微分几何 §3 曲面的第二基本形式
微分几何梅向明黄敬之编第二章课后题答案
第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面7 ={ u cosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.解 u-曲线为 r={u cosv o ,u sin v o ,bv o }= {0,0 , bv °} + u { cosv o , sin v °,0}，为曲线的直母线；v- 曲线为?={u o cosv , U o sinv,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为 r={ a (u+v o ) , b (u- v o ) ,2u v o }={ a v °, b v °,0}+ u{a,b,2 v o }表示过点{ a v °, b v °,0} 以{a,b,2 v o }为方向向量的直线；v-曲线为 r = {a ( u o +v ) , b ( u o -v ) ,2 u o v } = {a u °, bu o ,0 } +v{a,-b,2 u o }表示过点(a u o , bu o ,0)以｛a,-b,2 u o ｝为方向向量的直线3. 求球面r=｛acos ；：sin , a cos' sin :, asi n ；：｝上任意点的切平面和法线方程。
解 r 、={—asin 、：cos ；—asin ；sin 「，acos ：} , r .：={—acos ； sin :, acos L cos ,0}即 xcos : cos + ycos : sin + zsin 二-a = 0 x - a cos 、： cos : _ y - a cos ：： sin : _ z - a sin 二 cos 、： cos ： cos 、： sin ' sin 二2 24 .求椭圆柱面 务•岭=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面a bx 「a cos 、： cos ‘ 任意点的切平面方程为 -a sincos :-a cos 二 sin :y -a cos ；： sin ‘ -asin 二 sin : z - a s in 9 a cos^ = 0法线方程为§2曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的第一基本形式 解 r u ={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =打=a 2 b 2 4v 2,F = r u r v = a 2- b 24uv, G = r v 2二 a 2b 24u 2,1 = (a 2b 24v 2)du 22(a 2-b 24uv)dudv (a 2b 24u 2)dv 2。
微分几何课后答案
r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
§23_曲面的第二基本形式
L = r uu · n = −r u · n u = √M = r u v · n = −r u · n v = −r v · n u = √ N = r vv · n = −r v · n v = √§2.3 曲面的第二基本形式2.3.1 第二基本形式前面我们引进出了曲面的第一基本形式 I , 研究了曲面的一些内蕴性质, 即只依赖于曲 面本身, 而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的几何性质. 在理论和实际应用中, 必须考虑曲 面在空间中的弯曲程度, 为此, 我们将引进曲面的另一个二次微分式.对正则 C k (k ≥ 2) 曲面 S : r = r (u, v ) , 单位法向量 n =r u ×r v|r u ×r v |作为参数 u, v 的函数,其微分表示为 dn = n u du + n v dv . 由于 0 = d (n · n ) = 2n · dn , 所以 dn 是切平面中的向 量. 令 II = −dr · dn , 称 II 为曲面 S 的 第二基本形式. 下面我们首先计算第二基本形式的 参数表示. 由于 dr = r u du + r v dv , 所以II = −dr · dn= −(r u du + r v dv ) · (n u du + n v dv )= Ldu 2 + 2Mdu dv + Ndv 2,其中 L = −r u · n u , M = −(r u · n v + r v · n u )/2, N = −r v · n v , 它们作为参数 u, v 的函 数, 称为曲面 S 的第二基本形式系数.由于 r u · n = 0, r v · n = 0, 两式分别关于 u, v 求偏导数, 我们有r uu · n + r u · n u = 0, r vu · n + r v · n u = 0,因此第二基本形式系数可以表示为r uv · n + r u · n v = 0, r vv · n + r v · n v = 0,(r uu , r u , r v ) EG − F 2, (r uv , r u , r v ) EG − F 2,(r vv , r u , r v )EG − F 2.另外, 因为 n · dr = 0 , 微分便得 d 2r · n = −dr · dn , 于是我们得到曲面的第二基本形式的 以下三种等价的表示II = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2= n · d 2r = −dr · dn.78+ g 2+ g 2f+ g 2f【例 1】 对平面, 因法向量 n 为常向量, 所以 II = −dn · dr ≡ 0.