复变函数与积分变换课件
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在这个性质中，要求 f ( k ) ( t ) 存在且满足Laplace
变换存在定理的条件 (1 k n).
例4 解
求 f ( t ) cos t 的Laplace变换. 因为
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) - 2cost,
根据 微分性质和线性性质
f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当
m !L [1] s mL [t m ].
m! 于是 L t m 1 . s
m
像函数的微分性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
F ( s ) -L [tf ( t )].
对正整数n, 有 f (t ) t m , 则
f (0) f (0) f
因为 f
(m)
L [ f ( n) (t )] s n F ( s )(- -1)-1 f (0) - - f ( n-1) (0). sn m
(0) 0.
1 [1] (t ) m !, L L [ f( n) (t,)] 所以 ). snF ( s s
二 Laplace变换存在定理 定理1 设函数 f ( t ) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f ( t )的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0, ) 上，
f ( t ) Me s0t ,
则在半平面 Re s s0上，L [ f ( t )] 存在, 且
]
+
-
f t u t e - b t e -i t dt
+
0
f t e
- ( b i ) t
dt
Laplace变换
将 b i 记为s, 可写成
F ( s)
0
f ( t )e - st dt .
它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 更实 用、更方便.
L [- 2对正整数n, s 2L [cos t ] - sf (0) - f (0), cos t ] 有
L - n)Lt )] s n( s ) s n2L (0) - -]f ( ns1) (0). [ f ( 2 ( [cos F t ] - s -1 f [cos t - - ,
F ( s ) L [ f ( t )]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f ( t )的增长指数.
例3 求正弦函数 f (t ) sin k t
k ℒ sin k t 2 2 s k
(k R) 的拉氏变换
Re s 0 .
同理可得
s ℒ cos k t 2 2 s k
- st T 0
e
- kTs
T
0
f ( )e - s d .
e -Ts 1, 所以 而当 Re s 0 时，
L[ f ( t )]
k 0 ( k 1)T kT
f ( t )e dt e
- st k 0
- kTs
T
0
f ( t )e - st dt
- st -
§9.2 Laplace变换的性质
以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. 1 线性性质 设a, b 是常数， F1 ( s ) L [ f1 ( t )],
F2 ( s ) L [ f 2 ( t )], 则 L [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F2 ( s )
L [ f (at )] f (at )e - st dt , 故 证明 根据定义 0
s - u 1 1 s a L [ f (at )] f ( u)e du F . a 0 a a
3
延迟性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 若当 t 0 时,
例2 求指数函数 f (t ) e (其中a是复常数)
at
的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据Laplace变换的定义
>> syms t s a at at - st - ( s-a )t F ( s ) L [ f ( t )] L [e ] e e dt e dt , 0 0 >> f=exp(a*t);L=laplace(f) 这个积分当 Re s Re a 时收敛，且 L= 1 - ( s-a )t 1/(s-a) e dt , 0 s-a 所以 1 at L [e ] (Re s Re a ). s-a
d L [t sin t ] F ( s ) L [sin)], t则 L [ f (t ] 设 ds >> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L=
s d F ( 2) s-L [tf (t )]. - 2 2 . 2 2 2 一般地，对正整数n, ) ds s ( s 有
f (t)
f ( t ) 0, 则对任何非负实数 , 有
L [ f (t - )] e - s F ( s).
O
f (t-)
t
或写为
L[ f (t - )u(t - )] e - s F ( s).
4
位移性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
L[e at f (t )] F ( s - a ) .
例3
求 L [u(5t )] 和 L [u(5t - 2)].
1 解 运行下面的MATLAB语句. 因为 L [u( t )] , 所以 s >> syms t s 1 1 1 L [u(5t )] . 5 s s >> h=sym('Heaviside(5*t)');L=laplace(h) 5 L= 实际上, 由 u(5t ) u( t ), 可直接得到结论. 又由于 1/s 2 u(5t - 2) u 5 t - , >> g=sym('Heaviside(5*t-2)');L=laplace(g) 5 L= 故由 延迟性质 和相似性质 ，得
所以 L [cos t ]
f (0) s (0) f ( n-1) (0) 0 时， f 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
s
2
2
.
