复变函数与积分变换课件
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复变函数与积分变换课件
9
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换课件fb1-2最终版.ppt
由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
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28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
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24
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25
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26
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27
例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
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5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
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21
lim
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28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
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例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
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5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
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lim
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换-李红-华中科技大学-医学演示课件-精选.ppt
n
Ci
或 f (z)dz
f (z)dz.
C
i1 Ci
..,
例题1
求
1 C z2 dz ,
C 如图所示：
i
解：存在 f (z)的解析单连通域D包含曲
i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
3i
从而
C
1 z2 dz
0,i
d
0, 3i
f
z0
1
2 i
C
f z
dz z z0
C1
f z
z z0
dz
z0 D.
CD C1 z0
..,
例题1
计算积分
ez
dz
C z(z 1)( z 2)
C : z r (r 1,2)
ez
解：0 r 1,
(z 1)( z 2) dz 2 i
C3
C2 C1 C3
1 0
2
..,
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i ez
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
§ 3.4 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它 的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一 点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上 可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要 说它有高阶导数存在了.
f (z)
1 在区域D za
0
za
Ci
或 f (z)dz
f (z)dz.
C
i1 Ci
..,
例题1
求
1 C z2 dz ,
C 如图所示：
i
解：存在 f (z)的解析单连通域D包含曲
i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
3i
从而
C
1 z2 dz
0,i
d
0, 3i
f
z0
1
2 i
C
f z
dz z z0
C1
f z
z z0
dz
z0 D.
CD C1 z0
..,
例题1
计算积分
ez
dz
C z(z 1)( z 2)
C : z r (r 1,2)
ez
解：0 r 1,
(z 1)( z 2) dz 2 i
C3
C2 C1 C3
1 0
2
..,
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i ez
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
§ 3.4 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它 的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一 点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上 可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要 说它有高阶导数存在了.
f (z)
1 在区域D za
0
za
复变函数与积分变换课件
解: ( 2)
z 1
sin z 4 dz z2 1 1
2
z 1
sin z 4 z 1 dz 1 z 1
2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
11
sin z 解: ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 2 1 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z dz . 2 πi 0
证明: 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
z0
C
D
则 0, ( ) 0,
2i (3(6 z 7), 而 1 i 在 C 内, 所以 f (1 i ) 2 ( 6 13i ).
9
sin z 4 dz , 其中 C : (1) z 1 1 ; 练习:计算积分 2 2 C z 1
3
关于柯西积分公式的说明: (1) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积 分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值. 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0
2! f ( z) 可得 f ( z0 ) C ( z z )3 dz. 2i 0
18
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
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• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换全套精品课件
复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换51孤立奇点课件
复变函数与积分变换51孤 立奇点课件
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt
解
由上例可知
(z
1 a)n1
dz
2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求
(z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.
解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
复变函数与积分变换第四章ppt课件
定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn
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-1
f (t )称为F (s)的Laplace逆变换，记为 f (t )
[ F (s)].
F (s)称为像函数，f (t )称为像原函数.
例1 求单位阶跃函数
1, u( t ) 0,
的Laplace变换.
t0 t0
根据Laplace变换的定义， 解 运行下面的MATLAB语句. 当 Re s 0 时，
L [ f (at )] f (at )e - st dt , 故 证明 根据定义 0
s - u 1 1 s a L [ f (at )] f ( u)e du F . a 0 a a
3
延迟性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 若当 t 0 时,
证明
L [ f ( t )]
f (t ) e
- st 0
0
( t )e - st dt f
s
0
f ( t )e - st dt
sL [ f ( t )] - f (0)
sF ( s ) - f (0) (Re s s0 ).
推论
对正整数n, 有
L [ f ( n) (t )] s n F ( s) - s n-1 f (0) - - f ( n-1) (0). f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当
m !L [1] s mL [t m ].
m! 于是 L t m 1 . s
m
像函数的微分性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
F ( s ) -L [tf ( t )].
f (t)
f ( t ) 0, 则对任何非负实数 , 有
L [ f (t - )] e - s F ( s).
O (t - )u(t - )] e - s F ( s).
4
位移性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
]
+
-
f t u t e - b t e -i t dt
+
0
f t e
- ( b i ) t
dt
Laplace变换
将 b i 记为s, 可写成
F ( s)
0
f ( t )e - st dt .
它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 更实 用、更方便.
所以 L [cos t ]
f (0) s (0) f ( n-1) (0) 0 时， f 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
s
2
2
.
使用同样方法，可得 L [sin t ]
s
2 2
.
例5 利用微分性质 求 L t m ，m是正整数. 解： 设
1 - sT 1- e
T
0
f ( t )e - st dt ,
例4 解
求单位脉冲函数 d ( t ) 的Laplace变换. 因为
所以
-
d ( t ) f ( t )dt f (0),
L[d ( t )]
- d ( t )e dt
- st 0
d ( t )e dt 1.
