表●读入数据的顺序和生成的链表的顺序是相反的●时间复杂度为O(1)●利用尾插法建立单链表●增加一个指向当前链表的尾指针r，使时间复杂度为O(1)2.双链表a)单链表中只有一个指向其后继结点的指针，双链表增加了一个指向其前驱结点的指针3.循环链表a)最后一个结点指向头结点b)判空条件：头结点的指针是否指向头结点4.循环双链表a)判空条件：头结点的前驱结点后驱结点是否指向头结点5.静态链表a)借助数组来描述线性表的链式存储结构b)结点的指针是结点的相对地址（数组下标）又称游标c)需要预先分配一块连续的内存空间d)主要用于不支持指针的高级语言中实现链表(四)顺序表和链表的比较1.存储（读写）方式a)顺序表：可顺序存取也可随机存取b)链表：只能从表头顺序存取元素2.逻辑结构与物理结构a)顺序表：逻辑结构相邻的元素，物理结构也相邻b)链表：不一定相邻，对应的逻辑关系通过指针链接来表示3.查找、插入和删除操作a)按值查找●顺序表无序时，两者的时间复杂度均为O(n)●顺序表有序时，可采用折半查找，时间复杂度为O(log2n)b)按序号查找●顺序表：O(1)●链表：O(n)c)插入、删除●顺序表：O(n)●链表：O(n)4.空间分配a)顺序表●静态分配：不能扩充●动态分配：空间可以扩充，但需移动大量元素b)链表●只要有内存可分配就可扩充(五)如何选取存储结构1.基于存储考虑a)难以估计数据规模时，不宜采用顺序表2.基于运算考虑a)顺序表适用于访问频繁的场景b)链表适用于插入、删除频繁的场景3.基于环境考虑a)高级语言中顺序表易于实现三.栈、队列和数组(一)栈1.后入后出2.操作受限的线性表3.n个不同元素进栈，出栈元素不同排列的个数为\frac{1}{n+1}C^{n}_{2n}（卡特兰数）4.出栈入栈注意栈顶指针的初值5.存储结构a)顺序栈●共享栈：两个顺序栈共享一个一维数组空间（为了更有效地利用存储空间）b)链栈●优点：便于多个栈共享存储空间和提高其效率，且不存在栈上溢的情况(二)队列1.先进先出2.假溢出-->循环队列3.判断循环队列是否队满a)牺牲一个单元b)设置变量：元素个数c)设置变量：tag，最近一次操作入队为true，出队为false4.链队列5.双端队列(三)栈和队列的应用1.栈a)括号匹配b)中缀表达式转后缀表达式c)计算后缀表达式d)递归、函数调用2.队列a)树的层次遍历b)数据缓冲区c)操作系统调度算法3.数组和特殊矩阵a)数组●定长的线性表，一经初始化即不可改变长度●按行优先和按列优先b)特殊矩阵的压缩存储●对称矩阵●特征：关于主对角线对称●三角矩阵●特征：只有主对角线以上或以下的位置有值，其他位置为同一常量●三对角矩阵●也称带状矩阵●特征：主对角线两侧有值，其余位置为0●稀疏矩阵●矩阵中非零元素个数远远小于矩阵大小●存储方式●三元组●十字链表●稀疏矩阵压缩存储后失去了随机存储的特性四.串(一)由零个或多个字符构成的有限序列(二)存储结构1.定长顺序存储，即静态数组2.堆分配存储，即动态数组3.块链存储，即以链表形式存储，每个结点由一个或多个字符组成(三)模式匹配1.朴素模式匹配2.K MP算法a)求next数组b)求nextval数组（改进KMP）五.树与二叉树(一)树1.基本概念和术语a)n个结点的优先集。
考研408数据结构必背算法
考研408数据结构必背算法数据结构是计算机科学中非常重要的一门课程，也是考研408计算机专业的必修课之一。
在考研408数据结构中，有一些算法是必须要背诵的，因为它们是解决各种问题的基础。
下面我将介绍一些考研408数据结构必背算法。
首先是线性表的顺序存储结构。
线性表是最基本的数据结构之一，它包括顺序表和链表两种存储方式。
顺序表是将元素按照顺序存放在一块连续的存储空间中，通过下标来访问元素。
顺序表的插入和删除操作比较耗时，但是查找操作比较快速。
链表是将元素存放在一系列的节点中，每个节点包含一个数据元素和一个指向下一个节点的指针。
链表的插入和删除操作比较方便，但是查找操作比较耗时。
掌握线性表的顺序存储结构对于理解其他数据结构非常重要。
其次是栈和队列。
栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，只能在栈顶进行插入和删除操作。
栈的应用非常广泛，比如函数调用、表达式求值等。
队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，只能在队尾进行插入操作，在队头进行删除操作。
队列的应用也非常广泛，比如进程调度、打印任务等。
掌握栈和队列的实现和应用对于理解其他数据结构和算法非常重要。
再次是树和二叉树。
树是一种非线性的数据结构，它由节点和边组成。
树的每个节点可以有多个子节点，但是每个节点只有一个父节点。
二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点。
二叉树的遍历有前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
掌握树和二叉树的遍历算法对于理解其他高级数据结构和算法非常重要。
最后是图的遍历和最短路径算法。
图是一种非线性的数据结构，它由节点和边组成。
图的遍历有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）两种方式。
深度优先搜索是一种先访问子节点再访问兄弟节点的方式，广度优先搜索是一种先访问兄弟节点再访问子节点的方式。
最短路径算法是解决图中两个节点之间最短路径问题的算法，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd算法。
掌握图的遍历和最短路径算法对于解决实际问题非常重要。
数据结构考研讲义 第五章 图
第四章图4.1图的概念1．图的定义图是由一个顶点集V和一个弧集R构成的数据结构。
2.图的重要术语；（1）无向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（v,w）∈E是无序的，即顶点之间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。