对中心径矢为 r 0, 半径为 a 的球面, 因其单位法矢量 n = a 1 (r − r 0) 或 n = a 1 (r 0 − r ), 于 是 II = −dn · dr = ± a 1 I .【例 2】 求旋转曲面 r (u, v ) = {f (v ) cos u, f (v ) sin u, g (v )} 的第二基本形式. 【解】 直接计算得到以下各量r uu = {−f cos u, −f sin u, 0}, r uv = {−f sin u, −f cos u, 0}, r vv = {f cos u, f sin u, g },n =f1 2{g cos u, g sin u, −f },因此L = r uu · n =−fg 2,M = r uv · n = 0, N = r vv · n =f g − f g 2.【例 3】 求曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式.【解】 我们知道: 曲面 z = f (x, y ) 可以写成向量形式r (u, v ) = {u, v, f (u, v )},直接计算得到以下各量r u = {1, 0, f u },r v = {0, 1, f v }, n =r u × r v |r u × r v |= 1 1 + f u 2 + f v 2{−f u , −f v , 1},r uu = {0, 0, f uu }, r uv = {0, 0, f uv }, r vv = {0, 0, f vv },因此L = n · r uu =M = n · r uv =N = n · r vv =f uu 1 + f u 2 + f v 2f uv 1 + f u 2 + f v 2f vv 1 + f u 2 + f v 2,,,79= [dr + d 2r + o (du 2 + dv 2)] · n= dr · n + d 2r · n + o (du 2 + dv 2)= II + o (du 2 + dv 2)曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式是II =1 1 + f u2 + f v 2[f uu du 2 + 2f uv dudv + f vv dv 2].2.3.2 第二基本形式的几何意义−−→对曲面 S : r = r (u, v ) 上的给定点 P (u, v ) 及其邻近点 Q (u + du, v + dv ) , 令 d = P Q · n ,−−→即位移向量 P Q 在点 P 处单位法向量 n 方向上的投影. |d| 即从 Q 点到 P 点切平面的垂直距 离, 而 d 的正负号依赖于 Q 点是位于 P 点切平面的一侧或另一侧, 换句话说, d 的正负号反 映曲面 S 在 P 点处的弯曲方向. 利用向量形式的 Tayloy 展开式及事实 n · r u = 0, n · r v = 0,有−−→ d = P Q · n = (r (u + du, v + dv ) − r (u, v )) · n 12 1212−−→由此可见, II 代表起点在 P 的位移向量 P Q 在法向量上投影的主要部分的二倍, 它描 述了 Q 点在法方向上相对于 P 的改变, 即描述了曲面在 P 0 点附近弯曲的状况.【例 4】容易验证平面 r (u, v ) = {u, v, 0} 与圆柱面 r (u, v ) = {cos u, sin u, v} 具有相同的第一基本形式 du 2 + dv 2, 但平面的第二基本形式 II ≡ 0 , 而圆柱面的第二基 本形式 II = −du 2, 这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此).与第一基本形式 I 不同, 曲面的第二基本形式II 作为 (du, dv ) 的二次型, 当 LN − M 2 > 0 时是正定或负定; 当 LN − M 2 < 0 时是不定的; 而当 LN − M 2 = 0 时是退化 的.下面定理表明, 第二基本形式在一点的值与这点邻近曲面形状的关系. 定理 3.1曲面上, 使第二基本形式正定或负定的点邻近, 曲面的形状是凸的(或凹的, 由法向选取决定); 在第二基本形式不定的点邻近, 曲面是马鞍型的.证明 设 P 0(u 0, v 0) 是曲面 S : r = r (u, v ) 上的任一取定点, 我们考察到 P 0 点切80平面的高度函数f(u, v) = (r(u, v)− r(u0, v0)) · n(u0, v0),由于f u = r u · n(u0, v0), f v = r v · n(u0, v0),所以f u(u0, v0) = f v(u0, v0) , 即(u0, v0) 是f的临界点. 在这一点, 高度函数f的二阶导数方阵(Hessian矩阵)为f uu f uv f vu f vv (u0, v0) =LMMN(u0, v0).因此, 当第二基本形式II在点(u0, v0) 正定或负定时, f(u0, v0) = 0 是最大值或最小值, 这说明曲面S的形状是凸或凹的(如图2(1)). 而当第二基本形式II在点(u0, v0) 既非正定也非负定时, f(u0, v0) = 0 既不是最大值也不是最小值, 因而曲面S在这点附近是马鞍型(如图2(2)).根据上述定理, 我们对曲面上的点进行如下分类:(1) 椭圆点—使LN − M 2 > 0 的点. 在椭圆点处, 第二基本形式沿任何方向都不变号, 而且曲面在椭圆点邻近总位于切平面的一侧(如图2(1)).(2) 双曲点—使LN − M 2 < 0 的点. 