二 Laplace变换存在定理 定理1 设函数 f ( t ) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f ( t )的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0, ) 上，
f ( t ) Me s0t ,
则在半平面 Re s s0上，L [ f ( t )] 存在, 且
第九章
Laplace变换
主 要 内 容
本章介绍Laplace变换的概念、性质
以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
§9.1 Laplace变换的概念
1 2 Laplace变换的定义 周期函数和d 函数的Laplace变换
Fourier变换的不足：
1 绝对可积的要求太高. 很多常见的初等函数
一、 Laplace变换的概念
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，且积分
0
f (t )e - s t dt
在s平面的某一区域内收敛，则称由该积分确定的函数
F s
0
f (t )e - s t dt
为 f (t )的Laplace变换，记为
ℒ [ f (t )]. ℒ
对正整数n, 有 f (t ) t m , 则
f (0) f (0) f
因为 f
(m)
L [ f ( n) (t )] s n F ( s )(- -1)-1 f (0) - - f ( n-1) (0). sn m
(0) 0.
1 [1] (t ) m !, L L [ f( n) (t,)] 所以 ). snF ( s s
在这个性质中，要求 f ( k ) ( t ) 存在且满足Laplace
变换存在定理的条件 (1 k n).
例4 解
求 f ( t ) cos t 的Laplace变换. 因为
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) - 2cost,
根据 微分性质和线性性质
d L [t sin t ] F ( s ) L [sin)], t则 L [ f (t ] 设 ds >> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L=
s d F ( 2) s-L [tf (t )]. - 2 2 . 2 2 2 一般地，对正整数n, ) ds s ( s 有
2 2 exp(-2/5*s)/s - s - s 1 5 5 L [u(5t F (2)] e f ( tL 设u(5st) 时,f ( t )], 则 F( L )], [若当t )] 0 [ e . 设 s) L [ s
5
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则 像原函数的 L [ f ( t )] sF ( s ) - f (0). 微分性质 微分性质 根据Laplace变换的定义和分部积分公式
例2 求指数函数 f (t ) e (其中a是复常数)
at
的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据Laplace变换的定义
>> syms t s a at at - st - ( s-a )t F ( s ) L [ f ( t )] L [e ] e e dt e dt , 0 0 >> f=exp(a*t);L=laplace(f) 这个积分当 Re s Re a 时收敛，且 L= 1 - ( s-a )t 1/(s-a) e dt , 0 s-a 所以 1 at L [e ] (Re s Re a ). s-a
一般地，对正整数n, 有
F ( n ) ( s ) (-1)n L [t n f (t )].
证明 对解析函数
F ( s)
0
f ( t )e dt
- st
求导, 右端求导时可在积分号下进行，即得.
例6
求 f ( t ) t sin t 的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据 像函数的微分性质 >> syms t s a
周期函数的Laplace变换公式.
证：L [ f ( t )]
( k 1)T
0
f ( t )e dt
- st k 0
( k 1)T
kT
f ( t )e - st dt .
令 t kT , [0, T ), 则
kT
f ( t )e dt f ( kT )e - s ( kT )d ,
L [- 2对正整数n, s 2L [cos t ] - sf (0) - f (0), cos t ] 有
L - n)Lt )] s n( s ) s n2L (0) - -]f ( ns1) (0). [ f ( 2 ( [cos F t ] - s -1 f [cos t - - ,
- st -
§9.2 Laplace变换的性质
以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. 1 线性性质 设a, b 是常数， F1 ( s ) L [ f1 ( t )],
F2 ( s ) L [ f 2 ( t )], 则 L [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F2 ( s )
Re s 0 .
三 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t ) 是以 T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
1 L [ f ( t )] 1 - e - sT
T
0
f ( t )e - st dt .
F ( s ) L [ f ( t )]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f ( t )的增长指数.
例3 求正弦函数 f (t ) sin k t
f (t )称为F (s)的Laplace逆变换，记为 f (t )
[ F (s)].
F (s)称为像函数，f (t )称为像原函数.
例1 求单位阶跃函数
1, u( t ) 0,
的Laplace变换.
t0 t0
根据Laplace变换的定义， 解 运行下面的MATLAB语句. 当 Re s 0 时，
L [ f (at )] f (at )e - st dt , 故 证明 根据定义 0
s - u 1 1 s a L [ f (at )] f ( u)e du F . a 0 a a
3
延迟性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 若当 t 0 时,
证明
L [ f ( t )]
f (t ) e
- st 0
0
( t )e - st dt f
s
0
f ( t )e - st dt
sL [ f ( t )] - f (0)
sF ( s ) - f (0) (Re s s0 ).
推论
对正整数n, 有
L [ f ( n) (t )] s n F ( s) - s n-1 f (0) - - f ( n-1) (0). f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当
m !L [1] s mL [t m ].
m! 于是 L t m 1 . s
m
像函数的微分性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
F ( s ) -L [tf ( t )].
f (t)
f ( t ) 0, 则对任何非负实数 , 有
L [ f (t - )] e - s F ( s).