（2）有向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（v,w）∈E是有序的，即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。
（3）无向完全图：在一个无向图中，如果任意两顶点都有一条直接边相连接，则称该图为无向完全图。
在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(n-1)/2条边。
（4）有向完全图：在一个有向图中，如果任意两顶点之间都有方向互为相反的两条弧相连接，则称该图为有向完全图。
在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条边。
（5）稠密图、稀疏图：若一个图接近完全图，称为稠密图；称边数很少（e<nlogn）的图为稀疏图。
（6）顶点的度、入度、出度：顶点的度（degree）是指依附于某顶点v的边数，通常记为TD(v)。
在有向图中，要区别顶点的入度与出度的概念。
顶点v的入度是指以顶点为终点的弧的数目，记为ID(v)；顶点v出度是指以顶点v为始点的弧的数目，记为OD(v)。
TD(v)=ID(v)＋OD(v)。
（7）边的权、网图：与边有关的数据信息称为权（weight）。
在实际应用中，权值可以有某种含义。
边上带权的图称为网图或网络（network）。
如果边是有方向的带权图，则就是一个有向网图。
（8）路径、路径长度：顶点vp到顶点vq之间的路径（path）是指顶点序列vp,vi1,vi2,…,vim,vq.。
其中，（vp,vi1），(vi1,vi2)，…,(vim,.vq)分别为图中的边。
路径上边的数目称为路径长度。
（9）简单路径、简单回路：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。
除第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路，或者简单环。
（10）子图：对于图G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在V’是V的子集，E’是E的子集，则称图G’是G的一个子图。
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1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/ 2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。
最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u, v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。
设置两个新的集合U和T，其中集合U（顶点集）用于存放G的最小生成树中的顶点，集合T（边集合）存放G的最小生成树中的边。
T，U的初始状态：令集合U的初值为U＝{u1}（假设构造最小生成树时，从顶点u1出发），集合T的初值为T＝{}。
Prim算法的思想是：从所有u∈U，v∈V－U的边中，选取具有最小权值的边（u，v）∈E，将顶点v加入集合U中，将边（u，v）加入集合T中，如此不断重复，直到U＝V时，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树的所有边。
Prim算法可用下述过程描述，其中用wuv表示顶点u与顶点v边上的权值。
（1）U＝{u1},T={};（2）while(U≠V)do(u，v)＝min{wuv；u∈U，v∈V－U}T＝T＋{(u，v)}U＝U＋{v}（3）结束。
按照Prim方法，从顶点1出发，该网的最小生成树的产生过程如图：为实现Prim算法，需设置两个辅助closedge，用来保存U到集合V－U的各个顶点中具有最小权值的边的权值。
对每个Vi∈（V-U）在辅助数组中存在一个相应的分量closedge[i-1],它包括两个域：typedefstructArcNode{intadjvex;owcost=0；owcost，故需修改closedge[1]为边（v2,v3）及其权值，同理修改c losedge[4]，closedge[5].closedge[1].adjvex=3.closedge[1].lowcost=5.closedge[4].adjvex=1.closedge[4].lowcost=5.closedge[5].adjvex=3.closedge[5].lowcost=6.以此类推，直至U=V;下图给出了在用上述算法构造网图的最小生成树的过程中：Prim算法实现：按照算法框架:（1）U＝{u1},T={};（2）while(U≠V)do(u，v)＝min{wuv；u∈U，v∈V－U}T＝T＋{(u，v)}U＝U＋{v}（3）结束。
当无向网采用二维数组存储的邻接矩阵存储时，Prim算法的C语言实现为：owcost中求最小值，其频度为n-1；其二是重新选择具有最小代价的边，其频度为n。
由此，普里姆算法的时间复杂度为O(n2)，与网中的边数无关，因此适用于求边稠密的网的最小生成树。
2.克鲁斯卡尔（Kruskal）:由点到线，适合边稀疏的网。
时间复杂度：O(e*loge)Kruskal算法是一种按照网中边的权值递增的顺序构造最小生成树的方法。
基本思想是：1)设无向连通网为G＝（V，E），令G的最小生成树为T，其初态为T＝（V，{}），即开始时，最小生成树T由图G中的n个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样T中各顶点各自构成一个连通分量。
2)在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量，则将此边加入到T中，否则舍弃此边而选择下一条边（若该边依附的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路）。
依此类推，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。