在双曲点的切平面上, 有通过该点的两条直线将切平面分成四部分, 第二基本形式在这四部分或为正, 或为负, 而沿这两条直线, 第二基本形式为零. 曲面在双曲点邻近位于切平面的两侧(如图2(2)).(3) 抛物点—使LN − M 2 = 0 , 且L2 + M 2 + N 2 = 0 的点. 在抛物点的切平面81du ¯ = ∂u ¯ du + ∂u ¯ dv, ¯ v v ¯ v ¯ ¯ ¯ v v ¯ ¯ v ¯ u v ¯上, 有通过该点的惟一一条直线, 沿这条直线, 第二基本形式为零; 而沿其它任何方向 第二基本形式都不变号(如图2(3)).(4) 平点 — 使 L = M = N = 0 的点.【例 5】对环面 r (θ, φ) = {(b + a sin φ) cos θ, (b + a sin φ) sin θ, a cos φ} , 其中a <b 是正常数, 参数 0 ≤ θ, φ ≤ 2π . 直接计算知L = r uu · n = (b + a sin φ) sin φ, M = r uv · n = 0, N = r vv · n = a,而且LN − M 2 = a (b + a sin φ) sin φ,注意到第二基本形式系数只依赖于参数 φ , 即沿参数曲线 φ = φ0 , 第二基本形式系数 为常数. 又因为 0 < a < b, a (b + a sin φ) > 0 , 所以 LN − M 2 与 sin φ 同号. 最后我们 得到环面上点的如下分类(如图3):(1) 参数 φ 满足 0 < φ < π 的点是椭圆点(对应环面的外侧点); (2) 参数 φ 满足 π < φ < 2π 的点是双曲点(对应环面的内侧点); (3) 参数 φ = 0 及 φ = π 的点是抛物点(对应环面的内外侧交界点).2.3.3 第二基本形式的性质 定理 3.2在容许相差一个正负号的意义下, 第二基本形式 II 与曲面 S 上正则参数 (u, v ) 的选取无关.证明 设 r = r (u, v ) 和 r = r (¯u, v ¯) 是曲面 S 的两个不同参数表示, 相应的单位法 向量分别为 n 和 n . 利用下面两组等式∂u ∂vd ¯ = ∂u du +∂v dv,及r u = r u ∂u + r ¯ ∂u , r v = r u ∂v + r ¯ ∂v ,82¯ ¯ ¯ ¯容易验证, dr = dr (或者直接利用一阶微分形式的不变性), 同理有 dn = ±dn (正负 号依赖于参数变换 (u, v ) → (¯u, v ¯) 是同向或反向参数变换). 因此dr · dn = ±dr · dn,即在同向参数变换下, 第二基本形式不变, 而在反向参数变换下, 第二基本形式改变 符号.定理 3.3 下改变符号.曲面的第二基本形式在 R 3 的刚性运动下不变; 而在 R 3 的反刚性运动证明 设 f : f (P ) = P · T + P 0 是 R 3 的任一刚性或反刚性变换, 曲面 S : r =r (u, v ) 在 f 下的像为 S ∗ : r ∗(u, v ) = f ◦ r (u, v ). 则r ∗u × r ∗v =(r u × r v ) · T , 当 det T = 1, −(r u × r v ) · T , 当 det T = −1,因此我们有 n ∗ = sgn(det T ). 又因为 dr ∗ = dr · T , 所以II ∗ = −dr ∗ · dn ∗ = −sgn(det T ) (dn · T ) · (dr · T ) = sgn(det T )II.注意到 det T = 1 或 −1 分别表示 f 是刚性运动或反刚性运动, 所以定理得证.83。
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何第四版习题答案解析梅向明
§1曲面的概念1、求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线、解 u-曲线为r r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0,bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0},为曲线的直母线;v-曲线为r r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线.２.证明双曲抛物面r r＝｛a(u+v), b(u-v),2uv ｝的坐标曲线就就是它的直母线。
证 u-曲线为r r={ a(u+0v ), b(u-0v ),2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r r=｛a(0u +v), b(0u -v),20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3.求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面与法线方程。
解 ϑr ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ,ϕr ρ=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ; 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4.求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面 。
3.3 第二基本形式
3.3曲面的第二基本形式-例子
于是有
n
L
( p, q,1) 1 p q
2 2
,
,
M s 1 p q
2 2
r 1 p q
2 2
,
N
t 1 p2 q2
.