使用同样方法，可得 L [sin t ]
s
2 2
.
例5 利用微分性质 求 L t m ，m是正整数. 解： 设
周期函数的Laplace变换公式.
证：L [ f ( t )]
( k 1)T
0
f ( t )e dt
- st k 0
( k 1)T
kT
f ( t )e - st dt .
令 t kT , [0, T ), 则
kT
f ( t )e dt f ( kT )e - s ( kT )d ,
Re s 0 .
三 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t ) 是以 T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
1 L [ f ( t )] 1 - e - sT
T
0
f ( t )e - st dt .
-1
f (t )称为F (s)的Laplace逆变换，记为 f (t )
[ F (s)].
F (s)称为像函数，f (t )称为像原函数.
例1 求单位阶跃函数
1, u( t ) 0,
的Laplace变换.
t0 t0
根据Laplace变换的定义， 解 运行下面的MATLAB语句. 当 Re s 0 时，
一般地，对正整数n, 有
F ( n ) ( s ) (-1)n L [t n f (t )].
证明 对解析函数
F ( s)
0
f ( t )e dt
- st
求导, 右端求导时可在积分号下进行，即得.
例6
求 f ( t ) t sin t 的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据 像函数的微分性质 >> syms t s a
>> syms t s 1 - st 1 - st L [u( t )] e dt - e . 0 0 s s >> f=sym('Heaviside(t)');L=laplace(f) L= 因为在Laplace变换中不必考虑 t 0 时的情况，
1 1/s 所以经常记作 L [1] . s 注 首先使用命令syms来定义基本符号对象, 否则
(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数
等)都不满足这个要求.
2 很多以时间t 为自变量的函数当t<0时，往
往没有定义，或者不需要知道t<0的情况.
改进： f(t)
f(t)u(t) f (t)
f(t)u(t)e
- t
O
f
(t)u(t)e-bt
Байду номын сангаас
t
O
t
F [ f t u t e
-b t
一、 Laplace变换的概念
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，且积分
0
f (t )e - s t dt
在s平面的某一区域内收敛，则称由该积分确定的函数
F s
0
f (t )e - s t dt
为 f (t )的Laplace变换，记为
ℒ [ f (t )]. ℒ
1 - sT 1- e
T
0
f ( t )e - st dt ,
例4 解
求单位脉冲函数 d ( t ) 的Laplace变换. 因为
所以
-
d ( t ) f ( t )dt f (0),
L[d ( t )]
- d ( t )e dt
- st 0
d ( t )e dt 1.
a L [ f1 ( t )] b L [ f 2 ( t )],
例1 求函数 f (t ) cos3t 6e-3t 的拉氏变换.
例2 利用线性性质求函数 f (t ) sin at 的拉氏 变换 F(s).
2 相似性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
1 s L[ f (at )] F (a 0). a a
2 2 exp(-2/5*s)/s - s - s 1 5 5 L [u(5t F (2)] e f ( tL 设u(5st) 时,f ( t )], 则 F( L )], [若当t )] 0 [ e . 设 s) L [ s
5
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则 像原函数的 L [ f ( t )] sF ( s ) - f (0). 微分性质 微分性质 根据Laplace变换的定义和分部积分公式
第九章
Laplace变换
主 要 内 容
本章介绍Laplace变换的概念、性质
以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
§9.1 Laplace变换的概念
1 2 Laplace变换的定义 周期函数和d 函数的Laplace变换
Fourier变换的不足：
1 绝对可积的要求太高. 很多常见的初等函数
证明
L [ f ( t )]
f (t ) e
- st 0
0
( t )e - st dt f
s
0
f ( t )e - st dt
sL [ f ( t )] - f (0)
sF ( s ) - f (0) (Re s s0 ).