按照Kruskal方法构造最小生成树的过程如图所示：在构造过程中，按照网中边的权值由小到大的顺序，不断选取当前未被选取的边集中权值最小的边。
依据生成树的概念，n个结点的生成树，有n－1条边，故反复上述过程，直到选取了n－1条边为止，就构成了一棵最小生成树。
Kruskal算法的实现：算法的框架：构造非连通图T＝（V，{}）k=i=0；1);vf2=Find(father,edges[i].v2);if(vf1!=vf2){father[vf2]=vf1;j++;printf(“%3d%3d\n”,edges[i].v1,edges[i].v2);}i++;}}vernum-1]InitStack(S)；for(i=0；i<；++i)键路径(AOE网)：在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度，路径长度最长的路径叫做关键路径(CriticalPath)。
网：（Activityonedgenetwork）AOE网示意图若在带权的有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，边上的权值表示活动的开销（如该活动持续的时间），则此带权的有向图称为AOE网。
实际问题：如果用AOE网来表示一项工程，那么，仅仅考虑各个子工程之间的优先关系还不够，更多的是关心整个工程完成的最短时间是多少；哪些活动的延期将会影响整个工程的进度，而加速这些活动是否会提高整个工程的效率。
因此，通常在AOE网中列出完成预定工程计划所需要进行的活动，每个活动计划完成的时间，要发生哪些事件以及这些事件与活动之间的关系，从而可以确定该项工程是否可行，估算工程完成的时间以及确定哪些活动是影响工程进度的关键。
如图是一个假想的有11项活动的AOE-网：其中有9个事件v1，v2，v3，…，v9，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
如v1表示整个工程开始，v 9表示整个工程结束，v5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以开始。
与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间。
比如，活动a1需要6天，a2需要4天等。
和AOV-网不同，对AOE-网有待研究的问题是：(1)完成整项工程至少需要多少时间(2)哪些活动是影响工程进度的关键关键路径由于在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度(这里所说的路径长度是指路径上各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目)。
路径长度最长的路径叫做关键路径(CriticalPath)。
AOE网有关的概念：1)路径长度：路径上各个活动的持续时间之和2)完成工程的最短时间：由于AOE网中有活动是并行进行的，所以完成工程的最短时间就是从开始点到完成点的最长路劲长度。
3)活动最早开始时间(earlisttime)(e(i))：从开始点到顶点vi的最长路径称为事件vi的最早发生时间。
这个时间决定了以vi为尾的弧表示的活动的最早开始时间.4)活动最晚开始时间(latesttime)(l(i))：在不推迟整个工程完成的前提下，活动最迟开始的时间5)完成活动的时间余量：该活动的最迟开始时间减去最早开始时间6)关键路径(criticalpath)：路径长度最长的路径称为关键路径7)关键活动(criticalactivity):关键路径上的活动称为关键活动，关键活动的特点是:e(i)=l(i)分析关键路径的目的就是辨别在整个工程中哪些是关键活动，以便争取提高关键活动的工作效率，缩短整个工程的工期。
解决方案：由上分析可知，辨别关键活动就是要找e(i)=l(i)的活动。
为了求得AOE-网中活动的e(i)和l(i)，首先求事件的最早发生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)。
如果活动ai由弧<j,k>表示，其持续时间记为dut(<j,k>),则有如下关系：e(i)=ve(j)l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)求ve(j)和vl(j)需分两步进行：（1）从ve(0)开始向前递推其中，T是所有以第j个顶点为头的弧的结合。
（2）从vl(n-1)=ve(n-1)起向后递推其中，S是所有以第i个顶点为尾的弧的集合。
这两个递推公式的计算必须分别在拓扑有序和逆拓扑有序的前提下进行。
也就是说ve(j-1)必须在vj的所有前驱的最早发生时间求得之后才能确定，而vl(j-1)则必须在vj的所有后继的最迟发生时间求得之后才能确定。
因此，可以在拓扑排序的基础上计算ve(j-1)和vl(j-1)。
关键路径的算法：(1)输入e条弧<j，k>，建立AOE-网的存储结构；(2)从源点v0出发，令ve[0]=0，按拓扑有序求其余各顶点的最早发生时间ve[i](1≤i≤n-1)。
如果得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤(3)。
(3)从汇点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i](n-2≥i≥0)；(4)根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s)。
若某条弧满足条件e(s)=l(s)，则为关键活动。
先将拓扑排序算法：TopologicalOrder（）CriticalPath便为求关键路径的算法：短路径：最短路径问题是图研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
最短路径问题是图的又一个比较典型的应用问题。
例如，某一地区的一个公路网，给定了该网内的n个城市以及这些城市之间的相通公路的距离，能否找到城市A到城市B之间一条举例最近的通路呢如果将城市用点表示，城市间的公路用边表示，公路的长度作为边的权值，那么，这个问题就可归结为在网图中，求点A到点B的所有路径中，边的权值之和最短的那一条路径。