2 2 r d x 2 s d x d y t d y .
II
1 1 意义
定理. 如图，II ≈ 2d .
n P' S
P
d ≈ II/2
Q(dx,dy)
p
证明见这里．
练习题 １．求正螺面 r(u,v) = (aucosv, ausinv, bv) 的 第二基本形式． ２．求旋转抛物面 r(u,v) = (ucosv, usinv, u2) 的第二基本形式． ３．求圆柱面 r(u,v) = (Rcosv, Rsinv, u) 的第 二基本形式． ４．求悬链面 r(u,v) = (acoshucosv, acoshusinv, au) 的第一、第二基本形式，其中 coshu = ½(eu + e-u)．
3.3 曲面的第二基本形式
内容：第二基本形式的概念、计算与 几何意义 重点：第二基本形式的计算
返回章首
3.3 曲面的第二基本形式-概念
设曲面 S: r = r(u,v)，n = (ru×rv) / |ru×rv| 是 它的单位法向量．称二次型 II = n ⋅ d2r 为曲 面的第二基本形式．容易算出 II = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2, 其中 L = ruu ⋅ n，M = ruv ⋅ n，N = rvv ⋅ n．函 数 L、M 和 N 都叫曲面的第二类基本量． 由于 n ⋅ dr = 0，两边求微分可得 n ⋅ d2r = – dn ∙ dr， 因此 II = – dr ⋅ dn．由此可得 L = – ru ⋅ nu, M = – ru ⋅ nv = – rv ⋅ nu, N = – rv ⋅ nv.
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何 §3 曲面的第二基本形式
t , 1+ p + q ∂ z ∂ z ∂ z s= ,r = ,t= ∂y ∂x ∂x∂y
2 2
2
2
2
2
2
注1 第二基本形式不是正定型： 2、参数变换下最多差有一个符号：
3.2 曲面上曲线的曲率
给出曲面S 给出曲面S ：r=r(u,v)及 S上曲线C：u=u(s),v=v(s) 上曲线C P是C上一点对应参数为s，则对C有 对应参数为s，则对C
2 2
两个共轭方向满足 两个共轭方向满足
L duδu + M (duδv + dvδv ) + N 0 dvδ v = 0
0 0
给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点, 给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点,此两族 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向, 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向,则这两族曲 线称为曲面上的共轭网 线称为曲面上的共轭网
r r r r = α， = k β， ⊥ α，β ⊥ α， n，β 共面,设n，β 夹角θ , 则 r n ⇒ r r 2 II= r n( ds ) = k β n( ds ) 2 = k cos θ ( ds ) 2 = ( ds ) 2 I
2 2 2 2
n
II Ldu + 2 Mdudv + Ndv ∴ k cos θ = = Edu + 2 Fdudv + Gdv I
所以第二基本形式 基
II = −( R cos 2 θ dϕ 2 + Rdθ 2 )
对于曲面 r = {x , y , z ( x , y )} 有
r L = r ⋅n = , 1+ p + q
xx 2 2
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式ppt课件
曲面论
.
1
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
.
2
02.05.2020
称为曲面的第二类基本 量.
注 第二基本形式的几何意 义：II2.但不是正定的 .
计算公式：
(1
)
用定义计算：
L r u n u ,M r u n v ,N r vn v
(2)n
ru rv
ru rv
ru rv EGF2
L (ruu,ru,rv) , M (ruv,ru,rv) ,N (rvv,ru,rv) .