O (t - )u(t - )] e - s F ( s).
4
位移性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
]
+
-
f t u t e - b t e -i t dt
+
0
f t e
- ( b i ) t
dt
Laplace变换
将 b i 记为s, 可写成
F ( s)
0
f ( t )e - st dt .
它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 更实 用、更方便.
所以 L [cos t ]
f (0) s (0) f ( n-1) (0) 0 时， f 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
s
2
2
.
使用同样方法，可得 L [sin t ]
s
2 2
.
例5 利用微分性质 求 L t m ，m是正整数. 解： 设
1 - sT 1- e
T
0
f ( t )e - st dt ,
例4 解
求单位脉冲函数 d ( t ) 的Laplace变换. 因为
所以
-
d ( t ) f ( t )dt f (0),
L[d ( t )]
- d ( t )e dt
- st 0
d ( t )e dt 1.
二 Laplace变换存在定理 定理1 设函数 f ( t ) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f ( t )的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0, ) 上，
f ( t ) Me s0t ,
则在半平面 Re s s0上，L [ f ( t )] 存在, 且
第九章
Laplace变换
主 要 内 容
本章介绍Laplace变换的概念、性质
以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
§9.1 Laplace变换的概念
1 2 Laplace变换的定义 周期函数和d 函数的Laplace变换
Fourier变换的不足：
1 绝对可积的要求太高. 很多常见的初等函数
一、 Laplace变换的概念
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，且积分
0
f (t )e - s t dt
在s平面的某一区域内收敛，则称由该积分确定的函数
F s
0
f (t )e - s t dt
为 f (t )的Laplace变换，记为
ℒ [ f (t )]. ℒ
对正整数n, 有 f (t ) t m , 则
f (0) f (0) f
因为 f
(m)
L [ f ( n) (t )] s n F ( s )(- -1)-1 f (0) - - f ( n-1) (0). sn m
(0) 0.
1 [1] (t ) m !, L L [ f( n) (t,)] 所以 ). snF ( s s
在这个性质中，要求 f ( k ) ( t ) 存在且满足Laplace
变换存在定理的条件 (1 k n).
例4 解
求 f ( t ) cos t 的Laplace变换. 因为
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) - 2cost,
根据 微分性质和线性性质
d L [t sin t ] F ( s ) L [sin)], t则 L [ f (t ] 设 ds >> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L=
s d F ( 2) s-L [tf (t )]. - 2 2 . 2 2 2 一般地，对正整数n, ) ds s ( s 有
2 2 exp(-2/5*s)/s - s - s 1 5 5 L [u(5t F (2)] e f ( tL 设u(5st) 时,f ( t )], 则 F( L )], [若当t )] 0 [ e . 设 s) L [ s
5
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则 像原函数的 L [ f ( t )] sF ( s ) - f (0). 微分性质 微分性质 根据Laplace变换的定义和分部积分公式
例2 求指数函数 f (t ) e (其中a是复常数)
at
的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据Laplace变换的定义
>> syms t s a at at - st - ( s-a )t F ( s ) L [ f ( t )] L [e ] e e dt e dt , 0 0 >> f=exp(a*t);L=laplace(f) 这个积分当 Re s Re a 时收敛，且 L= 1 - ( s-a )t 1/(s-a) e dt , 0 s-a 所以 1 at L [e ] (Re s Re a ). s-a
一般地，对正整数n, 有
F ( n ) ( s ) (-1)n L [t n f (t )].
证明 对解析函数
F ( s)
0
f ( t )e dt
- st
求导, 右端求导时可在积分号下进行，即得.
例6
求 f ( t ) t sin t 的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据 像函数的微分性质 >> syms t s a
周期函数的Laplace变换公式.
证：L [ f ( t )]
( k 1)T
0
f ( t )e dt
- st k 0
( k 1)T
kT
f ( t )e - st dt .
令 t kT , [0, T ), 则
kT
f ( t )e dt f ( kT )e - s ( kT )d ,
L [- 2对正整数n, s 2L [cos t ] - sf (0) - f (0), cos t ] 有
L - n)Lt )] s n( s ) s n2L (0) - -]f ( ns1) (0). [ f ( 2 ( [cos F t ] - s -1 f [cos t - - ,
- st -
§9.2 Laplace变换的性质
以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. 1 线性性质 设a, b 是常数， F1 ( s ) L [ f1 ( t )],
F2 ( s ) L [ f 2 ( t )], 则 L [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F2 ( s )
Re s 0 .
三 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t ) 是以 T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
1 L [ f ( t )] 1 - e - sT
T
0
f ( t )e - st dt .
F ( s ) L [ f ( t )]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f ( t )的增长指数.
例3 求正弦函数 f (t ) sin k t