推论
对正整数n, 有
L [ f ( n) (t )] s n F ( s) - s n-1 f (0) - - f ( n-1) (0). f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
变换存在定理的条件 (1 k n).
例4 解
求 f ( t ) cos t 的Laplace变换. 因为
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) - 2cost,
根据 微分性质和线性性质
f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当
m !L [1] s mL [t m ].
m! 于是 L t m 1 . s
m
像函数的微分性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
F ( s ) -L [tf ( t )].
对正整数n, 有 f (t ) t m , 则
f (0) f (0) f
因为 f
(m)
L [ f ( n) (t )] s n F ( s )(- -1)-1 f (0) - - f ( n-1) (0). sn m
(0) 0.
1 [1] (t ) m !, L L [ f( n) (t,)] 所以 ). snF ( s s
二 Laplace变换存在定理 定理1 设函数 f ( t ) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f ( t )的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0, ) 上，
f ( t ) Me s0t ,
则在半平面 Re s s0上，L [ f ( t )] 存在, 且
]
+
-
f t u t e - b t e -i t dt
+
0
f t e
- ( b i ) t
dt
Laplace变换
将 b i 记为s, 可写成
F ( s)
0
f ( t )e - st dt .
它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 更实 用、更方便.
L [- 2对正整数n, s 2L [cos t ] - sf (0) - f (0), cos t ] 有
L - n)Lt )] s n( s ) s n2L (0) - -]f ( ns1) (0). [ f ( 2 ( [cos F t ] - s -1 f [cos t - - ,
F ( s ) L [ f ( t )]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f ( t )的增长指数.
例3 求正弦函数 f (t ) sin k t
k ℒ sin k t 2 2 s k
(k R) 的拉氏变换
Re s 0 .
同理可得
s ℒ cos k t 2 2 s k
- st T 0
e
- kTs
T
0
f ( )e - s d .
e -Ts 1, 所以 而当 Re s 0 时，
L[ f ( t )]
k 0 ( k 1)T kT
f ( t )e dt e
- st k 0
- kTs
T
0
f ( t )e - st dt
- st -
§9.2 Laplace变换的性质
以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. 1 线性性质 设a, b 是常数， F1 ( s ) L [ f1 ( t )],
F2 ( s ) L [ f 2 ( t )], 则 L [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F2 ( s )
L [ f (at )] f (at )e - st dt , 故 证明 根据定义 0
s - u 1 1 s a L [ f (at )] f ( u)e du F . a 0 a a
3
延迟性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 若当 t 0 时,
例2 求指数函数 f (t ) e (其中a是复常数)
at
的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据Laplace变换的定义
>> syms t s a at at - st - ( s-a )t F ( s ) L [ f ( t )] L [e ] e e dt e dt , 0 0 >> f=exp(a*t);L=laplace(f) 这个积分当 Re s Re a 时收敛，且 L= 1 - ( s-a )t 1/(s-a) e dt , 0 s-a 所以 1 at L [e ] (Re s Re a ). s-a
d L [t sin t ] F ( s ) L [sin)], t则 L [ f (t ] 设 ds >> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L=
s d F ( 2) s-L [tf (t )]. - 2 2 . 2 2 2 一般地，对正整数n, ) ds s ( s 有
f (t)
f ( t ) 0, 则对任何非负实数 , 有
L [ f (t - )] e - s F ( s).
O
f (t-)
t
或写为
L[ f (t - )u(t - )] e - s F ( s).
4
位移性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
L[e at f (t )] F ( s - a ) .
例3
求 L [u(5t )] 和 L [u(5t - 2)].
1 解 运行下面的MATLAB语句. 因为 L [u( t )] , 所以 s >> syms t s 1 1 1 L [u(5t )] . 5 s s >> h=sym('Heaviside(5*t)');L=laplace(h) 5 L= 实际上, 由 u(5t ) u( t ), 可直接得到结论. 又由于 1/s 2 u(5t - 2) u 5 t - , >> g=sym('Heaviside(5*t-2)');L=laplace(g) 5 L= 故由 延迟性质 和相似性质 ，得
所以 L [cos t ]
f (0) s (0) f ( n-1) (0) 0 时， f 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
s
2
2
.