的第二 . 基本形式
解：r r { { R R s cc s o in i , , R s o R c n so c s s i, o n 0 , s i R } c n s} os
E r 2R 2co 2 ,sFr r 0,Gr 2R2,
n r r
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
LrnRco2s,
Mrn 0,
Nrn R,
球面的第二基本形式为：
I I (R co 2d s2R2 d ).
.
9
例2 计算抛物 z面 a(x2 y2)的第一和第二基 .
解：pz2ax，qz2a， y
x
y
r x 2z 22a， s x 2 zy0 ， t y 2z 22a.
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何曲面论曲面的第二基本形式
(5 )若(曲 S ):z 面 f(x ,y)则 .r {x ,y ,z (x ,y )， }
于 r r x xx 是 {{0 1 ,,0 0,,rp }} ， ， r rxyy{{00,,10,,qs}}， ， ryy{0,0,t}，
其
中 p
f ，q x
fy，r 2 xf2， sx2fy， t2 yf2 .
(1 4 a 2 x 2 )d2 x 8 a 2 xy d (1 4 x a 2 y d 2 )d2 y .y
I I r d2 x 2 s dx dty d2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
2 a
d2x
2 a
d2y
14 a2x24 a2y2
14 a2x24 a2y2
E r 2 R 2c2 o,F sr r 0 ,G r 2R 2,
n rr
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
{c c o o ,c ss o s s i,s n i} n
与定义比较可知：
L r u n u r u n u , M r un v r u n v rvnu, N r v v n r v n v . ( 4 ) 事I 实 上I ，d n d n r d r 0 ， d n d r n 2 d r 0 ， 故 I n I 2 d r d n d r .
例4 在球面上验证梅尼埃定 理. 证：
(C )C . P
n (C 0 )
3.3 杜邦(Dupin)指标线
II Ld 2u 2Md uNd2 dvv knI Ed 2u 2Fd uG d2 d v v
微分几何答案解析(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
曲面的第二基本形式
§2.3 曲面的第二基本形式一、曲面的第二基本形式二、曲面曲线的曲率三、Dupin指标线四、曲面的渐近方向和共轭方向五、曲面的主方向和曲率线六、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率七、曲面在一点邻近的结构八、Gauss映射一、曲面的第二基本形式SQπn单位法向量δ(,)(,)(,),uu u v u v L r u v n =⋅ 其中,uv M r n =⋅ .vv N r n =⋅222II d d 2d d d ,n r L u M u v N v ==++ 曲面的第二基为本形式称(,),(,),(,).L u v M u v N u v 称为曲面的第二类基本量PP '2II d d n r n ⋅⇒=-=例P114-23. Meusnier(梅尼埃)定理00.P C P C ΓΓΓΓ曲面曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有共同切线的法截线上同一个点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影Meusnier 定理揭示了平面截线与法截线之间的联系.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 3，4, 5补充作业题32.3.2.()(,)()()C r u R u v r u vr u '=+ 求类曲线的切线面().u v c c +=上的曲线为常数的法曲率2.3.1.(,)(cos ,sin ,sin 2)r u v u v u v v =求曲面的第一类基本形式和第二类基本形式.4. 根据Dupin指标线的形状对切点进行分类(1)椭圆点20LN M ->(2)双曲点20LN M -<(3)抛物点2,,0LN M L M N ⎧-=⎨⎩不同时为(4)平点0L M N ===Dupin 指标线不存在请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P115: 24补充作业题232.3.3.(,)(,,)r u v u v u v =+ 求曲面上的抛物点、.椭圆点和双曲点的集合2.渐近曲线每一点的切方向都是渐近方向的曲面曲线.渐近曲线的微分方程22L u v u M u v u v N u v v++=(,)d2(,)d d(,)d0P93 命题1如果曲面上有直线则它一定是曲面的渐近曲线,. P94 命题2曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的密切平面.3. 渐近网如果曲面上的点都是双曲点,则每个点处都有两个不相切的渐近方向,在曲面上会有两族渐近曲线,称曲面上这两族曲线为的渐近网.P94 命题30.L N≡≡曲纹坐标网为渐近网的充要条件是.此时渐近曲线的微分方程就渐近网的微分方程是4. 共轭方向直径一族平行弦的中点的轨迹.直径AB 的共轭直径AB 平行于的弦的中点的轨迹.Dupin ,,.P P 设曲面上点处的某两个切方向所在的某直线段是点处指标线的共轭直径则称这两个切方向互共轭曲面的为共轭方向相共轭方向的等价定义(d)d :d (δ)δ:δ.d δ(d δd δ)d δ0P P P L u u M u v v u N P u v u v v v +++===曲面的共轭曲面上点处的两个切方向和为当方向当且仅共轭其他等价定义d δ0n r ⋅=⇔ d 0n r δ⇔⋅= 渐近方向为自共轭方向.,,.如果曲面上的两族曲线使得过曲面上的每一点此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向则称这曲面的族曲线为共轭网两5. 共轭网共轭网的微分方程(已知一族曲线, 求它的共轭曲线族)(,)d δ(,)(d δd δ)(,)d δ0.L u v u u M u v u v v u N u v v v +++=P96 命题4(,)0.M u v ≡曲纹坐标网为共轭网的充要条件是2. 主方向判别定理(Rodrigues(罗德里格斯)定理)(d)(d :d )d d ;u v n r λλ=∃=是主方向的充要条件是使,(d).n n k k λ=-在上述条件下有其中为沿方向的法曲率曲率线网及其应用(Ref: Spectral Quadrangulation with Orientation and Alignment Control)(Ref: Extracting lines of curvature from noisy point clouds,,.对于曲面上任意两族不相切的曲线族都可以通过参数选择使其成为曲纹坐标网,,,特别地在不含脐点的曲面上可以经过参数选择使曲率线网成为曲纹坐标网.P99 命题5(,)(,)0.F u v M u v ≡≡曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是例如(,)(()cos ,()sin ,()),0,r t t t t F M θϕθϕθψ=≡≡在旋转面中它的曲纹坐标网就是曲率线网.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 13补充作业题求曲面上的脐点xyz2.3.5.1.六、曲面的主曲率、Gauss 曲率和平均曲率1. 主曲率主方向上曲面上一点处的法曲率.沿曲率线即：曲面方向的上一点处法曲率.2. Euler 公式()法曲率随着切方向变化映的规律反2212cos sin n k k k θθ=+SπP1k 2k nk θ请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！补充作业题2.3.6.2.xy z =求双曲抛物面的两个主曲率之比122.3.7.(cos ,sin ,)Gauss ,.r u v u v u v K H k k =+求螺旋面的曲率、平均曲率和主曲率2.3.8.,Gauss .S S K H 证明：如果曲面上的渐近曲线网的夹角是常数则曲面的曲率和平均曲率的平方成比例P114: 18.1()d 2()d nP开口向下的抛物线开口向上的抛物线开口向下的抛物线)00(,2)πθπθ+-(2π-1(d 2()d nP。
第三章曲面的第二基本形式
v = v( s) 是 S 上过 P 点，且在 P 点以 du : dv 为切方向的一条曲线，仍记曲面在 P 点的单位
法 向 量 为 n ， α 、 β 分 别 表 示 曲 线 在 P 点 处 的 单 位 切 向 量 和 单 位 主 法 向 量， 且 记
θ = ∠( β , n) 。我们考察 C 的曲率向量 kβ 在 n 上的投影
n = ( 0,0,1)
所以
? = dr ⋅ dr = du 2 + dv 2 , ? = −dr ⋅ dn = 0
设圆柱面 S2 的方程是
（15）
u u r = (a cos , a sin , v) a a
故
u u ru = − sin , cos , 0 a a rv = (0,0,1) u u ru × rv = cos , sin , 0 = n a a u 1 u 1 ruu = − cos , − sin ,0 a a a a ruv = rvv = 0
一方面，
kβ ⋅ n = k cosθ
另一方面
kβ ⋅ n = n ⋅
结合两方面，我们看到
d 2r ? = ， ds 2 ?
（1）
k cosθ = ? /?