使用同样方法，可得 L [sin t ]
s
2 2
.
例5 利用微分性质 求 L t m ，m是正整数. 解： 设
周期函数的Laplace变换公式.
证：L [ f ( t )]
( k 1)T
0
f ( t )e dt
- st k 0
( k 1)T
kT
f ( t )e - st dt .
令 t kT , [0, T ), 则
kT
f ( t )e dt f ( kT )e - s ( kT )d ,
Re s 0 .
三 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t ) 是以 T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
1 L [ f ( t )] 1 - e - sT
T
0
f ( t )e - st dt .
-1
f (t )称为F (s)的Laplace逆变换，记为 f (t )
[ F (s)].
F (s)称为像函数，f (t )称为像原函数.
例1 求单位阶跃函数
1, u( t ) 0,
的Laplace变换.
t0 t0
根据Laplace变换的定义， 解 运行下面的MATLAB语句. 当 Re s 0 时，
一般地，对正整数n, 有
F ( n ) ( s ) (-1)n L [t n f (t )].
证明 对解析函数
F ( s)
0
f ( t )e dt
- st
求导, 右端求导时可在积分号下进行，即得.
例6
求 f ( t ) t sin t 的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据 像函数的微分性质 >> syms t s a
>> syms t s 1 - st 1 - st L [u( t )] e dt - e . 0 0 s s >> f=sym('Heaviside(t)');L=laplace(f) L= 因为在Laplace变换中不必考虑 t 0 时的情况，
1 1/s 所以经常记作 L [1] . s 注 首先使用命令syms来定义基本符号对象, 否则
(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数
等)都不满足这个要求.
2 很多以时间t 为自变量的函数当t<0时，往
往没有定义，或者不需要知道t<0的情况.
改进： f(t)
f(t)u(t) f (t)
f(t)u(t)e
- t
O
f
(t)u(t)e-bt
Байду номын сангаас
t
O
t
F [ f t u t e
-b t
一、 Laplace变换的概念
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，且积分
0
f (t )e - s t dt
在s平面的某一区域内收敛，则称由该积分确定的函数
F s
0
f (t )e - s t dt
为 f (t )的Laplace变换，记为
ℒ [ f (t )]. ℒ
1 - sT 1- e
T
0
f ( t )e - st dt ,
例4 解
求单位脉冲函数 d ( t ) 的Laplace变换. 因为
所以
-
d ( t ) f ( t )dt f (0),
L[d ( t )]
- d ( t )e dt
- st 0
d ( t )e dt 1.
a L [ f1 ( t )] b L [ f 2 ( t )],
例1 求函数 f (t ) cos3t 6e-3t 的拉氏变换.
例2 利用线性性质求函数 f (t ) sin at 的拉氏 变换 F(s).
2 相似性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
1 s L[ f (at )] F (a 0). a a
2 2 exp(-2/5*s)/s - s - s 1 5 5 L [u(5t F (2)] e f ( tL 设u(5st) 时,f ( t )], 则 F( L )], [若当t )] 0 [ e . 设 s) L [ s
5
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则 像原函数的 L [ f ( t )] sF ( s ) - f (0). 微分性质 微分性质 根据Laplace变换的定义和分部积分公式
第九章
Laplace变换
主 要 内 容
本章介绍Laplace变换的概念、性质
以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
§9.1 Laplace变换的概念
1 2 Laplace变换的定义 周期函数和d 函数的Laplace变换
Fourier变换的不足：
1 绝对可积的要求太高. 很多常见的初等函数
证明
L [ f ( t )]
f (t ) e
- st 0
0
( t )e - st dt f
s
0
f ( t )e - st dt
sL [ f ( t )] - f (0)
sF ( s ) - f (0) (Re s s0 ).
推论
对正整数n, 有
L [ f ( n) (t )] s n F ( s) - s n-1 f (0) - - f ( n-1) (0). f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).