[注 1]（ 1）式右端只是点和方向的函数，给定点处，其值仅由方向 du : dv 决定，因此， 对于过点 P 且具有相同切线的诸多曲线而言， 尽管它们在 P 点的曲率 k 不同； 对应的 θ 也不 相同，但乘积 k cosθ 却是个固定值。 [注 2] （ 1 ）式左端含有反映曲线弯曲程序的曲率项，而右端有反映曲面弯曲程度的第 二基本型，因此， （ 1）式把曲线与曲面的弯曲性联系起来，为我们利用曲线来研究曲面的弯 曲程序提供了方便 定义 1 称 k cosθ 为曲线 C 在 P 点处的法曲率，记为
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式
1 p q 1 p q 1 p q 例1 求球面r { R cos cos , R cos sin , R sin } 的第二基本形式. 解：r { R cos sin , R cos cos ,0} r { R sin cos , R sin sin , R cos } 2 2 2 2 E r R cos , F r r 0, G r R2 , r r n EG F 2 e1 e2 e3 1 2 R cos sin R cos cos 0 R cos R sin cos R sin sin R cos
(其中 为平面到曲面( S )上的点P的离差). QP n， 下面计算 . QP n (QP PP) n QP n PP n PP n 1 2 [r ( s s) r ( s)] n [r s ( r )(s ) ] n 2 1 1 2 2 1 ( n r n )(s ) n r ( s ) n rds2 (s 0时) 2 2 2
定理 (梅尼埃定理 ) 曲面曲线(C )在给定点P的 曲率中心C就是与曲线(C )
具有共同切线的法截线 (C 0 ) 上同一点P的曲率中心C 0 在
法截线
曲线(C )的密切平面上的投影.
即
kn k cos R Rn cos
S (C 0 ) R (C ) n C C 0 密切平面 法截面
(1 4a x )dx 8a xydxdy (1 4a y )dy . r 2s t 2 II dx dxdy dy 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2
2.3 曲面的第二基本形式
设 P 点的法向量 n 与主法向量 的夹角为 ，则 n cos n n
所以 但
n n cos r
d 2r n d 2r Ⅱ n n r 2 2 ds ds Ⅱ Ldu2 2Mdudv Ndv2
三、第二类基本量的计算 ru rv (ruu , ru , rv ) 1、 L ruu n ruu
ru rv EG F 2 (rvv , ru , rv ) (ruv , ru , rv ) N rvv n M ruv n , 2 EG F 2 EG F 2、对 n dr 0 进行微分得 2 2 dn dr n d r 0 , n d r dn dr Ⅱ
故这个公式的几何意义为：R为Rn在（C）的密切
平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法 曲率中心C0，因此几何意义可叙述成： 梅尼埃定理：曲面曲线（C）在给定点P的曲率中心C就是与曲 线（C） 具有共同切线的法截线（C0）上同一个点P的曲率中 心C0在曲线（C）的密切平面上的投影。 四、一个例，球面。
x 2 ru ru 2 xyru rv y 2 rv rv 1 kn Edu2 2 Fdudv Gdv2 Ex2 2 Fxy Gy 2 Ldu2 2Mdudv Ndv2
两边平方得
Ex 2 2 Fxy Gy 2 du : dv x : y Ex 2 2 Fxy Gy 2 Lx 2 2Mxy Ny 2
第三节 曲面的第二基本形式
3.1 曲面的第二基本形式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两边平方得 曲面在一点处的杜邦指标线方程为 N
L 2 x 2 M N x 2 y y 1
曲面上点的分类 由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中 心的有心二次曲线
椭圆点 LN M20
双曲点 LN M20 抛物点 LNM2 0
平点 LM N0
例证:：求rv设证曲曲rv线线s的v切C uv线:srv曲面rv上s的其点切都线是曲抛面物的点方。程为
§3 曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式 无关，本节研究外在形式---曲面的弯曲性
曲面在一点的弯曲性，自然地用曲面偏离此点的 切平面来描述
给出曲面S ：r=r(u,v) 上的曲线C：u=u(s),v=v(s)
P为C上一点对应参数为s，Q为其邻近点（s+△s）
P是C上一点对应参数为s，则对C有
g
gg
r
r
r
r， rk， n， ， n， 共 面 ,设 n， 夹 角 ,则
ggr
r
n
II=rn(ds)2kn(ds)2kcos(ds)2(ds)2I
kcosII Ld2 u2Mdu N dvd2 v
I Ed2 u2FduG dvd2 v
只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面 在P点沿C方向的法曲率
du
k
n
f
( p,
) dv
在P点沿方向dr取线段PN使得 P N
1 |kn |
的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线
u P u N u r x r ru y r rv1d r r r1u r r ru d u r r rv d v |k n||d r| |k n||r u d u r v d v |
）(s)2
21!（nr rgg(s0 )(s)2
1
r n
2!
gg
r(ds)2
r gg
r
r
r
2
n r(ds)2 r
nruurdu 2
2r ruv ndudv nrvvdv2
令L nruu , M ruv n, N nrvv有定义
定义：称 II L d u 2 2 M d u d v N d v 2 为曲面的第二基本
s
M r xy n
,
1 p2 q2
t
N r yy n
,
1 p2 q2
其中：
p z ,q z, x y
2z
2z
s ,r , t
xy x2
2z y 2
注1 第二基本形式不是正定型：
2、参数变换下最多差有一个符号：
3.2 曲面上曲线的曲率
给出曲面S ：r=r(u,v)及 S上曲线C：u=u(s),v=v(s)
v rs
uv
s
v
uvg
s
uv
s
vk
uv ,
v rv
uv
s
,
v r
s
s
k
uv 2v
v
g
k
k
uv
vk
v ,
v r sv
k
uv
,
v r
v
v
v 0, n
形式，其中L，M，N为曲面的弯曲系数。
几何意义：曲面的第二基本形式近似地等于P的邻近 点Q到P的切平面中距离的两倍
计算公式1
n r r u r v r u r v , L ( r u u , r u , r v ) , M ( r u v , r u , r v ) , N ( r v v , r u , r v ) |r u r |v E G F 2 E G F 2 E G F 2 E G F 2
{ R cos
sin ， R cos
co s ，0}
r { R sin co s ， R sin sin ， R co s }
E
r
gr
R 2 cos2 ， F
r
gr
0，Байду номын сангаасG
r gr
R2
r
n {cos cos , cos sin ,sin }
r
{ R
cos
cos， R
cos
sin ，0}
r { R sin sin ， R sin co s ， 0}
r { R co s co s ， R co s sin ， - R sin }
所以第二基本形式 II (R co s2d 2R d 2)
对于曲面 r x ,y ,z (x ,y ) 有
r
L r xx n
,
1 p2 q2
定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是Cr在点p 的曲率,. 则称 k 为C在点p的曲率向量, 称 k n 为在 曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为 k n
曲面法曲率是曲面上点P和方向 (d ) 的函数 同一点只要方向相同，则法曲率相同
k
n
f
( p,
du ) dv
S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面 上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线 就是P点处沿切方向的法截线 对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就 是法曲率呢？只要 cos 1即可，这就是法截线
n
梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中
心C就是与曲线具有相同切线的法截线 0 在同一
点p的曲线中心 c 0 在曲线C的密切平面上的投影。
0
例 在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取 为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大 圆. 则梅尼埃定理显然成立.
3.3 杜邦指标线
法曲率是曲面上点P和方向 dr=rudurvdv 的函数
的第二基本形式
r
解：n { co s co s , co s sin , sin }
ru rv , L ( ruu , ru , rv ) , M ( ruv , ru , rv ) , ( rvv , ru , rv )
EG F 2
EG F 2
EG F 2 EG F 2
r
r u u r r 计算公式2：因为 n d r 0 d n d r n d 2 r 0
uur
所以 IIdndr 可得
u u r u u r u u r L n u r u ,M r u n v ,N n v r v
例1 求球面 r { R c o sc o s,R c o ss i n ,R s i n }
n
Q
p C
M
TP
uuur PQ
r(s0
s)
r(s 0)
g
r(s0 )s
21（! rgg(s0 )
）(s)2，lim s0
0
由Q作 P点的切平面点M,s一定时,|pM|大则曲面弯曲厉害.
记
r uuuur =nMQ
r uuur nPQ
rg n(r(s0
)s
21（! rgg(s0
)
）(s)2
)
21!（nr rgg(s0 )